MÉTODOS MATEMÁTICOS ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES LINEALES 1. ESPACIOS LINEALES. x = x x L. ε es el elemento neutro de la ley del producto ( )

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1 ÉTODOS ATEÁTICOS TEA 0: REPASO ÁLGEBRA ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES LINEALES Profesora: ª Cruz Boscá ESPACIOS LINEALES Espaco leal L sobre u cuerpo (comutatvo) Λ U espaco leal (o vectoral) L sobre u cuerpo comutatvo ( Λ, +, ) ( L, +, ) dode: Ax L es u cojuto o vacío, L + Ax ( + ) es u ley de composcó tera L L L Ax 3 ( ) es ua ley de composcó extera Λ L L Ax 4 ( L, + ) es u grupo abelao, esto es: -Ax 4 x + ( y + z) = ( x + y) + z x, y, z L (propedad asocatva) -Ax 4! e L / e + x = x + e = x x L (elemeto eutro) -Ax 43 x L x L / x + x = x + x = e x L (elemeto opuesto o smétrco) -Ax 44, es ua tera x + y = y + x x y L (propedad comutatva) Ax 5 α( x + y) = αx + α y α Λ x, y L (propedad dstrbutva de ( ) respecto de ( + )) Ax 6 α( βx) = ( α β ) x α, β Λ x L Ax 7 ( α + β ) x = αx + β x α, β Λ x L (propedad dstrbutva de la ley + suma ( + ), Λ Λ Λ, respecto de la ley ( )) Ax 8 ε x = x x L ε es el elemeto eutro de la ley del producto ( ) Λ, ( Λ Λ Λ ) Propedades: a) α e = e α Λ b) ε x = e x L (ε es elemeto eutro de la ley ( + ) e Λ ) c) x = ε x x L d) αx = α y, α ε x = y e) x + y = x + z y = z f) αx = β x, x e α = β g) α x = e α = ε o x = e e C Boscá, Uv de Graada

2 Notacó: x L»» vectores»» letras latas (e lbros de texto x o x ) α Λ»» escalares»» letras gregas α x»» α x Λ»» k dode k R o k C e»» 0 (o 0) ; ε»» 0 ; ε»» Operacoes co cojutos Sea A L y B L subcojutos de L, etoces: a) Suma de subcojutos: + = { : = +,, } b) Producto de subcojuto por escalar: α { : α, } (Nota: A A + A) c) Producto de Λ por u subcojuto: Λ = { : =, Λ, } = A B z L z x y x A y B L A z L z α x α x A L α A A = z L z = x x A L α Λ d) A B = { z L : z = x y, x A, y B} L e) Producto de subcojutos: {(, ) :, } A B = x y x A y B L L f) Complemetaro de u subcojuto A respecto de otro B : B \ A = x L : x B, x A L { } g) Complemetaro de u subcojuto A respecto de L : C A = L \ A = x L : x A L { } Subespacos leales Subespaco leal < L U subcojuto L o vacío,, es subespaco leal de L s posee estructura de espaco leal Notacó: es subespaco de L»» < L U subcojuto L,, es subespaco leal de L, L α, β Λ, x, y : α x + β y <, Propedades L < L, 0 < L, 0 < L a) { } C Boscá, Uv de Graada

3 b) < L, (Nota: e geeral, c) Sea { },, dode I represeta u cojuto de ídces I < L ) I < L = I < L N, u cojuto de subespacos leales de L = < L αx N, x,, x d) Sea = (Nota: todas las sumas de este sumaro so ftas) Evolvete leal [ S ] Dado u subcojuto S L,se defe su evolvete leal, [ ] de todas las combacoes leales de sus elemetos: S = z L : z = x, N,, Λ, x, x S = [ ] α α α Deomacó: S es el cojuto geerador de [ ] Propedades S a) [ S] < L b) [ S ] es el meor subespaco leal que cotee a S c) [ S] = cotee a S, dode γ { γ } γ I γ I 3 Suma drecta de subespacos leales Sea { }, S, como el cojuto represeta el cojuto de los subespacos que N, u cojuto de subespacos leales de L,,,, = < L = L es suma drecta de { } x L :! x,, x, L=, = tal que s x = x = (Nota: el sgo! dca que la descomposcó es úca) Dados < L y < L, etoces { } L = L = + y = 0 C Boscá, Uv de Graada 3

