1 Clase sobre determinantes

Transcripción

1 1 Clase sobre determinantes Una herramienta muy útil cuando trabajamos con matrices y con el producto de matrices, es su interpretación como: una colección de números, A = [a ij ] ; como una colección de vectores la o una colección de vectores columna. Estas formas distintas dan mucha versatilidad a la operación con matrices 1.1 Producto de matrices Sea R un anillo conmutativo con 1 y sean A 2 M mn (R) y B 2 M nr (R): El número de columnas de A debe ser igual al número de las de B: Su producto es la matriz D = AB 2 M mr (R) cuyo elemento (i; j) es d ij = a ik b kj : Pensando en las las y columnas de las matrices A y B; este producto se puede presentar de varias A (1) 1 B (1) 1 A (2) formas: Sean A = [A 1 A 2 A n ] = B. A y B = [B B (2) 1 B 2 B r ] = B. A, es A (m) decir, la columna j-ésima de A es A j ; la la i-ésima de A es A (i) y analogamente para B: 1. AB = (AB 1 AB 2 AB r ) : A (1) 1 B A (2) B 2. AB = B A : A (m) B 3. (AB) ij = A (i) B j : Matriz de productos internos. 4. AB = A i B (j) : Suma de productos externo. i=1 5. Si C = AB; la columna j de AB está dada por C j = b 1j A 1 + b 2j A b nj A n. Ejercicio: Comprobar estas fórmulas. 1.2 Determinantes Proposición 1 Supongamos que es una función n multilineal alternante en V y que v 1 ; v 2 ; ; v n y w 1 ; w 2 ; ; w n son elementos de V, tales que para elementos a ij 2 R se tiene w 1 = a 11 v 1 + a 21 v 2 + a n1 v n w 2 = a 12 v 1 + a 22 v 2 + a n2 v n. B (n) entonces (w 1 ; w 2 ; ; w n ) = w2 = a 1n v 1 + a 2n v 2 + a nn v n sg()a (1)1 a (2)2 a (n)n (v 1 ; v 2 ; ; v n ) 1

2 Teorema 2 Hay una única función determinante en R y puede ser calculado para matriz cuadrada A = [a ij ] 2 M nn (R) como: det (A) = sg()a (1)1 a (2)2 a (n)n ; donde sg() es el signo de la permutación ; que es 1 si es par y de permutaciones de n-elementos. 1 si es impar, S n es el grupo Corolario 3 El determinante es una función n-multilineal en las las de M nn (R), para cualquiera matriz A 2 M nn (R) se cumple que det (A t ) = det (A) ; donde A t es la matriz transpuesta de A. Prueba: Si probamos primero que una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante, se tiene el resultado de que el determinante es multilineal en las las. Sea A = [a ij ] 2 M nn (R) y A t = [d ij ] donde d ij = a j1 : Por la fórmula del determinante que conocemos, tenemos que det A t = sg()d (1)1 d (2)2 d (n)n = sg()a 1(1) a 2(2) a n(n) : Como el conjunto (1) ; (2) ; ; (n) es una renumeración de 1; 2; n; y estamos trabajando en un anillo conmutativo, entonces, para cada ; podemos reordenar el producto a 1(1) a 2(2) a n(n) de tal forma que los índices (1) ; (2) ; ; (n) estén organizados en orden ascente. Podemos reescribir este producto como a 1 (1)1a 1 (2)2 a 1 (n)n y como S n es un grupo y sg () = g 1 tenemos que det A t = = sg()a 1 (1)1a 1 (2)2 a 1 (n)n 1 sg( 1 )a 1 (1)1a 1 (2)2 a 1 (n)n = det (A). Teorema 4 Si A = [A 1 ; A 2 ; ; A n ] 2 M nn (R) ; con A i las columnas de A y B = P n r ja j para r j 2 R; j = 1; ; n; entonces, para todo i; r i det A = det [A 1 ; A 2 ; A i 1 ; B; A i+1 ; ; A n ] : Prueba: Basta expandir, usando la multilinealidad del determinante. Veámoslo det [A 1 ; A 2 ; A i 1 ; B; A i+1 ; ; A n ] 2 3 = det 4A 1 ; A 2 ; A i 1 ; r j A j ; A i+1 ; ; A n 5 = r j det [A 1 ; A 2 ; A i 1 ; A j ; A i+1 ; ; A n ] pero en esta suma, todos los determinantes en los cuales i 6= j son cero, así que queda r 1 det [A 1 ; A 2 ; A i 1 ; A i ; A i+1 ; ; A n ] = r i det A: 2

