Prob PI-1. Forma débil de un problema de flujo de calor estacionario en 2D (Cálculos a mano) T k. Q y

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1 p Q S d ds d S q d ds d ] [ ] [ ] ([ d Q d ] [ j i Prob PI-. Forma débil d u problma d flujo d calor stacioario D (Cálculos a mao Cosidérs l problma dfiido la figura siguit: La EDP asociada s: co Q ua fut d calor por uidad d ára coocida. Obsérvs qu la forma compacta d sta EDP s: ([] + Q = sido [] la matriz d coductividad d la cuació costitutiva. S cosidra las siguits codicios l cotoro o bord dl domiio : = (prdtrmiado sobr S q = sobr S q PI-.a Multiplicar la atrior cuació difrcial por = itgrar sobr l domiio. Rcordar qu = s cro los bords dod la tmpratura toma u valor coocido prscrito. Itgrar por parts utilizado la fórmula d Gr cada térmio sparado d la EDP utilizado lo siguit: Mostrar qu sta s la forma quivalt por compots d la prsió compacta utilizada las otas d clas: Dod q =q +q s l flujo ormal d calor 'ERE' la suprfici cuo vctor ormal 'SLIEE' al domiio s = i+ j. Dducir la forma débil fial d st problma. PI- a Solució: Multiplicado la EDP por itgrado sobr l domiio rsulta: Para itgrar por parts mpzamos co la fórmula compacta d las otas d clas (Gr L p [] s supo costat l domiio. Sustitudo las compots matricials la fórmula compacta s ti: Domiio S d ds d [] [] ([] S d ds d

2 p S d ds d S S Q d d ds ds q S d Q d ds q S d Q d ds q q q S d Q d ds q q Ralizado las multiplicacios matricials los productos scalars s ti la fórmula para la itgració por parts dada l problma. Las dos formas so quivalts: plicado sta fórmula a ustra cuació iicial: Pusto qu la tmpratura stá dada sobr l bord S = sobr dicha part dl cotoro la itgral curvilía sobr S s cro rsultado: Sustitudo l flujo d calor da la forma débil fial para l problma [q q ]=-[]: H ( co = sobr S l vctor ormal al bord dl domiio db sr 'SLIEE' por l procso d aplicació dl torma d Gr. Si l vctor q =[q q ] l bord ti la dircció trat cotraria a la ormal salit l producto q =q +q srá u valor gativo - (q +q tdrá valor scalar positivo rprstará l valor dl flujo 'trat' q positivo. Flujo ormal Etrat q srá u valor scalar positivo si l flujo ormal s fctivamt trat gativo si s l flujo s 'salit'.

3 PI- b Cosidérs ahora ua codició d covcció l cotoro dada por sobr S q. Para st caso dducir la uva forma débil dducir tambié la aportació matricial d u lmto K d -> f l problma d flujo d calor. Hacrlo para u lmto gérico. Djar la matriz d rigidz vctor d cargas térmios d las itgrals qu afcta a las fucios bas [ ] sus drivadas[b ]. Mostrar las cotribucios a K a f qu rsulta d sta codició covctiva l cotoro. PI- b Solució Co la codició d covcció S q dada por la uva forma débil s: E forma matricial: h( f ds d Q d q h f ds h ds d Q d q Sq h ds d h f ds Q d q Sq S S S [ ] d h ds Q d h ds Sq S q Sustitudo las itgrals por la suma sobr los lmtos fiitos =...l=e f l [ ] d l Sq h ds l Q d l Sq h ds f dod rcordado las otas d clas L p9: (=[ ]L {d} d s l vctor d tmpraturas los odos [ ]: vctor fila fucios d forma. (=[B ]L {d} [B ] matriz d drivadas as d [ ] L. matriz d acopl d a matriz global. (=W L [ ] W: vctor columa co coficits d fució d pruba (. = W L [B ]. La cuació matricial para ls formulació por lmtos fiitos quda: W l W o simplificado: l K f L L [ B [ W ] [ ][ B ]L { d} d W [ B [ ] Q d l L l L Sq [ B L [ Sq ] [ ][ B ] d ] Q d [ l Sq f L [ ] h ds ] [ ][ B ] d ] Q d h[ Sq h[ f ] ds Sq [ ] [ Sq ] h[ [ ] h f ds ] ds ] h[ ]L { d} ds dod la cotribució dl lmto a la matriz d rigidz al vctor d cargas so:s ] ds L { d} p

4 Problma PI-. Coducció dl calor u domiio D compusto co matrials (cálculo maual (Prob. 8. Fish J. Bltscho. First Cours i Fiit Elmts. Ed. Wil 7 islado * ( Cosidérs ua placa triagular compusta d dos matrials isotrópicos co coductividads térmicas = WºC - =8 WºC - idicados la figura la qu las dimsios so mtros. Sobr l lado BC s impo ua tmpratura costat d = ºC -. El lado B stá aislado térmicamt. Sobr l lado C s aplica u flujo dado por ua distribució lial =5 Wm -. E l puto = = s aplica ua fut putual P=5 W. Para la malla d lmtos fiitos cosidérs dos lmtos triagulars BD BDC. Oprado a mao obtr la tmpratura la distribució d flujos la placa. PI- Solució Rcuérds la prsió fial d la forma débil dada la diapositiva 5 d la L d clas. B W E L B D Bd L { d} K E W L ( f d F q d ( ( ( [ K ] B [] B d B [] B d E : coocida odos bord codicios scials [... ] d r : l rsto d coficits so icógitas odos o scials vctor W ulo K K E re K K Er r d d E r f E r f r E d r r E (dscoocidos K rd r =f r -K red E Los lmtos r E sólo so o ulos las filas asociadas a valors odals Escials E st jmplo pusto qu la tmpratura BC s dada =ºC los odos B C ti umració global s pud dscribir r=[r r ]. Rfrcia para Local Global para los odos: =: Local -- corrsp. Glob: -- =: Local -- corrsp. Glob: -- = = p

