Algunos modelos clásicos de distribuciones asociadas a variables aleatorias discretas y absolutamente continuas

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1 Algunos modelos clásicos de distribuciones asociadas a variables aleatorias discretas y absolutamente continuas Dpto. de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Sevilla. Variables Aleatorias Discretas En primer lugar estudiaremos algunas distribuciones asociadas a variables aleatorias discretas, consideradas como clásicas por el hecho de aparecer frecuentemente en diferentes ámbitos del desarrollo del Cálculo de Probabilidades y la Estadística Matemática. Hemos de tener en cuenta que, como objeto matemático, una variable aleatoria discreta sobre un espacio de probabilidad, (Ω, F, P ), tal como se ha definido, queda caracterizada por el conjunto de los valores que asume, {x k } k K, y la distribución de probabilidad asociada, p k = P [X = x k ], k K; P [X = x k ] se denomina función de probabilidad asociada a X (o de X). Denotamos la función de distribución, F X (t) = {k x k t} y si denotamos (x) = I [0,+ ) (x), x IR, siendo en general I B (x) la función indicadora del conjunto B, es decir, I B (x) = si x B y 0 en caso contrario, podremos expresar F X (x) como, p k F X (x) = k K p k (x x k ) Para algunas distribuciones indicamos la función generatriz de momentos, definida para el caso discreto como, M X (t) = E[e tx ] = k K e tx k p k Recuérdese que esta función debe su nombre al hecho de que los momentos de la distribución, en caso de existir, se pueden expresar como, E[X n ] = dn dt n M X(t) t=0

2 .. Variable aleatoria degenerada. Distribución degenerada Diemos que X, es degenerada cuando b IR con P [X = b] =, o lo que es equivalente, es constante con probabilidad. F X (t) = (t b). Salto en b. E[X] = b V [X] = 0 M X (t) = E[e tx ] = e tb 2. Distribución concentrada en dos puntos Diremos que la variable aleatoria X tiene una distribución concentrada en dos puntos cuando x, x 2 IR, x i x 2, siendo P [X = x ] = p, P [X = x 2 ] = p, p (0, ). Se tiene, F X (t) = p (t x ) + ( p) (t x 2 ). Saltos en x y x 2. E[X r ] = px r + ( p)xr 2, r IN E[X] = px + ( p)x 2, V [X] = p( p)(x x 2 ) 2 M X (t) = E[e tx ] = pe tx + ( p)e tx 2 En particular, si x = y x 2 = 0, la distribución que se obtiene se denomina de Bernoulli, y simbólicamente se escribe X Be(p) para indicar que X posee una distribución de tal tipo. Por ejemplo, dado un espacio de probabilidad, (Ω, F, P ), y A F, con P (A) = p (0, ) se tiene que I A Be(p). En un contexto genérico de experimento aleatorio, A suele denominarse éxito y A c fracaso. 3. Distribución uniforme discreta en n puntos Dado n IN, diremos que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución uniforme en n puntos cuando recorre los valores {x,..., x n } siendo P [X = x k ] = /n, k =,..., n. 4. Distribución binomial Dados n IN y p (0, ), diremos que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución binomial de parámetros n y p, lo que se denota X Bi(n, p), si recorre los valores 0,,...,n con probabilidades P [X = k] = ( n k) p k ( p) n k, k = 0,..., n. Se tiene, E[X] = np, V [X] = npq M X (t) = (q + pe t ) n 2

