Universidad Nacional Autónoma de México Centro de Investigación en Energía. Programa de Estudio

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1 Universidad Nacional Autónoma de México Centro de Investigación en Energía Programa de Estudio Geometría Analítica y Álgebra Lineal 1 10 Asignatura Clave Semestre Créditos Ciencias Básicas Ciclo Matemáticas Área Asignatura: Horas: Total Horas: Obligatoria X Teóricas 5 Semana 5 Optativa Prácticas 16 semanas 80 Modalidad: Seriación obligatoria antecedente: Presencial Teórico Ninguna Seriación obligatoria consecuente: Ninguna Objetivos del curso: El alumno aprenderá los conceptos básicos de la geometría analítica y álgebra lineal, haciendo énfasis en el carácter general de los resultados y en el manejo formal del lenguaje matemático, a efecto de que adquiera elementos que le permitan fundamentar diversos métodos empleados en el análisis de problemas prácticos.

2 Temario No. Nombre Horas 1. Cónicas y curvas en el plano polar Álgebra vectorial 7 3. Recta, plano y curvas en el espacio Superficies 7 5. Espacios vectoriales, Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales Espacios con Producto Interno Transformaciones Lineales 16 Subtotal 80 Prácticas de laboratorio 0 Total Cónicas y curvas en el plano polar. Objetivos: El alumno reforzará los conocimientos de geometría analítica plana para lograr una mejor comprensión de los elementos geométricos localizados en el espacio tridimensional. El alumno obtendrá ecuaciones en forma polar de curvas en el plano y determinará las características de éstas a partir de su ecuación en forma polar Sistema de coordenadas cartesianas. Simetría de puntos representados en coordenadas cartesianas La recta. Ángulo de inclinación. Definición de pendiente. Ecuaciones de la recta. Forma punto-pendiente. Recta determinada por dos puntos. Forma simétrica. Ecuación general de una recta Definición de curva cónica. Ecuación general de segundo grado con dos variables Características geométricas y ecuaciones de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola Rotación de ejes Sistema de coordenadas polares. Simetría de puntos en coordenadas polares Transformación de coordenadas cartesianas a polares y de polares a cartesianas Ecuaciones polares de curvas. Cardioides, lemniscatas, rosas de n pétalos Análisis de una curva representada por una ecuación polar.

3 2.- Álgebra vectorial Objetivo: El alumno aplicará el álgebra vectorial en la resolución de problemas geométricos Sistema cartesiano en tres dimensiones. Simetría de puntos Cantidades escalares y cantidades vectoriales. Definición de segmento dirigido. Componentes escalares de un segmento dirigido en la dirección de los ejes coordenados. El vector como terna ordenada de números reales. Definición de módulo de un vector e interpretación geométrica. Vector de posición de un punto. Vector nulo. Vector unitario. Vectores unitarios i, j, k. Vectores representados por una combinación lineal de los vectores i, j, k Definición de igualdad de vectores. Operaciones con vectores: adición, sustracción y multiplicación por un escalar. Propiedades de las operaciones Producto escalar de dos vectores y propiedades. Condición de perpendicularidad entre vectores. Componente escalar y componente vectorial de un vector en la dirección de otro. Ángulo entre dos vectores. Ángulos, cosenos y números directores de un vector Producto vectorial: definición, interpretación geométrica y propiedades. Condición de paralelismo entre vectores. Aplicación del producto vectorial al cálculo del área de un paralelogramo Producto mixto e interpretación geométrica. 23.-Recta, plano y curvas en el espacio. 3 4Objetivos: El alumno aplicará el álgebra vectorial para obtener las diferentes ecuaciones de la recta y del plano, así como para determinar las relaciones entre ellos y con puntos en el espacio de tres dimensiones. El alumno obtendrá ecuaciones paramétricas y en forma vectorial de curvas en el espacio e identificará curvas a partir de sus ecuaciones. 3.1 Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta. Ecuaciones cartesianas en forma simétrica y en forma general de la recta Distancia de un punto a una recta. Ángulo entre dos rectas. Condición de perpendicularidad y condición de paralelismo entre rectas. Distancia entre dos rectas. Intersección entre dos rectas Ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuación cartesiana del plano. Distancia de un punto a un plano. Ángulo entre dos planos. Condición de perpendicularidad y condición de paralelismo entre planos. Distancia entre dos planos. Intersección entre planos.

4 33.4 Relaciones entre rectas y planos: ángulo entre una recta y un plano, condición de paralelismo y condición de perpendicularidad. Intersección de una recta con un plano. Distancia entre una recta y un plano Ecuaciones paramétricas y ecuación vectorial de una curva contenida en planos paralelos a los planos coordenados. Intervalo paramétrico Ecuaciones paramétricas y ecuación vectorial de las cónicas Ecuaciones cartesianas de una curva plana en el espacio, obtenidas a partir de sus ecuaciones paramétricas Superficies Objetivo: El alumno identificará superficies cuádricas a partir de su ecuación cartesiana; y obtendrá la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de superficies Clasificación de superficies. Superficies cuádricas. Definición de superficies cilíndricas, cónicas, regladas y de revolución Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de una superficie cuádrica Ecuación cartesiana de una superficie a partir de una de sus ecuaciones vectoriales Determinación de las características de una superficie cuádrica (identificación) a partir de su ecuación cartesiana. 5.- Espacios Vectoriales, Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales Objetivo: El alumno identificará un espacio vectorial, matrices y ecuaciones lineales y analizará sus características fundamentales. 5.1 Definición de espacio vectorial. Propiedades elementales de los espacios vectoriales. 5.2 Definición de subespacio. Condición necesaria y suficiente para que un subconjunto sea un subespacio. 5.3 Combinación lineal. Dependencia lineal. Conjunto generador de un espacio vectorial. Base y dimensión de un espacio vectorial. Isomorfismo entre espacios vectoriales. Coordenadas de un vector respecto a una base ordenada. Matriz de transición. 5.4 Espacio renglón, espacio columna y rango de una matriz. El conjunto solución de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales como ejemplo de espacio vectorial. Estructura del conjunto solución de un sistema no homogéneo. Definición de variedad lineal y propiedades elementales.

