a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn

Transcripción

1 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES NOMENCLATURA Y DEINICIONES - DEINICIÓN Ls mtrices so tls umérics rectgulres ª colum ª fil m m m m ( ij ) Est es u mtriz de m fils y colums Es de dimesió m Los elemetos, ij, so úmeros reles ( ij R) Dimesió de l mtriz Al desigr u mtriz geéric, como l terior, cd térmio tiee dos suídices que idic l fil y l colum ls que perteece El elemeto es el que está e l tercer fil y segud colum Pr simplificr, l mtriz terior se puede desigr sí: A ( ij ) m, IGUALDAD DE MATRICES Dos mtrices so igules cudo so de l mism dimesió y, demás, coicide térmio térmio: A ( ij ) m, A B ij ij B ( ij ) m,

2 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto TIPOS DE MATRICES Mtriz fil: A ( ) Mtriz colum: A m m Mtriz ul: Mtriz cuyos elemetos so todos ulos: O m Mtriz cudrd: Si el úmero de fils es igul l úmero de colums (m ) A A Digol secudri Digol pricipl Mtriz trigulr superior (iferior): Mtriz cudrd cuyo elemetos que está por dejo (ecim) de l digol pricipl so ulos A A Mtriz digol : Mtriz cudrd e que l todos los elemetos que o perteece l digol pricipl so ulos A A

3 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto Mtriz esclr: Mtriz digol co los elemetos de l digol pricipl igules A A Mtriz uidd o idetidd : Mtriz esclr co los elemetos de l digol pricipl uos I I Mtriz trspuest de u mtriz A (ij)m, es otr mtriz A t (ji),m que se otiee l cmir e A ls fils por ls colums y ls colums por ls fils A m m m m A t m m m m Mtriz simétric: mtriz cudrd que coicide co su trspuest (A A t ) A Mtriz tisimétric: mtriz cudrd que coicide co meos su trspuest(a-a t ) A

4 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES Pr que dos mtrices pued sumrse, es ecesrio que teg l mism dimesió E tl cso, se sum térmio térmio: ( ij ) m, ( ij ) m, ( ij ij ) m, PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ Pr multiplicr u úmero por u mtriz, se multiplic por el úmero cd elemeto de l mtriz: k( ij ) m, (k ij ) m, PRODUCTO DE UNA MATRIZ ILA POR UNA MATRIZ COLUMNA El producto de u vector fil por u vector colum, mos de l mism dimesió, es u úmeros que se otiee multiplicádolos térmio térmio y sumdo los resultdos: ( ) PRODUCTO DE MATRICES Pr que dos mtrices A y B pued multiplicrse, AB, es ecesrio que el úmero de colums de l primer mtriz coicid co el úmero de fils de l segud mtriz E tl cso, el producto AB C es otr mtriz cuyos elemetos se otiee multiplicdo cd vector fil de l primer por cd vector colum de l segud, del siguiete modo: A B ( ij ) ( ) ij m,,p AB C ( cij ) m, p Siedo c ij el producto de l fil i de A por l colum j de B: j j c ij j ( i i i i ) j ij i j ij i j L mtriz C resultte tiee tts fils como A, m, y tts colums como B, p

5 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto EJEMPLO Clculr l mtriz M P P I siedo P M - - PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Ls mtrices de dimesió m puede sumrse, y el resultdo es otr mtriz m Además, l sum cumple ls siguietes propieddes: Asocitiv: (A B) C A (B C) Comuttiv: A B B A Elemeto eutro: L mtriz O m,, cuyos elemetos so todos (mtriz ul), sumd co culquier otr mtriz de dimesió m, l dej igul, es decir, A O O A A Elemeto opuesto: Tod mtriz A, tiee su opuest A L opuest de A ( ij ) es A (- ij ), pues ( ij ) (- ij ) ( ij ij ) () O PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE NÚMEROS POR MATRICES Si, R, y A, B M m,, se cumple ls siguietes propieddes: (A) ()A ( )A A A (A B) A B A A PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Asocitiv: (A m B p ) C pq A m (B p C pq) El producto de mtrices o es comuttivo: AB BA Como cosecueci, hemos de mteer el orde e que prezc ls mtrices que h de multiplicrse Por tto, utilizremos epresioes del siguiete tipo: L mtriz A está multiplicd por l izquierd (o por l derech) por l mtriz B