3 Resultado Se verifican las siguientes propiedades,. Si X,..., X n son variables aleatorias de Bernoulli, Be(p), independientes, entonces, n X i Bi(n, p) i= 2. Si X,..., X n son variables aleatorias independientes, con distribución binomial, siendo X i Bi(n i, p), i =,..., n, entonces n i= X i Bi( n i= n i, p). (Reproductividad con respecto a n). Observemos que esta distribución aparece de manera natural cuando se considera la repetición de una experimento, con dos posibles resultados, éxito y fracaso, en iguales condiciones (de forma que podamos suponer independencia entre las diferentes repeticiones, y queremos considerar la variable aleatoria número de éxitos obtenidos. 5. Distribución geométrica Dado un espacio de probabilidad asociado a un experimento, (Ω, F, P ), sea A F, con P (A) = p, p (0, ), se tiene que I A Be(p). Llamemos éxito a A y fracaso a A c. Así, al realizar el experimento, podemos obtener éxito o fracaso. Si repetimos el experimento, en las mismas condiciones, hasta conseguir el primer éxito, podemos definir la variable aleatoria X = número de intentos realizados hasta obtener el primer éxito. Esta variable aleatoria toma, obviamente, valores enteros no negativos, y recordando el modelo binomial, tendremos, denotando q = p, P [X = ] = p P [X = 2] = qp P [X = 3] = q 2 p P [X = k] = q k p k que obviamente forma una distribución de probabilidad. Se tiene pues S(X) = IN. La distribución obtenida se denomina geométrica de parámetro p. para indicar que X tiene tal distribución se escribe X Ge(p). Para dicha variable aleatoria, se tiene, E[X] = /p, V [X] = q/p 2 M X (t) = pe t /( qe t ) t < ln(q) Existe una definición alternativa de la variable aleatoria con distribución geométrica como X = número de intentos realizados previos al primer éxito, siendo entonces, y con esta definición se tienen, P [X = k] = q k p k 0 3

4 E[X] = q/p, V [X] = q/p 2 M X (t) = p/( qe t ) t < ln(q) 6. Distribución hipergeométrica Consideremos un conjunto, U, con N elementos, de los cuales, N son de tipo I y N 2 = N N de tipo II. De la población se extrae una muestra de n N elementos, sin reemplazamiento y sin considerar el orden como característica diferenciadora, de forma que todas las posibles combinaciones sean equiprobables, y se considera la variable aleatoria X = número de elementos de tipo I en la muestra obtenida. Observemos que si k es un valor factible, entonces, ( N )( N2 ) P [X = k] = k n k ( N n) debiendo verificarse k n, k N, n k N 2, k 0, es decir, máx{0, n + N N} k mín{n, N } La distribución así obtenida se denomina hipergeométrica, y para indicar que X tiene tal distribución, se escribe X H(N, N, n). Se verifica, E[X] = nn /N V [X] = (N n)(n N )nn /(N 2 (N )) 7. Distribución de Poisson Diremos que una variable aleatoria discreta, X, sigue una distribución de Poisson si recorre los valores IN = {0} IN y λ λk P [X = k] = e k! denotándose X P(λ). Se tiene, E[X] = λ, V [X] = λ λ > 0, k IN M X (t) = e λ(et ) t IR Resultado 2 se verifican las siguientes propiedades,. Si X P(λ ) e Y P(λ 2 ) son independientes, entonces X + Y P(λ + λ 2 ). Esta propiedad se generaliza inmediatamente a un número finito de variables aleatorias independientes, que siguen una distribución de Poisson. (Reproductividad respecto a λ). 2. Si X P(λ ) e Y P(λ 2 ) son independientes entonces, dado un entero n 0, se tiene, ( ) ( ) n λ k ( ) λ2 n k P [X = k/x + Y = n] = k = 0,,..., n k λ + λ 2 λ + λ 2 es decir, la distribución de X condicionada a X + Y = n es binomial, Bi(n, λ /(λ + λ 2 )). 4