4 Dados < L, =,,, etoces L = = L = y = 0 j j = = { } < L < L : L = (al meos, exste sempre uo) < L, se defe u complemeto leal de e Dado Complemeto leal: Dado L, o subespaco complemeto de e L, como u subespaco leal ' < L : L = ' (o cocde co su complemetaro respecto a L ) Todo úco) < L posee al meos u complemeto leal e L (o ecesaramete 4 Suma drecta extera de espacos leales (espaco suma drecta) Sea dos espacos leales L y L sobre el msmo cuerpo Λ, y sea el cojuto L = L L = {( x, x) : x L, x L} Se defe las dos leyes de composcó: ) tera ( ) +, + ( L L ) ( L L ) ( L L ) : ( x, x) + ( y, y) = ( x + y, x + y), ( x, x),( y, y) ( L L ) ) extera ( ), Λ ( L L ) ( L L ) : α ( x, x) = ( α x, α x) α Λ ( x, x) ( L L ) Etoces ( L, +, ) es u espaco leal, deomado como el espaco suma drecta L = L L ) extera de L y L ( 5 Depedeca e depedeca leal Bases de Hamel S = x,, x L Dado u subcojuto fto { } u cojuto lealmete depedete s de vectores de L, se defe como α Λ : ( α x = 0 α = 0 ) = S = x,,, x L de Dado u subcojuto fto (umerable o o umerable) { } vectores de L, se defe como u cojuto lealmete depedete s todo subcojuto fto de él lo es S L es u cojuto lealmete depedete s o es lealmete depedete Propedades a) U cojuto lealmete depedete o puede coteer al elemeto ulo 0 b) E u cojuto lealmete depedete al meos u vector es combacó leal de los restates c) A lealmete depedete co A B B lealmete depedete d) B lealmete depedete co A B A lealmete depedete C Boscá, Uv de Graada 4

5 S = x,, x L e) Dado { } = = lealmete depedete, se tee que α x = β x α = β Geeradores: Sea = < L Se dce que S L x : x = αx, α Λ, x S, N Bases leales o de Hamel: Sea B L Hamel de L s B es lealmete depedete y [ ] es cojuto geerador de s Se dce que B es base leal o de B = L B es base leal o de Hamel de L s B es u cojuto lealmete depedete maxmal, esto es, B' B, B' B, tal que B ' sea lealmete depedete B = L x L : x = αx, α Λ, x B, N fto [ ] Propedades a) L { 0} = al meos ua base de Hamel b) Dado u espaco leal L, todas sus bases leales posee el msmo cardal (es decr, el msmo úmero de vectores) c) Dados u espaco leal L y ua base leal B del msmo, la descomposcó x = αx, α Λ, x B, N, es úca x L = d) Todo S L de L, cojuto lealmete depedete, es amplable a ua base leal Dmesó leal: Dado L, se defe su dmesó leal o algebraca como dm L = card B, dode B es ua base leal de L y card B represeta el cardal de cualquera de sus bases leales Nota: [Cardal de u cojuto] Dado u subcojuto S de elemetos de u cojuto uversal: - S S cotee u úmero fto N de elemetos, su cardal se defe como ese úmero: card ( S) = - S S es u cojuto fto umerable (puede establecerse ua byeccó etre él y N ), su cardal se defe como el aleph cero, símbolo ℵ 0, esto es, card ( S ) = ℵ 0 Por ejemplo, card ( Q) = card ( N ) = ℵ 0 - S S es u cojuto somorfo co el cuerpo R de los reales, su cardal se defe como el del cotuo, card ( ) card ( 0, ) = card ( R ) = ℵ símbolo ℵ, esto es, S = ℵ Por ejemplo, [ ] Coveo: S L = { 0 }, etoces acordamos dm L = 0 C Boscá, Uv de Graada 5

