Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Naturales y Museo

Transcripción

1 Universidd Ncionl de L Pl Fculd de Ciencis Nurles y Museo Cáedr de Memáic y Elemenos de Memáic signur: Elemenos de Memáic Conenidos de l Unidd Temáic Mrices: Sum y produco por un esclr. Propieddes. Produco enre mrices. Mrices sociomérics. Mriz invers. Deerminnes: definición y propieddes. Desrrollo de un deerminne por los elemenos de un líne. Resolución de sisems de ecuciones lineles: Regl de Crmer, Eliminción de Guss, méodo mricil. Resolución proimd de sisems incompibles: solución mricil. ng. Crlos lfredo López Profesor Tiulr

2 Cáedr de Memáic y Elemenos de Memáic ng. Crlos lfredo López MTRCES demás de ls mrices que se definen eniendo en cuen que sus elemenos provienen de un relción funcionl, los dos que corresponden l informción recogid sobre diversos ems suelen ser orgnizdos frecuenemene en bls de un o más enrds medine conjunos numéricos cuyos elemenos esán ordendos por uno o más subíndices. Formlmene un bl unidimensionl se denomin vecor mienrs que un bidimensionl se design con el nombre de mriz. Ejemplo : En un vije de cmpñ relizdo por lumnos de l Fculd, se hn orgnizdo curo grupos, B, C, D conecdos medine equipos de rdio de modo l que solo puede comunicrse direcmene con B y D ; B sólo puede comunicrse con ; C sólo puede comunicrse con D y D puede comunicrse con y C. Presenr es informción medine un mriz de orden, usndo un o un pr indicr si dos cmpmenos pueden comunicrse direcmene o no. Solución Ejemplo : L bl de posiciones del cmpeono de fúbol es un bl doble enrd o bidimensionl. Se r de un mriz. Considerndo un espcio vecoril de n dimensiones, un vecor puede represenrse medine un mriz; los elemenos de és son ls componenes del vecor y pueden escribirse en fil o en column. Si l disposición es en un fil, l mriz resul de dimensión n y se llm mriz fil o mbién vecor fil, mienrs que si l disposición es en column, el orden es m y hblmos de mriz o vecor column. Por ejemplo es un mriz column de dimensión Un cso priculr lo consiuye como ejemplo l mriz () de dimensión.

3 Teniendo en cuen lo hs quí epresdo, un mriz puede prácicmene ser considerd como l yuposición ordend de mrices fil o como un yuposición ordend de mrices column. Álgebr Mricil: Simbolizndo con Fi l fil i y con Cj l column j, podemos escribir: F F F ( C C C C) guldd. Dos mrices son igules si ienen el mismo orden y los elemenos ubicdos en l mism posición son igules. Ejemplo : Hllr los vlores de, y, z, w si se sisfce l iguldd: + y y z + w z w 5 igulndo elemeno elemeno correspondiene, resul : + y z + w 5 y z w sisem de ecuciones lineles cuy solución es : { ; y ; z ; w } Sum de mrices: Si enemos en cuen que ls fils o ls columns de un mriz pueden considerrse como vecores fil o como vecores column, l operori enre mrices deberá seguir ls regls de l operori enre vecores y ddo que, los vecores se sumn elemeno elemeno correspondiene, definiremos en form nálog l sum enre dos mrices con el gregdo de que, pr que dos mrices resulen sumbles deben ser del mismo orden. L sum enre mrices de disin dimensión no esá definid. Dds enonces ls mrices ( ij ) y B (b ij ) mbs de orden mn, l sum resulrá ser un mriz C (c ij ) de l mism dimensión de los sumndos, cuyos elemenos se obendrán hciendo l sum de los elemenos correspondienes de ls mrices dds. mn + B mn C mn ; con (c ij ) ( ij ) + (b ij )

4 Ejemplo : Si C + B y B 6 Produco de un mriz por un esclr: L operción iene ls misms crcerísics que el produco de un vecor por un esclr: odos los elemenos de l mriz quedn muliplicdos por el esclr y se conserv l dimensión de l mriz. Demosrción: Se l mriz y el esclr λ ; l operción + verific que cd elemeno de l mriz originl qued muliplicdo por el esclr Hbiéndose definido pr el conjuno de ls Mrices ls operciones de sum y de produco por un esclr, con ls propieddes correspondienes que hemos delldo, decimos que ese conjuno iene esrucur de Espcio Vecoril. Ejemplo : (Válido pr ls operciones descris de sum y produco por un esclr ) Hllr los vlores de, y, z y w que sisfcen: z y w 5 + w z + w + y z y + w + z + w w + y iguldd de mrices que d origen por igulción de sus elemenos correspondienes l siguiene sisem de ecuciones lineles: + y 5++y y +5 y +5 7 z +z+w z w z w w+ w w