3 Corolario 5 Si R es un dominio entero y A 2 M nn (R), entonces det A = si y sólo si las columnas de A son linealmente dependientes, consideradas como elementos del R modulo libre R n. Igualmente, det A = si y sólo si las las de A son linealmente dependientes, consideradas como elementos del R modulo libre R n. Prueba: Supongamos que R es dominio entero y Si A = [A 1 ; A 2 ; ; A n ] 2 M nn (R) y que las columnas de A son linealmente dependientes. Entonces existen r j 2 R; j = 1; ; n; no todos nulos, tales que = r j A j : Supongamos que r i 6= ; por el teorema anterior se tiene que r i det A = det [A 1 ; A 2 ; A i 1 ; ; A i+1 ; ; A n ] = y como R es dominio entero, se tiene que det A = : Para el recíproco, supongamos que las columnas de A son linealmente independientes. Como R es dominio entero, tomamos el campo de fracciones F de R; y consideramos a R F y M nn (R) es un subanillo de M nn (F ) : Los elementos de F los denotamos de la forma c b ; con c; b 2 R: De esa manera las columnas de A las podemos tomar como vectores del espacio vectorial F n. Las columnas de A siguen siendo linealmente independientes en F n, pues si d i 2 F son tales que = d 1 A 1 + d 2 A 2 + +d i A i + + d n A n como cada d i = ci d i ; con c i ; b i 2 R, tomando denominador común y multiplicando, nos queda = c 1A 1 + c 2 A 2 + +c ia i + + c na n con los c i 2 R; y por la independencia lineal sobre R; tenemos que todos los coe cientes son. Como = fa 1 ; A 2 ; ; A n g es un conjunto linealmente independiente con n elementos y dim (F n ) = n; entonces es una base de F n ; por tanto los elementos de la base canónica de F n ; que son las columnas de la matriz identidad, se pueden escribir en términos de la base ; es decir, existen b ij 2 F tales que e i = b 1i A 1 + b 2i A b ni A n : Ahora, en M nn (F ) se tiene la función determinante y es claro que el determinante en M nn (R) es simplemente la restricción. Por lo tanto, por la propiedad de las funciones multilineales alternantes, tenemos que det I = 1 = det (e 1 ; e 2 ; ; e n ) = = sg()b (1)1 b (2)2 b (n)n det (A 1 ; A 2 ; ; A n ) = q deta donde q es un elemento de F; por tanto det A no puede ser cero. Aplicando que det A = det A t ; se concluye que las las de A son linealmente independientes. Teorema 6 Para todo par de matrices A; B 2 M nn (R) se cumple que det AB = (det A) (det B) : 3

