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1 Solucios d ls ctividds Pági 6. Rsolvmos por sustitució: ) Dspjo d l primr l sustituo l sgud: ( ) 8 0 Co lo cul: ( ) b) Si multiplico l primr por -, obtgo: + 8 Co lo cul tgo dos rcts coicidts, s dcir, l sistm s comptibl idtrmido (ist ifiits solucios, ifiitos putos d l rct). Pági. Rsolvido por igulció: ) Dspjo d l sgud lo igulo l primr: E iguldo: Y volvido l sgud cució: b) Dspjmos cd u, igulmos. D l primr: Y d l sgud: Iguldo: Y filmt:. Rsolvmos por rducció: ) Multiplicmos l primr cució por dos, ls rstmos: + 8 ( ) Y d l primr: b) Multiplico l primr por l sgud por, ls rsto: (6 + 0) Y volvido l primr: + 8 Pági 8. Ls solucios so: ) Multiplico l primr por, rsto l trcr: + + z z z ( + z ) Ahor rsto sgud trcr: + + z 8 + z ( + z ) Y sustituo z l primr cució: + 6 b) Sumo l primr l sgud, l primr l trcr: + + z ( z ) z ( + z 0) Multiplico l primr por, ls rsto: + 9 (8 + ) Pági 9 D l primr cució: + 6 Filmt: + + z z 8. Rsolvido: + z ) + + z + z 0 + z + z 6 z + + -

2 + z + z 6 z,, z + z 8 b) + + 8z z + z 8 + 8z z + z 8 + 8z 0 z,, z 6. Si k, ls dos últims cucios dl sistm so z 0, z 0, por lo tto, l sistm s icomptibl. Si k l sistm s comptibl dtrmido co l siguit solució: z 0 / (k ) 0 / (k ) + / (k ) + 6 ( + k) / (k ) Pági 80. Rsolvido: ) Rsto l primr: + 69 ( ) 69 Y por l sgud cució: 80 ( ) ( ) 0, Rsult u rdicdo gtivo, sí qu l sistm o ti solucios rls. b) Dspjo d l sgud l sustituo l primr: + ( + ) ± 9 6 ( 90),. 9 ± 6 ± Por otro ldo: +, Pági 8 8. Rsolvido por sustitució: ) Multiplico l primr por : Ahor, dspjo d l sgud sustituo: 0 + (0 ) (0 ) + 0 0, divido todo tr : + 0 ± 8, ( ) ± Y filmt: 0, Comprobció: + 8, cirto , cirto. + 0 b) Multiplico l primr por, l sgud por : +, rorgizo ls rsto: Sustituto l l primr cució origil, multiplico por : + 0 ± () 0 ± 0,. Y filmt:,. Comprobció: +, cirto. + -

3 +, cirto No, pus si hcmos u cmbio d vribl u / v /, cbmos co u sistm d l mism form dl iicil, co icógits umrdor domidor, sí qu st método o port d. 0. U vz hcho l cmbio d vribl: u + v 8u 6 v 8 Dspjo u d l primr lo sustituo l sgud: u v 8 ( v) 6v 8 0 v 6v v v u v Comprobció: +, cirto c) d) Ls solucios so válids l sistm origil..000 ( ) ( ) ( ) / / , /,88 8, ( ) ( ) ( ) Pági 8. Rsolvmos: ) b).000 ( ) ( ) ( 0.000) L solució s válid l sistm origil ( ) ( ) (.000) (900 ) ) / ± / 0 ± Los vlors gtivos o so válidos pus o ist sos csos l solució s , / 0 0 ( ) ( ) ( ) f) 0 (0 ) + () [(0 )]

4 . Ls solucios so: ) ( ) (.000) / ,.000 / 6,,8 b) 0 (0 ) + [ (0 )] ( ) ( /.000) c) / / L solució s válid. d) 0 + (0 + ) + 00 [ (0 + )] , No s u solució válid porqu (,) o ist. f) 6 / 6 8 ( / ) ( 0) ± / / 0 L solució gtiv o os sirv porqu ( / / ) o ist. 0 / Pági 8 Pis cotst El ldo dl sgudo mid El dl trcro mid El dl curto mid El dl ésimo mid ( ) m A m m A m m A m 8 ( ) ( ) m A m Ls árs form u progrsió gométric cuo primr térmio s su rzó s /. (/ ) S / 6 8 Dbmos tomr 6 cudrdos prt dl primro.. Rsolvido: ) u, v v u + u + 8 v 6 u u + v u + 8v 6-6 ), 0 +,, ( ) ( ) ( / ) ( ) / / v 9 b) u, v u + v 9 u v 9 u 9 v 6 v v 9 u v 9 9v v / 9 u 9 v