5 Para l lmto. =: =6 B 6 B 6 [ K ] B B / / / / Para l lmto. =: =6 = = B 6 B 6 [ K ] B B =: Local -- corrsp. Glob: -- =: Local -- corrsp. Glob: -- El samblado da: K= El vctor idpdit (d furzas : F = f + f +r. f [ ] q d f provdrá d la codició d flujo l bord C d valor 5 : E C las fucios bas o ulas globals so. Vamos por lmtos: E = C / (==-/ f / 5 d (==/ (== E = (==-/ / (==-+/ f / 5 d 5 (== Esamblado: E cuato a f f f d st problma o ha ua fut distribuida por l domiio sio qu ha ua fut putual P=5 W actuado sobr l puto = =. Para su rprstació s mpla la fució dlta d Dirac (--. Rcordar otas d clas L. ctúa l lmto sobr su lado - (local - (global. p5

6 = 5 = / / 5/ 5 / 5 /=5/ El lmto o cotribu a f. Globalmt: f =[++5/+5/ +] =[5/5/]. Esamblado vctors idpdits l sistma global: (los odos scials so K E K Er d E f E re d r (dscoocidos K K r E re r d r f r 6 5/ 75/ 55/ 55/ Y l sistma global [K]=f tido cuta las codicios scials: = =: 6 S rsulv: / 55/ 6 75 =.967 =5.5 r =56 r =9 Para lmtos triagulars lials ( odos la matriz B s costat (Lc : Elmto : Elmto : K rd r =f r -K red E 75 5 El vctor flujo s pud calcular para cada lmto (cuacios costitutivas Lc: q=-k Rcuérds (Lc : [ B ( ]{ d } [ B ] L { d} B q { q } q { q q } q B B d Obsérvs l flujo d calor ambos casos d la zoas calits (BC=- a las frías (D= d 8 p6

7 Problma PI-. rasformació d cuadrilátros. (cálculos a mao S cosidra l lmto cuadrilátro d odos d la figura su imag trasformada a u lmto mastro o tipo: Elmto actual Elmto mastro PI-.a Dsarrollar ua trasformació adcuada para trasformar l lmto actual l lmto mastro mostrado la figura. PI-.b Comprobar qu la trasformació s corrcta (ivrtibl. PI-.c Dducir la prsió d ( los bords dl lmto actual -. Calcular / l odo ( dl lmto ( dod ( s la trcra fució d itrpolació global ( su prsió l lmto mastro rspctivamt. Calcular tambié l valor d sa drivada para cualquir puto dl lado - (-(. Para / l odo ( d X-Y hacr los cálculos l lmto mastro dod al puto ( l corrspod las coordadas : ( al lado - l corrspod l lado = tr los putos (- ( dl domiio. PI-.d Calcular 6 dod ( ( so la sguda trcra fucios d itrpolació s l ára dl lmto actual. Utilizar itgració umérica co ua rgla d Gauss- Lgdr d tipo. PI-. Calcular dod C s l lado - dl lmto dc s l difrcial d logitud d arco a lo largo dl lado - C s la trcra fució d itrpolació dl lmto mastro prsada u parámtro qu varía a lo largo d s lado. Utilizar itgració umérica co ua rgla d Gauss-Lgdr co putos bas. Ralizar la itgral dl mismo itgrado a lo largo dl otro lado dl cuadrilátro qu o s aula sto s l lado -. Obtr asimismo las itgrals d a lo largo d los lados dl lmto cuadrilátro qu o s aula cada ua d llas. Ralizar las itgrals mplado métodos gométricos aalíticos uméricos (Gauss-Lgdr. PI-.a Solució Dsarrollar ua trasformació adcuada para trasformar l lmto actual l lmto mastro mostrado la figura. (Lc pg 9 ( (- (- (- - M M j j ( j j ( j j ( ( (- (- - ( ( ( ( = (+ (= ( (- ( ( - - = (+ (= oprado: =(+--/ =(5-5+-/ ** Es covit rcordar l modo qu stá dfiidas para l lmto cuadrilátro irrgular las fucios bas j ( j= qu so o ulas l lmto cosidrado. S trata d ua rprstació forma paramétrica d cada parch: (: p7

8 (=(+--/ (=(5-5+-/ z(=(--+/ ([-][-] E los bords dl lmto cada j (j= umració 'local' s lial val su odo asociado los dmás. l cosidrar los difrts lmtos las fucios bas globals stas compart los valors d las j ( tr lmtos qu s comporta lialmt por tato ha cotiuidad C tr lmtos para la solució aproimada qu rsulta d combiar las fucios bas globals. E forma plícita ( O ES POLIOMIC su prsió ha raícs cuadradas. Vamos sto co más dtall. % s p s. S trata dl j HW6 P Dspjmos l cambio d variabl mplado Matlab. [p]=solv('(+-*p-p*/-=''(5-5*+p-p*/-=''p' = /6 - / + (^/ - * - 6* + ^ - * + 6^(// - /6 - / - (^/ - * - 6* + ^ - * + 6^(// - p = / - / + (^/ - * - 6* + ^ - * + 6^(// - / - / - (^/ - * - 6* + ^ - * + 6^(// - % la sguda solució o val pus p o s sal d [-] >> =(;p=p( % S compruba la corrspodcia d vértics d lmto 'actual' ( 'mastro' (p >> =;=; val(p val( as = - as = >> =;=; val(p val( as = - as = - >> =;=; val(p val( as = as = - >> =;=; val(p val( as = as = % la f. d forma l lmto mastro: >> =(--p+p*/;% Est s l 'sombrro' p Elmto actual Elmto mastro >> =simpl( = - / - (^/ - * - 6* + ^ - * + 6^(// - / OBSERVR QUE O ES U POLIOMIO E XY E FORM EXPLICIIEE RICES CUDRDS Rcordar qu E FORM PRMERIC SE EXPRES MEDIE COMPOEES POLIOMICS: (: (=(+--/ (=(5-5+-/ z(=(--+/ co ([-][-] Comprobmos qu ( cumpl las codicios rquridas (l odo s ( >> =; =; val( as = >> =;=;val( as = >> =; =; val( as = >> =;=;val( as = Por otra part ( s pud prsar d forma implícita como ua suprfici algbraica (poliómica z= - / - (^/ - * - 6* + ^ - * + 6^(// - /; agrupado: (z-+/+/=sqrt(^/ - * - 6* + ^ - * + 6 lvado al cuadrado quda: f(z= (z-+/+/ -(^/ - * - 6* + ^ - * + 6= ua d cuas compots s la fució d forma ( dl jrcicio p8