5 8. Distribución multinomial Es una generalización de la distribución binomial. En efecto, sea k 2 entero y consideremos el espacio de probabilidad, (Ω, P(Ω), P ), asociado a un experimento que tiene k resultados posibles, ω j j =,..., k, siendo A j = {ω j }, j =,..., k sucesos con P (A j ) = p j, j =,..., k, (observemos que j p j = ), y repitamos dicho experimento n veces, en las mismas condiciones (realizaciones independientes). Podemos considerar las k variables aleatorias X,..., X k siendo X j = número de veces que ocurre el resultado j-ésimo, j =,..., k. Se tiene entonces que, n P [X = x ; X 2 = x 2 ;... ; X k = x k ] = x! x k! px px k k 0 x j n, j =,..., k, x j = n j La distribución de la variable aleatoria k-dimensional (X,..., X k ) se denomina multinomial, y se escribe (X,..., X k ) M(n; p,..., p k ). Para facilitar los cálculos con esta distribución se utiliza la función generatriz de momentos (multidimensional), ( ) n M(t,..., t k ) = E[e t X + +t k X k ] = p e t + + p k e t k Por otra parte, dado un j con j k, es obvio que se verifica, ( ) n P [X j = x j ] = p x j j ( p j) n x j x j = 0,,..., n x j es decir, para cada j, X j Bi(n, p j ), siendo pues E[X j ] = np j y V [X j ] = np j ( p j ). Observemos finalmente que las variables aleatorias X j no son independientes pues X + X X k = n. 9. Variables Aleatorias Absolutamente Continuas Seguidamente expondremos un pequeño muestrario de distribuciones de probabilidad asociadas a variables aleatorias absolutamente continuas. Estas distribuciones son introducidas a partir de las correspondientes funciones de densidad, y para cada una de ellas estudiamos sus aspectos más relevantes. En todo el tema, supondremos que se tiene un espacio de probabilidad, (Ω, F, P ), sobre el que están definidas las variables aleatorias que se estudian. Para este tipo de distribuciones, la función de distribución se puede expresar como una integral de la función de densidad, es decir, F X (t) = P [X t] = f(x)dx Para algunas de estas distribuciones se indica también la función generatriz de momentos, definida a partir de la función de densidad como, M X (t) = E[e tx ] = + IR e tx f(x)dx Recuérdese que empleamos I B (x) para denotar la función indicadora del conjunto B, es decir, I B (x) = si x B y 0 en caso contrario. Por ejemplo, { 0 x < 0 I [0,+ ) (x) = x 0 5

6 0. Distribución uniforme Definición Diremos que la la variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo [a, b] con a, b IR, a < b, o que es uniforme en dicho intervalo, o que sigue una distribución uniforme, lo cual se denota X U[a, b], si es absolutamente continua, con función de densidad, f(x) = b a I [a,b](x) x IR Es inmediato comprobar que f cumple los requisitos exigidos para ser función de densidad. Además, con una sencilla integración, se obtiene la función de distribución, 0 t a F (t) = t a b a a < t b t > b Se tiene además, Momentos ordinarios de orden k. E[X k ] = bk+ a k+ (b a)(k + ) k 0 Esperanza, momento ordinario de segundo orden y varianza. E[X] = a + b 2 E[X 2 ] = b2 + ab + a 2 3 V [X] = (b a)2 2 Función generatriz de momentos. M X (t) = etb e ta (b a)t Un caso particular, que aparece con frecuencia es el que se tiene cuando [a, b] = [0, ], siendo entonces f = I [0,].. Distribución Gamma Definición 2 Diremos que la variable aleatoria X se distribuye según una distribución Gamma de parámetros p y a, lo que denotaremos X Ga(p, a), si es absolutamente continua, con función de densidad, f(x) = ap Γ(p) e ax x p I (0,+ ) (x) x IR, a > 0, p > 0 6