5 c) u, v u v / u + 8v u + v / ( + v / ) + 8v 6v / + 0 v 0 / 6 8 u + 8 / v 8 d) u, v u + v 0 u u 8 v, ) u, v u + v 9 u + v 9 u + v 9 u + 0v 8 u 8 v 0 f) u, v u v 6 u v u + 6 v u + u + 6 u + v 8u + 9u + 8 u v ( + 6) / 9. Ls solucios so: ) u, v 6u v u,v 0u 8v / u v b) u, v 6 u v 69 u /, v 6 u v 9 u / v 6 c) + + / u 8u u / u / u / + d) u, v u u + v 0 u 0 v v 6 (0 v ) v 6 0v v 6 v 0v v u ± v u ± v u ± v u ± Ls solucios gtivs o sirv, por lo tto, so válids: v u, v u, ) + ( + ) [( ) / ] ( ) / / 0000 / /0000 f) + [( + ) / ] ( / 0) ( + ) / / 0 Pági / Como (0 / ) o stá dfiido, l cució o ti solució. P. So trs rgls: Si s sum o s rst u mismo úmro o poliomio mbos mimbros, l cució rsultt s quivlt. Si s multiplic o divid por u mismo úmro, distito d cro, mbos mimbros, l cució s quivlt. Pud sustituirs u cució por l sum d s cució otrs dl sistm, multiplicds prvimt por u úmro distito d cro. P. Comptibls dtrmidos solució. Comptibls idtrmidos Ifiits solucios. Icomptibls si solució. P. Sustitució: S dspj u icógit d u cució, s sustitu l otr, s rsulv. Por jmplo: + -

6 + 0 6 Igulció: S dspj l mism icógit mbs cucios, s igul, s rsulv. Por jmplo: Rducció: S multiplic ls cucios por los úmros dcudos pr igulr los coficits d u d ls icógits mbs cucios, s rst ésts mimbro mimbro pr limir dich icógit s rsulv tocs l cució rsultt. Por jmplo: 6 Rstdo: (6 ) P. Aqul l qu cd cució ti, como míimo, u icógit mos qu l trior. Por jmplo: + + z z P. Cosist trsformr l sistm uo quivlt qu s sclodo. P6. Cosist sustituir / por u uv icógit u, / por v, obtido u sistm orml, pro u v, lugr d. Por jmplo: u v 0 + 0u + v P. Propidds d los ritmos: 0 ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Propidds d ls potcis: 0 m m m ( ) ( b) m b b m m. Rsolvmos: m+ b m ) 8 + (8 ) b) Dspjo d l sgud cució sustituo l primr ( ) 69 c) Multiplico l primr por, rsto: 6 ( + ) + d) ( ) / / / ) Si multiplico l primr por : So rcts coicidts, por tto ist ifiits solucios. f) Dspjo d mbs cucios, ls igulo:

7 g) Rstdo mbs cucios: 9 8 ( + 0) h) Dspjo mbs, igulo: Ls solucios so: ) Elimimos domidors: ( 6) + 8 ( ) 8 ( 8) + 9 ( ) Multiplico l sgud por, rsto: ( ) D l sgud cució: ( 9 ) b) Elimimos domidors: 9 ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) Rstdo mbs: ( + ) Y d l primr cució 8. Rsolvmos: ) D l trcr: z 6. Y d l trcr: 6 Filmt, d l primr: b) D l trcr: z Y d l sgud: + Filmt, d l primr: + 8. Rsolvido, rsult: ) Rsto primr sgud, primr trcr, s obti: z + z + z + z Dspjo z d l primr, l sustituo l sgud: z + ( ) 8 8 Así qu: z Y filmt, d l cució origil: z b) S, ls trs cucios hcmos: z z Tmos dos cucios icomptibls, sí qu l sistm o ti solució. c) S, ls trs cucios hcmos: + z 6 z 6 Tmos dos rcts coicidts, sí qu l sistm ti ifiits solucios. d) Rsto primr sgud, primr trcr: + z ( + + z ) + z ( + z ) + + z Así: D l sgud, u vz tmos l vlor d : + Y filmt, d l sgud cució origil: z 6 9. Rsolvmos usdo l método d Guss: ) + + z + z z + + z z, z, 0-9