9 PI-.b Solució Comprobar qu la trasformació s corrcta (ivrtibl. J? /= (--/ /=(-/ /= (-/ /=(-5-/ d d J=7/ + / + / d d J s simpr > para putos d ambos rcitos ( por puto (-- J=/ Lugo la trasformació s ivrtibl por sr J simpr positivo. Jacobia matri J PI-.c Dducir la prsió d ( los bords dl lmto actual X-Y. Calcular / l odo ( dl lmto ( dod ( s la trcra fució d itrpolació global ( l lmto mastro rspctivamt. Calcular tambié l valor d sa drivada para cualquir puto dl lado - (-(. Para / l odo ( d X-Y hacr los cálculos l lmto mastro dod al puto ( l corrspod las coordadas : ( al lado - l corrspod l lado = tr los putos (- ( dl domiio. Solució Matriz Jacobiaa [J] ( = (. E l lado - =- lugo: = (- = (= s ti qu: =- co [-] sto s varía d a =(5+/ co [-] sto s varía d a. E l lado - = lugo: = (C =(+/ = ( s ti qu: =(+--/= =(5-5+-/=/-/ =-/ (=-/ so s para = s ua fució lial qu val ( (.. E l lado - = lugo: = ( =(+/ = ( s ti qu: =(+--/=- =-/ = (=(-//=-/ sto s para = s ua fució lial qu val ( (.. E l lado - =- lugo: = (- = (= s ti qu: =- co [-] sto s varía d a =- co [-] sto s varía d a. Etdido la forma gométrica d ( os fijamos qu s u poliomio qu val l odo ( los odos. dmás ( sobr - varía lialmt pus l domiio s corrspod co l lado - dl lmto mastro = sobr dicho lado so fucios lials d lugo dscrib ua rcta. Para vr la drivada parcial para cualquir puto d - tr llos l ( s ti: /=(-/-= -/ El odo dl lmto s ( qu s corrspod co ( l lmto mastro. Vamos a calcular la drivada rspcto a l odo oprado co l lmto mastro M M ( - ( ( J J / / / / / / / / p9

10 p El odo ( ( s corrspod co odo ( l domiio - dl lmto mastro. Para s puto: J=7/+/+/=/= / =/ -/ lugo =(/+(/(-/=-/ E gral s pud scribir: Para todos los putos dl sgmto - = lugo llos: J=(+/ PI-.d Calcular 6 dod ( ( so la sguda trcra fucios d itrpolació s l ára dl lmto actual la dl mastro. Utilizar itgració umérica co ua rgla d Gauss-Lgdr d tipo. Solució 6 Ω 6 Co u solo puto bas d Gauss-Lg ( ( pso: == 6 Ω ( ( ( - ( - ( ( J ( ( ( ( J ( ( J ( ( ( ( J / ( - / (-- / ((-+ ( / (- - / (- / ((-+ - ( - J J ( ( J J J ( ( J J - - J - ( - / ( - (

11 PI-. Calcular dod C s l lado - dl lmto dc s l difrcial d logitud d arco a lo largo dl lado - C s la trcra fució d itrpolació dl lmto mastro prsada u parámtro qu varía a lo largo d s lado. Utilizar itgració umérica co ua rgla d Gauss-Lgdr co putos bas. Ralizar la itgral dl mismo itgrado a lo largo dl otro lado dl cuadrilátro qu o s aula sto s l lado -. Obtr asimismo las itgrals d a lo largo d los lados dl lmto cuadrilátro qu o s aula cada ua d llas. Ralizar las itgrals mplado métodos gométricos aalíticos uméricos (Gauss-Lgdr Ralizar la itgració d i= para las rstats fucios d forma a lo largo d los lados C qu s o s aula idéticamt cada ua d llas. odas las itgrals curvilías sobr tramos C d bord s raliza stido atihorario. Solució Elmto actual Elmto mastro IEGRCIÓ d C Caso qu C s l lado [-] l domiio - Efoqu I (Gométrico. E l lado - = lugo: = ( =(+/ = ( C s ti qu: =(+--/=- =-/ = (] C =(-//=-/ sto s para = s ua fució lial qu val ( (. * La itgral pdida s l ára bajo la curva a lo largo dl sgmto [-] sto s: (/=8 Efoqu II (aalítico Dircto *. La curva C s = co [ ]. : =d. l itgrado z=(-/ pus C sobr [-] s -/ Efoqu II (aalítico CMBIO DE VRIBLE 8 8 V ( Mdiat l cambio d variabl para trasformar l cuadrilátro - al rcito mastro -. E l lado - = l sgmto - d - s trasforma - - co = variado d ( pto a - ( pto. E l lado - = lugo ( C = C = ( =(+/ s ti qu: La curva C - s pud scribir térmios d las variabls =(+--/] = =- = =- =. fctos d la itgració umérica qu s utilizará l procso d programació para l computador itrsa qu l domiio trasformado la itgral s haga l itrvalo [-] para aplicació dircta d rglas d Gauss-Lgdr. sí qu SE HCE EL CMBIO DE VRIBLE: =- co lo qu s tdrá: C = (- =(- / = ( Y la curva C: =+ = d=d d= p

12 sí l difrcial d arco crc dc l mismo stido qu la variabl s scrib: dc= [(( / d +( / d ] / =d Y la itgral: * dξ / dξ / =(-(-=8 Efoqu III (umérico itgració umérica d Gauss-Lgdr (Es l qu s utiliza u programa d computador S sigu l procso aalítico co cambio d variabls hasta formular la itgral fial qu s raliza uméricamt co la rgla d Gauss-Lgdr co putos bas.. / C = (=(+/ varía d a -. Cambio d variabl para obtr la trasformada d C la variabl : =(+--/] = =- =(5-5+-/] = = =- =. Cambio d variabl DICIOL para obtr la itgració [-] lugar d [-] qu l crcimito d la logitud d arco dc corrspoda co l d la variabl d itgració: =-' =+' = d=d d= C =(-'/ dc= [( / d +( / d ] / =( + /d =d. Vamos a scribir como j al factor qu rprsta l cambio d scala la difrcial dcd variabl logitud d arco d C la d : dc=jd j[( / +( / ] / =( + / = Obsrvar qu j rsulta costat para st tipo d lmtos fucios d forma bscisas bas psos para putos bas d Gauss-Lg =-/ = ; =// = C ] -/ =(+// C ] / =(-// * I G-L = =(+//+(-//=8 Obsérvs qu rsulta l valor acto pus la rgla d Gauss-Lg co putos bas itgra actamt itgrados poliómicos d grado mor o igual qu st caso l itgrado s d grado. Caso qu C s l lado [-] l domiio - Efoqu I (Gométrico. E l lado - =. lugo: = ( =(+/ = ( C. s ti qu: =(+--/= Elmto actual Elmto mastro =(5-5+-/=/-/ =-/ (=-/ so s para = s ua fució lial qu val ( (. * La itgral pdida s l ára bajo la curva a lo largo dl sgmto [-] sto s: (/=6 Efoqu II (aalítico Dircto 6 6. La curva C [-] s = co t. : =-d pus s avaza p

