Un poco de lógica. Ramón Espinosa. Departamento de Matemáticas, ITAM

Transcripción

1 Un poco de lógica Ramón Espinosa Departamento de Matemáticas, ITAM La lógica, como el whisky, pierde sus efectos benéficos cuando se consume en grandes cantidades. Lord Dunsany Uno de los principales propósitos de la lógica consiste en proporcionar reglas, por medio de la cuales se pueda determinar si un argumento particular es correcto. La lógica se interesa en cualquier tipo de razonamiento, los cuales pueden ser, por ejemplo, argumentos legales, demostraciones matemáticas o conclusiones científicas, basadas todas ellas en ciertas suposiciones. 1. Proposiciones Una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. Por ejemplo, la frase Guadalajara es la capital de México, es una proposición falsa. La negación de una proposición P es la proposición P que es verdadera cuando P es falsa y es falsa cuando P es verdadera. Sean P y Q dos proposiciones. Si escribimos P y Q obtenemos una nueva proposición, llamada la conjunción de P y Q, la cual es verdadera solamente cuando P y Q son ambas verdaderas. 1

2 La disyunción de dos proposiciones es la proposición P o Q que es verdadera si P verdadera, o si Q es verdadera, o si ambas son verdaderas. Es importante hacer notar que el o matemático siempre es inclusivo. Observa que la negación de la conjunción es la proposición P o Q, y la negación de la disyunción es la proposición P y Q. Una proposición condicional es una proposición de la forma si P entonces Q la cual es falsa solamente cuando P es verdadera y Q es falsa. Se acostumbra escribir P Q. Esta proposición también puede expresarse como: P implica Q, P sólo si Q, P es una condición suficiente para Q, Q es una condición necesaria para P. En este caso la proposición P se llama hipótesis y la proposición Q se llama conclusión. Observa que la negación de P Q es la proposición P y Q. Ejemplo 1. En el ITAM el reglamento estipula que para aprobar un curso es necesario que el alumno apruebe el examen final. Esta afirmación se puede representar como P Q, donde P : aprueba el curso. Q: aprueba el examen final. Observa que la condición Q es necesaria, pero no suficiente para P, es decir, si el alumno aprueba el examen final no necesariamente aprueba el curso. La recíproca de la proposición condicional P Q es la proposición Q P. 2

3 Es posible que una proposición condicional sea verdadera pero que su recíproca sea falsa. La contrarrecíproca (o contraposición) de la proposición condicional P Q es la proposición Q P. Toda proposición condicional es lógicamente equivalente a su contrarrecíproca. La proposición P Q y Q P se llama proposición bicondicional y se denota P Q. Esta proposición se lee: P si y sólo si Q. También se acostumbra decir que P es una condición necesaria y suficiente para Q. 2. Cuantificadores La afirmación x > 5 no es una proposición, porque su valor de verdad depende de la variable x. Este tipo de enunciados son llamados predicados. Una manera de convertir un predicado P (x) en una proposición es cuantificar las variables para las cuales el predicado es verdadero. El cuantificador universal se utiliza para construir proposiciones como: x X P (x) que se lee: para toda x X, P (x) es verdadera. La proposición anterior es verdadera sólo si P (x) es verdadera para cualquier x X. El símbolo puede leerse para todo, o para cada, o para cualquier. Con frecuencia se coloca el cuantificador universal después del predicado, sin que cambie el significado de la proposición. Por ejemplo, la proposición también puede escribirse como x R x 2 0 x 2 0 x R. 3

