Tema 5 Funciones(V). Representación de Funciones

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1 Tema 5 Funciones(V). Representación de Funciones 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes Con eje OX 1... Con eje OY 1.. Signo de la función 1.4. Simetría y periodicidad 1.5. Asíntotas 1.6. Primera derivada, crecimiento y puntos relativos 1.7. Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión 1.8. Representación de la función Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 1

2 1. Representación de funciones Mediante el ordenador o algunas calculadoras representar una función es sencillo, pero sin estas herramientas debemos estudiar características previas de la función antes de representarla. Los pasos son: 1.1. Dominio El primer paso es ver donde está definida la función, es decir los posibles valores que puede tomar la variable independiente (). Por ejemplo el domino de los polinomios es todos los reales. Los casos en los que algún punto no pertenece al dominio son: (ver tema 1) a) Se anulan denominadores asíntota vertical en el punto b) No eisten logaritmo números negativos c) No eiste el logaritmo del cero asíntota vertical (si está el logaritmo en el numerador) d) No eisten raíces cuadradas o de orden par para números negativos 1.. Punto de corte con los ejes 1..1 Con el eje OX Corta con el eje OX cuando y=0. Obtendremos los puntos de corte con este eje igualando la función a cero viendo los puntos 1,, Dom(f()) que anulan la función. Los puntos ( 1,0), (,0) son los puntos de corte con el eje OX 1.. Con el eje OY Corta con el eje OY cuando =0, siempre que 0 Dom(f()). Sólo puede cortar una vez con el eje OY. El punto de corte con el eje OY es (0,f(0)) 1.. Signo de la función Estudiar el signo de la función es ver los valores de en los cuales f()>0 o f()<0. Para obtener estos intervalos basta con estudiar el signo entre los intervalos de los valores de que anulan la función (corte eje OY) y los puntos que no pertenecen al dominio. En el caso que la función definida a trozos, también se toman los puntos donde cambia de epresión analítica. 1.4 Simetría y periodicidad Periodicidad: las funciones son periódicas cuando se repiten cada cierto intervalo, T, llamado periodo de la función (f()=f(+nt)). Los ejemplos clásicos son las funciones trigonométricas. Simetría, dos tipos: a) Simetría par o respecto al eje OY, la función es igual a la izquierda y derecha del eje OY. Es como si este eje hiciera de espejo. Ocurre cuando se cumple: f()=f(-) Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)

3 b) Simetría impar o respecto al origen, la función a la derecha del eje OY es igual que a la izquierda pero con distinto signo. Ocurre cuando se cumple: -f()=f(-) Ejemplo estudiar simetría de las siguientes funciones: f()= , g()= 5 - -, 1 h()=, i()= 5, j()= a) f(-)=(-) 4 -(-) +6= =f() Par b) g(-)= (-) 5 -(-) -(-)= =-( 5 - -)=-g() Impar ( ) ( ) ( ) c) h(-)= = = 5 5 ( ) + 5( ) ( + 5) =h() Par ( ) 1 1 d) i(-)= =- =-i() Impar ( ) + ( ) + e) j(-)=(-) -(-) +(-)+1= j() y de -j() No simetría Nota: si no hay denominadores será par cuando sólo tenemos epresiones n con n par (recordar que 5=5 0, luego es par). Será impar cuando sólo tenemos epresiones n con n impar; si están mezclados términos impares y pares la función no tendrá simetría. Si tenemos denominadores para que sea simétrica tanto el denominador como el numerador han de ser simétricos. Así: - si numerador y denominador los dos misma simetría (los dos par o los dos impar) la función simetría par (ver h()) - si numerador y denominador distinta simetría (uno par y otro impar) entonces la función simetría impar (ver i()) 1.5 Asíntotas Vertical La función f() tiene asíntota vertical en 0 cuando eiste alguno de estos 6 límites: lim f ( ) = +, lim f ( ) = +, lim f ( ) = + 0 lim f ( ) =, lim f ( ) =, lim f ( ) = La asíntota es = 0, y la función f() se aproima infinitamente a la recta = 0. En la práctica las asíntotas ocurren en los puntos donde se anula el denominador o anula un logaritmo(cuando está en el numerador). Una función puede tener varias asíntotas verticales Horizontal Una función f() tiene una asíntota horizontal en y=y 0 si se cumple una de las siguientes condiciones: a) lim f ( ) = y0 (tiende a la recta y=y 0 cuando ) b) lim f ( ) = y0 (tiende a la recta y=y 0 cuando ) Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)