8 b) c) d) ) f) z z + + z + + z 9 6 No ti solució 6 + z + z z + z + z 0z + z z 0 + z z 0,, + z 0 + z 8 + z + z 0 z 8 z z + z 0 z 8 z,, + + z + z z + + z + z 9 + 0z z + z 9 9z + z + + z 8 + z z,, g) h) + + z + z + + z + z z z,, z 8 + z + + z + z + + z + z, z 6, 0. Ls solucios so: ) b) + z + z + z + z + z z + z + z 8z + z z + z 6 + z 9 + z 9 + 9z + z 9 + z 6z 6 + z /, /, 0 z 8 /, /, / + z z 6 z + c) + z + 8z + z 0 + z z 6 z,, z + z + z z + -0

9 + z + z 0 0 λ +, λ, z λ + z z λ, λ +, z λ z d) ) f) g) h) + z + z 8 + z + z 9 λ 9, z λ, λ 9 z + z + z z z z z z /, z /, / + 6z 0 z + 6z 0 + 6z z 8 + 6z 0 + 6z 8 0z z z + 0 z z + z 8 z 0,, + z z,, + z + z + z. Rsolvmos: ) Multiplicmos l primr por, rstmos: ± ( ) Y d l sgud cució: ( + ) ± b) Rstdo ls cucios: Y d l primr: 0 o s u úmro rl. c) Rsto ls cucios, s obti: 9 ± ± d) Si s multiplic l primr por, s rst: ± + 8 D l primr: ( ) Y d l primr cució: ± 6 6 ) Elvmos l sgud cució l cudrdo: Y d l primr: Iguldo mbs prsios, s llg qu. Sustituimos sto último mbs cucios: +, s dcir, hor ls dos cucios qu tgo so: + Si sumo mbos mimbros d l primr: ( + ) ( + ) 6 + ± 8 ± 8 + Si sustituo + 8 l primr cució:

10 - 6 ± ( 6),. 0 6 ± Los vlors d corrspodits so:,. Ahor, si hgo 8, l primr cució qud: ±,. (6) 0 6 ± Y los vlors d corrspodits:,. Filmt, tmos qu comprobr cúls so solucios cuáls o:,,,, 9 + 9, No s solució + 9 9, Es solució + 9 9, No s solució , Es solució + f) Dspjo d l primr cució, l sustituo l sgud: ( ) + ( + ) Divido todo tr.: ± (8), 6. 8 ± Y filmt s obti: +,. g) Dspjdo d l primr sustituédol l sgud: ± () , 6 Y pr l vribl : ± 6 89, 6 h) Dspjo d l primr cució, l sustituo l sgud: Pági 88 9 Oprdo multiplicdo todo por 9: ( + ) ( + ) + ( + ) ±, () ± , Y filmt: ( + ). Ls solucios so: ) Hcmos l cmbio d vribl u / v /. u + v u v 8 Si ls summos: 0u u Y l otr icógit: v ( u) b) u /, v / 9u v u + v v u u + v 0 u + u u u 0 / v Por lo tto, / 0, /. 0 c) Hcmos l cmbio d vribl u / v /. u v 0, dspjo u d l sgud: u + v u v Y sustitudo l primr:

11 d) v + v ± v 0 () + 0 ± v, v, Y sí: u + v u, u,. + ( ) + ( ) / 6 / Ls dos solucios so válids.. Rsolvido: ) Rducimos l primr domidor comú: ( )( ) + ( + )( + ) ( + )( ) Ls cucios qud: + Dspjmos d l sgud l sustituimos l primr: ( ) Dividido todo tr -: + 0 ± + ±,, S pud comprobr qu mbos puto so solució dl sistm. b) Ats d d, s rduc l primr comú domidor: ( + )( + ) ( )( + ) ( + )( + ) Dspjo d st últim cució, lo sustituo l otr: ( ) ( ) Multiplicmos todo por 9: ± () + 0 ± 8 8, Y l otr icógit: ( ), S pud comprobr qu mbs so solucios dl sistm.. Ls solucios so: ) b) c) 0 ( ) ±0 ±00 L solució gtiv o s válid porqu o ist (00) i (0). L solució positiv s válid, s dcir, 00, 0. ( ) ( 0 ) L solució s válid. ( ) ( 0 ) ( / ) ( 000) 0 0 / / / L solució s válid. 0 -