13 stido gativo (psar la itgral como límit d icrmtos d C. l itgrado z=(-/ pus C sobr [-] s -/ V ( Efoqu II (aalítico CMBIO DE VRIBLE mdiat cambio d variabl para trasformar l cuadrilátro - al rcito mastro -. E l lado - = l sgmto - d - s trasforma - - co = variado d - ( pto a + ( pto.. E l lado - = lugo ( C = C = ( =(+/ s ti qu: La curva C - s pud scribir térmios d las variabls =(+--/] = = =(5-5+-/] ==/-/ = =/-/. fctos d la itgració umérica qu s utilizará l procso d programació para l computador itrsa qu l domiio trasformado la itgral s haga l itrvalo [-] para aplicació dircta d rglas d Gauss-Lgdr. Como varía tr - O HY QUE HCER CMBIO DE VRIBLE DICIOL E ESE CSO (sólo l d trasformació dl cuadrilátro l cuadrado mastro:. La curva C: = =/-/. sí l difrcial d arco dc d C crc l mismo stido qu la variabl s scrib: dc= [((/ d +(/ d ] / =/d Y la itgral:* / /dη 6 // 6 Efoqu III (umérico itgració umérica d Gauss-Lgdr S sigu l procso aalítico hasta formular la itgral fial qu s raliza uméricamt co la rgla d Gauss-Lgdr co putos bas.. / C = ( =(+/ varía d - a La curva C - s pud scribir térmios d las variabls =(+--/] = = =(5-5+-/] ==/-/ = =/-/ Como varía tr - O HY QUE HCER CMBIO DE VRIBLE DICIOL E ESE CSO (sólo l d trasformació dl cuadrilátro l cuadrado mastro: dc= [((/ d +(/ d ] / =/d. Vamos a scribir como j al factor qu rprsta l cambio d scala la difrcial dc la variabl logitud d arco c la d: dc=jd j/ Obsrvar qu j rsulta costat para st tipo d lmtos fucios d forma bscisas bas psos para putos bas d Gauss-Lg =-/ = ; =// = C ] -/ =(-// C ] / =(+// I G-L = =(-///+(+///=/+/=6 Obsérvs qu rsulta l valor acto pus la rgla d Gauss-Lg co putos bas itgra actamt itgrados poliómicos d grado mor o igual qu st caso l itgrado s d grado. p

14 IEGRCIÓ d C Caso qu C s l lado [-] l domiio - Efoqu I (Gométrico. E l lado - =- Elmto actual Elmto mastro lugo: / = ( C s ti qu: =(+--/] =- = + =- pto ( - s corrspod co pto (- - =(5-5+-/] =- = - =- pto ( - s corrspod co pto (-- - ( C = -+/=-/ [] []s ua fució lial qu val l pto ( l pto (.. * Itgral pdida: ára bajo la curva C a lo largo dl sgmto [-] sto s: ( /= Efoqu II (aalítico Dircto * / /. La curva C s =- - co [ ] d=-d : =- d l crcr l arco l arco la dcrc pus varía d a V ( Efoqu II (aalítico CMBIO DE VRIBLE mdiat cambio d variabl para trasformar l cuadrilátro - al rcito mastro -. E l lado - =- l sgmto - d - s trasforma - - co =- variado d ( pto a ( pto. E l lado - = lugo ( C = C = (- =(+/ s ti qu: La curva C - s pud scribir térmios d las variabls trasformadas: =(+--/] =- =+ =- =+ =- co [ -]. fctos d la itgració umérica qu s utilizará l procso d programació co l computador itrsa qu l domiio trasformado la itgral s haga l itrvalo [-] para aplicació dircta d rglas d Gauss-Lgdr. sí qu SE HCE EL CMBIO DE VRIBLE: =- co lo qu s tdrá: C = (-- =(- / = ( [-] Y la curva C: =- =+ d=-d d=d sí l difrcial d arco dc crc l mismo stido qu la variabl s scrib: dc= [((- / d +(- / d ] / = d = d Y la itgral: * d / d / p

15 Efoqu III (umérico itgració umérica d Gauss-Lgdr (Es l qu s utiliza u programa d computador S sigu l procso aalítico co cambio d variabls hasta formular la itgral fial qu s raliza uméricamt co la rgla d Gauss-Lgdr co putos bas.. C = (- =(+/ varía d a -. La curva C - s pud scribir térmios d las variabls trasformadas =(+--/] =- =+ =- =+ =- co [ -]. CMBIO DE VRIBLE DICIOL para obtr la itgració [-] lugar d [-] qu l crcimito d la logitud d arco dc corrspoda co l d la variabl d itgració: =- co lo qu s tdrá: C = (-- =(- / = ( [-] Y la curva C: =- =+ d=-d d=d sí l difrcial d arco dc crc l mismo stido qu la variabl s scrib: dc= [((- / d +(- / d ] / = d = d. Vamos a scribir como j al factor qu rprsta l cambio d scala la difrcial dcd variabl logitud d arco d C la d : dc=jd j[(- / +(- / ] / = / Obsrvar qu j rsulta costat para st tipo d lmtos fucios d forma bscisas bas psos para putos bas d Gauss-Lg =-/ = ; =// = C ] -/ =(+// C ] / =(-// * I G-L = =(+//+(-//= Obsérvs qu rsulta l valor acto pus la rgla d Gauss-Lg co putos bas itgra actamt itgrados poliómicos d grado mor o igual qu st caso l itgrado s d grado. Caso qu C s l lado [-] l domiio - Efoqu I (Gométrico. E l lado - =. lugo: = ( =(-/ = ( C. s ti qu: =(+--/= - -=/ =(5-5+-/= Elmto actual Elmto mastro. ( C =/ so s sobr C s ua fució lial qu val ( (. * La itgral pdida s l ára bajo la curva a lo largo dl sgmto [-] sto s: (/=8 Efoqu II (aalítico Dircto / / 8. La curva C [-] s = co tr. : =d pus s la logitud d curva c crc l mismo stido. p5

