ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Transcripción

1 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA Serie 1 Ejercicio nº 1.- a) Aproxima hasta las décimas cada uno de los siguientes números: A = 1,84 B = 39,174 b) Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al tomar esas aproximaciones. A = 1,84 1,8 Error absoluto = Valor real - Valor aproximado = 1,84 1,8 = 0,04 0,04 Error relativo = 0,0 1, 84 B = 39,174 39, Error absoluto = 39,174 39, = 0,06 0,06 Error relativo = 0, ,174 Ejercicio nº.- a) Al realizar con la calculadora la operación 3 30 hemos obtenido en la pantalla lo siguiente: Expresa en notación científica el número anterior. De cuántas cifras es dicho número? b) Aproxima el resultado anterior dando tres cifras significativas. Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer la aproximación. a), Tiene 15 cifras b) Aproximación, Error absoluto < = ε 11 ε 5 10 Error relativo < = 0,00 14 Valor aproximado,06 10

2 Ejercicio nº 3.- Sitúa cada número en su casilla correspondiente (recuerda que puede ir en más de una): 4 ; ; 5,31; 8; 16; π; 1,...; 4 4 N Z Q R N 16; 4 Z 4 ; 5; 16 ; 4 Q 4 ; ; 5; 5,31; 16; 1,...; 4 4 R 4 ; ; 5; 5,31; 8; 16; π; 1,...; 4 4 Ejercicio nº 4.- I) Escribe en forma de desigualdad y representa: a), 1 b) 3, 4 [ ] II) Escribe en forma de intervalo y representa: { x/ x < } { x/ x } a) 1 b) 1 I) a) x/ x

3 { x/ x } b) 3 4 II) a) [, 1) b ) (,] Ejercicio nº a ) Calcula y simplifica : b) Racionaliza y simplifica : a) = = = = = ( 1 )( 5 + 3) ( )( ) b) = = = Ejercicio nº 6.- Halla con ayuda de la calculadora: a) 5, ,5 10 5, b) 3

4 a) ( 5,8 EXP ,5 EXP 16 ),5 EXP 5 + / = Por tanto: 5, ,5 10 5, = 1, b) 3 x y.( 5.) = Por tanto: 3 1, 55 5 Ejercicio nº 7.- a) Opera y simplifica: ( x + ) 3( x x + 4) b) Halla el cociente y el resto de esta división: ( 4 x 5 + x 3 3 x + 1 ) : ( x ) ( ) ( ) a) x + 3 x x + 4 = x + 4x + 4 3x + 6x 1 = x + 10x 8 b) 4x 5 + x 3 3x + 1 x 4x 5 + 8x 3 4x x 10x 3 3x x 3 + 0x 17x + 1 Cociente = 4x x Resto = 17x + 1 Ejercicio nº 8.-

5 Factoriza el siguiente polinomio: x 5 x 4 5x 3 + 6x Sacamos x factor común: x (x 3 x 5x + 6) Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x 3 x 5x + 6: Por tanto: x 5 x 4 5x 3 + 6x = x (x 1) (x 3) (x + ) Ejercicio nº 9.- Calcula y simplifica: x + 1 x + x 1 x x a) ( x + ) x 1 b) x + x + x + 1 ( + 1) ( ) ( ) ( ) x + 1 x + x x x + x + x x x a) = = = x 1 x x x x 1 x x 1 x x 1 x x ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) x 1 x + x 1 x + 1 x + x 1 x + x + x b) = = = x + x + x + 1 x + x + 1 x + 1 x + 1 Ejercicio nº 10.-

6 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x 1) (x + 3) = b) = x 3 x x x 1= 0 x = 1 x = ± 1= ± 1 a) ( x 1)( x + 3) = 0 3 x + 3 = 0 x = 3 x = 3 Hay tres soluciones: x1 = 1, x = 1, x3 = x 3x b) = x 3 = x x x x x x 1 3 = x 3x 0 = x 3x + 3± 9 8 3± 1 3± 1 x = = = ƒ x = x = 1 Ejercicio nº 11.- Resuelve este sistema: x + y = xy = 6 13 Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: 6 y = x 6 36 x + = 13 x + = 13 x + 36 = 13x x x 4 4 Hacemos el cambio: x = z x = z Así obtenemos:

7 13 ± ± 5 13 ± 5 z 13z+ 36 = 0 z = = = z = 9 ƒ z = 4 Si x = 3 y = Si z = 9 x = 9 x = ± 9 = ± 3 Si x = 3 y = Si z = 4 x = 4 x = ± 4 = ± Si x = y = 3 Si x = y = 3 Ejercicio nº 1.- Carlos y Elvira tienen, entre los dos, 108. Si Elvira le diera a Carlos 7, entonces Carlos tendrá la mitad del dinero que tendria Elvira. Averigua cuánto dinero tiene cada uno. x = "dinero que tiene Carlos" y = "dinero que tiene Elvira" El sistema a resolver será: x + y = 108 x + y = 108 y 7 x + 7 = x + 14 = y 7 Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y = 108 x y = x x = x + 1 3x = 87 x = 9 Luego, y = = 79. Carlos tiene 9, y Elvira, 79. Ejercicio nº 13.- Resuelve y representa gráficamente las soluciones: a) (x ) (x + 1) 0 3x 4 < 0 b) x

8 a) Hallamos las raíces de la ecuación: ( x )( x ) + 1 = 0 x = 0 x = x + 1= 0 x = 1 Estudiamos el signo de (x ) (x + 1) en cada intervalo: x (, 1) ( 1, ) (, + ) Signo de (x ) (x + 1) + + La solución de la inecuación es [ 1, ]. b) 3x 4 < 0 3x < 4 x < 8 x x 3 x 3 La solución del sistema es [3, 8). Serie

9 Ejercicio nº 1.- a) Expresa con un número razonable de cifras significativas cada una de las siguientes cantidades: I) 3 84 ejemplares vendidos de un libro. II) Hemos gastado 1 1,8 en nuestras vacaciones. b) Qué error absoluto estamos cometiendo al considerar 9 miles de habitantes como aproximación de 9 38? Y error relativo? a) I) 3 84 ejemplares 3 8 cientos de ejemplares II) 1 1,8 1 cientos de b) Error absoluto = Valor real Valor aproximado = = 38 habitantes Error absoluto 38 Error relativo = = 0,008 Valor real 9,38 Ejercicio nº.- a) Si calculamos 0 con la calculadora, obtenemos en pantalla: Expresa el número anterior en notación científica y en forma decimal. b) Aproxima el resultado anterior dando dos cifras significativas. Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer la aproximación. a) 9, Notación científica 0, Notación decimal b) Aproximación 9, Error absoluto < = ε 9 ε 5 10 Error relativo < = 0,005 7 Valor aproximado 9,5 10 Ejercicio nº 3.-

10 Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales, irracionales y/o reales: ; ; ; 4,5; 4; ; 49;, Naturales 6 ; 3 49 Enteros 6 ; 3 4; 49 Racionales 6 3 ; ; 3 6 4,5; 4; 49;, Irracionales ; 5 Reales Todos Ejercicio nº 4.- I) Escribe en forma de intervalo y representa: { x x } { x x } a) / > 1 b ) / 1< < 0 II) Escribe en forma de desigualdad y representa: a) [ 3, 5) b ) ( 3, + ) I) a) ( 1, + ) b) ( 1, 0) { x / x < } II) a) 3 5 { x/ x > } b) 3 Ejercicio nº 5.-

11 1 a) Opera y simplifica: b) Racionaliza y simplifica: a) = = = 6 6 3( 3 ) ( )( + ) b) = = = Ejercicio nº 6.- Halla, con ayuda de la calculadora: a), ,5 10 5, b) 45 a) (,96 EXP 9 + 3,5 EXP 10 ),3 EXP 5 + / = Por tanto:, ,5 10 5, , b) 45.x 1/y 5 = Por tanto: ,35 Ejercicio nº 7.-