12 d) ) f) 0 ( ) ( 0 ) 8 ( 0 ) ± / 0 ±/0, 0, válid. ( ) 0 ( ) ( 0 ) L solució s válid. ( ) ( ) + ( 0) + 0 ( ) ( +) / L solució s válid.. Ls solucios so: ) ( ) (000) S dspj l sgud cució s sustitu l primr: 0 + (0 + ) ± (0) ± , Est sgud solució o s válid, pus implic l ritmo d u úmro gtivo. Así, l úic posibilidd pr s: b), si rsto mbs cucios ( ) (00) Sólo s cosidr l solució positiv, pus stá dtro d u ritmo. D l sgud cució: (00) (00) / (000) / + ( ) c) d) + (000000) () 00 / [( ) ] Llgmos dos cucios icomptibls, por lo qu o ist solucios. l( ) l(0) 0 l( ) l() Dspjdo d l sgud cució, sustituédol l primr: ( + ) ± ±, Sólo os qudmos co l primr solució, pus l sgud rsult l ritmo d u úmro gtivo. Filmt: + 6. Rsolvmos: ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) () ( ) () ( ) () () -

13 b) Si divido ls dos últims cucios, rsult: () ( ) Y l otr icógit: () ( ) ( ) () ( ) + ( ) () Rstdo l primr d l sgud cució, s llg : ( ) 8 () 8 Y d l sgud cució: 9, o cosidrmos l vlor gtivo, pus stá dtro d u ritmo.. Rsolvmos: ) u, v u + v u + v u v u + v v + v v + 6v v 0 v 0 / 8 u 8 Por lo tto,,. b) u, v c) u + v 8 v u + u + v u + v u v ( v) + v u + v.98 v v.86 / u 8 Por lo tto: u 8 v Ls dos solucios so válids. + + Si hcmos l cmbio d vribl u, v : u u v + v Si multiplico l primr cució por l sgud por : 86u v 0 u + 6v Dspjo v d l primr l sustituo l sgud: 0 0 v 6 u u + 6 6u 6 u 8 8 u 6 0, Y cuto : v 6 8, 0 6 v,0006 d) u, v 6u +,v 60 u + 0,8v 9 60,v 9 0,8v 6 6,v 0 v 6 /,,086 60,v u 6 9 0,8v u 60,,086 u 0, 6 El sistm o ti solució porqu o ist igú tl qu 0, ) u, v u / v 0,u 0,v 9 / v + u 9 + 0,v u 0, / v ,v 0, 0, / v +, 6 + 6,6v 0, +,v 6v + 6,6v 6,6v + 6,v + 0, 0 v 0,0, o s válid. -

14 f) v,00 u ( + ) / Por lo tto, l solució s, v ( ) Si hor hcmos l cmbio d vribl u v, qud: u + 0v 0u + v Si multiplico l primr cució por l sgud por : u + 80v 08 0u + v 0 Dspjo u d l primr sustituo l sgud: v + v v v Multiplico todo por : v 000v ± v v 0,, v 8,9 Así:,,, 09 Y l otr icógit: u v Pr mbos vlors d v, l u rsult sr gtiv, por lo tto l o s u úmro rl, st sistm o ti solucios rls. 8. Si s l ldo dl cudrdo, z so ls dl rctágulo: 6 z + z 0 6 z z ( ) 6 ( z)z 6 z z 6z 80z + 0 z + 60z 0z 0z +0 0 z 9 6 ( z)z z 0 0, solució o válid. El ldo dl cudrdo mid cm mitrs qu ls dimsios dl rctágulo so 6 cm 9 cm. 9. Si s l dd dl pdr s l dl hijo: + ( + ) + ( + ) ( + 6) + ( + ) El pdr ti ños l hijo ti ños. 0. Si,, z so los porctjs d l prt d torí, problms l posició, rspctivmt: z 6, + + 8z, z, z 6, + 6z, + z z 6, + 6z, z 0, 0,6 0, 06z, L torí vl u % dl totl, los problms u 60% l posició u %.. Si l úmro qu buscmos s 0 + : ( ) El úmro s l 96.. Si b s l otr dimsió: b 600 b b / / 6 00 / / ± 60 L solució gtiv o os sirv, por lo tto, b 0. El ppl s d 0 cm 60 cm.. S,, z los prcios dl jrs, los ptlos los zptos, rspctivmt: -6