4 Cuando la función tiene una asíntota horizontal se aproima infinitamente a la recta y=y 0 cuando tiende a +, - o los dos. Una función tiene como máimo asíntotas horizontales, una cuando y otra cuando -, aunque por lo general suelen coincidir (sobre todo en funciones polinómicas o fracciones algebraicas). p( ) En funciones que son fracciones algebraicas ( ) tiene asíntota horizontal cuando q( ) el grado del numerador es menor al del denominador (asíntota =0) o igual (asíntota =a n /b n,con a n y b n coeficientes de mayor grado de p() y q() respectivamente) Oblicua Una función f() tiene una asíntota oblicua cuando se aproima infinitamente a una f ( ) recta de la forma y=m+n (m 0). Eiste si se el límite lim eiste y es distinto de ± y de 0. Si esto ocurre: f ( ) m= lim n= lim f ( ) m Si una función tiene asíntota horizontal no tiene asíntota oblicua, por lo que no sería necesario su estudio. En la práctica las asíntotas oblicuas en las funciones fraccionarias ocurren cuando el grado del denominador es un grado inferior al del numerador Ejemplo: calcular las asíntotas de las siguientes funciones 1 a) f()= b) g()= 4 ln( ) c) h()= a) - Asíntota Vertical: +4+=0 =-1, =-. - Asíntota Horizontal: lim f ( ) =, lim f ( ) =. No asíntota horizontal 1 f ( ) - Asíntota Oblicua: lim = lim 4 = lim = = m n= lim f ( ) m = lim = lim = Luego la asíntota es y=-8 Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 4

5 b) - Asíntota Vertical: -4=0 =-, = + - Asíntota horizontal: lim = 1, lim 1 4 = y=1 4 - No puede tener asíntota oblicua al tener horizontal ln( ) c) - Asíntota Vertical en =0 (se anula el logaritmo) lim = = 0 1 ln( ) ln() lim = = + ln( ) ln() + + = (se anula el denominador) lim = = 0 0 ln( ) ln() lim = = 0 ln( ) 1/ - Asíntota Horizontal lim = = lim = 0 y=0 (cuando ) L' H 1 ln( ) lim no eisten logaritmos negativos Luego la asíntota sólo es cuando - No asíntota oblicua cuando al tener horizontal. Veamos cuando - lim f ( ) = ln( ) lim no eiste Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 5

6 1.6. Primera derivada. Crecimiento y puntos relativos Para estudiar el crecimiento y decrecimiento y los puntos relativos de una función f() tendremos que estudiar el signo de la primera derivada, f (). Como vimos en el tema anterior: a) si f ()>0 creciente b) si f ()<0 decreciente c) si f ()=0 punto relativo (si f () 0) En la práctica igualamos f ()=0 y estudiamos el signo de f () entre los puntos donde se anula la derivada y los valores que no pertenecen al dominio. Si la función definida a trozos también tendremos que añadir entre estos puntos aquellos donde cambia de epresión analítica 1.7. Segunda derivada. Curvatura y Puntos de Infleión Para estudiar la curvatura y los puntos de infleión de una función f() tendremos que estudiar el signo de la segunda derivada, f (). Como vimos en el tema anterior: a) si f ()>0 cóncava hacia arriba b) si f ()<0 cóncava hacia abajo a) si f ()=0 punto de infleión (si f () 0) En la práctica igualamos f ()=0 y estudiamos el signo de f () entre los puntos donde se anula la ª derivada y los valores que no pertenecen al dominio. Si la función definida a trozos también tendremos que añadir entre estos puntos aquellos donde cambia de epresión analítica Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 6