4 Prueba: Si C = AB; y como las columna j de C está dada por C j = b 1j A 1 + b 2j A b nj A n ; entonces, aplicando de nuevo la propiedad de multilinealidad de det; tenemos det AB = det (C 1 ; ; C n ) =! = sg()b (1)1 b (2)2 b (n)n det (A 1 ; A 2 ; ; A n ) pero note que lo que hay entre paréntesis es precisamente det B: Otra forma de calcular el determinante de una matriz se basan en expansión en cofactores. Más precisamente, para la matriz A denotamos A ij a la matriz en M (n 1)(n 1) (R) ; obtenida de A suprimiendo la la i y la columna j: Al número ( 1) i+j det (A ij ) se le denomina cofactor del elemento a ij, o cofactor i j: Teorema 7 (Expansión en cofactores) Si A = [a ij ] 2 M nn (R) ; entonces, para cada i 2 f1; 2; ; ng tenemos que el determinante se puede calcular como det (A) = Igualmente, para cada j 2 f1; 2; ; ng det (A) = a ij ( 1) i+j det A ij : (1) a ij ( 1) i+j det A ij : i=1 Prueba: La primera forma se llama expansión en cofactores a lo largo de la la i y la segunda expansión en cofactores a lo largo de la columna j. Por la igualdad de det A y det A t, basta que probemos la primera. Para A; denotemos por D (A) la expresión dada en (1), es decir, tenemos una función D : M nn (R)! R dada por D (A) = a ij ( 1) i+j D (A ij ) para probar que es el determinante, debemos probar que D es multilineal alternante y que D (I) = 1; ya que sabemos que el determinante es la única función que satisface esas condiciones. La condición D (I) = 1 es clara. Hacemos la prueba por inducción sobre n: Para n = 1; A = [a] y claramente D [A] = a = det A; por lo que es multilineal alternante. Para evitar ambigüedades, podemos suponer que este paso 1 es cierto. Supongamos que se cumple para n y sea A 2 M (n+1)(n+1) (R) : Fijemos un valor k y consideremos la matriz B = [A 1 A 2 A k + rv A n ] ; con V 2 R n ; entonces los menores B ij ; para j 6= k son matrices n n; de la forma B ij = A 1 A 2 A j 1 A j+1 A k + rv An ; donde A j (V )es la columna A j (V ) con el elemento i-esimo eliminado, por tanto D (B ij ) es multilineal alternante, por inducción, así que D (B ij ) = D A 1 A 2 A j 1 A j+1 A k A n + rd A 1 A 2 A j 1 A j+1 V A n D (A ij ) + rd A 1 A 2 A j 1 A j+1 V A n 4

5 Si j = k; se elimina la columna k y B ik = A ik ; entonces D (B) = = n+1 n+1 b ij ( 1) i+j D (B ij ) = a ij ( 1) i+j D (B ij ) + a ik ( 1) i+j D (A ik ) j6=k n+1 a ij ( 1) i+j D (A ij ) + rd A 1 A 2 A j 1 A j+1 V A n + aik ( 1) i+j D (A ik ) j6=k = D (A) + rd (A 1 A 2 A k + rv A n ) o sea que es multilineal en columnas. Si A k = A k+1 entonces, entonces A ij también tiene las columnas i y k + 1 iguales, si j es diferente de k y k + 1; entonces por la hipótesis de inducción, D (A ij ) = y por tanto D (A) = a ij ( 1) i+j D (A ij ) = a ik ( 1) i+k D (A ik ) + a ik+1 ( 1) i+k+1 D (A ik+1 ) pero como tanto a A ik como a A i k+1 le quitamos una de las columnas que son iguales, tenemos que A ik = A i k+1 ; y a ik = a i k+1; por tanto D (A) = ; y D es multilineal alternante. Igualmente, por inducción se tiene que D (I) = 1: Así la función D = det : Resumen: Hacemos un resume de las propiedades las que queremos destacar sobre determinantes Teorema 8 1. Si dos de las las (columnas) de A son iguales, entonces det (A) = : 2. Si A tiene una la (columna) nula, entonces det (A) = : 3. Si se intercambian dos las (columnas) de A; entonces el determinante de la nueva matriz es det (A) : 4. Si se multiplica una la (columna) de A por un escalar el determinante de la nueva matriz es det (A) : 5. det A T = det (A) : 6. Si un múltiplo escalar de una la (columna) de A se suma a otra la (columna), el determinante se conserva. 7. Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, det (AB) = det (A) det (B) : Si A; B 2 M n (R) son matrices equivalentes, entonces det (A) y det (B) son asociados, es decir det (A) = u det (B) ; con u unidad de R Es el recíproco cierto? ny 8. Si A es triangular superior o triangular inferior entonces det (A) = a ii : 9. Si A 2 M nn (A) entonces det(ra) = r n det A: Inversa de una matriz Una matriz cuadrada A, tiene inversa (también se dice es no singular o es invertible) si existe una matriz del mismo tamaño denotada A 1 tal que AA 1 = A 1 A = I: Si A no tiene inversa se dice que es singular o no invertible. Con ayuda de cofactores podemos encontrar una forma para calcular la inversa de una matriz, aunque es sólo de carácter teórico. i=1 5

