S O L U C I O N E S O P C I Ó N A. PR1.- Nos dan 3 planos, dos de ellos determinan la recta. El problema se reduce a interpretar.

Transcripción

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2 S O L U C I O N E S O P C I Ó N A PR.- Nos dan planos, dos de ellos determinan la recta. El problema se reduce a interpretar geométricamente las posibles soluciones del sistema m y m my a) Matri de los coeficientes del sistema A m donde A - m Discusión Si - m > m > rango A rango M. ampliada.solución única. Recta y plano se cortan en un punto Si m > rango A. La matri ampliada es Esta matri corresponde a un sistema homogéneo que, como su rango es menor que, es indeterminado. Hay infinitas soluciones. La recta está contenida en el plano b) Tenemos que hallar el punto de corte para m y y > como ya hemos visto que el sistema, para m, tiene solución única, buscaremos la solución por Cramer hallando primero 5 y - El plano pedido pasa por el punto P( 5,, - ) y tiene como vector perpendicular la dirección de la recta t y, es decir, el vector v(,, ). Su ecuación será:.( 5) ( - ).( )

3 PR.- Tenemos la función f(). definida para todo R a) Derivabilidad El único valor a considerar es aquel que anula, es decir, f ( h) f () h ( h) h h f ( h) f () h h h h La función NO es derivable en h h h h h h (-h ) (h - ) - b) Intervalos de monotonía Aunque no sea necesario, posiblemente, facilitaremos las cosas si ponemos f() definida a troos f() si < función derivada f () si Si < > se anula en - teniendo que: si < si > Si < - > f () >. La función es decreciente en (-,- ) Si > - > f () >. La función es creciente en (-, ) Si > > - se anula en teniendo que: Si < > f () <. La función es decreciente en (, ) Si > > f () >. La función es creciente en (, ) Etremos relativos La función dada es continua en todo R por lo que sus etremos relativos estarán en aquellos valores de donde la función cambia su crecimiento y así: Presenta un máimo relativo en de valor f() Máimo M(, ) Presenta un mínimo relativo en - de valor f(- ) - - mínimo m (-,- ) Presenta un mínimo relativo en de valor f( ) - - mínimo m (,- ) 4 4 4

4 C.- Tengamos en cuenta que cuando multiplicamos a una matri por un número real debemos hacerlo a todos sus elementos por lo que todas las filas estará multiplicadas por 4 resultando que: B 4.A ( 4 ) 4. A ( 4 ) 4. 9 C.- Sean u(,, - ) y v(-,, - ) los vectores directores de r y s respectivamente y sean P(,, ) y Q(,, ) dos puntos de r y s respectivamente PQ, u, v volumen de un paralelepípedo de base u v y altura la distancia, d, entre ambas rectas PQ, u, v PQ, u, v u v. d > d uv Calculamos PQ, u, v u v i j k.i.j.k > su módulo 4 d u 4 C.- π tg() ( / tg 6 ) tg( π ) tg(π ) Aplicamos l Hôpital π tg() ( / tg 6 ) π ( tg ) 6 / ( tg 6 ) 6 C4.- Buscamos la función diferencia D() ( 6 ) ( ) - 8 cuyas raíces son y Área A ( 8) d

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6 S O L U C I O N E S O P C I Ó N B PR.- Sistema y ay ( a) y 6 a) Matri de los coeficientes del sistema A a a 6 Vemos que C. C por lo que rango matri A Consideremos la submatri, sacada de la matri ampliada, B Calculando su determinante vemos que B por lo que rango B Podemos decir que rango A y que rango matri ampliada a. a Sea a un menor cualquiera deducido de A. Su valor es a a Si a tendremos que rango A rango matri ampliada < nº incóg > Sistema Indeterm Si a tendríamos como matri ampliada donde vemos 4 6 Rango matri A ( tiene sus tres filas proporcionales) mientras que el rango de la matri A es porque el menor deducido Conclusión: para a el sistema es incompatible b) No porque ya hemos dicho que en cualquier caso rango matri A nº incógnitas OTRA FORMA Si aplicamos el método de Gauss el problema se resuelve más rápidamente.

7 Matri ampliada a > F, F F, F F > ( a) 6 a equivalente a a donde: a Si a el sistema es incompatible porque tendríamos Si a el sistema sería indeterminado porque las dos matrices tendrían el mismo rango c) Para a, como hemos encontrado la matri a > de donde: de la segunda ecuación y > y - de la ª ecuación y > > t t PR.- Tenemos la función f() ln La función pendiente es f () Tenemos que encontrar, de entre todas ellas, la que sea máima por lo que volvemos a derivar f () 4 6 f () f () se anula para y llevando este valor a f () vemos que f () < luego para la función f () tiene un máimo de valor f() ln Ecuación de la recta tangente en ese punto y ( ln ) f () ( - ) > y ( ln ) ( - ) 4 b) ( ln ) d ln ln ) d

8 Esta última integral la debemos resolver por partes u ln du d ln d > > ln ) d. ln -. d. ln dv d v resultando f() ( ln ) d ln. ln C Como debe pasar por P( e, ) > ln. ln C C 4 ln 4 ln 8 f() ln. ln ( 4 ln 8) C.- Si P. B. P A multiplicando a la iquierda por P > B. P P. A multiplicando a la derecha por Si P > B P. A. Si P Tenemos que encontrar Si P Primeramente tenemos que P luego eiste P Adjuntos P P P P P P P P P B.... C.- El plano pedido pasa por el punto A(,, - ) y tiene como vectores paralelos a él AB(, -, ) y el vector perpendicular al plano dado n(, -5, ) y ecuación: 5 C.- La función diferencia es: d() ( ) ( ) - Sus raíces son - y Área ( ) d ( - ) 6

9 C4.- ( a - ) ( a )( a ) a a a a a a de donde a 4