7 1.8.Representación de la función A partir del estudio realizado en los anteriores apartados no debería ser difícil representar un boceto de la función. Ejemplos: 1 1) f()= + 1 I) Dominio=R-{-1} II) Puntos de cortes: a) Con el eje OY: =0 Dom(f()) f(0)=-1 P c (0,-1) b) Con eje OX: y=0 f()=0 =1. P c (1,0) III) Signo de la función: se estudia el signo entre los puntos de corte con el eje OY y los puntos que no pertenecen al dominio: (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1, ) Signo f() P c (1,0) IV) Simetría y Periodicidad No periódica 1 Simetría f(-)= f() y -f() No simétrica + 1 V) a) Asíntota Vertical: = b) Asíntota Horizontal: lim f ( ) = lim = 1, lim f ( ) = lim = (cuando y - ) c) Asíntota oblicua: no tiene al tener horizontal y=1 VI) Primera derivada, crecimiento y puntos relativos + 1 ( 1) f ()= = ( + 1) ( + 1) Vemos que siempre es positiva para todo valor de (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + No eiste -1 Dom(f) + Crecimiento No Punto relativo VII) Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión ( + 1) f ()= 4 ( + 1) Como (+1) 4 es positivo sólo tenemos que estudiar el signo de (+1), por eso no simplificamos la fracción. El signo de la segunda derivada es: Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 7

8 (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + No eiste -1 Dom(f) - Cocavidad No P.I. VIII) Representación: ) y=f()= 4 I) Dominio -4=0 Dom(f())=R-{-,} II) Puntos de corte con los ejes: a) Eje OY (=0), como 0 Dom(f()) P c (0,f(0)) P c (0,0) b) Eje OX (y=0). =0 P c (0,0) III) Signo de la función: Puntos representativos =-,0, (-,-) - (-,0) 0 (0,) (, ) Signo f() P c (0,0) IV) Simetría y Periodicidad. No periódica Simetría: f(-)= = f ( ) simetría impar, respecto el origen 4 Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 8

9 V) Asíntotas a) Asíntotas Vertical: =-, = b) Asíntota Horizontal: lim f ( ) = lim = No asíntota Horizontal 4 f ( ) 4 c) Asíntota Oblicua: m = lim = lim = 1,n= lim f ( ) = lim = y= VI) Primera derivada Crecimiento y puntos relativos: y=f ()=, f ()=0 1 =0 =0, = ± 1 ( 4) (-, 1 ) 1 ( 1,-) - (-,0) 0 (0,) (, 1 ) 1 ( 1, ) f () M( 1, 1 ) m( 1, PI 1 ) M(- 1,-1.5 1), m( 1,1.5 1) VII) Segunda derivada, curvatura y Puntos de Infleión: ( + 1)( 4) y=f ()= =, f ()=0 =0,-, 4 ( 4) ( 4) Nota: Como ( -4) 4 es positivo sólo tenemos que estudiar el signo del numerador, por eso no simplificamos la fracción. El signo de la segunda derivada es: (-,-) - (-,0) 0 (0,) (, ) Signo f () PI(0,0) PI m M Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 9

10 ) y=f()= ln( ) I) Dominio: ->0 (-)(+)>0 (-,- ) - (-,0) 0 (0, ) (, ) Signo No Dom No Dom Dom No Dom No Dom No dom Dom Dom(f())=(-,0) (, ) II) Corte con los ejes: a) Corte con el eje OY (=0 Dom(f())) No corte eje OX b) Corte con el eje OX (y=0) f()= ln( ) =0 1± -=1, =-1,= tres puntos pertenecen al dominio (comprobar con la calculadora) P c (-1,0), P c (,0), P c (,0) 5 los 1 III) Signo de la función: =-, 5 1+,-1,0,, 5 (-, 1 5 ) 1 5 ( 1 5, -1) -1 (-1,0) 0 (0, ) (, 1+ 5 ) 1+ 5 ( 1+ 5, ) P c ( 1 5,0) P c (-1,0) P c ( 1+ 5,0) IV) Simetría y perioricidad a) No periódica b) f(-)=ln(- +) f() y -f() No simétrica V) Asíntotas a) Vertical (donde se anula el logaritmo) =-, =, =0 b) Horizontal lim f ( ) =, lim f ( ) = no eiste No horizontal f ( ) c) Oblicua lim = = lim = 0 No oblicua L' H 1 VI) Primera derivada, crecimiento, puntos relativos f ()= f ()=0, 6 6 -=0 = ± = ± - Dom(f()), pero 6 Dom(f()) Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 10

11 (-,- 6 ) - 6 (- 6,0) 0 (, ) Signo f () Crecimiento 6 ln(7 / ) M(-, VI) Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión f ()= 4 +4=0 No solución, no puntos de infleión ( ) (-,0) 0 (, ) Signo f () - - Curvatura VII) Representación: M Hacer los ejercicios resueltos 1,,,4,5 en el libro (pag 15-19) Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 11