6 Dmesó leal fta: Dado L, se defe su dmesó leal como fta N que es cojuto lealmete = cuado o es fta, esto es, cuado S L depedete co card S Fórmula de Grassma: Dados L, < L, ' < L, co dm L (fta) dm( + ') = dm + dm ' dm( ') =, OPERADORES LINEALES Aplcacoes etre espacos leales Ua aplcacó T co domo D( T ) y recorrdo R( T ), T : D( T ) L R( T ) L, es aplcacó leal u operador leal del espaco leal L sobre el espaco leal L, ambos sobre el cuerpo comú Λ, s satsface: a) D( T ) < L b) T es uvaluada: x D( T )! y R( T ) : T ( x) = y (otacó: y = Tx ), c) x, y D( T ), α, β Λ : T ( α x + β y) = αt ( x) + βt ( y) Deomacó: aplcacó leal operador leal homomorfsmo Ua aplcacó T co domo D( T ) y recorrdo R( T ), T : D( T ) L R( T ) L, es aplcacó atleal u operador atleal del espaco L, ambos sobre el cuerpo comú Λ =C, s leal L sobre el espaco leal satsface: a) D( T ) < L b) T es uvaluada: x D( T )! y R( T ) : T ( x) = y (otacó: y Tx c) x, y D( T ), α, β Λ : T ( α x + β y) = α * T ( x) + β * T ( y) Propedades: Dada ua aplcacó leal T : D( T ) < L R( T ) L, se tee: a) R( T ) < L b) T (0) = 0 (0 es elemeto eutro de la ley ( + ) e L, =, ) c) T ( x) = T ( x) x D( T ) d) { x D T Tx } kert= ( ) : = 0 < L (úcleo o kerel del operador) e) S D ( T ) = L y = ), d m L es fta: dm D( T ) = dm kert + dm R( T ), deomádose uldad de T a la dm kert y rago de T a la dm R( T ) C Boscá, Uv de Graada 6

7 Gráfco de u operador leal T : D( T ) L R( T ) L, se defe su gráfco Γ ( T ) Dada ua aplcacó leal como ( ) { (, ) : ( ), ( ) } Γ T = x x L L x D T x = Tx R T L L Γ ( T ) < L L Γ ( T ) < L L es gráfco de algú L ((0, y) Γ y = 0) (esto es, s Γ corta al eje Teorema del gráfco: U subespaco leal operador leal etre L y L, lo hace sólo e el orge) Igualdad etre operadores leales: Dados dos operadores leales T y T, Γ ( T ) = Γ( T ) D( T ) = D( T ) = D( T ) y T x = T x x D( T ) so guales Extesoes y restrccoes: Dados dos operadores leales T y T, tales que D T y T x = T x x D( T ), etoces T es ua extesó de T a T es ua restrccó de T a D( T ) D( T ) ( ) D( T ), y Notacó: T T T»» T es ua extesó de T T»» T es ua restrccó de T 3 Operador leal verso como tee T : D( T ) < L R( T ) < L, operador leal, la relacó versa Dado ( ) ( ) ( ) T D T R T R T D T : ( ) = ( ) ( ) = ( ) tal que ( T ) ( y) = x, co x D( T) y T ( x) = y ( ) T ( ) T se defe ( ) y D( T ) = R( T ), se Nota: e geeral, o tee por qué ser u operador, ya que, por ejemplo, o tee por qué ser uvaluada T : D( T ) L R( T ) L Teorema: Dado < <, operador leal, la relacó versa T ( T ) : R( T ) D( T ) es u operador leal ( T ( x ) = T ( x ) x = x ) ( Tx = 0 x = 0 ) Operador sgular: Dado T es yectvo, esto es,, o sea, kert = { 0 } T : D( T ) < L R( T ) < L, operador leal, defmos T como operador sgular (o-sgular) ( ) T : R( T ) D( T) operador leal C Boscá, Uv de Graada 7