5 5 l solución es enonces el conjuno { ; y 7 ; z ; w } Produco enre Mrices: Es un operción cuyo resuldo, si eise, depende del orden en que se coloquen los fcores y sólo es posible cundo el número de columns de l primer mriz es igul l número de fils de l segund. Comencemos por rr de muliplicr un mriz fil b b n (... n ) por un mriz column B m... ; con mn llmmos enonces... bm produco m B m C l mriz cuyo único elemeno es c b + b n b m se r del produco esclr enre l mriz o vecor fil m y l mriz o vecor column B m. Observmos que pr que el produco resule posible el número de elemenos de los vecores fil de l primer mriz del produco debe ser igul l número de elemenos de los vecores column de l segund mriz. Lo dicho signific que l dimensión de los vecores fil de l primer mriz del produco debe ser igul l dimensión de los vecores column de l segund mriz. Es úlim rzón es l que h posibilido decir que pr que el produco enre dos mrices resule posible el número de columns de l primer mriz debe ser igul l número de fils de l segund. Ejemplo : Sen ( ) y B ; obener B C ( ) ( + + ( )( ) ) (6 + + ) () C Sen hor ls mrices mn ( ij ) ; i {,,...,,m} ; j {,,...,n} B np (b ij ) ; i {,,...,,n} ; j {,,...,p}

6 6 llmmos produco mn B np en ese orden l mriz C mp que iene igul número de fils que l mriz e igul número de columns que l mriz B. (Verificmos nuevmene que el número de columns de l primer mriz () debe coincidir con el número de fils de l segund mriz (B). Vemos lgunos ejemplos: B C B C ; de l definición de esos dos producos observmos que el produco enre dos mrices no es en generl conmuivo. B C B no es posible (por ser el nº de columns de B l nº de fils de ) Disposición concepul pr el produco: Si quieremos muliplicr B, debemos obener C ; sen enonces: b b c c ;B b b ; C c c b b b b b c c b b b c c en l inersección de l fil de l mriz con l column de l mriz B se encuenr el elemeno c cuy epresión se obiene hciendo el produco esclr : c b + b + b ; con nálogo rzonmieno : c b + b + b c b + b + b c b + b + b

7 7 DETERMNNTES: DEFNCÓN: Un deerminne es un función cuyo dominio es el conjuno de ls mrices cudrds y cuy imgen es el conjuno de los números reles. Pr cd mriz priculr el número que represen su deerminne socido se obiene sumndo odos los producos posibles en los cules hy un elemeno de cd fil y uno de cd column, dependiendo el signo de cd produco de l clse de l clse de l permución (ver cpíulo sobre nálisis combinorio) de sus subíndices. Como cd elemeno de un deerminne iene dos subíndices, si enemos l precución de colocr en cd produco uno de los subíndices, por ejemplo el primero, en orden nurl, l clse de l permución de los segundos subíndices será responsble del signo del produco. Ejemplificmos pr un produco culquier de un deerminne de orden curo: omemos pr nlizr el produco ; en él los primeros subíndices esán colocdos en orden nurl; en consecuenci los segundos subíndices deerminrán el signo del produco. Pr enconrr l clse de l permución esudimos el orden, comprndo cd elemeno con los siguienes: sí el presen un inversión con el, or con el y un ercer con el ; el un inversión con el y or con el ; el dos un inversión con el ; en ol hy seis inversiones, l clse de l permución es pr y el signo es posiivo. Pr el produco cuyos subíndices son, uilizndo el mismo procedimieno puede demosrrse que hy cinco inversiones; l clse de l permución es impr y el signo correspondiene del produco es negivo. Un mecnismo disino consise en colocr l permución esudir sobre el orden nurl correspondiene; se unen medine rzos los números igules y se cuenn ls inersecciones. El número de ells indic l clse de l permución; pr el ejemplo que sigue hy cinco inersecciones; clse de l permución impr, signo negivo. DETERMNNTES DE ORDEN DOS. Ddos curo números,, y, llmmos deerminne de orden dos (dos fils y dos columns) : en el cul fil : fil :

8 8 column : column : Digonl principl: ; Conr digonl: ; nlizndo el deerminne puede observrse que cd elemeno del mismo iene dos subíndices; el primero corresponde l fil y el segundo l column; sí, el elemeno perenece l segund fil (primer subíndice) y l primer column (segundo subíndice); en generl podemos decir que el elemeno genérico de un deerminne, iene l form i j, donde i indic l fil l cul perenece y j design l column. En ess condiciones decimos que un deerminne de orden dos es un número que se obiene efecundo el produco de los elemenos de l digonl principl y resándole el produco de los elemenos de l conrdigonl, o se:.. Los signos de los producos pueden verificrse esudindo l clse de l permución de los segundos subíndices: pr el produco como los segundos subíndices esán en orden nurl, el signo correspondiene es posiivo, miens que pr el produco los segundos subíndices presenn un inversión: clse de l permución impr y en consecuenci, signo negivo. Ejemplo:. ( ) ( ). + DETERMNNTES DE ORDEN TRES: Se en el que: fil : column : digonl principl: conr digonl:

9 9 Los producos correspondienes l deerminne de orden son: los elemenos de l digonl principl, los conformdos por los vérices de los riángulos con bse prlel l digonl principl (ver esquems siguienes):.. ;.. ;.. los elemenos de l conr digonl y los vérices de los riángulos con bse prlel l conr digonl:.. resulndo del esudio de los signos correspondienes l clse de l permución de los segundos subíndices: ;.. ;.. ( ) (.. ) (.. ) + (.. ) o bien: + que resul ser el desrrollo de un deerminne de orden res por los elemenos de l fil. Ese desrrollo se obiene dndo signo posiivo o negivo los érminos del segundo miembro según que l sum de los subíndices del fcor del correspondiene deerminne de orden se respecivmene pr o impr y muliplicndo cd uno de esos fcores por el

