UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID JUNIO 2008

Transcripción

1 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID JUNIO El mn pnt o opcion, B. El lumno bá lgi UN Y SÓLO UN ll olv lo cuto jcicio qu cont. No pmit l uó clculo con cpci pntción gáfic. PUNTUCIÓN: L clificción máim c jcicio inic n l ncbzminto l mimo. OPCIÓN Ejcicio. Clificción máim: punto. Do l itm cucion linl: pi:. ) ( punto). Dicuti l itm gún lo vlo l pámto. Rolvlo cuno l olución únic. b) ( punto). Dtmin p qué vlo o vlo l itm tin un olución n l qu.. El itm tá finio po l mtiz coficint () po l mpli. ( ). g g Si, g g n, l itm comptibl tmino, po lo tnto tui l tipo olución p lo vlo l pámto qu nuln l. : : : t ± Dicuión: i. Si ±: g g n. Sitm comptibl tmino. Solución únic. S pu olv po culqui métoo, unqu comino l métoo Cm. ii. Si : g <. g.. D lo mno olo l mno on, olo qu po tui l mno fomo po l ª ª column; g g < n. Sitm comptibl intmino. Infinit olucion. Sitm quivlnt: { ': S iii. Si : g <. g.. D lo mno olo l mno on, olo qu po tui l mno fomo po l ª ª column; g g. Sitm incomptibl.

2 b. H qu tui i p lo itm comptibl it un olución n l qu. -Sitm comptibl tmino: : : P it un olución n l qu qu l punto (, ). - Sitm comptibl intmino: P : S ': :. Eit un olución n l qu qu l punto (, ). Ejcicio. Clificción máim: punto. D l ct: z z z pi: ) (, punto). Dicuti l poición ltiv l o ct, gún lo, vlo l pámto. b) (, punto). Si, clcul l itnci mínim nt l o ct,.. L poición ltiv l o ct tui mint l ngo l mtiz fom po lo vcto icción mb ct, un gmnto fomo nt o punto, uno c ct, po lo tnto, ncio obtn un punto un vcto c un l ct, p lo cul tnfomn u cucion pmétic. λ ct λ (,,) λ : z z (,, ) z λ µ z z ct z zµ B (,, ) µ : z z (,,) z µ B b (,, ) (,, ) Rct no coplni, cuzn po no cotn k Rct cnt g Rt coplni : k Rct pll B Rct coincint El g g tui pti lo vlo l pámto qu nuln l tminnt l mtiz. : Poición ltiv i. Si :, g. L ct cuzn po no cotn. No tinn punto n común ii. Si :, g <., g. L ct on coplni.,, k,, L ct on cnt

3 b. S pu clcul o fom: i. Como ltu l pllpípo fomo po lo vcto, B. b B V h o { } B o,,,,,,,, Sutituno: B o ii. Como itnci un punto un plno. π Sino un punto π un plno pllo qu contin. z : z :,,,,,, B : π π π π Ejcicio. Clificción máim: punto. Etui lo iguint límit: ) ( punto). b) ( punto)..? L H L H b.

4 Sí < < Ejcicio. Clificción máim: punto. Obtn lo máimo mínimo ltivo, lo punto inflión l función: f () (Ln ()) ino Ln() l logitmo npino. Un función pnt tmo ltivo n lo punto on u pim iv co l gun itint co, con l iguint citio; i l gun iv poitiv á un mínimo, i l gun iv ngtiv á un máimo. Un función pnt punto inflión n lo punto on u gun iv co l tc iv itint co. f Ln Ln Ln Ln Ln f Ln ( Ln ) Ln Ln f Máimo mínimo ltivo: f : Ln Ln f Ln ( ) En l punto, : Ln ( Ln ) < l función pnt un máimo. Ln : : Ln : Ln : f : ( ) Ln En l punto f Ln, l función pnt un mínimo. () > : f ( Ln) Punto inflión: Ln f : : Ln : Ln : - Ln f ( ) : f Ln En l punto, l función pnt un punto inflión.

5 OPCIÓN B Ejcicio. Clificción máim: punto. D l iguint mtiz on n: n pi: ) (, punto). Clcul l tminnt l mtiz. b) (, punto). Clcul l tminnt l mtiz. c) ( punto). Clcul l tminnt l mtiz.. t { F F F } 9 b. F F F t 9 F F F 9 c. Siguino l l cunci pu infi qu: t n n... 9 Sgún t l: t Ejcicio. Clificción máim: punto. ) (, punto). P c vlo c >, clcul l á l gión cot compni nt l gáfic l función: f c c l j OX l ct,. b) (, punto). Hll l vlo c p l cul l á obtni n l pto ) mínim.. Si c >, f () > R. Tnino n cunt qu l función imp poitiv (t itu po ncim l j OX), l á n un intvlo á: c c c Á f c c c c c c c c c u c c c b. El á mínim obtin ivno l pión pcto c igulno co. c c c ( c ) c ( c c ) ( c) ( c ) c c c

6 c : : c : c ± c L compobción qu tt un á mínim hc con l gun iv. c c c c ( ) c c > P c l á mínim. P c l á máim. Ejcicio. Clificción máim: punto. Do lo punto (,, ), B(l,, ), C(,, ) D(l,, ), pi: ) (, punto). Dmot qu lo cuto punto no on coplnio. b) ( punto). Hll l cución l plno π tmino po lo punto, B C. c) (, punto). Hll l itnci l punto D l plno π.. Si cuto punto no on coplnio, nt llo hbá t vcto linlmnt inpnint, po tnto, l mtiz fom po to bá tn ngo. B b (,, ) (,, ) C c (,, ) (,, ) D,,,, < R tmin l ngo tui l tminnt l mtiz. 7 g Lo vcto on linlmnt inpnint, lo punto no coplnio b. El plno buco fom con o vcto ( B, C) (,,) (,, ) (,, ) un punto (). z π : B π C Dollno l tminnt po lo lmnto l ª fil onno obtin l cución gnl l plno. π z

7 c. L itnci D π clcul pticulizno l cución nomliz l plno n l coon D. 7 ( D π) Ejcicio. Clificción máim: punto. Do l plno π z l punto P(l,, ), pi: ) (, punto). Hll l cución l ct ppnicul l plno π qu p po l punto P. b) (, punto). Hll l punto Q intcción π. c) (, punto). Hll l punto R intcción π con l j OY. ) (, punto). Hll l á l tiángulo PQR.. L ct buc obtin con l vcto noml l plno como vcto icción l ct con l punto P. λ : P (,, ) n (,, ) π z λ λ b. El punto buco Q, ptnc po igul l ct l plno po tnto u coon cumpln l cucion mbo. S clcul utituno l cucion pmétic l ct n l cución gnl l plno, pj l pámto, con l vlo l pámto utituno n l cucion pmétic l ct ncuntn l coon l punto cot. π q q z q q λ q Q : : ( λ q ) ( λ q ) ( λ q ) q λ q z q λ q Opno onno pj l pámto. λ : λ Sutituno n l cucion pmétic obtinn l coon Q. q Q q z q : Q (,, ) c. S utitun l cucion pmétic l j OY n l cución l plno. OY R : µ : µ : µ : R (,, ) z z. El á un tiángulo finio po t punto obtin como plicción l móulo l poucto vctoil o vcto. Á ( PQR) PQ PR P(l,, ); Q (,, ); R (,, ) PQ PR (,, ) (,,) (,, ) (, 7, ) Á : PQ PR 7, ( PQR) PQ PR ( ) ( 9), 7 (,, 9)