Pauta Certamen N 3. Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática. Matemática II (MAT-022) 1 dx es: (a + x)(b x)

Transcripción

1 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic Put Certmen N Mtemátic II (MAT-22) P) Si, b R +, l ntiderivd d es: ( + )(b ) A) + ln + b b + c B) ln ( + )(b ) + c + b C) + b ln b + + c D) ( + b) ln + b + c E) ( b) ln + b + c D) Utilizndo frcciones prciles se tiene que ( + )(b ) = C + + C 2 b con C = C 2 = + b. Luego ( + )(b ) d = ( + b + + ) d = (ln + ln b ) + c. Finlmente se concluye que b + b ( + )(b ) d = + ln + b b + c. P2) Si W =< { 2 +, ,, } > entonces dim W = A) 4 B) C) 2 D) E) D2) Notr que el vector es combinción linel de los vectores 2 +, y. Ahor flt mostrr que los vectores 2 +, y son linelmente independientes. Sen, b, c R, ( 2 +)+b( )+c() = (el polinomio nulo). Se tendrá que ( ) 2 + ( + b) + (c b) =, de donde se concluye que = b = c = y dim W =. Otr form de responder es construyendo un mtriz 2 2 ó bien A t = 2 2 Determinndo el rngo de l mtriz, result ser, se concluye que dimw =. Semestre 2

2 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic P) El vlor de l integrl 2 ln 2 () d es: A) 2 B) 2 8 ln 2 C) ln 2 D) 2 4 ln ln 2 2 E) 2 4 ln 2 2 ln 2 2 D) Primero considere el cmbio de vrible y = ln, sí quedrá l integrl y 2 e y dy. Hciendo dos veces integrción por prtes se tendrá que y 2 e y dy = y 2 e y 2e y (y ) + c. Finlmente se concluye que 2 ln 2 d = 2 4 ln ln 2 2. Otr form de resolverlo es por integrción por prtes considerndo u = ln, dv = ln d, en donde se debe utilizr l ntiderivd de ln que es + ln. P4) Pr un vector no nulo u R se define el sub-espcio vectoril u de R como Si u = (,, ), un bse pr u es: A) {(,, )} B) {(,, )} C) {(,, ), (,, )} D) {(,, )} E) {(,, ), (,, ), (,, )} u = { w R / u w = } D4) Notr que u = {(, y, z) R / + y + z = }. Culquier vector en u puede ser escrito de l form (, y, z) = (, y, y) = (,, ) + y(,, ). Vemos que los vectores (,, ) y (,, ) son linelmente independientes. Sen, b R, (,, ) + b(,, ) = (,, ). De quí se concluye que = b = y que los vectores nteriores formn un bse pr u. P5) El vlor de l integrl d es: + 4 A) π 2 B) π 8 C) π 8 D) π 4 E) π 4 D5) Considere el cmbio de vrible y = 2. De est form se tendrá l integrl 2 De est form se tendrá que + 4 d = 2 rctn (2 ) + c. Luego + 4 d = π 8. + y 2 dy = rctn y + c. 2 Semestre 2 2

3 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic P6) En el espcio vectoril R se considern los siguentes sub-espcios vectoriles: De ls siguientes firmciones: E =< {(, 2, ), (2,, 2)} >, F =< {(,, ), (, 5, )} > I) E F es un subespcio vectoril de R II) E F es un subespcio vectoril de R III) E = F Son verdders: A) solo I B) solo II C) solo III D) solo I y III E) I, II y III D6) Ddos dos subespcios vectoriles siempre se cumple que l intersección de ellos es un sub espcio vectoril (s.e.v.); luego I) (siempre) es verddero. Notr E = F, en efecto, cd elemento de l bse de un s.e.v. (E ó F) es combinción linel de los elementos de l bse del otro s.e.v. (F ó E); de est mner se concluye que E F = E = F ; sí II) y III) son verdders. P7) Si f es un función continu con primers derivds continus en [, b] y si f() = f(b) =, entonces b f () d es igul : A) f() b B) b + c C) b D) b E) b + c D7) Utilizndo integrción por prtes se tendrá que se concluye que b f () d = b. b b f () d = {f()} b. Como f() = f(b) = Semestre 2

4 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic P8) Si u, v y w son tres vectores en R n tles que el conjunto { u, v, w } es un conjunto linelmente independiente de vectores en R n, entonces el conjunto de vectores que es linelmente independiente es: A) { u v, u v, u 2 v + w } B) { u v, u v, u v } C) { u + v, u v, u 2 v + w } D) {2 u + 2 v + w, u v, u + v + w } E) { u v, u v, u v + w } D8) Primero recordr que un vector no es linelmente independiente consigo mismo. De est mner podemos descrtr ls lterntivs A), B) y D). Sen, b, c R, ( u + v ) + b( u v ) + c( u 2 v + w ) =. Vemos que = b = c = pr concluir que son linelmente independientes. Se tiene que (+b+c) u +( b 2c) v +c w =. Como { u, v, w } son linelmente independientes se concluye que +b+c =, b 2c = y c =, de donde sigue que = b = c =. Al estudir el conjunto de vectores de l lterntiv E) no es posible concluir que = b = c =. P9) Se ( ) M 22 (R) El vlor de R pr que A se un mtriz no digonlizble es: A) = B) = C) = 2 D) = E) = 2 D9) El polinomio crcterístico es p A (s) = (s )(s ). Notr que si = se tendrá que p A (s) = (s ) 2. Pr =, se tiene un vlor propio de multiplicidd igul dos. Clculndo el vector propio socido l vlor propio s =, se tiene ( ) ( ) ( ) = y Luego solo hy un vector propio, es decir l dimensión del espcio propio socido l vlor propio s = es igul, de donde se concluye que l mtriz A no es digonlizble. Semestre 2 4

5 Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic P) P) El vlor de l integrl π tn 2 d es: A) π B) + π C) D) + π π E) π D) Como d tn = sec 2 = + tn 2 y un ntiderivd de tn 2 es + tn, evlundo se concluye que d l lterntiv correct es A. P2) Medinte un rotción de coordends, l cónic 2 + 4y + y 2 = en el nuevo sistem de coordends y corresponde : A) Un Hipérbol B) Un Prábol C) Un Elipse D) Un Circurferenci E) Dos rects que se cortn en el origen D) con l condición de l discriminnte D = b 2 4c, se obtiene D <, por lo que es un hipérbol. Si consider l mtriz simétric socid l form cudrátic ( 2 2 ) M 22 (R) El polinomio crcteristico λ 2 2λ =, tiene como rices λ =, λ =. Con los vectores propios socidos los vlores propios, se construye l mtriz con los vectores ortonormlizdos y se obtiene el cmbio de coordends = 2 2 ( y ) e y = 2 2 ( + y ), obteniendo l hipérbol ( ) 2 (y ) 2 =. Otr form es considerr l rotcion en 45 o, es decir = 2 2 ( y ) e y = 2 2 ( + y ). De est mner se obtiene igul l ecución de l hipérbol ( ) 2 (y ) 2 =. Semestre 2 5