MATE1207 Primer parcial - Tema B MATE-1207

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1 MATE7 Primer parcial - Tema B MATE-7. Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. Considere la función, Tx,y,z) = e x +y +z ) y el punto P,,) en el dominio de T. a) points) Halle las coordenadas del vector unitario u desde P en la dirección hacia el origen,,). u = b) 4 points) Calcule la derivada direccional, D u TP) es el vector anterior. D u TP) = c) 4 points) Encuentre una dirección v en la cual T decrece lo más rápido posible en P. a) b) v = PO u = PO =,, ) =,, ) u =,, ) ) TP) = 4xe x +y +z ), ye x +y +z ), ze x +y +z ) = e 7 4,4,) D u TP) = TP) u = e 7 4,4,),, ) ) 4 = e ) 4 D u TP) = e 7 6,,)

2 Código: Tema B Pág. de 8 c) w = TP) ) 4 TP) = 4,, = 6 6 6,, ) La respuesta también es correcta si el vector w no es unitario.. En a) tiene error en el signo...-. En b) calculó bien el gradiente en P fx,y,z).... En b) conoce la fórmula para calcular derivada direccional y la usa correctamente 4. En b) no evaluó el gradiente o alguna derivada parcial en P En c) respuesta correcta En c) es válida la respuesta a pesar que el vector no sea unitario pero tiene el sentido y dirección del indicado en la respuesta Por cada error aritmético, no algebraico ni de cálculo derivadas o integrales) - 8. Por cada error algebraico o de cálculo derivadas e integrales)...-. Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. Considerelasuperficiehiperboloidededosmantos)x +y z = 5yelpuntoP,, ) sobre la superficie. a) 5 points) Encuentre la ecuación paramétrica rt) = xt), yt), zt)) de la recta normal l al plano tangente a la superficie en P. Problema continúa en la página siguiente...

3 Prob. cont... Código: Tema B Pág. de 8 rt) = x b) 5 points) Halle las coordenadas del punto Q sobre el plano z = por donde la recta normal cruza este plano. z P Q Q =,, ) a) Si fx,y,z) = x +y z entonces la superficie dada es una superficie de nivel de f. LadirecciónnormalalasuperficieestádadaporelvectorgradienteenP,, ), f = x,y, z), fp) =,4, ). l y

4 Código: Tema B Pág. 4 de 8 Por lo tanto, rt) =,, ) +t,4, ) rt) = +t,+4t, t ) rt) = +t,+4t, t ). b) El valor de t en la intersección lo encontramos así: z = t = t =. Por lo tanto el punto Q en coordenadas es Q,4,). Q,4,). En a) cálculo del gradiente de F.... En a) evaluación del gradiente de F en P.... En a) conoce la ecuación paramétrica de una recta en el espacio En a) halla correctamente la ecuación paramétrica de la recta normal En b) tiene una estrategia correcta para hallar las coordenadas del punto Q.. 6. En b) halla las coordenadas de Q correctamente El gradiente no lo evalúa en el punto Por cada error aritmético, no algebraico ni de cálculo derivadas o integrales) - 9. Por cada error algebraico o de cálculo derivadas e integrales)...-. Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación. Considere la curva con ecuación paramétrica, rt) = 6t, 6t, ) t. a) 5 points) Calcule la longitud de arco de la curva entre t = y t =. Longitud = Problema continúa en la página siguiente...

5 Prob. cont... Código: Tema B Pág. 5 de 8 b) 5 points) Calcule la curvatura en t =. ver fórmula al pié de la página ) a) b) κ) = r t) = 6, 6t,t ) r t) = 6+4t +4t 4 = 6+t ) = 6+t ) = +t ) Lγ) = r t) dt = +t )dt = + ) Lγ) = = r t) = 6, 6t,t ) r ) = 6,,) r =, 6,4t) r ) = 6,,) r ) r ) = 6 k = 6,,) r ) = 6 κ = 6 = 6 = = 6 κ = 6. En a) cálculo de r t)... Fórmula para la curvatura: κt) = r t) r t) r t)

6 Código: Tema B Pág. 6 de 8. En a) planteamiento de la integral Lγ) = r t) dt = 4+4t +t 4 dt mostrando que conoce la fórmula y la sabe aplicar..... En a) cálculo de la integral identificando trinomio cuadrado perfecto y simplificando correctamente la raíz cuadrada y el cuadrado En b) cálculo de r t) y r t) correcto En b) cálculo de r t) r t) correcto En b) cálculo de κ correcto No lo evalúa las derivadas o la curvatura en cero Por cada error aritmético, no algebraico ni de cálculo derivadas o integrales) - 9. Por cada error algebraico o de cálculo derivadas e integrales) points) No hay créditos parciales. En la tabla se muestran las ecuaciones de las funciones columna fx,y)), las curvas de nivel columna Curvas de Nivel) para cuatro o cinco valores diferentes de c con incrementos iguales c = a,a+α,a+α,a+α,...), y los gráficos columna Gráfico). Llene la siguiente tabla, La columna Gráfico con: I), II), III), IV), o V). La columna Curvas de Nivel con: A), B), C), D), o E). tal que por renglones corresponda la respuesta correcta. Función Gráfico a) b) c) d) e) Curvas de Nivel Función Gráfico Curvas de Nivel a) V) C) b) I) A) c) IV) B) d) III) E) e) II) D) Problema 4 continúa en la página siguiente...

7 Prob. 4 cont... Código: Tema B Pág. 7 de 8 fx, y) Gráfico Curvas de Nivel a) f = x y I) A) b) f = sinx+y ) II) B) c) f = sinx +y ) III) C) d) f = 4 x y IV) D) e) f = x 4y V) E) Tabla : Punto

8 Código: Tema B Pág. 8 de 8. Son diez casillas a llenar cada casilla llena correctamente vale.... Otros créditos parciales no hay. 5. No hay créditos parciales. Las cinco partes no están relacionadas. Llene la casilla en blanco con F Falso) o V Verdadero), según sea el caso. a) points) La elipse x +y = tiene curvatura constante en todos sus puntos. b) points) Existe una función polinomial fx, y) tal que la derivada direccional D u f,) = para toda dirección unitaria u.... c) points) Considere la función gt) definida por gt) = f,4 + t), donde fx,y) es una función diferenciable. Si g ) = 5, entonces f,4) = y d) points) La curvatura de una circunferencia de radio es igual a e) points) La curva rt) = cost,sint,sint), es la intersección del cilindro x +z = y el plano y z =.... a) F b) F c) V d) F e) V. Son cinco casillas a llenar cada casilla llena correctamente vale.... Otros créditos parciales no hay.