En el trabajo con números, Álgebra y Geometría usaremos el lenguaje de conjuntos. Por lo tanto recordaremos algunas cosas:

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1 to 018 MATEMÁTICA Prof SWeinberger ALGO DE CONJUNTOS-REVISIÓN: En el trbjo con números, Álgebr y Geometrí usremos el lenguje de conjuntos Por lo tnto recordremos lguns coss: Definición de conjuntos: Un conjunto estrá bien definido si en bse dich definición es posible estblecer si un cierto elemento pertenece o no l conjunto Dos forms hbitules de definir conjuntos son: 1 Por etensión, que supone nombrr uno uno los elementos del conjunto Por ejemplo: A{1,,} epres el conjunto que nombrmos A y cuyos elementos son esos tres números Cundo nos referimos l conjunto por su nombre, no ponemos ls llves, no escribimos: conjunto {A}, El conjunto vcío es quel que no tiene elementos, se le nombr con un letr grieg myúscul:, φ epresmos entonces l conjunto vcío: φ o { }, no escribimos: {φ} Por comprensión: Se define el conjunto trvés de culiddes de sus elementos Ejemplo: El conjunto de números nturles comprendidos entre y 8, incluyendo estos Si lo epresmos por etensión: B{,6,7,8}, Por comprensión, podemos escribir: B{ N/ 8} con lo cul epresmos que el conjunto B está integrdo por todo número perteneciente ( los números nturles (N tl que (/ es myor o igul que y su vez es menor o igul que 8 Prof: Sergio Weinberger Págin 1

2 LENGUAJE DE INTERVALOS: Hy un form usul de epresr intervlos de números reles, que denominmos lenguje de intervlos Intervlo bierto : conjunto de números reles comprendidos entre dos reles y b, sin incluir los etremos lo simbolizmos: (,b Lo representmos en un eje orientdo: b Anteriormente lo representábmos: { R/ <<b} Intervlo cerrdo : conjunto de números reles comprendidos entre dos reles y b, incluyendo los etremos lo simbolizmos: [,b] Lo representmos en un eje orientdo: b Anteriormente lo representábmos: { R/ b} Intervlo no cotdo superiormente (sin etremo superior: conjunto de números reles myores un rel, lo simbolizmos : (,, si no incluye l etremo, [, si incluye Intervlo no cotdo inferiormente (sin etremo inferior: conjunto de números reles menores un rel, lo simbolizmos : (-,, si no incluye l etremo, (-,] si incluye INCLUSIÓN-SUBCONJUNTOS: Es hbitul trbjr con un subconjunto B de un conjunto A ddo Ello signific que los elementos del conjunto B, pertenecen tmbién l A Tmbién se epres: B está incluído en A y escribimos: B A AB A B En culquier de ls situciones que representmos en los nteriores digrms de Venn, se cumple B A Escribmos l definición con símbolos pr irnos fmilirizndo: Def: B A si B A (si pertenece l conjunto B, entonces pertenece l conjunto A Not: signific si y sólo si Prof: Sergio Weinberger Págin

3 OPERACIONES: UNIÓN E INTERSECCIÓN Recordemos L unión entre dos conjuntos A y B es otro conjunto que tiene los elementos de mbos Escribimos: A B L intersección entre dos conjuntos A y B es otro conjunto que tiene los elementos comunes entre mbos Escribimos : A B Ejemplo 1: A B Consideremos los conjuntos: A{,b,c,d}, B{c,d,e} b c d e A B Unión: A B{, b, c, d, e} A B{c,d} Ejemplo : En geometrí considermos ls rects y los plnos como conjuntos cuyos elementos son puntos r t P r t es l figur formd por mbs rects r t{p} (punto en común CONJUNTOS NUMÉRICOS-REVISIÓN Recordmos de ños nteriores que eisten conjuntos de números que tienen nombres especiles R es el conjunto de los números reles Se puede decir que todos los números con los que se trbjó en los cursos nteriores son reles 1 Por ejemplo: ; ; 0; ; ; ; 0,;, 6 ; π ; 7 Los conjuntos N, Z Q e I son subconjuntos de R Decimos tmbién están incluidos en R, escribimos entonces, por ejemplo: N R N es el Conjunto de los Números Nturles: N {0, 1,,,,, } Z es el Conjunto de los Números enteros: Z { R / N ó N} (es el conjunto cuyos elementos son los nturles y sus opuestos 0, 1, 1,,,,, son números enteros Q es el conjunto de los números rcionles: Q R /, Z,b Z y b 0 b (que hbitulmente llmmos frcciones 1 Son números rcionles ; ; lo son 0,;, 6 ; ; 1? 7 Prof: Sergio Weinberger Págin