10 subdeerminne que se obiene l eliminr en el deerminne de orden res l fil y l column que corresponden l elemeno considerdo. Esos subdeerminnes reciben el nombre de Menor Complemenrio del fcor correspondiene. Ejemplos de menor complemenrio: Menor complemenrio del elemeno α Menor complemenrio del elemeno α DJUNTO O COFCTOR del elemeno de un deerminne: Es el menor complemenrio, precedido de signo más o de signo menos, según que l sum de los subíndices del elemeno considerdo resule pr o impr. Ejemplos de djuno o cofcor: djuno o cofcor del elemeno α djuno o cofcor del elemeno α Generlizndo: ij ( i+ j ) α Si l sum i+j es pr el resuldo de (i+j) es posiivo (menor ij complemenrio y djuno coinciden), mienrs que si i+j es impr, el menor complemenrio y el djuno son de disino signo. De cuerdo con ls definiciones de menor complemenrio y de djuno o cofcor, el desrrollo de un deerminne por los elemenos de un line: + puede epresrse: α α + α (desrrollo por menores complemenrios) o bien: + + (desrrollo por djunos) que puede epresrse: el desrrollo de un deerminne por los elemenos de un líne es igul l sum de los producos de los elemenos de dich líne por sus respecivos djunos.

11 Ejemplo de resolución de un deerminne de orden res: Oro méodo pr resolver un deerminne de por (el méodo solo vle pr deerminnes de ese orden) consise en uilizr l denomind Regl de SRRUS. Pr ello repeimos debjo del deerminne sus dos primers fils y el resuldo lo obenemos como l sum de los producos de los elemenos de l digonl principl y los producos de los elemenos de ls digonles prlels l digonl principl, menos l sum de los producos de los elemenos de l conr digonl y los producos de los elemenos de ls digonles prlels dich conr digonl, es decir: Ejemplo: ( ) + ( + ) + ( + 6) + ( ) ( ) ( ). ( ).. ( ).. ( ). ( ) cividd: Clculr el vlor de los siguienes deerminnes: 6 b ) ; b) ; c) pr { ; b, c 8 ; d 5 5 / / c d } d) Pr los siguienes deerminnes, resolver en odos los csos desrrollndo por los elemenos de un líne y verificndo el resuldo por l Regl de Srrus. 5 ; b c 5 pr { ; b, c }

12 y z pr { ; y, z } Hllr el vlor de en : PROPEDDES DE LOS DETERMNNTES. ) Si se inercmbin fils por columns, ordendmene, el vlor del deerminne no se modific. Ejemplo: ) Si se inercmbi l posición de dos línes (fils o columns) prlels, cmbi el signo del resuldo del deerminne ; ) Si un deerminne iene dos línes prlels igules, su vlor es nulo. 8 8 ) Si se muliplicn odos los elemenos de un líne por un consne, el deerminne qued muliplicdo por es consne. ; 5) Si un deerminne iene dos línes prlels proporcionles, su vlor es nulo ) L sum de los producos de los elemenos de un líne por los djunos de un líne prlel d resuldo nulo. Si: ; + + (l sum de los producos de los elemenos de l fil por los djunos de l fil vele cero; en efeco; como puede comprobrse el desrrollo de es epresión se corresponde con:

13 que resul ser un deerminne con dos línes prlels igules y, por l rzón, nulo. 7) Un deerminne culquier puede desdoblrse en l sum de dos deerminnes que ienen ods sus línes menos un igules y ls resnes les que sumdos sus elemenos correspondienes se obiene l or fil del deerminne desdobldo. b b b + b + b + b + 8) Si los elemenos de un líne de un deerminne se le sumn los elemenos correspondienes de un líne prlel muliplicdos por un consne, el vlor del deerminne no se modific. + λ + λ + λ λ λ λ + y que el segundo érmino del primer miembro de l iguldd nerior es nulo por ener el deerminne dos línes prlels proporcionles. Cálculo de un deermine medine l reducción de su orden: Ls rnsformciones que hemos delldo dquieren priculr impornci cundo se r de resolver deerminnes de orden superior res. Si eso sucede se relizn rnsformciones en ls fils o columns del deerminne eniendo en cuen que, cundo los elemenos de un líne se le sumn los elemenos correspondienes de un líne prlel muliplicdos por un consne, el vlor del deerminne no se modific y que, si muliplicmos odos los elemenos de un líne por un mism consne, el deerminne qued muliplicdo por es consne. Vmos ejemplificr medine l reducción del orden de un deerminne de orden curo, sin que el méodo uilizr pierd rigor pr órdenes myores.

14 Se 5 ; escribiremos l izquierd de cd deerminne ls rnsformciones relizr (por ej. F F indic que los elemenos de l fil se le resrán los elemenos correspondienes de l Fil muliplicdos por. 5 F F F F F F F F F F F F MTRZ DE LOS DJUNTOS. Recibe ese nombre quell mriz que se obiene prir de un mriz cudrd dd, reemplzndo cd elemeno por su djuno. Ejemplo: Si ; dj MTRZ NVERS: L invers de un mriz respeco del produco iene un grn impornci en el álgebr mricil. L resolución de sisems de ecuciones lineles, incluso los sisems incompibles que requieren solución proimd, esá esrechmene ligd l inversión de mrices, como veremos ms delne. Definiciones: ) pr ls mrices recngulres: Dd un mriz ( mn) con m>n, si eise un mriz L ( nm) (L del inglés lef izquierd) l que: L ( nm) ٠ ( mn) ( nn) se dice que L ( nm) es un invers por l izquierd de ( mn). mriz Con similr rzonmieno, si ( mn) es un mriz con m<n y eise un R (R: del inglés righ derech) l que: nm ( mn) ۰ R nm ( mm)

