Análisis de Funciones Tema 1: Qué empiece la función! Apuntes: Parte 1

Transcripción

1 Tema : Qué empiece la función! Apuntes: Parte.- Idea de función Se define función real de variable real, a una relación que asocia a un número de un conjunto inicial, otro número de un conjunto final. El número es único, es decir, a no se le puede asociar más de un número. A las funciones se les suele llamar f, la relación se epresa de la siguiente manera: = f(). Ejemplo: La relación que eiste entre la velocidad el combustible consumido durante 00 km, es una función, pues a cada velocidad sólo le corresponde una única cantidad de litros consumidos. Dicha función la podemos escribir f() = 0,00 ( - 0) +. Y, por ejemplo, los litros que se gastan a los 00 km si se circula a 0 km/h, se puede epresar f(0) =. La variable independiente, del ejemplo anterior, varía en el intervalo [0, 0], es decir, la velocidad del vehículo puede estar entre 0 0 km/h (si nos mantenemos en los límites legales). A este intervalo se le llama dominio de la función f. Por otro lado, la variable independiente, varía en el intervalo [,.0], lo que significa que el gasto de combustible estará entre los litros los,0 litros. A este otro intervalo se le denomina recorrido de la función. Llamaremos dominio de una función f al conjunto de valores que toma la variable independiente,. Lo denominaremos Dom(f). En tanto que, llamaremos recorrido de f al conjunto de valores que toma la variable dependiente,. Lo denotaremos Rang(f).- Las funciones más populares. Funciones polinómicas de primer grado También llamadas funciones afines son aquellas cua ecuación es del tipo f() = m + n Algunas de sus características principales son: Su dominio es todo Su gráfica es una recta con pendiente m Si m > 0, la función es creciente Si m < 0, la función es decreciente Pasa por el punto (0,n) [Punto de corte con el eje OY] Podemos distinguir dos tipos. /0

2 Tema : Funciones Elementales Apuntes: Parte Si m = 0, la función = n se denomina función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX, que pasa por el punto (0,n) Si n = 0, la función = m se denomina función lineal su gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el origen de coordenadas (0,0) Para representarlas basta hacer una tabla de valores con valores para la variable Ejemplo: La función Sin necesidad de hacer cálculos de ningún tipo sabemos que: Dom f() Su gráfica es una recta creciente Corta en el eje Y en el valor Si queremos representar, bastará con construir una tabla: Funciones polinómicas de segundo grado También llamadas funciones cuadráticas son aquellas cua ecuación es del tipo: f() a b c Algunas de sus características principales son: Su dominio es todo El vértice de la parábola se obtiene b v sustituendo el valor resultante en la fórmula anterior. a Su gráfica es una parábola, simétrica respecto a eje de simetría que pasa por su vértice. maor sea el valor absoluto de a, más cerrada será la parábola. Si a > 0 es una función convea Si a < 0 es una función cóncava Cuanto Para representar una parábola se procede de la siguiente manera ) Estudiamos si es cóncava o convea observando el signo del valor a. ) Calculamos el vértice ) Obtenemos los puntos de corte i) Con el eje, Hacemos = 0 ii) Con el eje, resolvemos a b c 0 /0

3 Tema : Qué empiece la función! Apuntes: Parte Ejemplo : Representar la parábola 0 Como a =, la parábola es cóncava El vértice está en el punto v Puntos de corte ( ) f() 8 Es decir V(, ) Con el eje Y, = 0 f(0) 0 0. Con el eje X, = 0 0 Es decir A (0,) Es decir corta al eje X en los puntos (,0) (,0) Funciones polinómicas de grado maor o igual que n Una función de la forma f() an... a a a0 se llama función polinómica de grado n tiene las siguientes características: Su dominio es todo Si n es impar, su recorrido en también, pero si es par tendremos que analizar con más detalle. Como máimo, cortan al eje X en n puntos. Estos gráficos son algunos ejemplos de función polinómicas de grado, respectivamente. Para representarlas, tendremos que averiguar en primer lugar los puntos de corte después, mediante una sencilla tabla de valores podemos dar una representación aproimada (esbozo) /0