6 Proposición 9 (Regla de Cramer para la inversa) Sean A 2 M nn (R) y sea B la matriz transpuesta de la matriz de cofactores, es decir b ij = ( 1) i+j det (A ji ) ; 1 i; j n: Entonces AB = BA = (det A) I: Por tanto, A es una matriz invertible si y sólo si det A es una unidad de R y en ese caso A 1 = B = ( 1) i+j det (A ji ) (det A) 1 Prueba: Sean A 2 M nn (R) y sea B = (b ij ) ; con b ij = ( 1) i+j det (A ji ) : Sea C = (c ij ) = AB; entonces c ij = a ik ( 1) k+j det (A jk ) : Si i = j, esta expresión se convierte en c ii = a ik ( 1) k+i det (A ik ) = det A: Si i 6= j, tomemos A como la matriz en la que reemplazamos la la j por la la i: Entonces det (A ) = : Claramente los menores que involucran la la j son iguales, es decir A jk = A jk y a ik = a jk ; por tanto c ij = a ik ( 1) k+j det (A jk ) = a jk ( 1) k+j det A jk = det A = : Por tanto C = AB = (det A) I: De la misma forma se prueba que BA = (det A) I: 2 Operaciones elementales y matrices elementales Sea A 2 M nn (R) ; R un anillo conmutativo con 1. Las siguientes operaciones sobre las las A i de A se denominan operaciones elementales las. Se pueden de nir las operaciones análogas sobre las columnas de la matriz. 1. (Tipo 1) F i j : Intercambio de las las i y j: 2. (Tipo2) G i (u): Reemplazar la la i por un múltiplo escalar no nulo de ella misma. 3. (Tipo 3) H i j (r) : Reemplazar la la j por A j + ra i con r 2 R: El resultado de realizar una operación elemental de alguno de los tres tipos en la matriz identidad, es una matriz elemental, que vamos a denotar con el mismo nombre de la operación. Para ilustrarlo, veamos lo que ocurre con matrices 3 3: 1. Al realizar la operación F 1 2 en I; consistente en intercambiar las 1 y 2, se obtiene F A : 1 6

7 2. Al realizar una operación G 2 (u) en I; consistente en multiplicar su segunda la por una unidad u 2 R; se obtiene G 2 (u) 1 1 A : 1 3. Al realizar una operación H 1 3 (r) en I; consistente en tomar r veces la la 1 y sumarla a la la 3, se obtiene H 1 3 (r) A : r 1 Proposición 1 Propiedades de las matrices elementales 1. Si una matriz A se pre-multiplica por una matriz elemental Q la matriz resultante es la matriz A con sus las modi cadas de acuerdo con la operación elemental asociada con Q: 2. Si una matriz A se post-multiplica por una matriz elemental Q; la matriz resultante es A con sus columnas modi cadas de acuerdo con la operación elemental asociada a Q: 3. det F i j = 1 4. det G i (u) = u 5. det H i j (r) = 1 Teorema 11 La matriz cuadrada A es invertible si y solo si es un producto de matrices elementales. Prueba: Si A es invertible, entonces por medio de eliminación de Gauss Jordan (Nota??) en la que se usan solamente operaciones elementales la se puede llegar a la matriz identidad. Si las matrices elementales asociadas con esas operaciones elementales se denotan Q i ; entonces I = Q k Q k 1 Q 2 Q 1 A: Por tanto A = (Q k Q k 1 Q 2 Q 1 ) 1 = Q1 1 Q 2 1 Q 1 k que es un producto de matrices elementales. Proposición 12 Si A = Q k Q k 1 Q 2 Q 1 es producto de matrices elementales, entonces det A se puede calcular como det A = ( 1) s u 1 u t ; donde s es el número de matrices elementales de tipo 1 y u 1 u t son las unidades asociadas a las matrices elementales de tipo 2 en la descomposición de A 7