15 5 se dice que nm R es un invers por l derech de. NOT : Suele designrse l invers de ls mrices recngulres, con el nombre de Mriz Pseudoinvers y, en generl se simboliz con +. b) pr ls mrices cudrds: En el cso priculr de ls mrices cudrds, es decir, con igul número de fils y de columns resul posible en lgunos csos, que eis un mism mriz invers por l izquierd y por l derech: l simbolizmos verificándose: Si l doble iguldd nerior se cumple, l mriz será regulr (su deerminne socido será disino de cero) en cso conrrio será un mriz singulr y no eisirá l mriz invers. NOT : Como l écnic pr obener l mriz pseudoinvers se bs en el conocimieno de l invers de ls mrices cudrds, comenzremos ejemplificndo el: Cálculo de l invers de un mriz cudrd y regulr. Ejemplo: Si con su deerminne socido llmmos mriz invers si se verific:. Reemplzndo vlores: y desrrollndo el produco enre ls mrices del primer miembro e igulndo componenes, se obiene: ( ) ( ) ( ) ( ) con ls curo ecuciones escris podemos formr dos sisems de dos ecuciones lineles; () con () y () con () según se dell: ( ) ( ) + + y ( ) ( ) + +

16 6 sisems que resuelos, permien enconrr los elemenos de l mriz invers. Un vez obenidos los mismos, res verificr que l mriz enconrd es l invers de l dd, pr lo cul bs con plicr l definición, relizndo el produco enre l mriz dd y l hlld, que deberá rrojr como resuldo l mriz idenidd. cividd: Compler de cuerdo con lo indicdo, el cálculo de l mriz invers. NOT : l obención de l mriz invers por plicción del produco de mrices puede relizrse con reliv fcilidd hs mrices de orden res, pr ls cules es necesrio escribir nueve ecuciones que conformn res sisems de res ecuciones lineles con res incógnis. Pr órdenes myores, uilizremos oro méodo que desrrollremos en es unidd. Propieddes de l inversión de mrices: inversión: En ls mrices regulres se verificn ls siguienes propieddes de l ) es únic por izquierd o por derech. ) ( ) ) ( λ ) λ ) ( ) B B Demosrción: ( B) ( B) ( ) B ( B) B B ( B) B ( B) B Obención de l mriz pseudoinvers. ) Mriz pseudoinvers por l izquierd:(pr mrices de myor número de fils que de columns) Recordmos: L ( nm) ٠ ( mn) ( nn) L mriz L ( nm) puede clculrse consruyendo l mriz (nn) M Si el deerminne de. ( M ), eise M y puede escribirse: M M M o lo que es igul: M L de donde:

17 7 M L b) Mriz pseudoinvers por l derech: Recordndo que: ( ) mn ۰ nm R ( ) mm pr m<n, l mriz nm R se clcul consruyendo M ; si de. ( M ), eise M y puede escribirse: ٠ ٠T ٠R de donde: R M M R Ejemplo : Clculr l mriz pseudoinvers de M como de. ( M ) 8, eise l mriz invers M 8 (verificr plicndo l definición de mriz invers), y enonces: M L 8 8 Comprobción: L Si preendemos hor clculr pr l mism mriz l mriz invers por l derech, hcemos ' M ; como ( ) M De, resul que l mriz invers por l derech no eise cundo m>n.

18 8 Ejemplo : Clculr l mriz pseudoinvers por l derech de: ; clculmos M ; siendo ) ( M De M y M R Comprobción: R queremos verificr hor que no iene mriz pseudoinvers por l izquierd; pr ello hcemos M ; siendo ( ) M De, no eise l mriz pseudoinvers por l izquierd.

19 9 CÁLCULO DE L LMTRZ NVERS UTLZNDO L MTRZ DE LOS DJUNTOS. Sen y dj En l mriz resulne del produco puede observrse: ; muliplicndo dj ) los elemenos de l digonl principl son respecivmene l sum de los elemenos de ls fils, y de l mriz muliplicdos por sus respecivos djunos que, como sbemos corresponde l desrrollo del deerminne socido l mriz. b) los elemenos ubicdos fuer de l digonl principl corresponden l sum de los producos de los elemenos de un líne muliplicdos por los djunos de un líne prlel que, de cuerdo l propiedd 6 de los deerminnes, d resuldo nulo. De ls observciones relizds en ) y b) se deduce: dj dj resulndo de cuerdo con l definición de mriz invers, que l mism puede ser obenid dj medine l epresión:. Pr obener l mriz invers, debe clculrse l mriz de los djunos rspues y dividir sus elemenos por el vlor del deerminne socido l mriz cuy invers se clcul. Debe enerse especil cuiddo en clculr primero el deerminne socido l mriz y que, de ser ése nulo, no eisirá l mriz invers. dj mporne: l epresión puede uilizrse pr clculr, si eise, l mriz invers de un mriz cudrd. No resul válid como definición de mriz invers

20 Ejemplo: Clculr l mriz invers de Cálculo del deerminne socido: 6 ) ( ) ( ) ( + + ; lo que signific que l mriz dmie mriz invers. Cálculo de l mriz de los djunos: j ; dj dj Verificción: 5