4 Finlmente, eisten números reles que no son rcionles, los que se denominn irrcionles Al conjunto de los irrcionles lo nombrmos I Pertenecen I los números 1 ; ; ; ; π ; pertenece I el número 0, ? De cuerdo ls definiciones: N Z Q R R Q Z I N Sugerenci: revis los símbolos empledos y su significdo:,, /,,, etc OPERACIONES ALGEBRAICAS-REVISIÓN Recordemos PROPIEDAD DISTRIBUTIVA (bcbc 1 Clcul el áre del rectángulo rydo por dos cminos diferentes: directmente ( áre l b sumndo ls áres de los dos rectángulos Qué concluyes? Prof: Sergio Weinberger Págin

5 Prof: Sergio Weinberger Págin Desrroll y reduce: Fctoriz cd un de ls siguientes epresiones siguientes epresiones ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7 1 f b e d c b g f e d b b c b Emplendo l propiedd distributiv complet: (b(cd (b (b Complet desrrollndo: (b(-b (b (b CUADRADO DE UN BINOMIO (b(-b PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS De est form obtuvimos tres conocids igulddes que nos permitirán fcilitr lgunos desrrollos y fctorizciones Te serán de utilidd en l resolución de los ejercicios y

6 6 Desrrollemos: ( ( (- - (- -1 APLICACIONES: Desrrollr en un solo pso: (-( (6( (-(- b Fctorizr : c Resolver ls siguientes ecuciones: i ii iii- 7 0 Prof: Sergio Weinberger Págin 6

7 RESUMEN ECUACIONES DE DO GRADO: Un vez trnsformds, pueden epresrse en l form: b c 0, con 0 En este cso, medinte lguns trnsformciones puede despejrse, obteniéndose l conocid fórmul tribuid l mtemático indú Bhskr ( Un deducción de est fórmul incorpormos en l págin web b ± b c Vemos ejemplos: Resolver en R l ecución: ± ( ( 1 0 ± 9 0 ± 9 ± Observción : Si resolviermos est ecución en Ν o en S {1, } ( dos Ζ, serí S {1} ríces 0 ± 0 ( en ls ± ( 1 ( ( 1 dos opciones S {} ( un ± ( 1 ± 0 sol ríz que llmmos " ríz doble" 1± 0 S φ (sin ríces reles ( 1 (1 ( (1 1± 116 (1 1± 1 R Observmos que un ecución de segundo grdo puede tener en R, dos ríces, un o ningun; según b -c ( discriminnte se >0, 0 o <0 Prof: Sergio Weinberger Págin 7

8 INCOMPLETAS: Si bien l fórmul de Bhskr es plicble culquier ecución de do grdo, en cso de fltr lguno de los tres términos, hy procedimientos más directos, recordemos: INCOMPLETAS SIN TÉRMINO INDEPENDIENTE ( c0 Ejemplo; 0 ( 0 " fctor común" ( distributiv prop Hnkelin 0 o 0 0 o INCOMPLETAS SIN TÉRMINO b ( b0 S {0, } Ejemplo1: 0 ± ± S {, } Ejemplo : 0 ± R S φ Ejemplo : 0 0 Hnkelin 0 S {0} ríz " doble" RESUMEN FUNCIÓN CUADRÁTICA: Es l función polinómic de do grdo Es quell con f( de l form: f( bc, con 0 Si tommos como Dominio l conjunto numérico R (conjunto de prtid correspondiente l vrible, l gráfic de f es un figur que llmmos prábol, con eje de simetrí prlelo l eje Oy El punto etremo de l prábol es el que llmmos vértice V Ls coordends del vértice permiten rápidmente dibujr l prábol proimd, pues determinn demás el eje de simetrí, por lo tnto por cd punto que obtengmos de l prábol tendremos otro l simetrizr respecto l eje de l mism Prof: Sergio Weinberger Págin 8

