I.- Representación gráfica de una función polinómica

Transcripción

1 Los campos a considerar en el estudio de una representación gráfica son; Dominio de la función Continuidad y derivabilidad Simetrías Periodicidad Asíntotas Verticales Horizontales Oblicuas Posición de la curva respecto de ellas. Información etraída de la primera derivada: Crecimiento y decrecimiento Puntos etremos relativos Información etraída de la segunda derivada: Concavidad y conveidad Puntos de infleión. I.- Representación gráfica de una función polinómica Ejercicio.- Realiza.el estudio completo y representa gráficamente la función. y 4 4 Solución Dominio: El dominio de una función polinómica es R Continuidad y derivabilidad: una función polinómica es continua y derivable en todo R Simetrías Respecto eje OY: se precisa que f() y f(-) sean iguales. Respecto del origen de coordenadas: se precisa que f() y f(-) sean valores opuestos. Calculemos f(-) (-) 4 (-) 4 (-) El valor obtenido no cumple ninguna de las condiciones citadas. La función no presenta simetrías. - -

2 Periodicidad: se necesita que f() f( T ), donde el valor T recibe el nombre de periodo. La función polinómica no presenta periodicidad. Asíntotas: las funciones polinómicas carecen de asíntotas. Información etraída de la primera derivada: Crecimiento y decrecimiento: primera derivada f () 8 4 Valores que anulan la primera derivada: f () de donde y ( -, ) (, ) (, )..f () > 0, f() creciente f () < 0, f() decreciente Puntos etremos relativos f () > 0, f() creciente La función f() es contínua en, y en un cierto entorno de él la función pasa de ser creciente a decreciente. Necesariamente eistirá un máimo en, de valor f( ) 7 Máimo (, ) 7 La función f() es contínua en, y en un cierto entorno de él la función pasa de ser decreciente a creciente. Necesariamente eistirá un mínimo en, de valor f() 0 Minimo (,0) Información etraída de la segunda derivada: Concavidad y conveidad. Segunda derivada f () 6 8 Valores que anulan la segunda derivada: f () de donde 4 (-, 4 ) ( 4, ) f () < 0, convea f () > 0, cóncava - -

3 Puntos de infleión. La función f() es contínua en 4 y en un cierto entorno de él cambia su concavidad. Eiste un punto de infleión en, de valor f( ) Punto de infleión (, ) 7 Puntos de corte con los ejes y 4 4 Con OX. Se resuelve el sistema cuyas soluciones y 0 son: 0, y, es decir que es una raíz doble. Puntos ( 0,0 ) y (, 0 ) y 4 4 Con OY. Se resuelve el sistema solución (0, 0). 0 Con los valores obtenidos, a lo largo del estudio de f(), obtenemos la representación gráfica siguiente: y^ - 4 ^ y^ - 4 ^ 4 - -

4 II.- Representación gráfica de una función eponencial Ejercicio Realiza.el estudio completo y representa gráficamente la función y Dominio: El dominio es R e Continuidad y derivabilidad: es continua y derivable en todo R Simetrías Respecto eje OY: se precisa que f() y f(-) sean iguales. Respecto del origen de coordenadas: se precisa que f() y f(-) sean valores opuestos. e ( ) Calculemos f(-) e Como f() f(-) presenta una simetría respecto del eje de ordenadas Periodicidad: no presenta periodicidad. Asíntotas horizontal e e 0. La recta y 0 es una asíntota horizontal. e Información etraída de la primera derivada: Crecimiento y decrecimiento: primera derivada f () - Valores que anulan la primera derivada: f () - e 0 de donde 0. ( -, - ) ( -, ) e.f () > 0, f() creciente f () < 0, f() decreciente Puntos etremos relativos La función f() es contínua en 0, y en un cierto entorno de él la función pasa de ser creciente a decreciente. Necesariamente eistirá un máimo en, de valor f(0) Máimo (0,) Información etraída de la segunda derivada: Concavidad y conveidad. Segunda derivada f () - e ( ) Valores que anulan la segunda derivada: f () - e ( ) 0, de donde ( ) 0 - y - 4 -

5 (-, - ) (-, ) (, ) f () > 0, cóncava f () < 0, cónvea f () > 0, cóncava Puntos de infleión. La función f() es contínua en - y, en un cierto entorno de él, cambia su concavidad. Eiste un punto de infleión en - de valor f(- ) e Punto de infleión (-, ) e Por simetría esta función presenta otro punto de infleión en ( Puntos de corte con los ejes, ) e Con OX. Se resuelve el sistema corta al eje OX y e y 0 Sistema que carece de soluciçón. La función no y e Con OY. Se resuelve el sistema solución (0, ). 0 Con los valores obtenidos, a lo largo del estudio de f(), obtenemos la representación gráfica siguiente: ye^(-^),0,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0, ye^(-^) - 5 -

6 III.- Representación gráfica de una función logarítmica. Ejercicio.- y ln Dominio: La función y ln f(), sólo está definida para los valores de que verifican f() > 0. Además, en este caso, tenemos un cociente que no está definido para valores que anulen el denominador. Ln 0 El dominio es pues Dom (y) ( 0,) (, ) Continuidad y derivabilidad: es continua y derivable en todo el dominio anterior. Simetrías No presenta simetrías. Periodicidad: no presenta periodicidad. Asíntota horizontal Por definición ln número real. En este caso, por comparación de infinitos, sabemos que las potencias de son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas. También podemos llegar al mismo resultado aplicando la regla de L Hôpital Si f ( ) g( ), entonces f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ln Asíntota vertical Por definición a ln ±. En este caso ln 0 ± Para estudiar la posición relativa de curva y asíntota calcularemos los límites laterales en. Por la izquierda ln - Por la derecha ln La función, en, presenta una discontinuidad de salto infinito - 6 -