21 SSTEMS DE ECUCONES LNELES Ecuciones. Resul frecuene que, l finlizr el ciclo secundrio, no se hyn diferencido suficienemene los concepos de función y de ecución. Medine lgunos ejemplos, en lo que sigue, rremos de concepulizr es diferenci. Como sbemos, un función del ipo: f : R R / f() n. n + n. n es un función polinómic en un vrible. l iguldd f() o lo que es igul n. n + n. n se denomin ecución ener en un vrible o incógni socid f(). Ejemplo : Se l función polinómic: f : R R / f() ; el cero o l ríz de es función es el número rel cuy imgen es nul; o se el número rel que sisfce l iguldd: L iguldd precedene es l ecución socid l función f(). Ejemplo : Se l función polinómic: f : R R / f() + ; l ecución socid f() será en ese cso + Ejemplo : Se l función polinómic: f : R R / f() + l ecución socid f() será hor: + Rices de un ecución ener en un vrible. De cuerdo con lo viso, l ecución del ejemplo : se sisfce pr /; en efeco:. Decimos en ess condiciones, que ½ es ríz o solución de l ecución, siendo ríz o cero de l función polinómic que le dio origen. Con similr rzonmieno, l ecución: + del ejemplo se sisfce pr y y que:

22 + () + () por lo cul y son ríces o solución de l ecución y demás ríces o ceros de l función polinómic que le dio origen. Por úlimo l ecución del ejemplo : + no se sisfce pr número rel lguno; eso signific que sí como l ecución no iene ríces o solución rel l función que le dio origen no posee ríces o ceros reles. Generlizndo los ejemplos podemos firmr que el número rel será ríz o solución de f() si y solo si f() Dicho de or form R es un ríz de l ecución si en l función l imgen de resul ser el número cero. Grdo de un ecución. El grdo de un ecución coincide con el grdo de l función polinómic l que se encuenr socid. Respecivmene, ls ecuciones y de los ejemplos son de grdo, y. Efecundo l represención cresin de ls funciones polinómics de los ejemplos, y, y observmos que ls ríces reles o ceros de ls ecuciones coinciden con quellos punos en que ls curvs (represenciones cresins de ls funciones socids) corn l eje de bsciss. Conjuno solución. f() Un ecución puede ener ningun, un o más ríces. El conjuno cuyos elemenos son ls ríces de l ecución se denomin conjuno solución. Pr el ejemplo S { ½ } Pr el ejemplo S {, } 5 y f() + f() +

23 Pr el ejemplo S { } φ Ecuciones con un sol vrible. ) ecuciones de primer grdo. Resolver un ecución es, por lo no, enconrr su conjuno solución. Un ecución de primer grdo en un incógni, l como l que hemos viso en el ejemplo puede epresrse de un mner generl como: + con Un procedimieno sencillo (despejr l incógni de l ecución) permie obener rápidmene l ríz de un ecución de ese ipo, no si es rcionl como si es irrcionl, es decir, cundo perenece l conjuno de los números reles. En efeco; volviendo l ejemplo ½ es l ríz de l ecución. b) ecuciones de segundo grdo. Son ls socids los polinomios que ienen el speco: son del ipo: y suelen escribirse generlmene: P() + + n con + + n con + b + c Pr clculr ls ríces de es ecución seguiremos el siguiene procedimieno: º Psmos el érmino independiene c l º miembro. + b c º Scmos fcor común en el primer miembro b + c º Dividimos mbos miembros por b c + º Muliplicmos y dividimos el º érmino del primer miembro por b c +

24 5º Summos en mbos miembros b () b + b c b + + () () 6º Observmos que el primer miembro es un rinomio cudrdo perfeco; el que corresponde l desrrollo de: por lo que escribimos: b + b c b + + 7º Obenemos común denomindor en el º miembro b b c + 8º operndo: epresión que debe permiirnos obener (si eisen) ls dos ríces de l ecución de segundo grdo. L eisenci de ríces reles en l ecución de segundo grdo puede nlizrse si se observ l cnidd subrdicl que se denomin DSCRMNNTE, pr el cul pueden presenrse los siguienes csos: ) Si b > c se obienen (dos ríces reles y disins). b) Si b c se obienen (dos ríces reles e igules, o se un ríz doble). c) Si b < c no eisirán ríces reles, y que l ríz cudrd de un número negivo no iene solución en el cmpo rel). Con el objeo de ilusrr los res csos que hemos descrio, resolveremos un ejemplo de cd uno de ellos, efecundo ls represenciones gráfics de ls funciones polinómics que cd un de ls ecuciones esá socid. Ejemplo : b b c ± + b ± b c

25 5 Recordndo el speco de l ecución de º grdo: + b + c resul: ; b ; c y enonces: () ().() + ± ± 9 + ± ± obeniéndose: + L función polinómic que esá socid l ecución resul: f() f() y f() Como puede observrse l represención cresin de l función cor l eje de bsciss en los punos de coordends (,) y (,). En dichos punos ls imágenes de l función son nuls; ls primers componenes de esos pres ordendos son ls ríces de l ecución. El conjuno solución es enonces: S {, } Ejemplo : +

26 6 resulndo: ().. ±. 6 6 ± ± L función l que esá socid l ecución resuel es: f() + f() Observmos en ese cso que l gráfic cor l eje de bsciss solo en el puno (,); l primer componene del pr ordendo ( ) es l ríz doble de l ecución resuel. y f() + Ejemplo : +.. ±. ± y l ecución no iene solución en el cmpo numérico rel. L función f() + y f() 7 7 f() +

