ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía

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1 3ª Prueba de Evaluación Continua (Grupo C) Espacio vectorial 1. a) Definir vectores linealmente dependientes en un espacio vectorial V. u,u,,u de un espacio vectorial V son b) Demostrar que si un conjunto de vectores 1 2 n linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos es combinación lineal del resto. (1 punto) 2. En R 3 se consideran los siguientes subespacios vectoriales: 3 F x,y,z R tales que xy0;y2z 0 3 G x,y,z R tales que x ; y 2 ; z=2 +2 Se pide calcular sendas bases y la dimensión de los subespacios vectoriales F, G, F+G, FG. (2 puntos) 3. Se consideran las bases de R 3 B u1 1,0,0,u2 0, 1,1,u3 1,1,1, se pide: B' u' 1,0,1,u' 0,1,2,u' 1,1, a) Calcular las ecuaciones matriciales del cambio de la base B a la base B y de la base B a la de B. b) Dar las coordenadas del vector u 2 respecto de la base B y respecto de la base B. (1,5 puntos) Diagonalización 4. a) Definir subespacio imagen de una aplicación lineal. b) Demostrar si A Mn entonces A y A t tienen el mismo polinomio característico. (0,5 puntos) Dada la matriz A= que define una transformación lineal f a) Hallar una base de los subespacios vectoriales núcleo e imagen. b) Hallar el subespacio de los vectores invariantes por f. c) Unas ecuaciones de algún subespacio propio asociado a un valor propio de f. (1.5 puntos) 6. En el espacio vectorial R 3 se define la transformación lineal: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 1

2 f:r R, fx,y,z = 2x+y+z,x+2y+z,x+y+2z. Se pide: 3 3 a) Matriz de f respecto de la base canónica. b) Es f una transformación lineal biyectiva? Justificar la respuesta. c) Valores propios de f. d) Estudiar si f es diagonalizable. e) Base de vectores propios (si procede). f) Matriz de f respecto de esta base de vectores propios (llamarla D). g) Relación entre la matriz A y D. (2.5 puntos) Soluciones Ejercicio 2: Obtenemos una base de F resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones implícitas #1: SOLVE([x - y = 0, y - 2 z = 0], [x, y]) #2: [x = 2 z y = 2 z] Se trata de un subespacio vectorial de dimensión uno y una base (para z=1) es BF={(2,2,1)} G está dado mediante unas ecuaciones paramétricas por lo que tenemos un sistema generador {(1,1,0),(-1,0,2),(1,2,2)},hallamos su rango #3: RANK = El rango es 2 y las dos primeras filas son l.i., por no ser proporcionales luego G tien dimensión 2 y una base es BG={(1,1,0),(- 1,0,2)} BF BG es un sistema generador de F+G, hallamos el rango #4: RANK = Luego dim(f+g)=3, luego F+G=R3 y una base son los tres vectores mencionados o la base canónica y en general cualesquiera tres vectores l.i. Como Dim(F+G)=dimF+dimG-dim(F G), entonces se deduce que dim(f G)=0, luego F G={(0,0,0)} Otra forma: Para hallar una base de F G, obtenemos en primer lugar las ecuaciones implícitas de G; al ser dimg=2 el mínimo número es 3-2=1. Como todo vector (x,y,z) está generado por (1,1,0),(-1,0,2), ha de verificarse que: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 2

3 1 1 0 #5: DET = 2 x - 2 y + z = 0 x y z Luego 2x-2y+z=0 es una ecuación implícita para G y {x-y=0,y=2z,2x- 2y+z=0} son unas ecuaciones implícitas de F G. Una base se obtiene resolviendo el sistema #6: SOLVE([x - y = 0, y - 2 z = 0, 2 x - 2 y + z = 0], [x, y, z]) #7: [x = 0 y = 0 z = 0] Ejercicio 3 Apartado a) Los vectores de las bases dadas están referidos a la base canónica, luego son inmediatas las ecuaciones de cambio de B y B' a la base canónica,las matrices de cambio de B a la base canónica y de B' a la base canónica son respectivamente #8: #9: La ecuación de cambio de B a B' es x` x #10: y` = y z` z #11: = x` x 1 1 #12: y` = - 0 y 3 3 z` z La ecuación de cambio de B' a B es U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 3