7 Información etraída de la primera derivada:.ln Crecimiento y decrecimiento: primera derivada f () (ln ) (.ln ) (ln ).ln (ln ) 0 Valores que anulan la primera derivada:.(.ln ) 0 cuyas soluciones.ln 0 son: 0 ( solución no válida por no pertenecer al dominio de la función) y ln de donde e ( 0, e ) ( e, ).f () < 0, f() decreciente f () > 0, f() creciente Puntos etremos relativos La función f() es continua en e, y en un cierto entorno de él la función pasa de ser ( e) decreciente a creciente. Necesariamente eistirá un mínimo en e, de valor f( ln e ) ( e) ln e e e Mínimo ( e, e) Información etraída de la segunda derivada: ln Concavidad y conveidad. Segunda derivada f () ( ) (ln ) (ln ).(ln) ( ln).(ln).. 4 (ln) (ln ).(ln) 4(ln) (ln) ln) (ln ) (ln ) (ln ) ln (ln ) (ln ) ln Valores que anulan la segunda derivada: f (), de donde (ln ) - 7 -

8 (ln) (ln ) ln 0. Hagamos el cambio de variable ln t, tendremos t t t 0 t t t 0 t( t t 0 ln ; solución no válida - t 0 t t 0;sin soluciones reales Intervalos ( 0, ) (, ) Numerador negativo positivo Denominador Negativo negativo Cociente Positivo negativo f () f () > 0, cóncava f () <0, cónvea Puntos de infleión. No tiene, la función cambia su concavidad pero en no está definida. Puntos de corte con los ejes Como ln no está definida para 0, la función ln no corta a ninguno de los ejes ,5,5,5 y^/ln y^/ln - 8 -

9 IV.- Ejercicios.- Dada la función f(). - halla: a) Los puntos donde f() no es derivable b) Calcula los máimos y mínimos. c) Represéntala gráficamente Solución Los puntos donde f() no es derivable Transformemos la epresión de la función f() epresándola en la forma definida a trozos - se anula cuando de donde: [ ] f(). ( ) si <.( ) si <. - ( ) si ( ) si y de aquí si < si 6 f () 6 si si < > Para que sea derivable, la función f () debe ser continua en. Esto implica que: f ( ) f ( ) f ( ) ( 6) f ( ) ( 6) La función no es derivable en Máimos y mínimos Notemos que aunque f() no sea derivable en, dicha función es continua en él por lo que debe tenerse en cuenta este hecho a la hora de estudiar los puntos etremos. Veamos en qué puntos se anula la primera derivada. Si f () 0, para valores < - cumplen la condición de ser menores que. Si f () 0, para valores < - cumplen la condición de ser menores que (-) 0 soluciones que (-) 0 soluciones que - 9 -

10 f (0 ) Para 0,. La función f() es continua en 0 y, en un cierto entorno de él pasa f (0) de ser decreciente a creciente, tenemos un mínimo de valor f(0) 0. Mínimo (0, 0). Para, f ( f ( ). La función f() es continua en 0 y, en un cierto entorno de él pasa ) de ser creciente a decreciente, tenemos un máimo de valor f() 4. Máimo (, 4) Para, f ( f ( ). La función f() es continua en y, en un cierto entorno de él pasa ) de ser decreciente a creciente, tenemos un mínimo de valor f() 0. Mínimo (, 0 ) Representación gráfica y^./-/ y^./-/.- Dada la función f() halla: d) Los puntos donde f() no es continua y donde no es derivable e) Calcula los máimos y mínimos. f) Halla sus asíntotas g) Represéntala gráficamente Solución Transformemos la epresión de la función f() epresándola en la forma definida a trozos - se anula cuando de donde: - 0 -

11 ( ) f() Continuidad si < si > si < si > No es continua para los valores de que anulan el denominador. En este caso, valor que también divide los dos trozos de la función. Derivabilidad No es derivable en, por no ser continua en él. Máimos y mínimos ( ) si < ( ) si < ( ) f () si > ( ) si > ( ) ( ) Valores que anulan la primera derivada ( ) 0 si ( ) 0 si < única solución 0 > única solución Intervalo ( -, 0 ) ( 0, ) (, ) (, ) f () < 0 > 0 < 0 > 0 Crecimiento decreciente creciente decreciente creciente En 0, la función pasa de ser decreciente a creciente, y como es continua en él tenemos un mínimo de valor f(0) 0 Mínimo ( 0, 0 ) En hay un cambio de crecimiento pero f() no está definida en él. En, la función pasa de ser decreciente a creciente, y como es continua en él tenemos un mínimo de valor f() Mínimo (, 4 ) Asíntotas Vertical 4 Por definición a ±. En este caso 0 - -

12 Dado que la función f() toma siempre valores positivos, no es necesario hallar los límites laterales porque por la derecha y la izquierda obtendremos el mismo resultado: Oblicuas Para < cociente resto/divisor (- - ) La asíntota es y - - La posición de la curva respecto de ella la obtenemos de f() y -(--) Diferencia que, para valores de muy negativos, es < 0 lo que nos dice que la asíntota está por encima de la función. Para > cociente resto/divisor ( ) La asíntota es y La posición de la curva respecto de ella la obtenemos de f() y -( ) Diferencia que, para valores grandes y positivos de, es > 0 lo que nos dice que la función está por encima de la asíntota. Representación gráfica 5 0 5, y^//-/ -^/(-) y-- y - -

13 .- Estudia el dominio, asíntotas, continuidad, derivabilidad, etremos, crecimiento, concavidad y puntos de infleión de las funciones cuya gráfica se adjunta. y(-).e