16 Efoqu II (aalítico CMBIO DE VRIBLE Mdiat l cambio d variabl para trasformar l cuadrilátro - al rcito mastro -. E l lado - = l sgmto - - s trasforma - - co = variado d ( pto a - ( pto.. E l lado - = lugo ( C = C = ( =(-/ s ti qu: La curva C - s pud scribir térmios d las variabls =(+--/] = =- =(5-5+-/] = = =- =. fctos d la itgració umérica qu s utilizará l procso d programació para l computador itrsa qu l domiio trasformado la itgral s haga l itrvalo [-] para aplicació dircta d rglas d Gauss-Lgdr. Como varía tr - HY QUE HCER CMBIO DE VRIBLE DICIOL E ESE CSO: =- co lo qu s tdrá: C = (- =(+ / = ( Y la curva C: =+ = sí l difrcial d arco crc dc l mismo stido qu la variabl s scrib: dc= [(( / d +( / d ] / = d =d Y la itgral: * dξ / dξ / =(-(-=8 Efoqu III (umérico itgració umérica d Gauss-Lgdr S sigu l procso aalítico co cambio d variabls hasta formular la itgral fial qu s raliza uméricamt co la rgla d Gauss-Lgdr co putos bas.. / C = (=(-/ varía d a -. Cambio d variabl para obtr la trasformada d C la variabl : =(+--/] = =- =(5-5+-/] = = =- =. Cambio d variabl DICIOL para obtr la itgració [-] lugar d [-] qu l crcimito d la logitud d arco dc corrspoda co l d la variabl d itgració: =-' =+' = C =(+'/ dc= [( / d +( / d ] / =( + /d =d. Vamos a scribir como j al factor qu rprsta l cambio d scala la difrcial dcd variabl logitud d arco d C la d : dc=jd j[( / +( / ] / =( + / = Obsrvar qu j rsulta costat para st tipo d lmtos fucios d forma bscisas bas psos para putos bas d Gauss-Lg =-/ = ; =// = C ] -/ =(-// C ] / =(+// * I G-L = =(-//+(+//=+=8 Obsérvs qu rsulta l valor acto pus la rgla d Gauss-Lg co putos bas itgra actamt itgrados poliómicos d grado mor o igual qu st caso l itgrado s d grado. p6

17 IEGRCIÓ d C Caso qu C s l lado [-] l domiio - Efoqu I (Gométrico. E l lado - =- Elmto actual Elmto mastro lugo: / = ( C s ti qu: =(+--/] =- = + =- pto ( - s corrspod co pto (- - =(5-5+-/] =- = - =- pto ( - s corrspod co pto (-- - ( C = / [] [] s ua fució lial qu val l pto ( l pto ( -. * Itgral pdida: ára bajo la curva C a lo largo dl sgmto [-] sto s: ( /= Efoqu II (aalítico Dircto * / /. La curva C s =- - co [ ] d=-d. : = d. l crcr l arco l C la crc varía d a V( Efoqu II (aalítico CMBIO DE VRIBLE mdiat cambio d variabl para trasformar l cuadrilátro - al rcito mastro -. E l lado - =- l sgmto - d - s trasforma - - co =- variado d ( pto a ( pto. E l lado - = lugo ( C = C = (- =(-/ s ti qu: La curva C - s pud scribir térmios d las variabls trasformadas: =(+--/] =- =+ =- =+ =- co [ -]. fctos d la itgració umérica qu s utilizará l procso d programació co l computador itrsa qu l domiio trasformado la itgral s haga l itrvalo [-] para aplicació dircta d rglas d Gauss-Lgdr. sí SE HCE EL CMBIO DE VRIBLE DICIOL: =- d modo qu: C = (-- =(+ / = ( [-] Y la curva C: =- =+ d=-d d=d sí l difrcial d arco dc crc l mismo stido qu la variabl s scrib: dc= [((- / d +(- / d ] / = d = d Y la itgral: * d / d / p7

18 Efoqu III (umérico itgració umérica d Gauss-Lgdr (Es l qu s utiliza u programa d computador S sigu l procso aalítico co cambio d variabls hasta formular la itgral fial qu s raliza uméricamt co la rgla d Gauss-Lgdr co putos bas.. C = (- =(-/ varía d a -. La curva C - s pud scribir térmios d las variabls trasformadas =(+--/] =- =+ =- =+ =- co [ -]. Cambio d variabl DICIOL para obtr la itgració [-] lugar d [-] qu l crcimito d la logitud d arco dc corrspoda co l d la variabl d itgració: =- co lo qu s ti: C = (-- =(+ / = ( [-] Y la curva C: =- =+ d=-d d=d sí l difrcial d arco dc crc l mismo stido qu la variabl s scrib: dc= [((- / d +(- / d ] / = d = d. Vamos a scribir como j al factor qu rprsta l cambio d scala la difrcial dc d la variabl logitud d arco d C la d : dc=jd j[(- / +(- / ] / = / Obsrvar qu j rsulta costat para st tipo d lmtos fucios d forma bscisas bas psos para putos bas d Gauss-Lg =-/ = ; =// = C ] -/ =(-// C ] / =(+// * I G-L = =(-//+(+//= Obsérvs qu rsulta l valor acto pus la rgla d Gauss-Lg co putos bas itgra actamt itgrados poliómicos d grado mor o igual qu st caso l itgrado s d grado. Caso qu C s l lado [-] l domiio - Elmto actual Efoqu I (Gométrico. E l lado - =-. lugo: = ( - =(-/ = ( C. s ti qu: =(+--/= - =- =(5-5+-/= (5+/. ( C =/ so s sobr C s ua fució lial qu val ( (. * La itgral pdida s l ára bajo la curva a lo largo dl sgmto [-] sto s: ( /= 5 Efoqu II (aalítico Dircto / / 5/ 5 5. La curva C [-] s =(6-/ co tr d=-d/ Elmto mastro V( p8

