Calcula el volumen del cono circular recto más grande que está inscrito en una esfera de radio R. Por lo tanto el volumen del cono es: π V

Transcripción

1 Apllidos Nombr: N.P. : Ejrcicio. (,5 puntos) Calcula l volumn dl cono circular rcto más grand qu stá inscrito n una sra d radio. D acurdo con la igura adjunta, s aprcia qu l radio d la bas dl cono s: La altura s:. La variabl pud variar dsd asta. S db calcular l máimo absoluto d: π V ( ) ) Puntos críti Por lo tanto l volumn dl cono s: π π ( ) ( ) ( ) V π r π V.-. Puntos n los qu no ist drivada: Ninguno.-. Puntos n los qu la drivada s nula ( ) n [, ] V π ( ) ± 4 6 ± 4 6 ) Comparación d valors: V V() π V 8 El maor valor d los trs s l último. Por lo tanto, l cono d maor volumn inscrito n una sra d radio s l qu tin como volumn π 8, como altura 4 como radio n la bas: 8 9

2 Ejrcicio. (,5 puntos) Sa: () Ln ( ) a) Halla Dom ( ). b) Estudia la continuidad drivabilidad d la unción. c) Halla los trmos rlativos. d) Halla los trmos absolutos n l intrvalo [-, ½ ]. a) La unción logaritmo stá dinida sólo para valors potivos dl antilogaritmo. Por lo tanto, () solamnt stá dinida para aqullos valors d n los qu s cumpla qu: > < < rprsnta gráicamnt a una parábola abirta acia arriba, qu corta al j n: ± 8 ± Esto implica qu la gráica d dica parábola sa algo parcido a la igura adjunta: - En la igura s aprcia claramnt, qu la parábola toma valors ngativos para los valors d comprndidos ntr. Así pus, nustra unción stá dinida n l intrvalo ( -, ) Dom ( ) (, ) b) Pusto qu la unción s compoción d uncions claramnt continuas n todo, s conclu qu s continua n todo su dominio () s continua n ( -, ) Análogamnt, pusto qu la unción s compoción d uncions claramnt drivabls n todo, s conclu qu s drivabl n todo su dominio () s drivabl n ( -, ) Su unción drivada s: ( ) () c) Pusto qu () s drivabl n todo su dominio, los úni puntos críti d la misma srán aqullos n los qu dica drivada s anula: () El anális d dico punto crítico s pud acr mdiant la drivada sgunda o mdiant la drivada primra. Optarmos por st último a qu conocmos su prón, l cálculo d la sgunda drivada no s mu cómodo: Tngamos n cunta qu por todo lo dico antriormnt: > ; > Si < < () > Si > > () <

3 sulta qu () s crcint a la izquirda dl punto crítico dcrcint a su drca, por lo qu alcanza n él un máimo rlativo d) Comparmos los valors d () n su punto crítico n los trmos dl intrvalo dado ; Ln ; Ln ) ( ; Ln Por lo qu rsulta sr: < < () alcanza n l intrvalo [-, ½ ] su valor máimo absoluto n l punto - ½ su valor mínimo absoluto n l punto ½

4 Ejrcicio. (,5 puntos) Calcula las uncions drivadas parcials d primr ordn d las guints uncions: a) b) (, ) sn (, ) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (,) a) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En l punto (,) s dbn calcular las drivadas por mdio d la dinición pusto qu la unción vin dinida d dirnt orma n dico punto n los puntos qu l son próimos. Por llo: (, ) (, ) (, ) La unción modular toma dirnt prón dpndindo d s stá a la izquirda d o a su drca. Por lo tanto dbmos allar los límits latrals: Al sr dirnts concluimos qu carc d límit. Por lo tanto (, ) no s drivabl rspcto d n l punto (, ). (, ) (, ) (, ) Al igual qu ants s límit no ist, por lo qu (, ) no s drivabl rspcto d n l punto (, ). S tin así qu las uncions drivadas parcials d primr ordn son: ( ) (,) (, ) ( ) (,) (, )

5 b),, sn sn En l punto (,) s dbn calcular las drivadas por mdio d la dinición.,,,,,, S tin así qu las uncions drivadas parcials d primr ordn son:,,,, sn,,,, sn

6 Ejrcicio 4. (,5 puntos) Sa (, ) una unción dirnciabl n. San los puntos: A(, ), B(, ), C(, 7) D(6, 5). La drivada dirccional d (, ) n l punto A, n la dircción dl vctor val n la dircción dl vctor val 6. a) Calcula l valor d la drivada dirccional d (, ) n l punto A, n la dircción dl vctor: AD. b) Halla un punto E(a, b), tal qu l valor d la drivada dirccional d (, ) n l punto A, n la dircción dl vctor: AE, sa máima. Pusto qu (, ) s dirnciabl n, ist l vctor gradint n cualquir punto, por lo qu las drivadas dirccionals s pudn prsar: D ( a,b) ( a,b) Sa: (, ) m i n j (, ) D D,,, (, ) (, ) (, ), ( m,n) (, ) m (,4) D D,,, (, ) (, ) (, ),4 4 ( m,n) (, ) 6 n 6 (, ) i 6 j AD 5, D,, 7 a) AD AD AD, 5,,6 5, b) La drivada dirccional n l punto (, ) s máima n la dircción sntido dl gradint n dico punto, s dcir, sgún l vctor: i 6 j (, ) (, ) (, 6 ) ( 4, 9 ) OE OA