6 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto Elemeto eutro: AI IA A siedo I l mtriz idetidd o uidd No siempre eiste el elemeto iverso: AA - A - A I, siedo A - l mtriz ivers de A No tods ls mtrices tiee ivers: Si u mtriz tiee ivers se l llm iversile o regulr Si u mtriz o tiee ivers se le llm sigulr PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS Distriutiv izquierd: A(B C) AB AC Distriutiv derech: (A B)C AC BC PRODUCTOS NOTABLES (A B) A AB B, ecepto si A y B so comuttivs (A - B) A - AB B, ecepto si A y B so comuttivs (A B)(A B) A - B, ecepto si A y B so comuttivs PROPIEDADES DE LA TRASPOSICIÓN DE MATRICES (A t ) t A (A B) t A t B t (ka) t ka t (AB) t B t A t Si A es u mtriz simétric: A t A PROPIEDADES DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ (A - ) - A (A B) - A - B - (ka) - K A - (AB) - B - A - Si I es l mtriz idetidd o uidd: I - I (A t ) - (A - ) t

7 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ APLICANDO LA DEINICIÓN AA - I Ejemplo: [] Hllr l ivers, si eiste, de l mtriz A t z y t y z t y z No tiee solució t y t y No tiee solució z z t y z t y z Solució: No eiste l ivers de A [] Hllr l ivers, si eiste, de l mtriz A t z y t y z t y z y t t t y t y z z z z t y z t y z Solució: A - Comproció: AA - I : Está ie Oservció: - Pr hllr l ivers de u mtriz hy que resolver sistems de ecucioes - Pr hllr l ivers de u mtriz hy que resolver sistems de ecucioes - Pr hllr l ivers de u mtriz hy que resolver sistems de ecucioes - Pr hllr l ivers de u mtriz hy que resolver sistems de ecucioes Por tto este método sólo es cosejle pr mtrices de dimesió

8 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto 8 APLICANDO EL MÉTODO DE GAUSS (A I) (I A) Psos: Hcemos ceros dejo de l digol pricipl (de izquierd derech) Hcemos ceros ecim de l digol pricipl (de derech izquierd) Arreglmos l digol pricipl (dividiedo cd fil por el úmero correspodiete) Not: Si l hcer ceros u fil o colum es tod cero No eiste l ivers Ejemplo: [] Hllr l ivers, si eiste, de l mtriz A No eiste l ivers de A [] Hllr l ivers, si eiste, de l mtriz A / / ) /( Solució: A - Comproció: AA - I : Está ie [] Hllr l ivers de l mtriz / / /

9 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto 9 / / / / / / / / / Solució: A - / / / / / / / / / Comproció: AA - I : / / / / / / / / / Bie Oservció: Pr hllr l ivers de u mtriz por el método de Guss, se puede cmir fils pero e (A I) o tes, pero uc colums [] Hllr l ivers de l mtriz POR DETERMINANTES (Ver tem ) EJERCICIOS TÍPICOS DE MATRICES POTENCIA N-ÉSIMA DE UNA MATRIZ Pr clculr l poteci -ésim de u mtriz, A, se clcul A, A, A, A, hst que descurmos l ley de formció de ls sucesioes que l form o lleguemos l mtriz Idetidd Ejemplos: [] Clculr A siedo A A A AA A AA A AA