9 Ls coordends del vértice V( V,y V podímos obtenerls: b V e yv f ( V ( l imgen del En cso de hber ríces, tmbién podemos hllr : 1 V hlldo Veremos lgunos ejemplos, recordndo que llmmos ríces de un función y en que consiste estudir el signo de un función Ejemplo 1: Se f : f(, con dominio y codominio R En este cso, es : 1, b y c - A que llmábmos ríces de un función? Ríz de un función es quel vlor de (dominio que tiene imgen 0 Es decir : 1 es ríz de f f( 1 0 En l práctic hbrá que resolver l ecución : f(0 pr hllr los vlores menciondos Observción: un ríz 1, l tener imgen 0, portrá l gráfic el punto ( 1,0 que pertenece l eje O, es decir en l gráfic ls ríces portrán los puntos de l mism en el eje O En nuestro ejemplo, resolvemos l ecución: ± 1 ( ± ± ; 1 En este cso tenemos dos ríces, y por lo tnto dos puntos de l prábol en el eje O: (1,0 y (-,0 Pr relizr l gráfic de l función, es decir, dibujr proimdmente l prábol, tenemos y los puntos nteriores, pero sbemos que el fundmentl es el vértice Tenemos: 1 ( V 1, e 6, V (, y V f ( Prof: Sergio Weinberger Págin 9 9

10 Podemos hllr otro punto, hllndo por ejemplo f(0 -, obteniendo el (0,-, y su simétrico respecto l eje es : (-,- Y tenemos el vértice y cutro puntos más, trzmos l prábol: (gráfic relizd en GEOGEBRA en qué consistí el estudio de signo de l función? Hemos visto que hy vlores de con imgen 0: ls ríces: f(10 (imgen 0 f(-0 Pero hy vlores de con imgen positiv, y otros con imgen negtiv: f(6 f(0 (imgen positiv (imgen negtiv Discutir el signo de ls imágenes según el vlor de, en eso consiste el estudio de signo, que escribimos en un esquem que indicremos INTERPRETACIÓN GRÁFICA: Observemos l crcterístic de puntos de ordend (y positiv, es decir correspondientes imágenes positivs; y tmbién con imágenes negtivs y tendremos un útil interpretción gráfic del signo de un función Teniendo esto en cuent, el signo pr est función es: sig( EJEMPLO : f : f( -, con dominio y codominio R Hllemos ríces que portn en el estudio de signo y pr l gráfic Resolvemos entonces l ecución: - -0, est vez obviremos el detlle del cálculo Aplicndo lá fórmul de resolución, llegmos que hy un sol ríz ( doble que es 1 En este cso no es necesri l búsqued del vértice puesto que pr que hy un único contcto de l prábol con el eje O (un sol ríz, el vértice coincide con el punto correspondiente l ríz, es entonces: V(,0 Prof: Sergio Weinberger Págin 10

11 Hllemos dos puntos y sus simétricos: f(- - -1, f(0 -, quí tenemos los puntos (,-1 y (0,- y sus simétricos: (1,-1 y (,- Con el vértice y estos cutro puntos, grficmos: Escribimos el signo: sig( Observmos: en cso de ríz doble no hy cmbio de signo en l ríz 1 EJEMPLO : f : f ( 1, con dominio y codominio R Hllemos 1 ríces: 1 0, plicndo l fórmul de resolución, concluimos en que l función no tiene ríces reles Hllremos entonces pr grficr el vértice, dos puntos más y sus simétricos: b V 1 e yv f ( V (1, Con f (0 1 y f ( 1, obtenemos los puntos (0,1 y (, y sus simétri cos : (,1 y ( 1, Con el vértice y estos cutro puntos, grficmos: El signo en este cso es: 1 sig ( 1 El signo es constnte, no hy cmbio de signo Observndo los tres ejemplos, vemos que el signo l derech de ls ríces (en cso de hberls coincide con el signo de, lternndo luego en cso de hber dos ríces, mientrs que no cmbi en cso de ríz doble En cso de no hber ríces el signo es constnte y coincide con el de Prof: Sergio Weinberger Págin 11