Ingeniería en Instrumentos Derivados. Opciones 1

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1 Ingeniería en Instrumentos Derivados Opciones 1 Alvaro Díaz Valenzuela Dottore in Matematica Magíster en Ciencias de la Ingeniería 12 de noviembre de 2010

2 Índice Opciones Definiciones Estrategias con Opciones Mundo Black & Scholes (B&S) Fórmula de B&S Para Activos sin Dividendos Griegas para Opciones sobre Acciones sin Dividendos Fórmula de B&S para Opciones sobre Divisas Griegas para Opciones sobre Divisas Apéndice El Lema de Itô Derivando la Fórmula de B&S

3 Opciones: Definiciones Una Opción es un contrato entre dos partes que entrega a una de ellas el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender un cierto activo a un cierto precio hasta una fecha determinada. La fecha de expiración del contrato se dice fecha de vencimiento de la opción. Las opciones que entregan derecho a comprar se llaman Call y las que entregan derecho a vender se llaman Put. Las opciones que sólo se pueden ejercer en la fecha de vencimiento se dicen Europeas, mientras que las que se pueden ejercer durante toda la vida del contrato se llaman Americanas.

4 Opciones: Definiciones El precio al cual se puede comprar o vender se llama precio de ejercicio o Strike de la opción. Quien adquiere el derecho paga a quien lo otorga una cierta cantidad de dinero que se llama prima de la opción. Determinar cuánto debe ser esta prima, de qué factores depende y cómo varía ésta al variar los factores es lo que nos ocupará de ahora en adelante.

5 Opciones: Ejemplo Call Europea Consideremos una opción Call sobre 1 unidad de una acción que no paga dividendos: Sea S el valor de la acción hoy Sea K el precio de ejercicio (o Strike) de la opción. Este es el precio al cual puedo comprar la acción. Sea T el plazo hasta el vencimiento de la opción. Sean S T y C T el valor spot de la acción al vencimiento y el valor de la Call al vencimiento Si hemos comprado la opción, qué nos va a pasar a su vencimiento? Si S T > K entonces C T = S T K Si S T <= K entonces C T = 0

6 Opciones: Valor al Vencimiento Call

7 Opciones: Ejemplo Put Europea Consideremos una opción Put sobre 1 unidad de una acción que no paga dividendos: Sea S el valor de la acción hoy Sea K el precio de ejercicio (o Strike) de la opción. Este es el precio al cual puedo comprar la acción. Sea T el plazo hasta el vencimiento de la opción. Sean S T y P T el valor spot de la acción al vencimiento y el valor de la Put al vencimiento Si hemos comprado la opción, qué nos va a pasar a su vencimiento? Si S T < K entonces P T = K S T Si S T >= K entonces P T = 0

8 Opciones: Valor al Vencimiento Put

9 Opciones: Straddle Comprado Compro Call a 500 y compro Put a 500

10 Opciones: Straddle Vendido Vendo Call a 500 y vendo Put a 500

11 Opciones: Risk Reversal Comprado Compro Call a 600 y vendo Put a 400

12 Opciones: Risk Reversal Vendido Compro Put a 400 y vendo Call a 600

13 Opciones: Strangle Comprado Compro Call a 600 y compro Put a 400 (Straddle abierto)

14 Opciones: Strangle Vendido Vendo Call a 600 y vendo Put a 400 (Straddle abierto)

15 Opciones: Butterfly Comprado Compro Straddle a 500 y vendo Strangle

16 Opciones: Butterfly Vendido Vendo Straddle a 500 y compro Strangle

17 Opciones: Bull Spread (Call Spread) Comprado Compro Call a 300 y vendo Call a 700

18 Opciones: Bull Spread (Call Spread) Vendido Vendo Call a 300 y compro Call a 700

19 Opciones: Bear Spread (Put Spread) Comprado Compro Put a 700 y vendo Put a 300

20 Opciones: Bear Spread (Put Spread) Vendido Vendo Put a 700 y compro Put a 300

21 Opciones: Forward Comprado Compro Call a 500 y vendo Put a 500

22 Opciones: Forward Vendido Compro Put a 500 y vendo Call a 500

23 Opciones: Put Call Parity Las últimas dos estrategias tienen una implicación importante que se conoce como Put-Call parity C K P K = F K En palabras: dado que comprar una call con strike K y vender una put con strike K es equivalente a comprar forward a un precio K, por ausencia de arbitraje debe ser que el valor de la call menos el valor de la put es igual al valor del forward.