27 7 es l que su gráfic no cor l eje de bsciss, lo que implic l ineisenci de ríces reles. Ecuciones con dos vribles. Con el mismo concepo desrrolldo neriormene, decimos que si f(,y) es un función polinómic en dos vribles, f(,y), será un ecución en dos vribles. ) ecuciones de primer grdo en dos vribles. Se por ejemplo l función polinómic: f(,y) y. L iguldd y ; se denomin: ecución de primer grdo en dos vribles y se sisfce, enre oros, pr los siguienes pres ordendos (,y): (,) y que. (,) y que. (,6) y que. 6 (,) y que. ()() Todos quellos pres ordendos que sisfcen l ecución son sus ríces. Como y hemos viso, mbién en ese cso ls ríces de l ecución son ríces o ceros de l función polinómic l que l ecución se encuenr socid. Resul evidene que, pr cd vlor rbirrimene elegido de eisirá un ciero vlor de y que formrá un pr ordendo ríz de l ecución. Cd ríz de l ecución (pr ordendo) es en ese cso un puno pereneciene l gráfic de l función que dio origen l ecución considerd; en ese cso podemos decir que l gráfic y el conjuno solución coinciden. Pr nuesro ejemplo: y y 6

28 8 b) ecuciones de segundo grdo con dos vribles. f(,y) y + que iene socid l ecución: o lo que es igul: Se l función polinómic de segundo grdo en dos vribles: y + y + Es ecución (no confundir con el polinomio f() + ) iene infinis ríces: los pres ordendos (,y) que se obienen dndo vlores rbirrios en l mism. f() y L prábol de l figur nerior es l represención gráfic de l solución de l ecución: y + Sisems de ecuciones lineles. Ls ecuciones y y y de primer grdo en dos vribles pueden ener un o más ríces comunes y pr enconrrls, conformmos lo que se denomin un sisem de dos ecuciones lineles con dos incógnis, que se simboliz: y y El conjuno de pres (,y) que sisfce simulánemene ls dos ecuciones se denomin conjuno solución del sisem. Cundo el conjuno solución es vcío el sisem es incompible. Si eise únic solución (un solo pr ordendo) el sisem

29 9 se dice compible deermindo y si, el conjuno solución esá conformdo por más de un pr ordendo, el sisem se denomin compible indeermindo. Generlizndo, un sisem de dos ecuciones lineles con dos incógnis puede dopr el speco: () () + By + C + By + C Ls ecuciones () y (), pueden epresrse en form conjunis: S {(,y) / + B y + C } S {(,y) / + B y + C } En ess condiciones, resolver el sisem de ecuciones consise en hllr S S, inersección de los conjunos solución de ls ecuciones () y (); lo que geoméricmene es equivlene enconrr (si eisen), el puno o los punos comunes mbs recs. Solucion grfic de un sisem de ecuciones lineles. Ejemplo : Se el sisem de ecuciones lineles con dos incógnis y () y () de () y y de () y y + cuy represención cresin es: f() 6 S { (,y ) / y } S { (,y ) / y } S S {(,)} f() y y y +

30 el conjuno solución del sisem (S S ) iene un único pr ordendo (ls recs se corn en un puno) y por lo no el sisem resul ser compible deermindo. Ejemplo : Se el sisem: y 6 y () () Si represenmos gráficmene ls recs que corresponden ls ecuciones () y () y observmos que los lugres geoméricos coinciden, rzón por l cul el conjuno solución del sisem posee infinios pres ordendos: los que corresponden odos los punos de cd un de ls recs; el sisem se dice, compible indeermindo. Ejemplo : Se el sisem: y ( ) y ( ) Represends gráficmene ls dos ecuciones: y y y

31 resuln recs prlels: no eise inersección, lo cul signific que el conjuno solución del sisem es vcío; por es rzón el sisem se dice incompible. Resolución nlíic de un sisem de ecuciones lineles. Pr l resolución nlíic de un sisem de dos ecuciones lineles pueden uilizrse disinos méodos, lgunos de ellos desrrolldos en el ciclo secundrio,: méodos de susiución, igulción, sums y ress, deerminnes, rzón por l cul solo enuncimos cd uno de ellos, remiiendo l lecor pr su esudio los eos de l escuel medi o bien l cpíulo correspondiene l rec en el emrio de l signur Memáic.. Méodo de Eliminción Gussin. Los méodos enuncidos precedenemene resuln de sencill plicción e inerpreción cundo el sisem que se r de resolver iene un número reducido de vribles. Como regl generl puede uilizrse con venj sobre ellos el llmdo méodo de eliminción Gussin o méodo de eliminción de Guss; cuyo fundmeno y disposición prácic se bs en l demosrción y efecud pr jusificr el méodo de resolución por sums y ress. En efeco; reornndo ls ecuciones: + + b b () () muliplicndo l ecución () por y l ecución () por obenemos: resndo () de () + + b b () () ( ) b b (5) El sisem ( + b ) b b () (5) es equivlene l (), () y que, como puede verificrse, iene el mismo conjuno solución. Hemos rnsformdo medine es operción nuesro sisem originl (), () consiuido por dos ecuciones con dos incógnis en un nuevo sisem que le es equivlene y en el cul l segund ecución (5) posee un sol incógni, por lo que, obenid l mism, puede recurrirse l ecución () pr clculr l resne.