12 a) Desarrolla y simplifica: ( x 1) ( 4x 3x) b) Halla el cociente y el resto de la división: ( 6 x 4 3 x + x 3 ) : ( x + x 1 ) ( ) ( ) a) x 1 4x 3x = 4x 4x + 1 4x + 3x = x + 1 b) 6x 4 3x + x 3 x + x 1 6x 4 6x 3 + 6x 6x 6x + 9 6x 3 + 3x + x 3 6x 3 + 6x 6x 9x 4x 3 9x 9x x + 6 Cociente = 6x 6x + 9 Resto = 13x + 6 Ejercicio nº 8.- Descompón en factores el polinomio: x 4 + 6x 3 x 6x Sacamos x factor común: x (x 3 + 6x x 6) Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x 3 + 6x x 6: Por tanto: x 4 + 6x 3 x 6x = x (x 1) (x + 1) (x + 6) Ejercicio nº 9.-

13 Opera y simplifica: a ) x x 1 x 1 x x + 1 x 1 x + 3 x 9 b) : ( )( ) ( x 1) ( )( ) ( )( ) x x + x x a) = = = x 1 x 1 x 1 x + 1 x 1 x + 1 x 1 x + 1 x 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) x x + 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x + 3 x 3 b) : = : = = x + 3 x 9 x + 3 x + 3 x 3 x + 3 x 1 ( )( ) = x 1 x 3 = x 4x + 3 Ejercicio nº 10.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 4 4x + 3 = 0 b 5 ) x + = x a) Hacemos el cambio: x = z x 4 = z Así obtenemos: 4 ± ± 4 4 ± ƒ z 4z+ 3 = 0 z = = = Si z = 3 x = 3 x = ± 3 6 = 3 = 1 Si z = 1 x = 1 x = ± 1 Por tanto, hay cuatro soluciones: x = 3, x = 3, x = 1, x = 1 x 5 x 4 5x b) + = + = x + 4 = 5x x x x x 1 3 4

14 5 ± ± 9 5 ± 3 x 5x + 4 = 0 x = = = ƒ x = 4 x = 1 Ejercicio nº 11.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 10 xy = 3 Despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: 3 y = x x + = 10 x + = 10 x + 9 = 10x x 10x + 9 = 0 x x 4 Hacemos el cambio: z = x x = z Así obtenemos : 10 ± ± ± 8 z 10z+ 9 = 0 z = = = ƒ z = 9 z = 1 Si z = 9 x = 9 x = ± 9 = ± 3 Si x = 3 y = 1 Si x = 3 y = 1 Si z = 1 x = 1 x = ± 1 = ± 1 Por tanto, hay cuatro soluciones. Si x = 1 y = 3 Si x = 1 y = 3 Ejercicio nº 1.- El producto de dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 65. De qué números se trata?

15 Llamamos x e y a los números que buscamos. Por tanto, tenemos que: x y = 8 x + y = 65 Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: 8 y = x x + = 65 x + = 65 x = 65x x x 4 Hacemos el cambio: x = z x 4 = z Así obtenemos: z 65z = 0 z = ± ± ± 33 ƒ z = = = z = 16 Si x = 7 y = 4 Si z = 49 x = 49 x = ± 49 = ± 7 Si x = 7 y = 4 Si z = 16 x = 16 x = ± 16 = ± 4 Si x = 4 y = 7 Si x = 4 y = 7 Ejercicio nº 13.- Resuelve y representa gráficamente las soluciones. a) x + 3x 4 0 b) x x 1> 0 a) Resolvemos la ecuación x + 3x 4 = 0: 3 ± ± 5 3 ± 5 ƒ x = = = x = 1 x = 4

16 Estudiamos el signo de x + 3x 4 en cada intervalo: x (, 4) ( 4, 1) (1, + ) Signo de x + 3x La solución de la inecuación es (, 4] (1, + ) b) x x 4 x x 1> 0 x > 1 x > 1 La solución del sistema es ( 1, ].