Estadística. Contrastes para los parámetros de la Normal

Transcripción

1 Contrastes para los parámetros de la Normal Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada

2 Contrastes para los parámetros de la Normal Contrastes para los parámetros de una población normal

3 Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocido Intervalos de confianza Intervalos de confianza: sirven para estimar el valor de un Parámetro de la población. Un intervalo de confianza del 1-α% para un parámetro es un intervalo de valores calculado a partir de los datos de la muestra Probabilidad 1-α de que contenga el verdadero valor del parámetro. El nivel de confianza suele ser 0,90 (90%), 0,95 (95%) ó 0,99 (99%). Interpretación práctica

4 Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocido

5 Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocido La media muestral y la desviación estándar son buenos estimadores Estos estimadores son a la vez variables aleatorias. Tienen una determinada distribución, en el caso de la media es Normal. Así pues podemos calcular un intervalo de valores [a,b] tales que P( a X b) = C

6 Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocido Supongamos que disponemos de una población en la que tenemos una v.a. con distribución N(µ,σ) con σ conocida. Obtenemos una muestra de tamaño n y deseamos estimar la media µ de la población. El estimador puntual de la misma es la media muestral cuya distribución muestral es conocida El estadístico Z x Ν( µ, x µ σ n σ n ) tendrá distribución = normal estándar

7 Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocido Sobre la distribución N(0, 1) podremos seleccionar dos puntos simétricos -z α/ y z α/, tales que P(-z α/ Z z α/ ) = 1-α

8 Sustituyendo Z α σ µ α α = 1 / / z n x z P Despejando nos queda el intervalo de confianza, α σ µ σ α α = + 1 / / n z x n z x P Estadística n z σ α / Margen de error Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocido

9 Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocido Gráficamente: para una normal tipificada, un intervalo de confianza del 95% se puede representar como: 95% La probabilidad de que una variable normal tipificada tome valores en el intervalo [-1.96,1.96] es del 95%..5%.5%

10 Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocido Ejemplo, Obtener un I. C. del 95% para el promedio de una poblacion de 500 novillos, de los cuales se pesa una muestra de 5 animales, obteniéndose =390 kg. Se sabe que σ es de 400 kg. x

11 Ejemplo, Obtener un I. C. del 95% para el promedio de una poblacion de 500 novillos, de los cuales se pesa una muestra de 5 animales, obteniéndose =390 kg. Se sabe que σ es de 400 kg. x α σ µ σ α α = + 1 / / n z x n z x P Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocido Estadística

12 Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocido Ejemplo, Obtener un I. C. del 95% para el promedio de una poblacion de 500 novillos, de los cuales se pesa una muestra de 5 animales, obteniéndose =390 kg. Se sabe que σ es de 400 kg. P x x σ σ zα / µ x + zα / = 1 α n n µ 5 38,16 µ , Conclusión: Se estima que la media es 390kg más menos un margen de error de 7.84%

13 Si la varianza poblacional es desconocida y la variable es normal (o se puede aproximar a la normal por el Teorema central del límite) Se usa la t de Student, y su estadístico pivote es Con n 1 grados de libertad Desvíación típica muestral. El intervalo de confianza resulta Estadística Intervalo de confianza para la media poblacional, σ desconocido P x t s s n ( α / ; n 1) µ x + t( α / ; n 1) = 1 n α

14 Intervalo de confianza para la media poblacional, σ desconocido Ejemplo, En un establecimiento dedicado a la elaboración de alimentos para aves, se afirma que su producto aumenta el peso promedio de las aves en 30 gr. diarios. En una muestra de 9 aves tomadas al azar, se obtuvo un aumento promedio de 35gr. con desviación de 3,04 gr. Estimar el intervalo de confianza al 95% para el verdadero aumento promedio

15 Intervalo de confianza para la media poblacional, σ desconocido Ejemplo, En un establecimiento dedicado a la elaboración de alimentos para aves, se afirma que su producto aumenta el peso promedio de las aves en 30 gr. diarios. En una muestra de 9 aves tomadas al azar, se obtuvo un aumento promedio de 35gr. con desviación de 3,04 gr. Estimar el intervalo de confianza al 95% para el verdadero aumento promedio µ

16 Intervalo de confianza para la media poblacional, σ desconocido Ejemplo, En un establecimiento dedicado a la elaboración de alimentos para aves, se afirma que su producto aumenta el peso promedio de las aves en 30 gr. diarios. En una muestra de 9 aves tomadas al azar, se obtuvo un aumento promedio de 35gr. con desviación de 3,04 gr. Estimar el intervalo de confianza al 95% para el verdadero aumento promedio µ { 3.66 µ 37.34}

17 Contrastes de Hipótesis Que es: hipótesis estadística es una afirmación respecto a alguna característica de una población. Ho : Hipótesis nula H1 : Hipótesis alternativa Estadística Errores que se pueden cometer Pueden ser unilaterales o bilaterales Conclusiones a partir de una muestra aleatoria y significativa, permite aceptar o rechazar la hipótesis nula

18 Contrastes de Hipótesis Ho : µ = µo α=5% H1 : µ µo Reg. Crit. Reg. Crit. No rechazo H0 Η 0 : µ=40 Contraste bilateral

19 Si supongo que H 0 es cierta... qué hace un científico cuando su teoría no coincide con sus predicciones? Estadística Contrastes de Hipótesis X = 0 µ = el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.