15 0,8 + 0,8 + 0,z, 0,8 0,z 0,8 + 0,8 + 0,z 0,8, z 0,6 + 0,8 + 0,8 60 uros. z 0 uros. 0 uros.. S l prcio dl kg d plátos, l dl kg d mzs z l d rjs: + + z z 6, z,0 + + z 8,0 6z, z,9 + + z 8,0 z,6 6z, z,,,,,6 El kg d plátos cust,6, l d mzs,, l d rjs,,. Pági 89. S,, z los prcios d u rfrsco, u bocdillo u trd, rspctivmt: + + z, + + z,0 + z, z, + z 9 + z, z, + z 9,9 z,9 8, 6. S l dd dl mor, l dl mdio z l dl pquño. + + z + z + + z + + z + z 0 + z + + z z 68 z, 9, El mor ti ños, l mdio 9 ños l pquño,.. Ls solucios so: ) 0 (( )( + ) ) + 0 ( )( + ) ( )( + ) ( ) ( + ) b) ( ) ( ) ( ) l solució o s válid porqu ( ) o stá dfiido. ± ± 6 ± Ls solucios so, ±. c) + [ ( + )] 0 ( + ) L solució s válid. d) ( ) ( + 8) (0 0) ± ± 0, l solució gtiv o s válid. L solució dl sistm s 0, 6 8. Buscmos l úmro z: + + z z z z z z z

16 z 6 90z 60 9z z z 60 z,, 0z z z + + 8z m z z z m + ) Si m +, l sistm s comptibl idtrmido. Por lo tto, m. b) Si m, l sistm s icomptibl. + + z z + + z z + z + ( )z z + z z z z / ( ) ( ) / ( ) ( 6) / ( ) Pr culquir, l sistm s comptibl dtrmido. + + z t + z + t 0. + z t z + t + + z t z + t t z + t z t z + t z t z t + + z t z + t z t t 6 t 6, z 90,, 8 Evlució d stádrs. Rsolvido: ) Dspjo l d l sgud cució, l sustituo l primr: 6 9 (6 9 ) 0 8 Y l otr icógit: b) Dspjo mbs igulo: Y l icógit : ( ) 8. S, ls trs cucios: + z z 8 ( + z 0) z z 6 ( + z 0) Y si rsto ls dos cucios qu cbo d obtr:, d form qu l sistm qu qud s: + z 0 z + 8 D l trcr s obti imditmt:. D l sgud: z 8 9 z Filmt, d l primr: Sumo mbos mimbros d l primr cució: -8

17 + + + ( + ) + Ahor, d l sgud cució: ( + ) Así: + 6 Por otro ldo, volvido l sgud cució: () ± 6 ±,,. Multiplicmos l primr cució por, l sgud por : Y hor multiplicmos l primr por, l sgud por, ls rstmos: (8 + 0) Sustituo sto último l primr cució, s obti: ± ( ) 0 6 ±, 60 60,. Multiplicdo l sgud cució por sumdo mbs: D l sgud cució: S hc l cmbio d vribl u, v. u + v 8 u + v Dspjo v d l primr cució, l sustituo l sgud: 8 u 8 u v u + u 6 9 u 6 8 u v (0) 0 0 (0 ) Usmos l método d Guss: + z ( + + z 8) + z + ( k + ) 6 k + z Así, l sistm qud: + z ( k + ) 6 Pr qu l sistm s comptibl dtrmido, s ti qu cumplir: k + 0 k. Rsolvmos l sistm. Primro, dspjdo l trcr cució obtmos: 6 k + Sustitudo l sgud cució hllmos : k+ k+ ( ) 8 + k + k+. (k+ ) k+ -9

18 Sustitudo mbos vlors l primr: ( ) 6 9+ k+ + z k+ (k+ ) (k+ ) + 9+ (k+ ) 6k+ z (k+ ) k+. 9. S l úmro d móvils d, l úmro d móvils d 0 : Dspjo l sgud lo sustituo l primr: ( ) móvils d 0. 0 móvils d. 0. S l úmro d prsos qu ib iicilmt, s l prcio iicil pgr por prso: 900 ( )( + ) 900 Por igulció: ( )( + ) 0 0 Por otro ldo, d l primr cució: Multiplicdo todo por : ± ± Evidtmt, l rsultdo gtivo s dsch, pus o ti stido u ctidd gtiv d diro. 900 Así: 0 prsos iicilmt. Co lo cul, l fil vijro: 0 - prsos. DIRECCIONES DE INTERNET TICHING WEBS istms.pdf litrls_ Rsultos_I.pdf -0

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