5 5.5 El espacio vectorial de las funciones reales de variable real. Subespacios de dimensión finita. La dependencia lineal de funciones. Criterio del Wronskiano. 6.- Espacios con Producto Interno Objetivo: El alumno aprenderá el concepto de producto interno y analizará sus características fundamentales a fin de aplicarlo a la solución de problemas de espacios vectoriales. 6.1 Definición de producto interno. Propiedades elementales, desigualdad de Cauchy- Schwarz. 6.2 Definición de norma de un vector, propiedades de la norma, vectores unitarios. Definición de distancia entre dos vectores y sus propiedades. Definición de ángulo entre dos vectores, vectores ortogonales, teorema de Pitágoras. 6.3 Conjuntos ortogonales y ortonormales. Independencia de un conjunto ortogonal de vectores no nulos. Coordenadas de un vector respecto a una base ortonormal. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. 6.4 Complementos ortogonales. Proyección de un vector sobre un subespacio. El teorema de proyección. 7.- Transformaciones Lineales Objetivo: El alumno aprenderá los conceptos de las transformaciones lineales de los operadores lineales; formulará la matriz que describe el efecto de una transformación lineal; analizará sus propiedades a fin de utilizarlas para resolver problemas que las involucren. 7.1 Definición de transformación. Dominio, codominio, núcleo y recorrido de una transformación. 7.2 Definición de transformación lineal. El recorrido y el núcleo como subespacios vectoriales. Caso de dimensión finita: relación entre las dimensiones del dominio, el recorrido y el núcleo de una transformación lineal. 7.3 Matriz asociada a una transformación lineal con dominio y codominio de dimensión finita. Álgebra de las transformaciones lineales: definición y propiedades de la adición, la multiplicación por un escalar, y la composición de transformaciones. La inversa de una transformación lineal. 7.4 Definición de operador lineal. Definición de valores y vectores característicos de un operador lineal. Propiedades de los valores y vectores característicos. Definición de espacios característicos. Caso de dimensión finita: polinomio característico, obtención de valores y vectores característicos.

6 7.5 Diagonalización de un operador lineal: condición necesaria y suficiente para la existencia de una representación diagonal. Diagonalización de una matriz: matrices similares y sus propiedades, condición necesaria y suficiente para la existencia de una matriz diagonal similar. 7.6 Polinomios de matrices, teorema de Cayley-Hamilton. Bibliografía básica: CASTAÑEDA De I. P., Érik Geometría analítica en el espacio, Facultad de Ingeniería, UNAM, México, 2003 SWOKOWSKI, E Cálculo con geometría analítica 2a edición, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1998 ANTON, H. Introducción al Álgebra Lineal Limusa, 2a. edición México, 1998 SOLAR G., Eduardo y SPEZIALE de G., Leda Apuntes de Álgebra Lineal Limusa-Facultad de Ingeniería, UNAM, 3a. edición México, 1997 Temas para los que se recomienda: Bibliografía complementaria: LARSON, R. y HOSTETLER, R. Cálculo y geometría analítica, Vol. 1 y 2 6a edición, McGraw-Hill, México, 2000 Temas para los que se recomienda: LEHMANN, C. Geometría analítica, Limusa, México, 2004

7 MENNA G., Z. Geometría analítica del espacio un Enfoque Vectorial, Limusa, México, ,4 RIDDLE DOUGLAS F. Analytic geometry, 6th edition, PWS Publishing Company, Boston, 1996 FRALEIGH, John B. and BEAUREGARD, Raymond A. Linear Álgebra Addison-Wesley Publishing Company Inc. E. U. A., 1989 GERBER, H. Álgebra Lineal Grupo Editorial Iberoamérica México, 1992 GODINEZ C., Héctor y HERRERA C., Abel. Álgebra Lineal Teoría y Ejercicios Facultad de Ingeniería, UNAM México, 1987 GROSSMAN, S. I. Álgebra Lineal McGraw-Hill, 5a. edición México, 1996 LEON, Steven J. Linear Álgebra With Applications Prentice-Hall Inc. E. U. A., 1998 PITA Ruiz, Claudio de J. Álgebra Lineal McGraw-Hill, 1a. edición México, 1991

8 Sugerencias didácticas: Exposición oral X Lecturas obligatorias X Exposición audiovisual Trabajos de investigación Ejercicios dentro de clase X Prácticas de taller o laboratorio Ejercicios fuera del aula: X Prácticas de campo Seminarios X Otras: Forma sugerida de evaluar: Exámenes parciales X Participación en clase X Exámenes finales X Asistencias a prácticas Trabajos y tareas fuera del aula X Otras: Perfil profesiográfico de quienes pueden impartir la asignatura: Profesor con conocimientos en las áreas de las ingenierías o bien las áreas físicomatemáticas.