10 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto A [] Clculr A 8 siedo A A A AA A AA A AA AI A Sólo hy tres posiles resultdos : A, A, A (el resto se repite) Dividimos 8 etre y os quedmos co el resto: 8 A 8 A (A ) A I A IA A APLICACIONES DE LA INVERSAS: RESOLVER ECUACIONES MATRICIALES Propieddes: AA - A - A I; AI A Ejemplos: [] AX B A - AX A - B IX A - B X A - B [] XA B XA A - B A - XI B A - X B A - [] AX B C AX C B A - AX A - (B C) IX A - (B C) X A - (B C) [] XA - B C X A - C-B X A - A (C-B)A XI (C-B)A X (C-B)A [] AXB C I AXB (I C) A - AXBB - A - (I - C)B - IXI A - (I - C)B - X A - (I - C)B - RESOLVER SISTEMAS MATRICIALES Se plic el método de reducció pr despejr ls mtrices icógit Ejemplo: Resolver el siguiete sistem mtricil B Y X A Y X siedo A y B mtrices coocids

11 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto X Y A Multiplicmos l primer ecució por - y ls summos: 8Y B A X Y B Y ( B A) (Clculmos Y) 8 X Y A (Clculmos X) HALLAR LAS MATRICES QUE CONMUTAN CON UNA DADA Comutr sigific que AX XA Ejemplo: Hllr ls mtrices que comut co l mtriz A y y AX XA z t z t z y t y z t z z t z z y t y t z z z t t z t z Dos ecucioes co cutro icógits ( gl) z, α, t α, y β X α β α α, β R DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Ddos v, v, v,, v vectores y,,,, úmeros, l vector formdo del siguiete modo: v v v v Se le llm comició liel de los vectores v, v, v,, v Ejemplo: Escriir el vectores (,,-) como comició liel de los vectores: v (,,), v (,-,)

12 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto (,,-) α v β v (,,-) α(,,) β(,-,) α β (,,-) (α β, α - β, β) α β β De l tercer ecució β - Sustituimos e l segud ecució: α α Compromos que se cumple l primer: (-) Como se cumple se puede poer como comició liel (,,-) v - v (Si o se cumpliese, o se podrí poer y el ejercicio o tedrí solució) DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES U cojuto de vectores: v, v, v,, v se dice que so lielmete depedietes (LD) si lguo de ellos se puede poer como comició liel de los demás U cojuto de vectores: v, v, v,, v se dice que so lielmete idepedietes (LI) si iguo de lguo de ellos se puede poer como comició liel de los demás E l práctic: Pr ser si u cojuto de vectores so lielmete depedietes o idepedietes lo que se hce es u comició de ellos iguld l vector cero v v v v Si todos los i so cero Los vectores so lielmete idepedietes Si lgú i es o ulo Los vectores so lielmete depedietes RANGO DE UNA MATRIZ DEINICIÓN Llmmos rgo de u mtriz l úmero de fils o colums lielmete idepedietes CÁLCULO Pr estudir el rgo de u mtriz: Hcemos ceros dejo de l digol pricipl El úmero de fils o uls es el rgo

13 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto Ejemplo: Hllr el rgo de l mtriz A Rgo A Pr estudir el rgo de u mtriz co prámetros Se llev el prámetro lo más jo y l derech posile Se hce ceros dejo de l digol pricipl (l fil que cmimos o se puede multiplicr por el prámetro Se igul, por seprdo, los elemetos de l digol pricipl cero U cso más que el úmeros de prámetros (se estudi cd cso) Ejemplo: Hllr el rgo de l mtriz A C C No tiee solució - No tiee solució ± Dos vlores de Tres csos: - CASO : Rgo A - CASO : - Rgo A - CASO : ± * Rgo A

14 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics CCSSII º Bchillerto UTILIZAR EL RANGO PARA ESTUDIAR LA DEPENDENCIA O INDEPENDENCIA DE VECTORES Pr estudir si u cojuto de vectores so lielmete depedietes o idepedietes se coloc como si fuese ls fils de u mtriz, se estudi el rgo de l mtriz (ceros dejo de l digol pricipl) Si lgu fil es tod ul So lielmete depedietes Si igu fil es ul So lielmete idepedietes Ejemplos: [] Estudir si so LI o LD los vectores (,,,), (,,-,), (,,,) y (,,,) Lielmete Depedietes [] Estudir si los vectores (,,), (,,-), (,,) so LI o LD 9 9 L Idepedietes 8 ORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES AX B A - AX A - B IX A - B X A - B