19 . : / 5/ pus la logitud d curva c crc stidos opustos. Efoqu II (aalítico CMBIO DE VRIBLE Mdiat l cambio d variabl para trasformar l cuadrilátro - al rcito mastro -. E l lado - =- l sgmto - - s trasforma - - co =- variado d - ( pto a + ( pto.. E l lado - =- lugo ( C = C = ( - =(-/ s ti qu: La curva C - s pud scribir térmios d las variabls =(+--/] =- =- =(5-5+-/] =- = (5+/ =- =(5+/. fctos d la itgració umérica qu s utilizará l procso d programació para l computador itrsa qu l domiio trasformado la itgral s haga l itrvalo [-] para aplicació dircta d rglas d Gauss-Lgdr. Como varía tr - + O HY QUE HCER CMBIO DE VRIBLE DICIOL E ESE CSO (sólo l d trasformació dl cuadrilátro l cuadrado mastro: sí l difrcial d arco crc dc l mismo stido qu la variabl s scrib: dc= [((-/d +(-/d ] / = / d= 5/d Y la itgral: * 5/dξ / 5/ dξ 5 / 5 Efoqu III (umérico itgració umérica d Gauss-Lgdr S sigu l procso aalítico co cambio d variabls hasta formular la itgral fial qu s raliza uméricamt co la rgla d Gauss-Lgdr co putos bas.. / C = (-=(-/ varía d - a +. Cambio d variabl para obtr la trasformada d C la variabl : =(+--/] =- =- =(5-5+-/] =- =(5+/ =- =(5+/. O HY QUE HCER CMBIO DE VRIBLE DICIOL para obtr la itgració [-] lugar d [-] a qu l crcimito d la logitud d arco dc s corrspod co l d la variabl d itgració: C =(-/ dc= [(-/d +(-/d ] / =((- +(/ /d=( 5/d. Vamos a scribir como j al factor qu rprsta l cambio d scala la difrcial dc d la variabl logitud d arco d C la d: dc=jd j[(/ +(/ ] / =((- +(/ / = 5/ Obsrvar qu j rsulta costat para st tipo d lmtos fucios d forma bscisas bas psos para putos bas d Gauss-Lg =-/ = ; =// = C ] -/ =(+// C ] / =(-// * I G-L = =(+// 5/+(-// 5/= 5 Obsérvs qu rsulta l valor acto pus la rgla d Gauss-Lg co putos bas itgra actamt itgrados poliómicos d grado mor o igual qu st caso l itgrado s d grado. p9

20 IEGRCIÓ d C Caso qu C s l lado [-] l domiio - Efoqu I (Gométrico Elmto actual Elmto mastro. E l lado - =-. lugo: = ( - =(+/ = ( C. s ti qu: =(+--/= - =- =(5-5+-/= (5+/. ( C =-/ so s sobr C s ua fució lial qu val ( (. * La itgral pdida s l ára bajo la curva a lo largo dl sgmto [-] V( sto s: ( /= 5 Efoqu II (aalítico Dircto / / 5/ 5 5. La curva C [-] s =(6-/ co tr d=-d/. : / 5/ pus la logitud d curva c crc stidos opustos. Efoqu II (aalítico CMBIO DE VRIBLE Mdiat l cambio d variabl para trasformar l cuadrilátro - al rcito mastro -. E l lado - =- l sgmto - - s trasforma - - co =- variado d - ( pto a + ( pto.. E l lado - =- lugo ( C = C = ( - =(+/ s ti qu: La curva C - s pud scribir térmios d las variabls =(+--/] =- =- =(5-5+-/] =- = (5+/ =- =(5+/. fctos d la itgració umérica qu s utilizará l procso d programació para l computador itrsa qu l domiio trasformado la itgral s haga l itrvalo [-] para aplicació dircta d rglas d Gauss-Lgdr. Como varía tr - + O HY QUE HCER CMBIO DE VRIBLE DICIOL E ESE CSO (sólo l d trasformació dl cuadrilátro l cuadrado mastro: sí l difrcial d arco crc dc l mismo stido qu la variabl s scrib: dc= [((-/d +(-/d ] / = / d= 5/d Y la itgral: * 5/dξ / 5/ dξ 5 / 5 Efoqu III (umérico itgració umérica d Gauss-Lgdr S sigu l procso aalítico co cambio d variabls hasta formular la itgral fial qu s raliza uméricamt co la rgla d Gauss-Lgdr co putos bas. p

21 . / C = (-=(+/ varía d - a +. Cambio d variabl para obtr la trasformada d C la variabl : =(+--/] =- =- =(5-5+-/] =- =(5+/ =- =(5+/. O HY QUE HCER CMBIO DE VRIBLE DICIOL para obtr la itgració [-] lugar d [-] a qu l crcimito d la logitud d arco dc s corrspod co l d la variabl d itgració: C =(+/ dc= [(-/d +(-/d ] / =((- +(/ /d=( 5/d. Vamos a scribir como j al factor qu rprsta l cambio d scala la difrcial dc d la variabl logitud d arco d C la d: dc=jd j[(/ +(/ ] / =((- +(/ / = 5/ Obsrvar qu j rsulta costat para st tipo d lmtos fucios d forma bscisas bas psos para putos bas d Gauss-Lg =-/ = ; =// = C ] -/ =(-// C ] / =(+// * I G-L = =(-// 5/+(+// 5/= 5 Obsérvs qu rsulta l valor acto pus la rgla d Gauss-Lg co putos bas itgra actamt itgrados poliómicos d grado mor o igual qu st caso l itgrado s d grado. Caso qu C s l lado [-] l domiio - Efoqu I (Gométrico. E l lado - = Elmto actual Elmto mastro lugo: / = ( C s ti qu: =(+--/] = = =(5-5+-/] = = (- / =-/ pto ( - corrspod a pto (- - pto ( - corrspod a pto ( - ( C = / [] = s ua fució lial val l pto ( l pto ( -. * Itgral pdida: ára bajo la curva C a lo largo dl sgmto [-] sto s: /=6 Efoqu II (aalítico Dircto * / / 6 6. La curva C s = - co [ ]. : =-d. S lig dc=-d pus al crcr l arco C la dcrc varía d a V( Efoqu II (aalítico CMBIO DE VRIBLE mdiat cambio d variabl para trasformar l cuadrilátro - al rcito mastro - p

