Smoothed Particle Hydrodynamics Animación Avanzada

Transcripción

1 Smoothed Partcle Hydrodynamcs Anmacón Avanzada Iván Alduán Íñguez 03 de Abrl de 2014

2 Índce Métodos sn malla Smoothed partcle hydrodynamcs Aplcacón del método en fludos Búsqueda de vecnos

3 Métodos sn malla Queremos apromar una funcón en el contnuo a partr de elementos dscretos. 1D 2D, 3D Sólo dsponemos de nformacón en una sere de puntos cercanos, no este conectvdad.

4 Métodos sn malla Ventajas: - Conservacón de la masa automátca. - Apenas sufren dspacón. - Métodos robustos ante cambos topológcos. - Fácles de mplementar en GPU. Desventajas: - Nos va a ser muy dfícl calcular dervadas con la msma eacttud que en los métodos con malla. - Requeren un paso de tempo más pequeño. - Problemas en los contornos.

5 Métodos sn malla Smulacón de fludos medante Smoothed Partcle Hydrodynamcs SPH) Smulacón de sóldos elástcos medante Movng Least Squares MLS)

6 Smoothed partcle hydrodynamcs Representacón ntegral de una funcón escalar: f ) = f y) δ y) dy Funcón Delta de Drac: δ ) =, 0, = δ y) dy = 1 y y

7 Smoothed partcle hydrodynamcs Remplazamos la funcón Delta de Drac por una funcón suavzada W: f ) f y) w y / h) dy Kernel A esta funcón la llamaremos kernel. Esta funcón W queremos que cumpla certas propedades para asegurarnos que nos da una buena apromacón de la funcón orgnal.

8 Smoothed partcle hydrodynamcs Propedades deseadas para W: - Domno compacto: - En el límte corresponderse con la Delta de Drac lm w h o - Su ntegral debe de ser 1 w y / h) = 0 y / h > 1 y / h) = δ w y / h) dy = 1 - Debe de ser una funcón suavzada que nos permta calcular sus dervadas y smétrca y)

9 Smoothed partcle hydrodynamcs Ejemplo: kernel gausano W r h gauss r 1 / h) = e π 2 2

10 Apromamos la ntegral medante el sumatoro en una sere de puntos conocdos Smoothed partcle hydrodynamcs dy h y w y f f ) / ) ) = n V h w f f 1 ) / ) = n h w f m f 1 ) / ) ρ

11 Smoothed partcle hydrodynamcs f ) n = 1 m ρ f w / h)

12 Dervadas: Smoothed partcle hydrodynamcs dy h y w y f f ) / ) ) dy h y w y f f ) / ) ) dy h y w y f f ) / ) ) = n h w f m f 1 ) / ) ρ

13 Smoothed partcle hydrodynamcs Ejemplo: Tenemos el sguente kernel: Calculando la dervada del kernel: - Ojo! Es una dervada en coordenadas esfércas

14 Smoothed partcle hydrodynamcs f ) n = 1 m ρ f w / h) Al gual que para el calculo de una propedad en el espaco, el calculo de las dervadas es smplemente una suma ponderada. Sólo necestamos ser capaces de dferencar W Problema: esta formulacón es muy sensble a la dstrbucón de las partículas y una funcón constante puede darnos una dervada no 0

15 Smoothed partcle hydrodynamcs Formulacones alternatvas para el gradente: Estas formulacones son mejores ya que aseguran la smetría del gradente - En fuerzas: cumplmos la tercera ley de Newton

16 Smoothed partcle hydrodynamcs Otros operadores dferencales en SPH: - Dvergenca: - Laplacan:

17 Smulacón de fludos SPH Conservacón de la masa: Cada partícula tene una masa predefnda, s no añadmos n borramos partículas: - La masa del fludo se conserva automátcamente! Conservar la masa no es lo msmo que conservar el volumen: - Debdo a que SPH modela un fludo compresble s las fuerzas de nteraccón entre partículas no son sufcentes nuestro fludo perderá volumen

