DERIVABILIDAD.. Intuitivamente: cuando no presenta saltos en ese punto. Toda función derivable en un punto, es continua en ese punto.
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- Raúl Robles Salazar
- hace 5 años
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1 ERIVABILIA.... inir unción continu n un punto. inir unción drivbl n un punto. s posibl ponr un jmplo d un unción qu n s: ) Continu y drivbl. b) rivbl y no continu. c) Continu y no drivbl. y s continu n cundo Un undción ( ) lim Intuitivmnt: cundo no prsnt sltos n s punto. Un unción y s drivbl n cundo ist l siguint límit lim ( ) ( ) st límit s l llm drivd d n y s dsign por ( ). Intuitivmnt, cundo s continu y no tin un punto nguloso n Tod unción drivbl n un punto, s continu n s punto. EJEMPLOS ) Continu y drivbl. Culquir unción polinómic, por jmplo b c b) rivbl y no continu. Imposibl: si no s continu no pud sr drivbl. y s drivbl n c) Continu y no drivbl. Srá un unción continu con punto nguloso n, como por jmplo ls uncions mdint vlors bsolutos. si < si Continu: ( ) ( ) ( ) si < si > No drivbl: ( ) ( ). En l unción prsnt un punto nguloso
2 . Rprsnt gráicmnt l unción y. Rzon n qu puntos dic unción no s dirncibl. El primr pso s quitr los vlors bsolutos trnsormndo l prsión un unción por intrvlos, pr llo, y qu tnr n cunt qu l vlor bsoluto solo modiic l prsión d l unción n los intrvlos n los qu st s ngtiv, psndol positivo multiplicndo por. ( ) ( ) < < < < L rprsntción s bstnt sncill y qu s trt d dos prsions linls y otr constnt. L unción prsnt dos puntos vértics n y n. En stos puntos l unción s continu pro no drivbl. < < < < < > En. L unción s continu: ( ) En l unción s continu. Pr qu l unción us drivbl n, s dbrí cumplir: ( ) ( ) L unción no s drivbl n En. L unción s continu: ( ) En l unción s continu. Pr qu l unción us drivbl n, s dbrí cumplir: ( ) ( ) L unción no s drivbl n
3 . S l unción () S pid: ) Hcr un dibujo proimdo d l gráic d l unción. b) Estudir l drivbilidd d l unción n.. El primr pso s prsr l unción sin vlor bsoluto. <, <, y l vlor bsoluto lo trnsorm n ( ). ( ) < < Por podr dibujr l unción con un solo trzo, l unción s continu n R. b. L condición pr qu un unción s drivbl n un punto, s qu n s punto ist l siguint límit: ( ) ( ) Pr qu ist st límit, dbn d istir los límits ltrls y sr iguls: ( ) ( ) ( ) ( ) Estos límits corrspondn ls drivds ltrls, por lo tnto, l condición pr qu un unción s drivbl n un punto s qu n s punto ls drivds ltrls sn iguls. S < < : > y ( ) ( ) L unción no s drivbl n. 4. Estudir l drivbilidd n d ƒ() < Pr qu l unción s drivbl n, s db cumplir:
4 < > L unción s drivbl n. ( ) ( ) 5. ) in drivd d un unción n l punto. b) Aplicndo l dinición d drivd, dmostrr qu si s drivbl y priódic, d priodo T, ntoncs su drivd tmbién s priódic d priodo T.. L drivd d un unción n un punto s un númro Rl qu rprsnt l pndint d l rct tngnt l unción n l punto. ( ) ( ) b. En un unción priódic s cumpl: ( T) ( ) S pid dmostrr qu ( T) ( ) ( T ) ( T) ( T ) ( ) T ( T) ( ) 6. S considr l unción () > contstr rzondmnt ls siguints prgunts: ) Es continu n l punto?. b) Es drivbl n l punto?. c) Alcnz lgún trmo?.. Pr qu l unción s continu n s db cumplir: L unción s continu n. b. Pr qu l unción s drivbl n s db cumplir: ( ) ( ) < ( ) () : ( ) ( ) > ( ) L unción no s drivbl n.