8 4 Isomorfsmo T : D( T ) = L L, operador leal, es u somorfsmo s es byectvo Dado S T : L L es u somorfsmo, etoces los espacos leales L y L so espacos somorfos Notacó: L y L so somorfos»» L L U somorfsmot : L L trasforma cojutos lealmete depedetes (de L ) e cojutos lealmete depedetes (de L ) R( T ) L L dm L = dm L T : L R( T ) L U operador leal L = T = y < es somorfsmo ker { 0 } T : L S L es u somorfsmo T : L L es u somorfsmo Termología: Homomorfsmo aplcacó leal operador leal T : D( T ) < L R( T ) < L (uvaluada y leal) oomorfsmo aplcacó leal yectva Epmorfsmo aplcacó leal suprayectva L L Edomorfsmo operador leal co = Isomorfsmo aplcacó leal byectva Automorfsmo somorfsmo co L = L T : L Dado u operador leal co cualquer moomorfsmo o epmorfsmo es automátcamete u somorfsmo 5 Operacoes co operadores leales Suma y producto por escalares de operadores leales: Dados El operador suma T + T segú: L dm L = dm L = fto, se tee que T : D( T ) < L R( T ) < L, =,,, operadores leales, se defe: ( T + T ) : D( T + T ) = ( D( T ) D( T )) < L R( T + T ) < L ( T + T )( x) = T ( x) + T ( x) x D( T + T ) El operador producto por u escalar αt ( = o ), α Λ, segú: ( αt ) : D( αt ) = D( T ) < L R( αt ) < L ( αt )( x) = αt ( x) x D( T ) C Boscá, Uv de Graada 8

9 La suma y el producto por escalares de operadores leales defe operadores leales Composcó o producto de operadores leales: Dados los operadores leales T : D( T ) < L R( T ) < L T : D( T ) < L R( T ) < L3, sedo L, =,,3,espacos leales sobre el msmo cuerpo Λ, se defe la composcó o producto T T TT como el operador T T : D( T T ) < L R( T T ) < L tal que 3 ( ) D TT = T = D T R T = x D T T x D T < D T ( ) ( ( ) ( )) ( ) : ( ) ( ) ) { } ) R( T T ) = T ( ) = { y R( T ) : x : T x = y} < R( T ) x D( T T ) : T T ( x) = T ( T ( x)) R( T T ) 3) Nota: No cofudr T T TT co ua posble operacó producto ( ) de operadores T : D( T ) < L R( T ) < L, =,,, segú el cual se defera ( T T )( x) = T ( x) T ( x) x D( T ) = D( T ) < L, ua vez defdo també u producto tero ( ) e L! La composcó de operadores leales da como resultado otro operador leal La composcó de somorfsmos da como resultado otro somorfsmo T : D( T ) L R( T ) L Teorema: Dado < <, operador leal o sgular, de modo que T : R( T ) L D( T ) L T T = I D ( T ) y TT I R ( T ) < < es u operador leal, etoces =, dode I, D D ( T ) o R ( T ) D, smbolza la restrccó del operador detdad I : L L, I ( x) = x x L, al domo D L es decr, el operador I : D D, I ( x) = x x D Operador vertble: D D <, Dado T : D( T ) < L R( T ) < L, operador leal, defmos T como operador vertble D( T ) = R( T ) = L y T es operador o-sgular T, T, operadores leales, y TT T T I L I = = Comutacó y permutacó de operadores: Dados T : D( T ) < L R( T ) < L, =,,, operadores leales, y defdos sus productos o composcoes T T TT y T T TT, se defe: C Boscá, Uv de Graada 9