12 Ejercicios de la PAU Septiembre 006, Prueba A PR-.- a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f()=e -, sus máimos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de infleión. Demuéstrese que para todo se tiene que f() 1/e ( puntos) b) Pruébese que la ecuación e = tiene alguna solución en (,1]. (1 punto) a) Dom(f())=R Asíntotas: No verticales 1 Horizontales: lim e = lim = = lim = 0 ; lim e = y=0 (solo cuando L' H e e tiende a + ) Oblicua: no oblicua f ()=e - - e - e - - e - =0 e - (1-)=0 =1 (-,1) 1 (1, ) Signo f () Crecimiento M(1,e -1 ) f ()=-e - -e - +e - =e - (-+) e - (-+)=0 = (-,) (, ) Signo f () Crecimiento PI(,e - ) Representando la gráfica: Vemos que el máimo absoluto es el máimo relativo (1,e -1 ), luego f() e -1 Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 1

13 b) e - = alguna solución en solución (,1] g()=e -=0 Aplicamos Bolzano: g() continua en (-,1] g() derivable en (-,1) g(1)=e-<0, g(0)=1>0 Luego c ( 0,1) : g( c) = 0 Veamos que sólo hay una: g ()=e - e = =ln()=1,1 (-,ln) ln (ln, ) Signo G () Crecimiento m(ln,-0,) Luego entre (-,1.1) la función decrece cortando en un único punto c en el eje OX. Septiembre 006. Prueba B 4 PR-. Sea f()= a) Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máimos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica. (1,75 puntos) Dom(f())=R-{0} Asíntotas: Vertical =0 4 4 Horizontal: lim = lim = Oblicua: m= lim = n= lim + = lim = 0 4 Simetrías: f(-)= = f ( ) Simetría Impar (respecto al origen) y=- Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 1

14 ( + ) f ()= <0 Siempre decreciente. No puntos relativos Junio 006. Prueba B 1 PR-.- Dada la función f ( ) =, se pide: + 1 a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad, los puntos de infleión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. ( puntos) a) Dominio Dom(f())=R-{-1}. Asíntotas AV: = AH: lim = 1, lim = AO: No al tener horizontal Crecimiento y puntos relativos: f ()= ( + 1) y=1 >0 Siempre crece no puntos relativos (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + + Crecimiento ( + 1) Curvatura y P.I.: f ()= 4 4 ( + 1) No P.I. (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + - Curvatura Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 14

15 Septiembre 005. Prueba A ln(1 + ), > 0 PR-.- a) Estúdiese la derivabilidad de f ( ) =, sus intervalos de, 0 crecimiento y decrecimiento y sus puntos de infleión. Esbócese su gráfica. Continuidad: ln(1+ ), es continua en R. Veamos en =0 lim f ( ) = ln(1) = f(0)=0 Continua. Luego podemos hacer la derivada de la lim f ( ) = 0 = 0 0 función: + f '(0 ) = lim f '( ) = 0 +, > 0 0 Derivabilidad: f '( ) = 1 + Derivable, 0 f '(0 ) = lim f '( ) = 0 0 f ()=0 igualamos en cada una de los dos trozos de las funciones a) =0 =0 (0, ) 1+ b)=0 =0 (-,0]. Luego el único punto donde f ()=0 es =0 (-,0) 0 (0, ) Signo f () Crecimiento m(0,0) (1 ), > 0 f ''( ) = (1 + ) 0 f ()=0 (1 ) a) =0 =1,-1, solo =1 es mayor que cero (1 + ) b) 0 Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 15

16 En los intervalos tenemos que considerar =0 (donde cambia la epresión analítica): (-,0) 0 (0,1) 1 (1, ) Signo f () Curvatura PI(1,ln) PI Junio 005. Prueba A PR-.- a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 1 f ( ) = e, sus etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas. ( puntos) b) Esbócese la gráfica de f (1 punto) a) Dom(f())=R m Asíntotas: No verticales. y - ) 1 Horizontales: lim e = e 1 = 0, lim e = e = 0 y=0 (cuando Crecimiento y puntos relativos 1 f '( ) = e =0 =0 (-,0) 0 (0, ) Signo f () Crecimiento M(0,e) Curvatura: f ''( ) = e + 4 e = e (4 ) = ± (-, ) (, ) (, ) Signo f () Curvatura PI(, e ) PI(, e ) Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 16