24 Opciones: Put Call Parity El valor del forward lo sabemos calcular: Por ejemplo, para el caso de una acción que no paga dividendos tenemos que (y abusando de la notación) F K = e r T ( S e r T K ) = Por lo tanto: = S K e r T C K + K e r T = P K + S

25 Opciones: El Mundo B&S Continuemos considerando una acción que no paga dividendos. La evolución del precio de la acción en el tiempo tiene un aspecto como el de la figura Queremos llegar a una modelación de ese precio

26 El Mundo B&S: El Proceso de la Acción La dinámica del subyacente en el mundo B&S está dada por el límite en tiempo contínuo de la siguiente ecuación: S t + Δt = S t + µ S t Δt + σ S t ε t S t + Δt S t = µ S t Δt + σ S t ε t Δt Δt Donde ε N ( 0,1) t t

27 El Mundo B&S: El Proceso de la Acción En tiempo contínuo (Δt 0) la ecuación se escribe como: ds = µ S dt + σ S dz dz = ε dt ds = µ dt + σ dz S Cuya solución es: S t = S 0 e µ ε N ( 0,1) 1 2 σ 2 t +σ ε t Los retornos logarítmicos son normales La volatilidad es σt 1/2

28 El Mundo B&S: El Proceso de la Acción Por retorno logarítmico entendemos: ln S t S 0 = µ 1 2 σ 2 t + σ ε t Dado que ε es normal sigue que el retorno logarítmico también lo es La desviación estándar de estos retornos (o volatilidad) es σt 1/2 No es aleatorio por lo que su volatilidad es 0.

29 El Mundo B&S: El Proceso de la Acción Al contar con una manera de generar escenarios para el precio de la acción, podríamos ya calcular el valor de una opción europea... Por ejemplo, el valor de una Call europea será C = e r* T E max( S T K,0) S 0 Tenemos el problema (difícil) de encontrar el valor de r* B&S lograron superar este escollo y demostrar que no es necesario encontrar r* y que se puede utilizar la tasa libre de riesgo financiero y suponer que los inversionistas son neutrales al riesgo.

30 El Mundo B&S: El Proceso de la Acción De este modo, el valor para una Call europea está dado por: C = e r T E * max( S T K,0) S 0 (*) Donde E* es el valor esperado de la Call para un inversionista neutral al riesgo.

31 El Mundo B&S: El Proceso de la Acción La ecuación del subyacente para un inversionista neutral al riesgo será: Cuya solución es: ds = r S dt + σ S dz S t = S 0 e r ε N ( 0,1) 1 2 σ 2 t +σ ε t Con esta última expresión, podemos calcular la fórmula (*) de la diapositiva anterior.

32 El Mundo B&S: La Fórmula Solución para Call europea: C = S N ( d ) 1 K e r T N ( d ) 2 d 1 = ln S K ( ) + r + σ 2 2 σ ( ) T N es la normal acumulativa. Solución para Put europea: T, d 2 = d 1 σ T P = K e r T N ( d ) 2 S N ( d ) 1

33 El Mundo B&S: La Fórmula Notar que: C = e r T F N d 1 P = e r T K N d 2 d 1 = ln F K ( ) K N ( d ) 2 ( ) F N ( d ) 1 ( ) σ 2 T σ T d 2 = d 1 σ T Donde F es el precio forward de la acción al vencimiento T

34 Griegas Delta (Δ): cambio del valor de la opción ante cambios en el subyacente Δ Call = C S = N ( d 1), Δ Put = P S = N ( d ) 1 1

35 Griegas Theta (Θ): cambio del valor de la opción ante cambios en el plazo residual Θ Call = C t = S N ' ( d ) 1 σ r r K e ( T t ) N ( d ) 2 2 T t ( ) σ r T t r K e ( ) N ( d ) 2 Θ Put = P t = S N ' d 1 2 T t

36 Griegas Gamma (Γ): cambio del valor de la Δ ante cambios en el subyacente ( ) Γ = 2 C S = N ' d 1 2 S σ T t, N ' x ( ) = 1 2π e x2 2 Vega (V): cambio del valor de la opción ante cambios en la volatilidad V = C σ = S T t N ' ( d ) 1

37 Griegas Rho (ρ): cambio del valor de la opción ante cambios en la tasa de interés ρ Call = C r = K T t ρ Put = P r = K T t ( ) e r T t ( ) e r T t ( ) N d 2 ( ) ( ) N d 2 ( )

38 Opciones sobre Divisas Solución para Call y Put europea: ( ) K e r T N ( d 2 ) ( ) S e r f T N ( d 1 ) ( ) + r r f + σ 2 2 C = S e r f T N d 1 P = K e r T N d 2 d 1 = ln S K ( ) T σ T, d 2 = d 1 σ T N es la normal acumulativa r f es la tasa libre de riesgo en la divisa extranjera y r es la tasa libre de riesgo en la divisa local