4 x x` #13: y = y` z z` #14: = x x` #15: y = - y` z z` Apartado b) Las coordenadas de u2 en B son (0,1,0) pues se trata del segundo vector de la propia base B. Las coordenadas de u2 en B' son (1,0,-1) pues se trata de la segunda columna de la matriz de paso de B a B'. TEORIA: 4. Definir: Subespacio imagen de una aplicación lineal. Demostrar: Si A M entonces A y A t tienen el mismo polinomio característico. n SOLUCIÓN. Ver apuntes de teoría. 5. Dada la matriz A que define a un endomorfismo f. 1. Hallar una base de los subespacios vectoriales núcleo e imagen. 2. Hallar el subespacio de los vectores invariantes por f. 3. Unas ecuaciones de algún subespacio invariante por f en caso de existir. SOLUCIÓN U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 4

5 x 0 x z y 0 una base del Núcleo de f es: 2 0 2z 0 y 0 B N A =0 una base de Im(f) está formada por los vectores columnas linealmente independientes. BIm 2 4 2, Los valores propios de A son: 2 AI 2 2, por tanto, 0, =1+ 3, =1-3. Al no existir el valor propio λ = 1 no existen vectores invariantes distinto de u 0 ni subespacio de los vectores invariantes. x z 0 3. El núcleo de f es el subespacio invariante asociado λ=0, por tanto, es un y 0 subespacio invariante por f. 6. En el espacio vectorial R 3 (R) se define la transformación lineal: f:r R, fx,y,z2xyz,x2yz,xy 2z. Se pide: Matriz de f respecto de la base canónica. 2. Es f una transformación lineal biyectiva? Justificar la respuesta. 3. Valores propios de f. 4. Estudiar si f es diagonalizable. 5. Base de vectores propios (si procede). 6. Matriz de f respecto de esta base de vectores propios (llamarla D). 7. Relación entre la matriz A y D. SOLUCIÓN A A 4 0 f es biyectiva (automorfismo). AI , por tanto, λ = 4 simple y λ = 1 doble Al ser A simétrica, A es diagonalizable. Otra forma: x x 0 x 1 1 V λ= 1? AI y y 0 y 1 0. Dim(V λ= 1 )=2 y z z 0 z 0 1 Dim(V λ=4 ) = 1 f es diagonalizable. 5. Base de vectores propios U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 5

6 x x 0 x 1 A 4I y y 0 y 1 z z 0 z 1 1,1,1, 1, 1, 0, 1, 0, 1. V λ=4? vectores propios D base de U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 6

7 3ª Prueba de Evaluación Continua Grupo A Espacio vectorial 1. a) Definir base de un espacio vectorial V. b) Demostrar que la expresión de todo vector de V respecto de una base B de V es única. (1 punto) 2. En R 3 se consideran los siguientes subespacios vectoriales: 3 F x,y,z R tales que x 2 2 ; y 2 ; z= 3 G x,y,z R tales que xy2z0; 2x y2z 0 Se pide calcular sendas bases y la dimensión de los subespacios vectoriales F, G, F+G, FG. (2 puntos) 3. Se consideran las bases de R 3 B u1 1, 3,0,u2 1,0,1,u3 0,1, 2, se pide: B' u' 1 1,0, 1,u' 2 0, 1,2,u' 3 1, 1,0 a) Calcular las ecuaciones matriciales del cambio de la base B a la base B y de la base B a la de B. b) Dar las coordenadas del vector u' 1 respecto de la base B y respecto de la base B. (1,5 puntos) Diagonalización 4. a) Definir vector invariante y subespacio de los vectores invariantes de una transformación lineal f. b) Demostrar que dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. (0,5 puntos) Dada la matriz A= que define una transformación lineal f a) Hallar una base de los subespacios vectoriales núcleo e imagen. b) Hallar el subespacio de los vectores invariantes por f. c) Unas ecuaciones de algún subespacio propio asociado a un valor propio de f. (1.5 puntos) 6. En el espacio vectorial R 3 se define la transformación lineal: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 7