7 En la anterior definición, Γ(p) denota la función Gamma, Γ(p) = + 0 x p e x dx p > 0 Esta importante función especial, de frecuente aparición en todos los campos de la matemática pura y aplicada, verifica las siguientes propiedades, Γ() = Γ(p) = (p )Γ(p ) p > Γ(n) = (n )! n IN Γ( 2 ) = π. IMPORTANTE. Fácilmente se comprueba que f cumple las propiedades inherentes a la función de densidad. Se tiene además, Momentos ordinarios de orden k. E[X k ] = Γ(k + p) a k Γ(p) k 0 Esperanza, momento ordinario de segundo orden y varianza. E[X] = p a Función generatriz de momentos. E[X 2 ] = p(p + ) a 2 V [X] = p a 2 M X (t) = ( t ) p t < a a Resultado 3 (Reproductividad con respecto al parámetro p) Si X,..., X n son variables aleatorias independientes, con X k Ga(p k, a), k =,..., n, entonces n k= X k Ga( k p k, a) Veamos ahora algunos casos particulares de esta distribución. En primer lugar, si X Ga(n/2, /2) siendo n IN, diremos que X sigue una distribución χ 2 (pronunciar chi cuadrado ) con n grados de libertad, lo que se denota X χ 2 n. Cuando n =, X Ga(/2, /2), siendo la función de densidad, f(x) = (/2)(/2) Γ(/2) e x/2 x /2 I (0,+ ) (x) es decir, f(x) = 2π x e x/2, x > 0 que es la función de densidad de una variable normal, N(0, ), al cuadrado. 7

8 Una variable aleatoria normal, N(0, ), al cuadrado, se distribuye según una Ga(/2, /2), que recibe el nombre de CHI CUADRADO con UN grado de libertad, y se denota, χ 2. Entonces, por la reproductividad con respecto a p, la suma de los cuadrados de n variables aleatorias independientes, normales, N(0, ), se distribuye según una Ga(n/2, /2), que recibe el nombre de CHI CUADRADO con n grados de libertad, y se denota, χ 2 n. NOTA: La distribución χ 2 n desempeña un importante papel en la Estadística Matemática. Por otra parte, si X Ga(, λ), diremos que X se distribuye con distribución exponencial de parámetro λ, o que se distribuye exponencialmente con parámetro λ, lo que se denota X Exp(λ). Esta distribución se estudia a continuación con todo lujo de detalles. 2. Distribución exponencial Como hemos visto en la definición anterior, diremos que X tiene una distribución exponencial de parámetro λ > 0, cuando X Ga(, λ). Se tiene pues que es absolutamente continua, con función de densidad, f(x) = λe λx x > 0 siendo la pues función de distribución, F (t) = t λe λx I (0,+ ) (x) dx = ( e λt) I (0,+ ) (t) Particularizando las características de la distribución Gamma, para p = y a = λ, se obtiene inmediatamente, Momentos ordinarios de orden k. E[X k ] = k! λ k k IN Esperanza, momento ordinario de segundo orden y varianza. E[X] = λ E[X 2 ] = 2 λ 2 V [X] = λ 2 Función generatriz de momentos. M X (t) = ( t ) t < λ λ Resultado 4 La distribución exponencial presenta las siguientes propiedades.. Si X,..., X n Exp(λ), n, y son independientes, entonces, por la reproductividad de la distribución gamma respecto a p se verifica, n X k Ga(n, λ) k= 8

9 2. Si X,..., X n Exp(λ), n, y son independientes, entonces, 3. Distribución Beta mín{x k } Exp(nλ) k Definición 3 Diremos que la variable aleatoria X se distribuye según una distribución Beta de parámetros a y b, lo que denotaremos X Be(a, b), si es absolutamente continua, con función de densidad, f(x) = B(a, b) xa ( x) b I (0,) (x) x IR a, b > 0 En la definición anterior, B(a, b) representa la función beta, definida como, B(a, b) = 0 x a ( x) b dx a, b > 0 y que presenta interesantes propiedades, entre ellas, la siguiente relación con la función Gamma, B(a, b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) Fácilmente se comprueba que f cumple las propiedades inherentes a la función de densidad. Se tiene además, Momentos ordinarios de orden k. E[X k ] = B(a + k, b) B(a, b) k 0 Esperanza, momento ordinario de segundo orden y varianza. E[X] = a a + b E[X 2 ] = a(a + ) (a + b)(a + b + ) V [X] = ab (a + b) 2 (a + b + ) Si a = b = entonces X U(0, ). Si X Be(a, b) entonces Y = ( X) Be(b, a). 4. Distribución de Cauchy Definición 4 Diremos que la variable aleatoria X se distribuye según una distribución de Cauchy, lo que denotaremos X C(0, ), si es absolutamente continua, con función de densidad, f(x) = π + x 2 x IR 9