39 Opciones Sobre Divisas Notar que también se puede escribir: C = e r T F N d 1 P = e r T K N d 2 ( ) K N ( d ) 2 ( ) F N ( d ) 1 Donde F es el precio forward de la acción al vencimiento T y d 1 = ln F K ( ) + σ 2 2 T σ T, d 2 = d 1 σ T

40 Griegas (Divisas) Delta (Δ): cambio del valor de la opción ante cambios en el subyacente Δ Call = C S = T N ( d ) e rf 1 Δ Put = P S = T N d e rf 1 ( ) 1

41 Griegas (Divisas) Theta (Θ): cambio del valor de la opción ante cambios en el plazo residual Θ Call = C t = ( ) σ e r f ( T t) = S N ' d 1 2 T t Θ Put = C t = ( ) σ e r f ( T t) = S N ' d 1 2 T t r T t r K e ( ) N ( d 2 ) + r f S N ( d 1 ) e r f ( T t) r T t + r K e ( ) N ( d 2 ) r f S N ( d 1 ) e r f ( T t)

42 Griegas (Divisas) Gamma (Γ): cambio del valor de la Δ ante cambios en el subyacente Γ = 2 C S = N ' d 1 2 S σ ( ) e r f ( T t) T t, N '( x) = 1 2π e x2 2 Vega (V): cambio del valor de la opción ante cambios en la volatilidad V = C σ = S T t N ' ( d ) 1 e r f ( T t)

43 Griegas (Divisas) Rho (ρ): cambio del valor de la opción ante cambios en la tasa de interés r ρ Call r ρ Put r ρ f Call r ρ f Put = C r = K T t = P r = K T t = C r f ( ) e r T t ( ) e r T t ( ) N d 2 ( ) ( ) N d 2 ( ) = K ( T t) e r f ( T t) N ( d1 ) = P r = K ( T t) e r f ( T t) N ( d1 )

44 Apéndice El Lema de Itô Derivando la fórmula de B&S

45 El Mundo B&S: El Lema de Itô Lema de Itô: si f es una función C 2 y S es un proceso de Itô entonces: ( ) = f df S,t S a + f t f S 2 b2 dt + f S b dz ds = a( S,t) dt + b( S,t) dz (Proceso de Ito)

46 El Mundo B&S: El Lema de Itô Veamos una demostración intuitiva de este resultado Si f=f(s,t) es C 2 sabemos que: Δf = f S f t 2 ΔS + f t Δt f S 2 ΔS2 + Δt f S t ΔS Δt + o

47 El Mundo B&S: El Lema de Itô Si S es determinista sabemos que en el límite para ΔS 0, Δt 0 o 0 Tenemos que, sin considerar los términos de orden cuadrático o superior df = f S ds + f t dt

48 El Mundo B&S: El Lema de Itô Sin embargo si S sigue un proceso de Itô entonces ΔS = a Δt + b ε Δt ΔS 2 = ( a Δt) 2 + a b ε Δt b 2 ε 2 Δt Dado que ε es normal estándar tenemos que E( ε 2 ) E( ε) 2 = 1 E( ε 2 ) = 1

49 El Mundo B&S: El Lema de Itô Luego sigue que, descartando órdenes cuadráticos o superiores ds 2 = b 2 Δt Y por lo tanto al calcular df se llega a df = f S ds + f t dt f S 2 b2 dt La cual, al utilizar la definición de ds implica el Lema de Itô

50 El Mundo B&S: La Fórmula Supongamos que el precio S de la acción sigue el proceso de Itô: ds = µ S dt + σ S dz Sea C=C(S) el valor de una Call escrita sobre S y construyamos el siguiente portfolio: Π = ω 1 C + ω 2 S

51 El Mundo B&S: La Fórmula Por el Lema de Ito se obtiene que: dπ = ω 1 dc + ω 2 ds = = ω 1 C S µ S + ω C 1 t + ω 2 C 1 S 2 S2 σ 2 + ω 2 µ S dt + + ω 1 C S σ S + ω σ S 2 dz Queremos que el portfolio sea libre de riesgo, sigue que: ω 1 = 1, ω 2 = C S

52 El Mundo B&S: La Fórmula Con estos valores se obtiene que: dπ = C S 2 S2 σ 2 + C t dt Por ausencia de arbitraje debe ser que: C S 2 S2 σ 2 + C t C dt = r C S S dt

53 El Mundo B&S: La Fórmula Se llega así a la ecuación de B&S: C S 2 S2 σ 2 + C t + C S S r C = 0 Solución para Call europea: C = S N d 1 d 1 = ln S K ( ) K e r T N ( d 2 ) ( ) + r + σ 2 2 σ ( ) T N es la normal acumulativa. T, d 2 = d 1 σ T

54 El Mundo B&S: La Fórmula Solución para Put europea: P = K e r T N ( d ) S N ( d ) 2 1