Nombre y Apellido: C.I: Profesor: Sección:

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1 Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Departamento de Matemáticas Aplicadas Álgebra Lineal Parcial % 3 de noviembre de 7 Semestre 7 Nombre y Apellido: C.I: Profesor: Sección:. Dados A (,,; B (,,-; C (,,; D (3,-,3 y L: x 3; 5 y 3z + a Determine si A, B y C son colineales. ( pto b Hallar la recta que pase por D y sea paralela a L. (pto c Hallar la recta que pase por D y sea perpendicular a L y a la recta que pasa por los puntos A y B. ( pts d Hallar la recta que pase por D y corte perpendicularmente a la recta que pase por los puntos B y C. (3 pts. Dados los planos Π : x + y + z y Π : x z. a Justifique por qué es posible hallar la intersección de los planos Π y Π. (pto b Encuentre todas las ecuaciones de la intersección de Π y Π. (3 pts c Encuentre las ecuaciones de los planos paralelos al plano Π que distan 3 unidades del origen. ( pto 3. Dados Π: x y + 3z 8; L : x 3 y ; z, L x5 t y 3+t y P (4,-,-. z+t Encuentre: a El ángulo entre la recta L y el plano Π. ( pto b El ángulo entre las rectas. ( pto c La distancia entre el punto P y la recta L. ( pto d Determine si las rectas L y L se cortan o se cruzan. ( pto e Si L y L se cortan, hallar su intersección; si se cruzan, hallar la distancia entre ellas. ( pto 4. Dados los puntos A (,,3; B (,,4; C (,3, y D (3,,5, calcular el volumen y la altura del prisma de aristas adyacentes AB, AC, AD cuya base está formada por el triángulo ABC. (4 pts Nota: No está permitido el uso de formularios ni calculadoras. Los teléfonos celulares deben permanecer guardados y apagados o en silencio.

2 Solución. a Si A, B y C son colineales, entonces AB es múltiplo escalar de BC. AB B A,, (,, ( BC C B,,,, AB y BC no son múltiplos escalares no son colineales. pto.. b reescribiendo L: x 3 ; y 5 z + ⅓ ⅓ un vector director de L es ⅓. Podemos utilizar un múltiplo escalar del vector director v 3. Si la recta pasa por D (3,-,3 y es paralela a L utilizamos un vector director de L L 4 : P OD + t v L x 3 y 3 t pto. z 3 + t. c ( AB v ^i ^j ^k ( w Se cumple que w AB y w v Una recta que pase por D (3,-,3 y de vector director w es L 3 x 3 5t y +t z 3 + 3t pto.. d Se construye la ecuación de un plano cuyo vector normal sea el vector director BC calculado en a y que pase por el punto D (3,-,3. ax + by + cz d x y + z 3 (- + 3 y + z 7 pto. Luego se escribe la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos B y C y se intersecta con la ecuación del plano: L BC : P OC + t BC { x y t sustituyendo las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano: z + t y+ z7

3 ( t+( + t7 t sustituyendo en la ecuación de la recta: { E x y pto. z Finalmente construimos la ecuación de la recta que pasa por D (3,-,3 y por E (,-, DE E D,, ( 3,, 3 ( 3 L 4 : P OD + s DE L x 3 3 s 4 y pto. z 3 s. a Si los planos Π y Π no son paralelos, entonces la intersección entre ellos es una recta. Basta con verificar que sus vectores normales no son múltiplos escalares. n ( y n (. b x+ y+z { x z no son múltiplos escalares la intersección de los planos es una recta. pto. [ f f +f ] [ Finalmente, en forma paramétrica al tomar x t t + y ] { t z L x t y t pto. z + t En forma vectorial L : P + t ( pto. En forma simétrica L :x y + z pto.. c Los planos paralelos a Π tienen el mismo vector normaly n ( la distancia de ellos al Ax + By + Cz + D origen O (,, es 3 d(o, Π A +B +C D 3 3 D D ±3 Π 3 : x + y + z + 3 pto. + + Π 4 : x + y + z 3

4 3. a Ángulo entre plano y recta, dados n ( 3 y v ( Sen(θ v n ( + ( + 3 v n ( + + +( θ arcsen( 3 4 pto. 3. b Ángulo entre rectas, dados v ( 3 y v ( cos(θ v v 3 ( + ( + v v 3 +( + ( θ arccos( pto. 3. c P (4,-,-, L P (5, 3, v (, PP P P ( 5, 3, ( 4,, ( ( PP v ^i ^j ^k ( d(p, L pto. d (P, L PP v v 3. d L : {P (,, v (3,,, L : {P (5, 3, v (,,, P P P P ( 5, 3, (,, ( 3 4 ( +( +( ( + + ( v v ^i ^j ^k 3 ( 4 6 P P ( v v ( 3 4 ( 4 6 Como P P ( v v entonces las rectas se cruzan pto e Como las rectas se cruzan, entonces no aplica intersección entre ellas sino distancia: d (L, L P P ( v v v v 4. Forma : ( 4 +( 6 +( 53 d (L, L 53 pto. a Un paralelepípedo es un prisma cuya base es un paralelogramo y su volumen viene dado por el producto triple escalar de los tres vectores de las aristas adyacentes AB, AC y AD

5 D V ( AB AC AD. Pero en el problema se pide el volumen del prisma A B C que en lugar de tener como base a un paralelogramo, tiene como base al triángulo ABC. D Entonces el volumen de este prisma será la mitad del volumen del A B C paralelepípedo V ( AB AC AD AB B A (,, 4 (,, 3 ( AC C A (, 3, (,, 3 ( AD D A ( 3,, 5 (,, 3 ( ( AB AC ^i ^j ^k ( 3 V ( AB AC AD V 3 pts. ( 3 ( 3 b La altura h del prisma de base triangular es la componente de la proyección del vector AD sobre el vector ( AB AC AB AC h D B h Comp ( AB AC AD AD ( AB AC AB AC ( 3 ( ( +(3 +( 6 A h 6 pts. C

6 4. Forma : El volumen de un prisma viene dado por el producto del área de la base por la altura V A base h El área de un triángulo de vectores adyacentes AB y AC viene dado por A AB AC y la altura h por la proyección del vector AD h Comp ( AB AC AD AD ( AB AC AB AC 4. Forma 3: Habiendo calculado el área de la base triangular: V AB AC AD ( AB AC AB AC Hallar la ecuación cartesiana del plano que contiene a los puntos A, B y C. sobre el vector ( AB AC Con el vector normal a dicho plano y el punto D construir la ecuación de una recta. 3 Intersectar la recta con el plano. 4 Calcular h como la distancia entre dos puntos entre la intersección hallada y el punto D 5 Finalmente el volumen es el producto del área de la base por la altura.