4 El cuantificador existencial se utiliza para construir proposiciones de la forma: x X P (x) que significa existe x X tal que P (x) es verdadera. El símbolo puede leerse existe, o para algún, o para al menos un. Algunas proposiciones involucran más de un cuantificador. Por ejemplo, el axioma que establece que en los números enteros existe un elemento neutro aditivo se escribe: 0 Z x + 0 = x x Z. Es importante hacer notar que aunque esta notación es utilizada ampliamente en textos de lógica y es utilizada también por los profesores de matemáticas en el salón de clase, o por los alumnos en sus tareas y exámenes, se debe evitar escribir estos símbolos en documentos formales, como puede ser una tesis, un artículo o un libro. En estos documentos el axioma anterior se escribiría como: Existe 0 Z tal que x + 0 = x para todo x Z. Si hay más de un cuantificador el orden en que aparecen éstos es muy importante. No es lo mismo la proposición h H m M que la proposición m M h H. En otras palabras, no es lo mismo la frase: para todo hombre existe una mujer, que la frase: existe una mujer para todos los hombres. La negación de la proposición x X P (x) es la proposición x X P (x). Equivalentemente, para mostrar que la proposición x X P (x) es falsa, basta exhibir un elemento x X tal que P (x) sea falso. Tal elemento es llamado un contraejemplo. Ejemplo 2. Mostrar que la proposición: 4

5 Para todo n Z si n 2 4 entonces n 2. es falsa. Solución. Basta observar, por ejemplo, que n = 3 < 2, pero n 2 = 9 4. La negación de la proposición es la proposición x X x X P (x) P (x). Ejemplo 3. La negación de la proposición es la proposición a A b B c C P (b, c) Q(a, b, c) a A b B c C P (b, c) y Q(a, b, c). 3. Métodos de demostración Una demostración es una sucesión de afirmaciones que representan una argumentación de la validez de un enunciado matemático. Algunas de las afirmaciones que aparecen en una demostración pueden considerarse verdades a priori, éstas incluyen axiomas, definiciones o resultados establecidos previamente. Otras afirmaciones pueden ser las hipótesis del enunciado, las cuales se suponen verdaderas en el argumento. Por último, algunas afirmaciones pueden ser inferidas de otras afirmaciones cuya validez fue probada al principio de la demostración. Una demostración directa de P Q comienza suponiendo que P es verdadera y de ahí concluye que Q es verdadera, utilizando cualquier información disponible, como axiomas o resultados demostrados previamente. Ejemplo 4. Probar que si n es un entero par entonces n 2 es par. Demostración. Por hipótesis n = 2k para algún k Z. Por lo tanto n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ) es par. Q consiste en probar la con- Una demostración indirecta de P trarrecíproca Q P. 5

6 Ejemplo 5. Probar que para todo entero n, si n 2 es par entonces n es par. Demostración. Si n es impar entonces n = 2k + 1 para algún entero k. De ahí que n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 es impar. Observa que, a partir de los ejemplos anteriores, podemos concluir que si n es un entero, entonces n es par si y sólo si n 2 es par. Una demostración por contradicción (o reducción al absurdo) de P Q comienza suponiendo que Q es falsa y de esta suposición concluye una contradicción. Ejemplo 6. Probar que si r es un número racional entonces r 2 2. Demostración. Supongamos que existe un número racional r = n/m tal que r 2 = 2. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que n y m no tienen factores comunes. La suposición de que r 2 = 2 implica que ( n m ) 2 = 2. esto a su vez implica que n 2 = 2m 2. Es decir, n 2 es par, de ahí que, por el ejemplo anterior, n también debe ser par, es decir, n = 2k para algún entero k. Por lo tanto 2m 2 = n 2 = (2k) 2 = 4k 2, y de ahí que m 2 = 2k 2, de modo que m también es par, lo cual contradice la hipótesis de que n y m no tienen factores comunes. Una proposición matemática cuya veracidad ha sido probada, es llamada un teorema. Un lema es un resultado que no es considerado importante, pero que es útil para probar un teorema. Un resultado que puede probarse fácilmente a partir de un teorema es llamado un corolario de ese teorema. Cabe mencionar que en libros avanzados y en artículos de investigación los teoremas sencillos se enuncian como proposiciones (dando a esta palabra un significado distinto al que se ha utilizado aquí), utilizando la palabra teorema solamente para los resultados más importantes. Claramente esta distinción es subjetiva, algunos autores se han visto muy modestos enunciado como proposiciones o incluso como lemas resultados que a la postre han resultado ser muy importantes. 6