4 Tema : Funciones Elementales Apuntes: Parte Ejemplo : Representar la función f() En primer lugar buscaremos los puntos de corte: Con el eje Y, es si = 0, sustituendo obtenemos = Con el eje X, debemos resolver la ecuación 0. Esto ese hace mediante la regla de Ruffini, obtendríamos los valores, =. = - =. Representamos los puntos en los ejes coordenados obtenemos: Si no tenemos claro como es el dibujo podemos calcular algunos puntos adicionales, por ejemplo qué ocurre con = - o con = f( ) ( ) f() () Funciones racionales /0

5 Tema : Qué empiece la función! Apuntes: Parte Una función f() se llama racional si es el cociente de dos polinomios P() Q(); es decir f() P() Q() k Las más sencillas de todas se epresan f() donde K es un número real suelen llamarse funciones de proporcionalidad inversa. En general, el dominio está formado por todos los números reales, ecepto aquellos que anulan el denominador (recordemos que no se puede dividir por cero en ningún caso). La forma que tiene la función se llama hipérbola tiene dos características fundamentales que se llaman asíntotas (una horizontal otra vertical) Ejemplo : Vamos a representar la función Su dominio son todos los reales ecepto = 0, lo epresamos Domf() = 0, es la asíntota vertical (recta vertical que la función se aproima). Para poder representar mejor, hacemos una pequeña tabla de valores alrededor del cero La asíntota vertical está representa en color verde no podemos atravesarla. Además si nos fijamos bien, la función no tiene puntos de corte porque: /0

6 Tema : Funciones Elementales Apuntes: Parte 0 0 # Es decir, no podemos tocar el eje X. La gráfica sería entonces (hemos puesto la asíntota horizontal también en color verde) Funciones con radicales Son aquellas donde la variable dependiente aparece en el radicando, para representarlas podemos utilizar una pequeña tabla de valores, teniendo en cuenta el dominio Recordemos que si el índice es par, el radicando no puede ser negativo, pero en cambio si es impar, si puede serlo. Ejemplo : Vamos a representar la función Ejemplo : Vamos a representar la función /0

7 Tema : Qué empiece la función! Apuntes: Parte Funciones eponenciales Son aquellas en la que la variable dependiente se calcula elevando un número conocido a la variable dependiente, siendo a un número positivo diferente de Sus características más importantes de la función a son: El dominio son todos los números reales, su recorrido el intervalo 0, Siempre pasa por el punto (0,) además por el (,a) Si a>, la función es creciente, pero si 0<a< es decreciente. Ejemplo 7: Vamos a representar la función Podemos construir una tabla de valores, de la cual a conocemos de ellos (ver caracerísticas) Ejemplo 7: Vamos a representar la función (0.) 7/0

8 Tema : Funciones Elementales Apuntes: Parte Estas funciones son mu importantes porque se pueden epresar de varias maneras, así por ejemplo (0.) son en realidad la misma función.7 Funciones logarítmicas Son las del tipo: f() loga(), a es un número real positivo distinto de Las características más importantes son: Solo eiste para valores positivos, por lo que su dominio es 0, su recorrido son todos los números reales. Pasan por el punto (,0), recordemos que log a 0 ; por el punto (a,) puesto que log a a Si a >, la función es creciente si a < decreciente. Ejemplo 8: Vamos a representar log() Podemos construir una tabla de valores aprovechando que a conocemos dos valores / Ejemplo 9: Vamos a representar log () / Podemos construir una tabla de valores aprovechando que a conocemos dos valores 8/0

9 Tema : Qué empiece la función! Apuntes: Parte / Funciones trigonométricas A partir de las tablas de la circunferencia goniométrica de las razones de los ángulos conocidos del primer cuadrante, con una pequeña tabla de valores es mu sencillo la representación. Las tres funciones son cíclicas, es decir, se va repitiendo según una secuencia determinada. 9/0

10 Tema : Funciones Elementales Apuntes: Parte.9 Otra función importante: Función valor absoluto. f () 0 0 Su gráfica es: f()= En general: f() f() 0 f (). f() f() 0 Para representar gráficamente la función anterior, primero representamos f(), luego, por simetría, la gráfica que se encuentre en la parte negativa del eje Y, la colocamos en la parte positiva del eje Y. Veámoslo con un ejemplo. Ejemplo : Por definición 0 f() 0 Dom f Dom Veamos su gráfica: f()= 0/0