32 Como en relidd, l operori se efecú sobre los coeficienes, puede relizrse un disposición prácic pr el cálculo: ) b () ) b () ) b () ) b b (5) Se escriben los coeficienes de ls ecuciones () y () incluso los érminos independienes que se ubicn l derech de un rec divisori vericl; se rz un rec horizonl y debjo de ell se escriben los coeficienes del sisem modificdo: l fil ) debe leerse: + b () l fil ) ( ) b b (5) Ejemplo : Se el sisem: y y () () Escribimos: () () () (5) Desrrollo de (5): el cero que esá debjo del coeficiene de l ecución () corresponde que en l ecución (5) no eise érmino en l incógni ; debjo del coeficiene de l incógni de () escribimos el rnsformdo del coeficiene de de l () (.. ) [ () () ] y debjo del érmino independiene de () el rnsformdo del érmino independiene de ():. b b. [ (). ]

33 Prácicmene el cálculo es sí: el rnsformdo del coeficiene de () se obiene resolviendo el: + y el rnsformdo del érmino independiene de () se obiene resolviendo el: El sisem equivlene resulne: de donde: () (5) Como vemos eise únic solución y el sisem es compible deermindo (geoméricmene ls gráfics son recs que se corn en el puno) Ejemplo : (, ) (, )

34 Se el sisem: y 6 y 6 El sisem equivlene es:. L ecución. se sisfce pr culquier número rzón por l cul el sisem iene infinis soluciones y se denomin compible indeermindo. Cd un ls posibles soluciones se obiene fijndo un vlor rbirrio pr y obeniendo luego de l or ecución. (Geoméricmene ls gráfics coinciden). Ejemplo : Se el sisem: Siendo el sisem equivlene: 6. 6 L segund ecución de ese sisem no iene solución, y que no eise número que muliplicdo por cero de como resuldo seis; el sisem es incompible (en ese cso ls recs son prlels).

35 5 Como hemos viso en los ejemplos neriores el méodo de eliminción Gussin no solo permie resolver con rpidez un sisem de ecuciones sino demás permie obener el ipo de solución pr cd cso priculr. Resolución de un sisem de res ecuciones lineles con res incógnis. dénico rzonmieno l desrrolldo pr el méodo de eliminción Gussin en dos vribles se uiliz pr resolver un sisem de res ecuciones lineles con res incógnis: Se el sisem : + + b () + + b () + + b () En ese cso el méodo consise en omr culquier de ls ecuciones (por ejemplo l ()) y eliminr l incógni primero con l ecución () y luego, independienemene, con l ecución () rnsformndo el sisem originl en uno equivlene con un ecución en res incógnis y ls ors con dos incógnis. De ese nuevo sisem se omn ls ecuciones que ienen dos incógnis y se lo rnsform siguiendo el procedimieno y descripo en oro sisem equivlene, con un ecución en dos incógnis y l or solo en un. Del resuldo de es úlim operción obendremos un sisem equivlene l originl, con l primer ecución en res incógnis, l segund en dos y l ercer en solo un, lo que nos permie obener el conjuno solución. Ejemplo : Se el sisem

36 6 dopndo l disposición prácic descrip: 5 8 repeimos l º ec repeimos l º 5 y l º ec. del pso 5 nerior. 8 El sisem equivlene se obuvo resolviendo, por ejemplo, pr el elemeno 5 que es el rnsformdo de el deerminne: 5 De: 8 De: 5. y por úlimo de: Ejemplo :

37 El sisem equivlene es: El sisem dmie infinis soluciones, que se obienen dndo vlores rbirrios : por es rzón es compible indeermindo. Ejemplo :

38 El sisem equivlene es: El sisem no iene solución (no l iene. 68) y por lo no se denomin incompible. Resolución de sisems de ecuciones lineles por inversión de mrices. Se el sisem de res ecuciones lineles con res incógnis: + + b () + + b () + + b () podemos escribirlo en form mricil si hcemos el produco: designndo: b b del cul resul l iguldd: b b b b

39 9 b ; X ; B b b simbolizmos: X B Siendo y B mrices conocids, resolver el sisem consise en enconrr los elemenos de l mriz X, lo que se consigue premuliplicndo (muliplicndo desde l izquierd) mbos miembros de l iguldd por l mriz invers de, que simbolizmos como l mriz. En efeco, de: X B eniendo en cuen de cuerdo con l definición de mriz invers que y que es el elemeno neuro en el produco de mrices, resul: X B lo que signific que, pr obener l mriz de ls incógnis (mriz solución) bs con premuliplicr l mriz de los érminos independienes por l mriz invers de l mriz de los coeficienes de ls incógnis. dj Si recordmos que, sólo podremos resolver por inversión de mrices quellos sisems en los cules el deerminne socido l mriz de los coeficienes de ls incógnis se disino de cero, es decir solmene los sisems que sen compibles deermindos. Ejemplo: Hllr l solución del sisem de ecuciones lineles: y + z + y z + y + z en form mricil el sisem se escribe: y z como sbemos, pueden efecurse operciones elemenles sobre el sisem de ecuciones o sobre l mriz mplid (ver méodo de eliminción gussin) o bien, si eise, clculr l invers de

40 5 5 5 y luego, premuliplicr l mriz de los érminos independienes por dj ; o se: 5 5 ;o se; ; y ; z Teorem de Crmer. Como hemos viso l resolver sisems de ecuciones lineles por el méodo mricil, l mriz de ls incógnis se obiene medine l epresión: X B, l dj dj que eniendo en cuen puede escribirse: X B que se puede desrrollr pr un sisem de res ecuciones con res incógnis, sin que l demosrción pierd vlidez generl de l siguiene mner: epresión de l cul se obienen l siguiene iguldd: b b b b + b + b b b b