5 c. Pr qu un unción tng un trmo bsoluto o rltivo n un punto bst con qu n s punto sté dinid, no s ncsrio qu s drivbl, pro dbrá cumplir un d ls siguints condicions: Máimo: Pr todo prtncint l ntorno d cntro, () (). Mínimo: Pr todo prtncint l ntorno d cntro, () (). Pr sbr si l unción lcnz lgún trmo bst con dibujr su gráic. Como pud obsrvrs n l gráic, n l unción lcnz un mínimo bsoluto y qu cumpl ls condicions dscrits.. (). Pr culquir vlor dl ntorno d, () (). 7. d l unción si. Rzonr ls siguints prgunts. si ) Es continu n. S pid dmostrr qu lim () s continu n. ( ) lim lim L'H. ( ) lim b) Es drivbl n. S pid comprobr si ist l lim. En l cso d istir, l vlor corrspondrá (). ( ) ( ) lim lim lim lim lim L'H L'H lim lim
6 c) Es continu l unción '() n. S pid dmostrr sí l límit d l drivd d () cundo tind cro, s igul l vlor d l drivd n cro: sindo () l vlor obtnido n l prtdo ntrior y l drivd d l unción. clculndo l límit d stá prsión cundo tind cro, s comprub qu coincid con l vlor d (). ( ) ( ) L drivd tmbién s continu n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L H ( ) ( ) ( ) L H sn si 8.. S (). ndo y b nº rls, llrlos pr qu () s continu y b si > drivbl n l punto. Pr sos vlors d y b, nlizr si () tin inlión n l punto. Pr qu l unción s continu n db cumplir: Por l dinición d l unción, () sn Pr qu ist l límit, dbn d istir los límits ltrls y sr iguls: Sustituyndo por ls prsions corrspondints cd intrvlo, y rsolvindo los límits, s obtin un rlción ntr los prámtros. sn ( b) sn b b El prámtro s clcul con l condición d qu l unción s tmbién drivbl n l punto cro. Pr qu un unción s drivbl n un punto, ls drivds ltrls d l unción n l punto dbn coincidir. Igulndo cos < > cos L prsión d l unción continu y drivbl s
7 sn ² si si > L condición ncsri, no suicint, pr qu un unción tng un punto d inlión, s qu n s punto l sgund drivd s nul. Pr qu l sgund drivd s nul n un punto, l drivd d l unción db sr drivbl, y por lo tnto: ( ( sn < > ( ) sn : En cro no ist punto d inlión por no istir sgund drivd. 9. Hllr y b pr qu l unción () b Pr qu l unción s continu n db cumplir: Por l dinición d l unción, () < s continu y drivbl n. Pr qu ist l límit, dbn d istir los límits ltrls y sr iguls: Sustituyndo por ls prsions corrspondints cd intrvlo, y rsolvindo los límits, s obtin un rlción ntr los prámtros. ( b) ( ) : b : b Pr qu l unción s drivbl n, s db cumplir: ( ) ( ) () > < : : Pr qu l unción s continu y drivbl db sr: () <
8 . mostrr qu l unción () s drivbl y qu su unción drivd ' s continu. S pid comprobr si ist l lim. En l cso d istir, l vlor corrspondrá (). lim lim lim lim lim L'H S pid dmostrr sí l límit d l drivd d () cundo tind cro, s igul l vlor d l drivd n cro: sindo () l vlor obtnido n l prtdo ntrior y l drivd d l unción. clculndo l límit d stá prsión cundo tind cro, s comprub qu coincid con l vlor d (). L H 4 L H 6 L H L drivd tmbién s continu n. S > b () Hllr y b pr qu s continu n y su primr drivd s nul n. Pr qu l unción s continu n db cumplir: Pr qu ist l límit, dbn d istir los límits ltrls y sr iguls: Por lo tnto s pud concluir qu pr qu l unción s continu n, s db cumplir: b Rsolvindo los límits igulndo, s obtin l vlor d b.