8 f:r R, fx,y,z x y z, x y z, x y z. Se pide: a) Matriz de f respecto de la base canónica. b) Es f una transformación lineal biyectiva? Justificar la respuesta. c) Valores propios de f. d) Estudiar la diagonalización de f. e) Base de vectores propios (si procede). f) Matriz de f respecto de esta base de vectores propios (llamarla D). g) Relación entre la matriz A y D. (2.5 puntos) Soluciones Ejercicio 2: F está dado mediante unas ecuaciones paramétricas por lo que tenemos un sistema generador {(2,0,1),(-1,1,-1),(2,2,0)},hallamos su rango #16: RANK = Como las dos primeras filas son l.i. la dimensión de F es 2 y una base es BF={(2,0,1),(-1,1,-1)} Obtenemos una base de G resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones implícitas #17: SOLVE([x + y + 2 z = 0, 2 x - y - 2 z = 0], [x, y]) #18: [x = 0 y = - 2 z] Luego dimg=1 y una base es BG={(0,-2,1)} BF BG es un sistema generador de F+G, hallamos el rango #19: RANK = Luego dim(f+g)=2, y una base son dos vectores l.i. por ejemplo los de F, pues G está contenido en F, F+G=F Como Dim(F+G)=dimF+dimG-dim(F G), entonces se deduce que dim(f G)=1 pero al estar G contenido en F entonces F G=G Otra forma: Para hallar una base de F G, obtenemos en primer lugar las ecuaciones implícitas de F; al ser dimf=2 el mínimo número es 3-2=1. Como todo vector (x,y,z) está generado por (2,0,1)y (-1,1,-1), ha de verificarse que #20: DET = 0 x y z U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 8

9 #21: -x + y + 2 z = 0 Luego -x+y+2z=0 es una ecuación implícita para F y {-x+y+2z=0,x+y+2z=0,2x-y-2z=0 } son unas ecuaciones implícitas de F G. Una base se obtiene resolviendo el sistema 22: SOLVE([-x + y + 2 z = 0, x + y + 2 z = 0, 2 x - y - 2 z = 0], [x,y]) #23: [x = 0 y = - 2 z] Luego una base de F G={(0,-2,1)}=BG, luego F G=G Ejercicio 3 Apartado a) Los vectores de las bases dadas están referidos a la base canónica, luego son inmediatas las ecuaciones de cambio de B y B' a la base canónica,las matrices de cambio de B a la base canónica y de B' a la base canónica son respectivamente #24: #25: La ecuación de cambio de B a B' es x` x #26: y` = y z` z #27: = x` x #28: y` = y z` z La ecuación de cambio de B' a B es x x` #29: y = y` z z` #30: = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 9

10 x x` 4 #31: y = y` 5 z z` Apartado b) Las coordenadas de u'1 en B son (0,-1,0) pues se trata de la primera columna de la matriz de paso de B' a B. Las coordenadas de u'1 en B' son (1,0,0) pues se trata del primer vector de la propia base B'. 4. Definir vector invariante y subespacio de los vectores vectores invariantes de una transformación lineal f. Demostrar que dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. SOLUCIÓN: Ver apuntes de teoría 5. Dada la matriz A que define a un endomorfismo f. 1. Hallar una base de los subespacios vectoriales núcleo e imagen. 2. Hallar el subespacio de los vectores invariantes por f. 3. Unas ecuaciones de algún subespacio propio asociado a un valor propio de f. SOLUCIÓN 0 2 1x 0 y y 0 una base del Núcleo de f es: BN z 0 z A =0 una base de Im(f) está formada por los vectores columnas linealmente independientes. B 2 2 0, Im 2. Los valores propios de A son: AI 1 2, por tanto, 0, =1, = x x x z V λ= y 1 y es el subespacio de los vectores invariantes z z y z y (1,1,1) es un vector invariante. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 10