41 que se lee: l incógni se obiene como el cociene enre dos deerminnes: el del denomindor es el socido l mriz de los coeficienes de ls incógnis miens que el del numerdor es el mismo deerminne en el cul se h reemplzdo l column de los coeficienes de por los érminos independienes Con similr rzonmieno: b b b + b + b b y b b b + b + b b lo epresdo pr l incógni puede generlizrse de l siguiene mner: ls incógnis de un sisem de ecuciones lineles pueden obenerse efecundo el cociene enre dos deerminnes: el del denomindor es en odos los csos el socido l mriz de los coeficienes de ls incógnis mienrs que el del numerdor es el mismo deerminne en el cul se h reemplzdo l column de los coeficienes de l incógni que se quiere clculr por los érminos independienes. Ejemplo: Hllr l solución del sisem de ecuciones lineles: y + z + y z + y + z

42 ; y ; z Sisems homogéneos. Reciben ese nombre los sisems de ecuciones lineles que ienen odos los érminos independienes nulos. Tienen el speco: + + () + + () + + () Hemos uilizdo esos sisems en el esudio de l dependenci e independenci linel l rr los Espcios Vecoriles. Vimos enonces y, lo recordmos hor que esos sisems siempre ienen solución (l llmd rivil con odos los vlores de ls incógnis igules cero) Como ejemplos podemos cir pr el espcio dos l inersección enre dos recs que psn por el origen de coordends y pr el espcio ridimensionl, l inersección de res plnos que psn por el origen de coordends. Se resuelven por culquier méodo de los desrrolldos; muchs veces sólo se necesi sber si el sisem es compible deermindo o compible indeermindo, lo que se logr resolviendo el deerminne socido l mriz de los coeficienes de ls incógnis. Si dicho deerminne es disino de cero, ls res ecuciones son independienes y l solución es únic (l rivil): si por el conrrio el deerminne resul nulo, el sisem resul compible indeermindo (soluciones múliples) Resolución Mricil de los sisems de ecuciones lineles incompibles. (plicción del concepo de Mriz Pseudoinvers). Se el sisem de ecuciones independienes (por lo no incompible) + b q () + b q () + b q () que puede escribirse en noción mricil:

43 q q q b b b () o simbólicmene q Como l mriz iene myor número de fils que de columns sólo resul posible definir su mriz invers (en ese cso, pseudoinvers) por l izquierd. Pr despejr l mriz se premuliplicn mbos miembros de l iguldd nerior por l mriz rspues de : q (5) No: pr el cso que nos ocup ( ) ( ) ( ) M si hubiérmos hecho ( ) ( ) ( ) M resul siempre singulr (no dmie mriz invers) Como l mriz es cudrd, si su deerminne socido es disino de cero, dmie mriz invers ( ) ; premuliplicndo por es mriz mbos miembros de (5): ( ) ( ) ( ) q (6) siendo ( ) ( ) resul: ( ) q epresión en l cul ( ) L (mriz pseudoinvers por l izquierd) Ejemplo: Se el sisem de ecuciones lineles: + + por el speco de l primer y úlim ecuciones con primeros miembros igules y segundos miembros disinos, el sisem es incompible. cividd: nlizr l compibilidd medine el cálculo de los rngos de ls mrices y

44 Escribimos el sisem del ejemplo en noción mricil: premuliplicmos mbos miembros por que operndo nos conduce : Obenido ese sisem de ecuciones, que por ener igul número de ecuciones e incógnis, resul compible deermindo, el cálculo puede coninurse de ls siguienes mners; ) resolver por inversión de mrices. Reomemos l ecución mricil que obuvimos después de premuliplicr mbos miembros de l ecución mricil del sisem por l mriz y operr. Premuliplicndo hor mbos miembros por l invers de l mriz de los coeficienes obenemos: resulndo 8 9 y 8

45 5 b) resolver por eliminción Gussin o por l Regl de Crmer. (relizr l cividd) Form prácic del cálculo. Consise en premuliplicr l mriz mplid del sisem originl incompible por su mriz rspues. Si l mriz resulne del produco le eliminmos l úlim fil, resul l mriz mplid del sisem de ecuciones normles, que puede resolverse por los méodos epuesos precedenemene. Consideremos l mriz mplid que corresponde un sisem de ecuciones lineles incompible de curo ecuciones con res incógnis: b b b b c c c c q q q q vmos premuliplicr (muliplicr desde l izquierd) por su mriz rspues: b c q b c q b c q b c q b b b b c c c c q q q q [ ] [ b] [ c] [ q] [ b] [ bb] [ bc] [ bq] [ c] [ cb] [ cc] [ cq] [ q] [ qb] [ qc] [ qq] eliminndo l úlim fil de l mriz produco obenemos: [ ] [ b] [ c] [ q] [ b] [ bb] [ bc] [ bq] [ c] [ cb] [ cc] [ cq] Pr el ejemplo que venimos desrrollndo, l mriz mplid es: ; premuliplicndo por su mriz rspues:

46 6 eliminndo l úlim fil de l mriz produco obenid llegmos : es mriz, es l mriz mplid del sisem de ecuciones compible; solo res enconrr l solución por culquier de los méodos desrrolldos.