9 b : b El prámtro s obtin con l condición > < () 4 Sustituyndo n l prsión d l drivd: > < () S prticulriz pr dos y s igul cro. : L unción qud: > (). ) Enuncir l rgl d drivción d l composición d uncions. Rgl d l cdn: g g g b) S {} R R : drivbl tl qu () ' pr todo distinto d. mostrr:. Qu s drivbl dos vcs. S pid dmostrr qu ist l sgund drivd d l unción, pr llo brá qu intntr prsrl n términos d. Tnindo n cunt qu: plicndo l rgl d l cdn pr drivr st prsión:
10 pr ncontrr l prsión d '() obtin lo qu s busc. s tin n cunt l dinición qu s d pr '., sustituyndo n l prsión d l sgund drivd, s. Qu istn nº rls tls qu: ''() b ' () c () y ² b² c² S pid dmostrr qu, y son linlmnt dpndints. Pr llo prtindo d l prsión d s dmustr lo qu s pid qu su vz s pud ponr d st orm: qu s l rlción pdid, con, b, c. Sn u () y v () dos uncions drivbls n un punto. Pruébs qu su producto u() v() s drivbl obtnindo l prsión d su drivd: [u () v ()] u () v () u () v () Tnindo n cunt l dinición d drivd d un unción: ( ) u v s plic l producto u ( ) v( ) u v u v lim pr simpliicr st prsión s sum y s rst l numrdor u v( ) , obtnindo: u ( ) v( ) u v( ) u v( ) u v u v lim si d los dos primro término dl numrdor s sc ctor común d ( ) ctor común d u, qud: v, y d los dos últimos s sc [ u( ) u ] v( ) u [ v( ) v ] ( u v ) lim prsión qu s pud dscomponr n u( ) u v ( ) v u v lim v u plicndo l rgl dl límit d l sum s l sum d los límits u( ) u v ( ) v u v lim v lim u cindo lo mismo con l rgl dl producto El límit dl producto s l producto d los límits u ( ) u v ( ) v u v lim lim v lim u lim
11 u u lim u lim v v v y tnindo n cunt qu: lim u u v( ) v lim v y sustituyndo n l prsión: ( u v ) u v u v 4. S l unción rl d vribl rl dinid por () > ) ( 5 puntos) Rzonr si l unción s continu n tod l rct rl. b) (,5 puntos) Rzonr si s drivbl n tod l rct rl.. Función por intrvlos dinid mdint prsions polinómics. El único punto dond pud prsntr problms d continuidd s n (punto rontr). Pr studir l continuidd n, s db comprobr si: Continu n. ( ) b. Por sr un unción dinid por prsions polinómics, l único punto dond l unción pud prsntr problms d drivbilidd s n (punto rontr). Pr qu l unción s drivbl n s dbrí cumplir: ( ) ( ) [ ] < < () [ ] > > ( ) ( ) : En l unción no s drivbl. < >
12 5. Rprsntr l unción y 7 indicr n qu puntos no s drivbl. Pr rprsntr un unción n vlor bsoluto, s rprsnt sin l vlor bsoluto y continución, s gir n torno l j OX los trmos d curv qu stén por dbjo d él. Pr cr l gráic d un polinomio d º grdo s clcul l vértic y los puntos d cort con los js. y 7 b 7 7 v 7 9 Vértic: V, y 7 v v 4 : (, ) Corts con OX(y ). 7 : 5 : ( 5, ) Cort con OY( ). y 7 : (,) Eprsión d l unción: En l intrvlo dond l unción s ngtiv, l vlor bsoluto multiplic l prsión por pr cmbir l signo y djrl n positivo. 7 ( 7 ) < < En y n 5 l unción prsnt puntos vértic o ngulosos, s dcir, puntos dond l unción s continu pro no drivbl. En : En l unción s continu.
13 ( ) ( ) 7 : ( ) ( ) En 5 igul, continu pro no drivbl. < < < 5 > 5 En l unción no s drivbl 6. S () b ( ) > Pr qu vlors d y b s continu l unción ()? Pr qu vlors d y b drivbl? Función por intrvlos dinid mdint prsions polinómics. El único punto dond pud prsntr problms d continuidd s n (punto rontr). Pr studir l continuidd n, s db comprobr si: ( ) b b. Pr y culquir vlor qu tom b, l unción s continu. Pr qu s drivbl, l unción db sr continu y dmás, ( ) ( ) b ( ) > ( ) b : b. < b > Pr qu l unción s continu y drivbl n todo R, sus prsión db sr: ( ) > 7. mostrr, plicndo l dinición d drivd y l co d qu sn sí, qu (sn ) cos. sn ( ) sn( ) sn sn cos cos sn sn sn k : cos sn cos sn cos cos cos
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31 EJERCICIOS de LOGARITMOS
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26 EJERCICIOS de LOGARITMOS
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