22 . E l lado - = l sgmto - d - s trasforma - - co = variado d - ( pto a ( pto. E l lado - = lugo ( C = C = ( =(-/ s ti qu: La curva C - s pud scribir térmios d las variabls trasformadas: =(+--/] =- = =(-/ co [-+]. fctos d la itgració umérica qu s utilizará l procso d programació co l computador itrsa qu l domiio trasformado la itgral s haga l itrvalo [-] para aplicació dircta d rglas d Gauss-Lgdr. E st caso O HY QUE HCER CMBIO DE VRIBLE DICIOL. sí l difrcial d arco dc crc l mismo stido qu la variabl s scrib: dc= [(( /d +( /d ] / = / d= (/d Y la itgral: * d d 6 Efoqu III (umérico itgració umérica d Gauss-Lgdr (Es l qu s utiliza u programa d computador S sigu l procso aalítico co cambio d variabls hasta formular la itgral fial qu s raliza uméricamt co la rgla d Gauss-Lgdr co putos bas.. C = ( =(-/ varía d - a. La curva C - s pud scribir térmios d las variabls trasformadas =(+--/] = = =(-/ = =(-/ co [- ]. O ha qu hacr cambio d variabl DICIOL pus la itgració s [-]. E la curva C: = =(-/ d= d=-(/d El difrcial d arco dc crc l mismo stido qu la variabl s scrib: dc= [((/d +(/d ] / = / d =(/d. Vamos a scribir como j al factor qu rprsta l cambio d scala la difrcial dc d la variabl logitud d arco d C la d: dc=jd j[(/ +(/ ] / =/ Obsrvar qu j rsulta costat para st tipo d lmtos fucios d forma bscisas bas psos para putos bas d Gauss-Lg =-/ = ; =// = C ] -/ =(+// C ] / =(-// * I G-L = =(+//(/+(-//(/=+=6 Obsérvs qu rsulta l valor acto pus la rgla d Gauss-Lg co putos bas itgra actamt itgrados poliómicos d grado mor o igual qu st caso l itgrado s d grado. Como comtario gral obsérvs qu para las itgrals a lo largo d los lados [-] [-] s HCE SOLO EL CMBIO DE VRIBLE BSICO mitras qu para los lados [-] [-] SE HCE EL CMBIO DE VRIBLE DICIOL cambiado l sigo d la variabl mastra Lado [-]: o s cambia =- Lado [-]: = o s cambia Lado [-]: =- s cambia = Lado [-]: =- s cambia =- p

23 Problma PI- rasfrcia d calor por covcció (Matlab S cosidra l aálisis por Elmtos Fiitos d problmas d calor qu implica fómos d covcció (sto s trasfrcia d rgía tr u curpo sólido mdio fluido qu lo vulv. La cuació dl problma l caso particular qu s cosidra aquí s: Dod s la tmpratura ( ºC so las coductividads [ W/(mºC] a lo largo d las dirccios rspctivamt f s la gració itra d calor por uidad d volum (W/m Las codicios d cotoro scials aquí implica la spcificació d la tmpratura. Las codicios d cotrol aturals implica la spcificació dl flujo d calor tal qu : dod s l coficit d trasfrcia covctiva d calor [ W/(mºC] s la tmpratura ambit dl mdio fluido volvt l flujo d calor spcificado. El primr térmio ti cuta la trasfrcia d calor por coducció l sgudo por covcció l trcro idica l flujo d calor spcificado. SE PIDE: PI-.a Dducir la forma débil para st tipo d problmas dar prsios plicitas d la matriz d rigidz d u lmto l vctor d cargas d u lmto. Supógas qu part d cotoro ti codicios d cotoro scials l rsto codicios d cotoro aturals como las idicadas ats. Cómo afcta stas últimas codicios a la matriz d rigidz? PI-.b (Prob 8.8 d Rdd J.. ' Itroductio to th FEM' rd d 6 Cosidérs ahora ua sri d cabls calits colocados u mdio coductor como s mustra la figura. El mdio ti coductividad = W/(cmºC =5 W/(cmºC. E la part suprior dl domiio la suprfici stá somtida a ua tmpratura d.5 ºC la suprfici ifrior stá limitada por u mdio aislat térmicamt. Supor qu cada cabl s ua fut calorífica putual d 5 W/cm. Cosidrar qu al coficit covctivo tr l mdio la suprfici suprior s =5 W/(cm ºC. Utilizar ua malla d lmtos cuadrilátros l domiio computacioal (aprovchar cualquir simtría prst l problma. Dibujar l mapa d cotoros d tmpraturas. D llo comprobar la covrgcia d la malla. Covcció [ =-5ºC =5 W/(cm ºC] B Cabls léctricos Domiio computacioal B B islamito B Idicació: Utilizado la simtría dl problma s pud rducir al domiio computacioal al mostrado la figura. La trada d calor l odo dod s stá l cabl s 5 W/cm s localiza l odo 6. Las codicios d bord l cotoro suprior so d tipo covctivo los bords a la drcha izquirda l flujo d calor s cro (por la simtría l bord ifrior l flujo d calor s cro dbido al aislamito. p

24 PI- Solució: PI.a La EDP dl problma s: La codició d cotoro atural implica la spcificació dl flujo q d modo qu: P.a La forma débil s: Ω βds Ω β Esto da la siguit prsió para la matriz d rigidz vctor d carga d u lmto: Ω β Ω β Las codicios d cotoro aturals afcta al vctor d rigidz añadido térmios d itgral curvilía. PI.b Solucios co Matlab Modificacios l programa Matlab: S va a distiguir: I Uso d malla rctagular d lados parallos a los js X-Y coform a la opció loadgrid='o' dl programa dbvp. II Uso d malla cuadrilátra o triagular co rfiamito d malla coform a la opció loadgrid='rfi' qu tabula la volució d los odos iicials a lo largo dl 'rfi'. I malla rctagular d lados parallos a los js X-Y opció loadgrid='o'. IputGrid.m tdido a la simtría l problma por l rago d d a cm l rago d d a 8 cm. co 8 lmtos las dos dirccios. Utilizar lmtos cuadrilátros co dimsios spacials. if strcmpi(load_grid'o'== % Usar la malla por dfcto l =.; % trmo izqdo. (lft dl rago la dirccio r =.; % trmo dcho (right dl rago la dirccio b =.; % trmo ifrior (bottom dl rago la dirccio t = 8.; % trmo suprior (top dl rago la dirccio = 8; % umro d lmtos la dirccio = 8; % umro d lmtos la dirccio Elmtp = ; % : Q : cuadrilatro lados Q riagulo odos sd = ; % umro d dirccios spacials ( (por dfcto o BoGrid_D(lrbt; % fucio gra malla-caja lmtos rctagulos Ed IputData.m Dibuja la malla los cotoros curvas d ivl vctors plot_msh = 's'; % S dibuj la malla. Para mallas grads plot_od = 'o'; % s major o dibujar um. odos vctors cojutamt (borró. plot_boudar = 's'; % Dibujar bord % ELEGIR OPCIOES DE MODO PROPIDO plot_cotour = 's'; % Dibujar curvas d ivl d la solució plot_vctor = 's'; % Dibujar vctor gradit d la solució (flujos p