17 PI M PI Septiembre 004-Prueba A PR- Sea f la función dada por f ( ) = +, R. a) Estúdiese la derivabilidad de f en = 0 mediante la definición de derivada. b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos. c) Esbócese la gráfica de f. a) f ) = ( si si > 0 0 Continuidad Sólo tenemos que estudiar la continuidad en =0 ya que en los demás puntos es continua al ser los dos trozos polinomios lim f ( ) = + 0 lim f ( ) = f(0)=. Continua 0 lim f ( ) = + 0 si > 0 Derivabilidad al ser continua podemos definir la función f ()= + si 0 Que es derivable en todos los puntos menos en =0, que debemos estudiar si lo es: f (0 + )=- ; f (0 - )= No derivable (como ocurre en las funciones valor absoluto) = 0 = > 0 solución b) Crecimiento de la función f ()=0:. Ha esto + = 0 = < 0 solución dos puntos / y -/ tenemos que añadir =0 donde cambia de epresión analítica. (-,-/) -/ (-/,0) 0 (0,/) / (/, ) Signo f () No derivable Crecimiento m(-/,-1/4) m(/,-1/4) Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 17

18 El punto (0,) es un punto donde hay un cambio de pendiente, por eso no es derivable. El cambio de pendiente es tal que pasa de ser una función decreciente a creciente. Luego es un mínimo relativo. c) Podemos representarlo viendo que son dos parábolas ( -+ si >0 y ++ si <0) o partir de las informaciones anteriores. -/ / Junio 004- Prueba A PR-1.- Sea la función y = e. a) Estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. e y = f ) = e e ( si si < 0 0 Veamos primero si es continua para poder derivar la función a trozos: 0 lim f ( ) = e = + 0 lim f ( ) = 0 0 lim f ( ) = = + e f(0)= continua 0 4e si < 0 f '( ) =. Veamos si derivable f (0 + )=4 f (0 - )=-4. No derivable en 4e si 0 =0. Veamos donde se anula la derivada: f ()=0 4e = 0 no solución 4e. = 0 no solución Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 18

19 Luego el único punto característico a la hora de estudiar monotonía es =0, que es donde la función cambia de epresión analítica (-,0) 0 (0, ) Signo f () + - Crecimiento El punto (0,) es un punto donde hay un cambio de pendiente, por eso no es derivable. El cambio de pendiente es tal que pasa de ser una función creciente a decreciente. Luego es un máimo relativo. Asíntotas: 1) Verticales no tiene ) Horizontales: lim f ( ) = e = 0 = 0 asíntota horizontal y=0 (cuando y - ) ; lim f ( ) = e = 0 = 0. Luego tiene Junio 006- Prueba A PR-. f ( ) = 1 Domino=R-{-1,1} Asíntotas: AV: =1, =-1 AH: lim f ( ) = lim f ( ) = 0 y=0 (cuando y - ) AO: No tiene f '( ) = = ( 1) ( 1) f ()=0 No solución. Los únicos puntos representativos para estudiar la monotonía son =1, =-1 (asíntotas verticales) (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1, ) Signo(f ()) - Dom(f()) - Dom(f()) - Monotonía Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 19

20 ( 1) 4 ( 1) ( f ''( ) = 4 ( 1) f ()=0 =0, =1, = ) ( = 1)( 1 4 ( 1) ) ( 1) ( = 4 ( 1) ) ( 1)( = 4 ( 1) + ) (-,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1, ) Signo(f ()) - Dom(f()) Dom(f()) + Curvatura PI(0,0) Junio 006- Prueba B PR-. f ( ) = + e Dom(f())=R Asíntotas: Vertical: no tiene Horizontal: lim f ( ) = + e = + 0 = lim f ( ) = + e = + = ya que ep onente crece mucho mas rapido No asíntota horizontal f ( ) e 0 Oblicua: m= lim = lim1+ = 1+ = 1 n= lim f ( ) = lim e = e = 0 Veamos si - f ( ) e e lim = lim1+ = 1+ = 1+ lim L' H 1 Luego la asíntota es y= (solo si ) = 1 e = 1 = Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 0

21 f '( ) = 1 e '( ) = 0 f 1-e - =0; e - =1 -=ln(1)=0 =0 (-,-0) 0 (0, ) Signo(f ()) Monotonía m(0,1) f ''( ) = e ''( ) = 0 f no solución pues e siempre positivo (-, ) Signo(f ()) + curvatura Tema elaborado por José Luis Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) 1