20 Contrastes de Hipótesis Si supongo que H 0 es cierta... Estadística Rechazo que H 0 sea cierta. X = 0 µ = el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.

21 Contrastes de Hipótesis Si supongo que H 0 es cierta... Si una teoría hace predicciones con éxito, queda probado que es cierta? No hay evidencia contra H 0 No se rechaza H 0 El experimento no es concluyente El contraste no es significativo X = 38 µ = el resultado del experimento es coherente.

22 Contrastes de Hipótesis Región crítica Es conocida antes de realizar el experimento: resultados experimentales que refutarían H 0 Nivel de significación: α Número pequeño: 1%, 5% Fijado apriori por el investigador Probabilidad de rechazar H 0 cuando es cierta α=5% Reg. Crit. Reg. Crit. No rechazo H0 Η 0 : µ=40

23 Contrastes de Hipótesis La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa Bilateral H 1 : µ 40 Unilateral Unilateral H 1 : µ<40 H 1 : µ>40

24 Contrastes de Hipótesis Significación: p-valor α H 0 : µ=40

25 Contrastes de Hipótesis No se rechaza H 0 : µ=40 α H 0 : µ=40 X = 43

26 Contrastes de Hipótesis Significacion. P-valor Probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra de H 0. Probabilidad de obtener una muestra más extraña que la obtenida. P-valor es conocido después de realizar el experimento aleatorio El contraste es no significativo cuando p>α No se rechaza H 0 : µ=40 P-valor α P α X = 43

27 Contrastes de Hipótesis Se rechaza H 0 : µ=40 Se acepta H 1 : µ>40 α X = 50

28 Contrastes de Hipótesis El contraste es estadísticamente significativo cuando p<α Es decir, si el resultado experimental discrepa más de lo tolerado a priori. α P Se rechaza H 0 : µ=40 Se acepta H 1 : µ>40 α P X = 50

29 Contrastes de Hipótesis Sobre α Número pequeño, elegido a priori antes de diseñar el experimento Conocido α sabemos todo sobre la región crítica Sobre p Es conocido tras realizar el experimento Conocido p sabemos todo sobre el resultado del experimento Sobre el criterio de rechazo Contraste significativo = p menor que α

30 Estamos estudiando el efecto del estrés sobre la presión arterial. Nuestra hipótesis es que la presión sistólica media en varones jóvenes estresados es mayor que 18 mm de Hg. Estudiamos una muestra de 36 sujetos: X = 18,5 S = 3,6 Plantear Contraste Estadístico Zona de Rechazo P-valor Conclusiones Estadística Contrastes de Hipótesis t(35)0,05=1,69 T=0,833 No esta en Región Crítica No es > 1,69 P-valor para T=0,833, y para 35 g.l. es aproximadamente 0,0 β NO Se rechaza H 0 : µ<=18 H 1 : µ>18

31 Contrastes de Hipótesis El contraste es estadísticamente significativo cuando p<α Pero que pasa cuando NO Rechazo? El error cometido es β Para calcularla se debe concretar H 1 µ 1 = 0 (Cuidado: el criterio para este valor no es estadístico)

32 Cuando Acepto Ho: Estadística Contrastes de Hipótesis El error β es P(Z<z α ) tomando µ 1 = 0 Calculamos el Z correspondiente En este caso hemos calculado β para un n dado y para una µ1

33 Calculo del Tamaño Muestral Se obtiene a partir de L Estadística Contrastes de Hipótesis Podemos fijar n y calcular β ó Podemos fijar β y entonces debemos calcular n para cumplir con ese error µo L µ1

34 Contrastes de Hipótesis Calculo del Tamaño Muestral Se obtiene a partir de L n = (z α + z β ) (σ/δ) En este caso hemos fijado β y entonces debemos calcular el n para cumplir con ese error µo L µ1 δ

35 Contrastes de Hipótesis Comportamiento de β, δ y el tamaño muestral n = (z α + z β ) (σ/δ) Si fijamos β n DISMINUYE cuando aumento δ µo µo L µ1 µ1 δ

36 El estatístico pivote utilizado es: Sigue distribución X no simétrica Los intervalos son: Estadística Contrastes de Hipótesis para Varianza Intervalos de confianza para la varianza

37 Contrastes de Hipótesis para Varianza

38 Contrastes de Hipótesis para Varianza Ejemplo, Se estudia la altura de los individuos de una ciudad, obteniéndose en una muestra de tamaño 5 una media de 170cm y una desviación típica de 10cm. Calcular un intevalo de confianza con de 0.05 para la varianza de la altura de los individuos. x = 170 S α = n = 10 = ( n 1) Sˆ ( n 1) Sˆ σ, χn 1,1 α / χn 1, α / [ ,63.510] σ , σ σ ˆ n S = S = = n 1

39 Ejercicios Ejemplo A continuación se tienen los datos de edad de una muestra de personas que mueren por el brote de una enfermedad: Construir el intervalo de confianza de la varianza poblacional bajo hipótesis de normalidad y un intervalo de confianza del 0.05 n α = x = = n x i = 77.7 S ( xi = n n = S n 1 ˆ S x) = = 1.116

40 Ejercicios ( n 1) Sˆ ( n 1) Sˆ σ, χn 1,1 α / χn 1, α / σ, χ19,0.975 χ19,0.05 σ , σ [ ,70.65]

41 Plantear Contraste Estadística Contrastes de Hipótesis para Varianza Estadístico