25 is_act = 'o'; % S itroduc caso dado solució acta para comparar El bord (B s l úico qu ti codicios d cotoro aturals o ulas. Los bords B B B ti flujos d calor ulo como s mustra l dibujo d los bords. S idica la variabl asociada: IsBoudarCoditio = [ ]; Coductivit.m Fucio qu s itroduc la matriz d coductividad co = =5. D = [ ; 5];% matriz diagoal spcifessbcvalu.m: Pusto qu o s spcifica tmpraturas los bords o ha codicos d bord (BC scials. sí dof = []; % iitilizar los dos vctors output d rsultados vals =[]; spcifaturalbcvalu.m: Itroducir la codició d cotroo atural spcificada l bord B. Pusto qu Comparado sto co grad(u=alfau+bta l programa =+ S ti: alpha=-=-5 bta= =5*(-5 sí s itroduc l programa: if ( sidid == % Itroducir dbajo valors d C codicios Cotoro aturals alpha = -5; bta = 5*(-5; d ff.m Pusto qu o ha gració itra d calor; Valu=; odalsol.m Fució para itroducir l valor d la mitad d la fut putual d 5/=5 W/cm l odo 6 (S itroduc la mitad d la fut putual dbido a la simtría R(6=R(6+5 Pusto qu o ha codicios d bord scials (valor d tmpratura spcificado o ha csidad d particioar la matriz. S rsulv dirctamt l sistma d las tmpraturas. o ha vctor d raccios d=k\r rf=; o ha qu hacr cambios itgrads.m i itgradssid.m pus s ajusta a la forma débil d st problma. p5

26 Rsultados dl programa MLB Los rsultados so comparabls. p6

27 Obsrvado l dibujo d las lías d ivl d tmpratura s v qu la tmpratura s máima l odo qu s ubica l cabl lo qu ti stido pus l flujo d calor las zoas juto a s odo trasfir calor al domiio. Si mbargo s dbría disprsar d modo más homogéo todas dirccios auqu la figura o lo mustr. Si s icrmta l úmro d lmtos d la malla a por s obti mjor prcisió dl flujo d calor como s mustra la figura siguit: p7

28 II malla cuadrilátra o triagular co rfiamito d malla coform a la opció loadgrid='rfi' S idica las fucios qu so rlvats para l caso las modificacios. MaiD_rfi sigar a la variabl rfi l úmro d tapas d rfi. Rcuérds qu cada tapa tato co malla cuadrilátra como co triagular s cuadriplica l úmro d lmtos (cada cuadrilátro cada triágulo s subdivid cuatro uido putos mdios d lados opustos los cuadrilátros putos mdios d lados cotiguos los triágulos. o s db dar valors grads a rfi para casos d pruba tr 6 pud sr adcuado. Crc l úmro d variabls csivamt s raltiza la rsolució o pud bloquars la mmoria dl ordador. óts qu para rfi=6 rsulta ^6=96 vcs más l úmro d lmtos iicial. IputIiGomtria Para l caso cuadrilátro la malla iicial d la figura: ods(:=[];ods(:=[]; ods(:=[];ods(:=[]; ods(5:6=[];ods(5:6=[]; ods(7:8=[];ods(7:8=[66]; ods(9:=[];ods(9:=[88]; o=siz(ods;% º odos o_ii=o; % um odos primra itracio Elms=[;65;5687;789]; % cotrarrloj!! Elms=Elms'; % cada col s lmto l=siz(elms; % º lms Boudarods(.ods=[]; % o importa ord Boudarods(.ods=[68]; Boudarods(.ods=[9]; Boudarods(.ods=[975]; D Grid Plot ( ( ( ( Para l caso triagular la malla iicial d la figura: ods(:=[];ods(:=[]; ods(:=[];ods(:=[]; ods(5:6=[];ods(5:6=[]; ods(7:8=[];ods(7:8=[66]; ods(9:=[];ods(9:=[88]; o=siz(ods;% º odos o_ii=o; % um odos primra itracio Elms=[;;6;65;568;587;78;97]; Elms=Elms'; % cada col s lmto l=siz(elms; % º lms Boudarods(.ods=[]; % o importa ord Boudarods(.ods=[68]; Boudarods(.ods=[9]; Boudarods(.ods=[975]; D Grid Plot 8 9 (8 7 ( (6 5 (5 5 6 ( ( ( ( Rcuérds qu la umració d los odos o s modifica a lo largo d los sucsivos rfis co lo qu s pud sguir la volució a lo largo d los rfis d los odos iicials ( d otros. p8

29 odalsol.m Para itroducir la fut putual l odo 8 d las discrtizacios atriors odalsol.m R(8=R(8+5 d=k\r rf=; Como la umració o varía la rfrcia al odo 8 atrior val para todos las tapas d rfis. Pusto qu o ha codicios d bord scials (valor d tmpratura spcificado o ha csidad d particioar la matriz. S rsulv dirctamt l sistma d las tmpraturas. o ha vctor d raccios Evolució d tmpratura los odos iicials a lo largo d 6 tapas MLL CUDRILER: Evol = Evolució d tmpratura los odos iicials a lo largo d 6 tapas MLL RIGULR Evol = D Grid Plot Malla cuadrilátra rfis FE solucio: Distrib Fucio Campo 8 7.E+ 8.9E E+.9E+ 6.E+.5E+.8E+ 5.6E+.7E+.86E+.98E+.E+.E+.7E+.6E+ Malla triagular rfis D Grid Plot 8 FE solucio: Distrib Fuci Campo 8 8.7E+ 7 9.E+ 7 9.E+ 6.6E+ 6.7E+.9E+ 5.E+ 5.5E+.6E+.87E+.87E+.98E+.E+.E+.E+ p9

30 La prspctiva D d la distribució d tmpraturas tras rfis la malla cuadrilátra s: p

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