11 y 0 3. El núcleo de f es un subespacio invariante, por tanto, es un subespacio z 0 invariante por f. 6. En el espacio vectorial R 3 (R) se define la transformación lineal: f:r R, fx,y,z x y z, x y z, x y z. Se pide: Matriz de f respecto de la base canónica. 2. Clasificar f. 3. Valores propios de f. 4. Estudiar la diagonalización de f. 5. Base de vectores propios (si procede). 6. Matriz de f respecto de esta base de vectores propios (llamarla D). 7. Relación entre la matriz A y D. SOLUCIÓN A A 0 f es biyectiva (automorfismo) AI , por tanto, λ = 0.5 simple y λ = 1 doble. 2 x x 0 x V λ= 1? AI y y 0 y 1 0 z z 0 z 0 1. Dim(V λ= 1 ) = 2 y Dim(V λ=0.5 ) = 1 f es diagonalizable. 5. Base de vectores propios. x x 0 x 1 V λ=0.5? A0.5I y y 0 y 1 base z z 0 z 1 1,1,1, 1, 1, 0, 1, 0, de vectores propios D U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 11

12 3ª Prueba de Evaluación Continua Grupo B Espacio vectorial 1. a) Definir combinación lineal de vectores de un espacio vectorial V. b) Demostrar que el conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores u,u,,u de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V. 1 2 n (1 punto) 2. En R 3 se consideran los siguientes subespacios vectoriales: 3 F x,y,z R tales que x 3 ; y 2 ; z=2 2 3 G x,y,z R tales que 2x 3y 2z 0 Se pide calcular sendas bases y la dimensión de los subespacios vectoriales F, G, F+G, FG. (2 puntos) 3. Se consideran las bases de R 3 B u1 1, 1,1,u2 1,1,0,u3 1,1,2, se pide: B' u' 1 1,0,1,u' 2 0, 1,2,u' 3 1, 1,0 a) Calcular las ecuaciones matriciales del cambio de la base B a la base B y de la base B a la de B. b) Dar las coordenadas del vector u' 1 respecto de la base B y respecto de la base B. (1,5 puntos) Diagonalización 4. a) Definir subespacio núcleo de una aplicación lineal. b) Demostrar que si una matriz AMn es inversible y 0 es un valor propio de A, entonces 1 es un valor propio de 1 A. (0,5 puntos) Dada la matriz A= que define una transformación lineal f a) Hallar una base de los subespacios vectoriales núcleo e imagen. b) Hallar el subespacio de los vectores invariantes por f. c) Unas ecuaciones de algún subespacio propio asociado a un valor propio de f. (1.5 puntos) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 12

13 6. En el espacio vectorial R 3 se define la transformación lineal: 3 3 f:r R, fx,y,z = 2x+y+z,x+2y+z,x+y+2z. Se pide: a) Matriz de f respecto de la base canónica. b) Es f una transformación lineal biyectiva? Justificar la respuesta. c) Valores propios de f. d) Estudiar si f es diagonalizable. e) Base de vectores propios (si procede). f) Matriz de f respecto de esta base de vectores propios (llamarla D). g) Relación entre la matriz A y D. (2.5 puntos) Soluciones Ejercicio 2: F está dado mediante unas ecuaciones paramétricas por lo que tenemos un sistema generador {(3,1,2),(1,1,0),(0,-2,2)},hallamos su rango #32: RANK = Como las dos últimas filas son l.i. la dimensión de F es 2 y una base es BF={(1,1,0),(0,-2,2)} Obtenemos una base de G resolviendo su ecuación implícita #33: SOLVE([- 2 x + 3 y + 2 z = 0], [x]) 3 y #34: x = + z 2 Luego dimg=2 y una base es BG={(3,2,0),(1,0,1} BF BG es un sistema generador de F+G, hallamos el rango #35: RANK = Además #36: DET = Luego dim(f+g)=3, luego F+G=R3 y una base son los tres vectores l.i. anteriores (determinante no nulo) {(1,1,0),(0,-2,2),(3,2,0)} o la base canónica y en general cualesquiera tres vectores l.i. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 13