10 Es obvio que f verifica los requisitos para ser función de densidad, siendo la función de distribución correspondiente, F X (t) = t f(x) dx = π arctg(t) + 2 x IR Por ser divergente la integral, + e tx + x 2 dx para todo t 0, esta distribución carece de función generatriz de momentos propiamente dicha. Por ello, no existe esperanza, ni momento de orden 2, ni varianza, etc. 5. Distribución normal univariante La distribución normal, tanto en su versión univariante, como multivariante, es una de las más importantes y desempeña un relevante papel en el desarrollo del Cálculo de Probabilidades y de la Estadística Matemática, como se verá a lo largo de temas posteriores. Como modelo de distribución teórica, se adapta con gran aproximación a numerosos fenómenos reales en el campo de la Biología, la Psicología, la Economía o la Astronomía, es decir, es una distribución muy normal. Históricamente, fue Gauss uno de los primeros matemáticos que la estudió, en relación a problemas de errores en observaciones astronómicas y de cálculo de orbitas de cuerpos celestes pudiendo encontrarse en su famosa obra Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientium, publicada en 809, en Gottingen, algunas interesantes disquisiciones sobre el particular. Por esta razón, se suele conocer con el nombre de distribución de Gauss. Sin embargo no se le debe conceder todo el mérito, pues otros matemáticos de la época también hicieron importantes aportaciones al respecto. Por esta razón, también se le llama a veces (sobre todo por parte de nuestros vecinos del norte) distribución de Laplace-Gauss o de Gauss-Laplace. Para su definición, primero introduciremos un caso particular, y posteriormente daremos la definición general. Definición 5 Diremos que la variable aleatoria Z se distribuye según una distribución normal de parámetros 0 y, lo que denotaremos Z N(0, ), si es absolutamente continua, con función de densidad, f(z) = e 2 z2 z IR 2π Observemos que f 0 y además, haciendo el cambio de variable z 2 = 2t, obtenemos, + + e 2 z2 dz = 2 e z2 dz = t 2 e t dt = Γ( 2 ) = 2π 0 2π 2π π La correspondiente función de distribución, F Z, se denota tradicionalmente por Φ, y se tiene pues, Φ(t) = t 0 2π e 2 x2 dx Si Z N(0, ) y µ, σ IR con σ > 0, sea X = µ+σz. La función de distribución de X será pues, [ F X (t) = P [X t] = P Z t µ ] ( ) t µ = Φ = σ σ t µ σ 2π e 2 x2 dx t IR 0

11 y mediante un sencillo cambio de variable, se obtiene, ( x µ t F X (t) = σ 2π e 2 σ La variable aleatoria X, absolutamente continua, tiene pues como función de densidad, ( ) f(x) = x µ 2 σ 2π e 2 σ x IR y diremos que sigue una distribución normal de parámetros µ y σ 2, denotándose X N(µ, σ 2 ). Algunas de sus características son, Función generatriz de momentos. M X (t) = e tµ+ 2 t2 σ 2 Esperanza, momento ordinario de segundo orden y varianza. E[X] = µ E[X 2 ] = µ 2 + σ 2 V [X] = σ 2 Resultado 5 (Reproductividad respecto a µ y σ 2 ) Si X,..., X n son variables aleatorias independientes, con X k N(µ k, σk 2 ), k =,..., n, entonces, ( n n ) n X k N µ k, k= k= σk 2 k= La propiedad de reproductividad respecto a µ y σ 2 resulta obvia sin más que observar la función generatriz de momentos. También son evidentes los siguientes resultados. Resultado 6 Si X,..., X n son variables aleatorias independientes, con X k N(µ k, σk 2), k =,..., n, y a 0, a,..., a n IR tales que n k= a k 0, entonces, ( ) n n n a 0 + a k X k N a 0 + a k µ k, a 2 kσk 2 k= Resultado 7 Dados µ, σ IR con σ > 0, se verifica, k= ) 2 k= dx Z N(0, ) (µ + σ Z) N(µ, σ 2 ) o, equivalentemente, X N(µ, σ 2 ) X µ σ donde Z y X son variables aleatorias. N(0, ) Definición 6 dada una variable aleatoria X N(µ, σ 2 ), la variable aleatoria, Z = (X µ)/σ N(0, ) se denomina tipificación de X o variable X tipificada.