10 ) El operador comutador [ T, T ] segú [ ] D( [ T, T ]) = D( TT ) D( TT ) T comuta etre sí [, ] 0 TT = T T ) T y 3) T permuta co 6 Espaco leal T T = T j TT j TjT L ( L, L ) T, T = TT T T, co Dados dos espacos leales L y L sobre el msmo cuerpo Λ, la clase o cojuto T : D( T ) = L R( T ) < L costtuye de todas las aplcacoes u operadores leales u espaco leal sobre Λ, co respecto a la suma y producto por escalares Notacó: este espaco leal se smbolza como L ( L, L ); s L = L, etoces L ( L, L) L ( L) Propedades: m a) L ( L, Lm ),, m N, ftos, es somorfo co espaco leal de las matrces m de elemetos perteecetes a Λ ( L y L m so, pues, espacos leales de dmesó fta respectva y m, sobre el msmo cuerpo Λ ) b) dm L ( L, L ) = dm L dm L m m c) DadoT L ( L, L ), e geeral R( T ) L, de forma que, cluso auque operador leal, se tee 7 Álgebra D( T ) L T L ( L, L ) T, U álgebra se defe como u espaco leal L sobre u cuerpo Λ, e el que a cada par de elemetos a y b de L se le asoca otro elemeto ab de L, deomado como producto de los aterores, elemeto producto de a y b, tal que se satsface los axomas: Ax: a( b + c) = ab + ac Ax: ( b + c) a = ba + ca Ax3: α( ab) = ( αa) b = a( αb) α Λ Ax4: a( bc) ( ab) c = (propedad asocatva) Se dce que u álgebra posee u elemeto udad e L : e a = ae = a a L e El producto o composcó de operadores dota al espaco L ( L) de la estructura de álgebra co elemeto udad, e I, operador detdad, para el que IT = TI = T T L ( L) C Boscá, Uv de Graada 0

11 8 Proyectores < L y < L del msmo espaco leal L, Dados dos subespacos leales tales que L =, se defe u proyector de L sobre e la dreccó de, P P P : D( P ) = L R( P ) = tal que, como u operador dode x = x + x, x, x a) b) Propedades: P L ( L), es decr, es u operador leal P : L R( P ) < L P ( P ) = P P = P, es decr, es u operador dempotete P ( P ) P, operador leal tal que P ( L) = 0 L = c) Dado { } L x L : P ( x) = x, d) Dado P L ( L), operador dempotete,! <L,! <L : L= y P = P e) Dado P R( P ) = y ker( P ) f) Dado T L ( L), T es proyector T = 9 Fucoal leal Espaco dual L * = T (es decr, s es dempotete) Dado u espaco leal L sobre u cuerpo Λ se defe como fucoal leal o forma leal e L a todo operador leal t : D( t) < L Λ Dado u espaco leal L sobre u cuerpo Λ se defe como su espaco dual L * (dual algebraco) el espaco leal L ( L, Λ) de todos los fucoales leales t : D( t) = L Λ Propedades: a)todo fucoal leal o ulo, t : L Λ, t 0, es suprayectvo (es decr, R( t ) = Λ ) b) L L Λ * C Boscá, Uv de Graada

12 3 ESPACIO COCIENTE Dados u espaco leal L y u subespaco leal L L la relacó de equvaleca R (por tato, reflexva, xr x x L xr y y R x ; y trastva, xr y, y R z xr z ) segú: x y x y Se ota etoces como C la clase de equvaleca de u x L { : } { : z : } { } El cojuto cocete L / = { : x L} C x = y L yr x = y L y = x + z = x + x x < del msmo, se defe e ; smétrca, R, es decr, C es la partcó (úca) de L ducda por Se defe el espaco cocete ( L /, +, ) como el espaco leal costrudo sobre el cojuto L / defedo las leyes de composcó + ) ( + ), ley de composcó tera L / L / L / : C x + C y = C x+ y, co elemeto opuesto x = x = { x} + C = 0 + = 0 C C y elemeto eutro { } ) ( ), ley de composcó extera Λ L / L / : αc x = C α x dm L / = dm L dm C Boscá, Uv de Graada