14 Como Dim(F+G)=dimF+dimG-dim(F G), entonces se deduce que dim(f G)=1, luego F G es una recta (la intersección de los planos F y G) Para hallar una base de F G, obtenemos en primer lugar las ecuaciones implícitas de F; al ser dimf=2 el mínimo número es 3-2=1. Como todo vector (x,y,z) está generado por (1,1,0)y (-1,1,-1), ha de verificarse que #37: DET = 0 x y z #38: 2 x - 2 y - 2 z = 0 Luego x-y-z=0 es una ecuación implícita para F y {x-y-z=0, - 2x+3y+2z=0 } son unas ecuaciones implícitas de F G. Una base se obtiene resolviendo el sistema #39: SOLVE([2 x - 2 y - 2 z = 0, - 2 x + 3 y + 2 z = 0 = 0], [x, y]) #40: [x = z y = 0] Luego una base de F G={(1,0,1)} Ejercicio 3 Apartado a) Los vectores de las bases dadas están referidos a la base canónica, luego son inmediatas las ecuaciones de cambio de B y B' a la base canónica,las matrices de cambio de B a la base canónica y de B' a la base canónica son respectivamente #41: #42: La ecuación de cambio de B a B' es x` x #43: y` = y z` z #44: = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 14

15 x` x 1 #45: y` = 0 0 y 3 z` z La ecuación de cambio de B' a B es x x` #46: y = y` z z` #47: = x 1 5 x` - -1 #48: y = 2 2 y` z 1 1 z` Apartado b) Las coordenadas de u'1 en B son (0,-1/2,1/2) pues se trata de la primera columna de la matriz de paso de B' a B. Las coordenadas de u'1 en B' son (1,0,0) pues se trata del primer vector de la propia base B'. TEORIA: 4. a) Definir subespacio núcleo de una aplicación lineal. b) Demostrar que si una matriz AMn es inversible y 0 es un valor propio de A, entonces 1 es un valor propio de SOLUCIÓN. Ver apuntes de teoría. 1 A. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 15

16 5. Dada la matriz A que define a un endomorfismo f. 1. Hallar una base de los subespacios vectoriales núcleo e imagen. 2. Hallar el subespacio de los vectores invariantes por f. 3. Unas ecuaciones de algún subespacio invariante por f en caso de existir. SOLUCIÓN x 0 x z y 0 una base del Núcleo de f es: 2 0 2z 0 y 0 B N A =0 una base de Im(f) está formada por los vectores columnas linealmente independientes. BIm 2 4 2, Los valores propios de A son: 2 AI 2 2, por tanto, 0, =1+ 3, =1-3. Al no existir el valor propio λ = 1 no existen vectores invariantes distinto de u 0 ni subespacio de los vectores invariantes. x z 0 3. El núcleo de f es el subespacio invariante asociado λ=0, por tanto, es un y 0 subespacio invariante por f. 6. En el espacio vectorial R 3 (R) se define la transformación lineal: f:r R, fx,y,z2xyz,x2yz,xy 2z. Se pide: Matriz de f respecto de la base canónica. 2. Es f una transformación lineal biyectiva? Justificar la respuesta. 3. Valores propios de f. 4. Estudiar si f es diagonalizable. 5. Base de vectores propios (si procede). 6. Matriz de f respecto de esta base de vectores propios (llamarla D). 7. Relación entre la matriz A y D. SOLUCIÓN A A 4 0 f es biyectiva (automorfismo). AI , por tanto, λ = 4 simple y λ = 1 doble U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 16

17 4. Al ser A simétrica, A es diagonalizable. Otra forma: x x 0 x 1 1 V λ= 1? AI y y 0 y 1 0. Dim(V λ= 1 )=2 y z z 0 z 0 1 Dim(V λ=4 ) = 1 f es diagonalizable. 5. Base de vectores propios x x 0 x 1 V λ=4? A4I y y 0 y 1 base de z z 0 z 1 1,1,1, 1, 1, 0, 1, 0, vectores propios D U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 17