18 Smulacón de fludos SPH Conservacón del momento: En una formulacón lagrangana nos nteresa la evolucón en el tempo de un elemento de fludo que se mueve a través del espaco. - El térmno convectvo no nos nteresa ya que serán las propas partículas las que se transporten por el contnuo al ser ntegradas en el tempo - A esto se le llama dervada total o dervada materal:

19 Smulacón de fludos SPH Estmacón de densdad: Fuerzas de presón: Fuerzas vscosas:

20 Smulacón de fludos SPH Podemos hacerlo mejor y usar una dscretzacón SPH smétrca como hemos vsto antes: - Esta formulacón cumple la tercera ley de Newton y conserva mejor el momento. Formulacón smétrca para vscosdad:

21 Smulacón de fludos SPH ecuacón de estado) Para poder calcular las fuerzas de presón necestamos conocer el valor de las presones en cada partícula. Intutvamente queremos que la fuerza de presón mantenga la densdad nomnal del fludo evtando estramentos o compresones. Por lo tanto vamos a defnr el valor de nuestras presones medante una funcón dependente de la densdad de la partícula y de la densdad nomnal A esto lo llamamos: Ecuacón de estado

22 Smulacón de fludos SPH ecuacón de estado) Ecuacón de estado provenente de la ecuacón de gases deales: Ecuacón de estado más rígda conforme al comportamento ncompresble que se espera de un líqudo, Tat equaton:

23 Smulacón de fludos SPH ecuacón de estado) Vídeo: [Becker 2007]

24 Smulacón de fludos SPH kernels) La evaluacón del kernel gausano es costosa por lo que vamos a utlzar otras funcones de smlar forma: - Para la densdad con la constante de normalzacón para 3D no requere el calculo de raz cuadrada): - Qué pasa s queremos utlzar el msmo kernel para presones o vscosdad?

25 Smulacón de fludos SPH kernels) S nos fjamos en la forma de la dervada prmera esta se hace cero para partículas muy prómas, esto sgnfca que la repulsón entre partículas se anula s te acercas al centro. MAL!!!! S nos fjamos en la forma de la dervada segunda del kernel la funcón cruza varas veces el valor 0 con ntervalos postvos y negatvos. MAL!!!!

26 Smulacón de fludos SPH kernels) Para el gradente de presón 3D): Para el laplacan en la vscosdad 3D):

27 Smulacón de fludos SPH boundares) Problema con la formulacón SPH: Defcenca de partículas en los bordes, por ejemplo en el calculo de densdad nos darán una estmacón ncorrecta: Solucón: ghost partcles real partcles ghost partcles

28 Smulacón de fludos SPH boundares) Apromacón de un sóldo con ghost partcles: Dferenca entre usar o no usar ghost partcles en el contacto con sóldos:

29 Smulacón de fludos SPH boundares) Los msmos problemas tendremos en la superfce lbre del fludo: Solucón: ghost ar partcles:

30 Smulacón de fludos SPH boundares) Vídeo: [Schechter 2012]

31 Smulacón de fludos SPH búsqueda de vecnos) Para cada partícula tenemos que apromar una sere de ntegrales que dependen de los valores en las partículas vecnas. Podríamos recorrer por cada partícula todas las demás y utlzar sólo los vecnos dentro del rango: - Esto tene coste O n 2 )!!! La clave de una mplementacón SPH efcente está en cómo realzamos las búsquedas de vecnos, para ello necestamos estructuras de datos que nos rebajen el coste O n 2 ).

32 Smulacón de fludos SPH búsqueda de vecnos) Spatal hashng - Adaptatvdad lmtada - Muy efcente Kd Trees Mayor flebldad Más costoso de construr y mantener

33 Smulacón de fludos SPH búsqueda de vecnos) Spatal hashng: - Construccón: On) - Consulta: Okρ) sendo ρ la meda de puntos por celda - El tamaño de la tabla hash y del tamaño de celda deben de ser debdamente elegdos - No es efcente para sampleados rregulares. kd Trees: - Construccón: On log n) - Consulta: Ok log n) para la consulta de k puntos - Puede manejar sampleados rregulares y dferentes domnos de consulta.