12 OBSERVACIÓN: La tipificación permite hallar probabilidades para una variable aleatoria cualquiera si se conocen las probabilidades para la N(0, ). Por ejemplo, sea X N(6, 4), entonces, si queremos calcular P [X 0], tendremos, P [X 0] = P [(X 6)/ 4 2] = P [Z 2] = Φ(2) que se busca en una tabla. Hemos denotado Z = (X 6)/2, siendo Z N(0, ) por el resultado anterior. Así, para calcular probabilidades de una normal cualquiera basta tener tabulada la función Φ. 6. Distribución normal bivariante Definición 7 Dada una variable aleatoria bidimensional, (X, Y ), diremos que sigue una distribución normal bivariante (más adelante precisaremos la notación), si es absolutamente continua con función de densidad, f(x, y) = 2πσ x σ e y ρ 2 2( ρ 2 ) [( ) 2 ( ) 2 ] x µx 2ρ x µx y µy σx σx σy + y µy σy (x, y) IR 2 donde µ x, µ y, σ x, σ y y ρ son constantes tales que µ x, µ y IR, σ x, σ y IR +, ρ (, ). Observemos que f 0, siendo fácil ver que es integrable en IR 2 y que su integral, obtenida mediante sencillos cambios de variable, resulta ser, f dx dy = IR 2 es decir, f cumple los requisitos que ha de poseer una función de densidad. Los cálculo mencionados, y otros que se mencionan posteriormente, pueden verse, por ejemplo, en Mood y Graybill (972,976) o en Rohatgi (976). Podemos ahora preguntarnos sobre las distribuciones de las componentes X é Y, y la relación de dependencia entre ambas, si (X, Y ) se distribuye según una normal bivariante. La respuesta a estas cuestiones se expone a continuación. Resultado 8 Si (X, Y ) se distribuye según una distribución normal bivariante, entonces X é Y son variables aleatorias normales (univariantes) N(µ x, σ 2 x) y N(µ y, σ 2 y) respectivamente. Más concretamente, las funciones de densidad de X é Y son, y f X (x) = f Y (y) = R R f(x, y) dy = e ( x µx ) 2 2 σ x x IR σ x 2π f(x, y) dx = ( y µy ) 2 e 2 σ y y IR σ y 2π 2

13 El anterior resultado, de sencillísima demostración pues se reduce a un ejercicio de integración, nos da ya la interpretación de los parámetros µ x, µ y, σx 2 y σy. 2 Para interpretar el parámetro ρ, observemos en primer lugar que la función g : IR 2 IR definida como g(x, y) = xyf(x, y), es integrable en IR 2, existe pues E[XY ], resultando ser, E[XY ] = µ x µ y + ρσ x σ y y por lo tanto, también existe la covarianza entre ambas variables aleatorias, resultando ser, siendo pues la matriz de varianzas-covarianzas, Cov[X, Y ] = E[XY ] E[X]E[Y ] = ρσ x σ y Σ = σ 2 x ρσ x σ y ρσ x σ y que, obviamente, es definida positiva. Así pues, ρ se puede expresar como, σ 2 y ρ = Cov[X, Y ] σ[x] σ[y ] que, como veremos en un tema posterior, recibe el nombre de coeficiente de correlación, y tiene interesantes interpretaciones. Observemos también que, det(σ) = σ 2 xσ 2 y ρ 2 σ 2 xσ 2 y = σ 2 xσ 2 y( ρ 2 ) Finalmente mencionemos que, como ya hemos visto en temas anteriores, dos variables aleatorias independientes son incorreladas, pero en general dos variables aleatorias incorreladas no tienen por que ser independientes. No obstante, si (X, Y ) es normal bivariante y X é Y son incorreladas, se tiene ρ = 0, siendo pues la función de densidad, [( ) 2 ) 2 ] x µx x µy +( 2 σx σy f(x, y) = e 2πσ x σ y = e ( x µx ) 2 2 σ ( y µy ) 2 x e 2 σ y σ x 2π σ y 2π = f X (x) f Y (y) x, y IR y por consiguiente, X é Y son independientes. 7. Distribución normal multivariante Sean Z k N(0, ), k =,..., n variables aleatorias normales N(0, ) independientes, y consideremos la variable aleatoria n-dimensional Z = (Z,..., Z n ) donde v denota traspuesto del vector v 3

14 pues en este apartado empleamos vectores columnas. Por la independencia, la Z es absolutamente continua, con función de densidad, f Z (z,..., z n ) = ( 2π) n e 2 z z z = (z,..., z n ) IR n Sea M IR n un vector (constante) y A IR n n una matriz (constante) invertible. Podemos construir la transformación uno a uno T : IR n IR n definida como T (x) = M + Ax, y entonces considerar la variable aleatoria (T es medible Borel) X = (X,..., X n ) = T (Z). Aplicando el cambio de variable en untegrales múltiples, se obtiene que X es absolutamente continua, con función de densidad, f X (x,..., x n ) = ( 2π) n det(aa ) e donde A indica traspuesta de A. 2 (x M) (AA ) (x M) x = (x,..., x n ) IR n Un cálculo simple prueba que denotando por E[X] al vector cuyas componentes son E[X k ], k =,..., n, entonces E[X] = M. También se obtiene fácilmente que AA = Σ, es decir, la matriz de varianzas-covarianzas de X, que aquí resulta ser, además de simétrica, definida positiva. Definición 8 Diremos que la variable aleatoria bidimensional X se distribuye según una distribución normal multivariante, lo que denotamos X N n (M, Σ), si es absolutamente continua, con función de densidad, f X (x,..., x n ) = ( 2π) n det(σ) e 2 (x M) Σ (x M) x = (x,..., x n ) IR n siendo M IR n un vector, y Σ IR n n una matriz simétrica y definida positiva. Resultado 9 Si X N n (M, Σ), se verifican, (a) Si C IR n n es una matriz que verifica det(c) 0, entonces Y = CX N n (CM, CΣC ). (b) Si m es un entero entre y n, cualquier subvector formado por m componentes de X se distribuye según una distribución normal m variante. 8. Complementos: cálculo de la función generatriz de momentos de la distribución normal, N(0, ) 8.. Integración M X (t) = 2π IR e tx x2 /2 dx = e t2 /2 2π y haciendo el cambio de variable z = x t, obtenemos, M X (t) = e t2 /2 e z2 /2 dz = e t2 /2 2π pues la integral es igual a. IR IR e (x t)2 /2 dx 4

15 8.2. Empleando el programa MATHEMATICA Basta ejecutar la instrucción, Integrate[/(Sqrt[2 Pi]) Eˆ(t x - xˆ2 / 2), {x, -Infinity, +Infinity}] para obtener el resultado, e t2 /2 Referencias y bibliografía [] Mood, A.M. y Graybill, F.A. (972,976). Introducción a la teoría de la Estadística. Aguilar. [2] Renyi, A. (966). Calcul des probabilités. Dunod. [3] Renyi, A. (976). Cálculo de probabilidades. Reverté. [4] Rohatgi, V.K. (976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. Wiley. 5