Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA

Transcripción

1 Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA Ingenierías: Recursos Hídricos- Ambiental-Agrimensura-Informática Mg. Ing. Susana Vanlesberg

2 Situación real planteada El máximo nivel de la crecida anual de un río H (metros) se asume que es descripto por la función de probabilidad que se muestra en la figura siguiente:

3 Se puede obtener el valor de altura que tiene una probabilidad de 50% de ocurrir? Cuál sería el valor de la altura de crecida que corresponde al máximo? Cuál es el valor medio de altura máxima de crecida? Para que servirían estos valores?

4 PARA RESPONDER A ESTOS INTERROGANTES NECESITAMOS DE NUEVOS CONCEPTOS QUE NOS AYUDARÁN A CONTESTARLOS. Vimos antes que podemos describir a una Variable Aleatoria a través de su función de probabilidad. Pero más aún, es posible resumir sus rasgos salientes en cuanto a su comportamiento a través de lo que denominamos:

5 CARACTERÍSTICAS

6 Esas características que nos permitirán destacar los rasgos más importantes del comportamiento de una variable, y por ende de su función de probabilidad, son números. Podemos agruparlos de acuerdo a lo que permiten resaltar:

7 Variables Unidimensionales Medidas de la tendencia central. Medidas de variabilidad. Medidas de asimetría. Medidas de curtosis.

8 Medidas de la tendencia central Promedios Esperanza matemática Media geométrica Media armónica

9 Esperanza matemática o valor medio E( X ) n i1 x i f ( x i ) E ( X ) x f ( x) dx

10 Algunas propiedades: E(C) = C E(C) = - C. f(x) dx= C. - f(x) dx= C E(C X)= C E(X) E(CX) = - C X f(x) dx = C - X f(x) dx = C E(X)

11 E(a +bx)= a+b E(X) E( g1(x) g(x))= E( g1(x)) E( g (x))

12 Medidas de ubicación Mediana Modo Cuantiles

13 Medidas de ubicación Mediana Mediana - f(x)dx= 0.5 P(X Mediana)= 0.5 si X es variablecontinua o bien Mediana f(x)dx= 0.5 P(X > Mediana)= 0.5

14 Prob(X Mediana)= Mediana i=1 f( x i )= 0.5 si X es variablediscreta o bien Prob(X > Mediana)= Mediana f( x i )= 0.5

15 Modo df(x) d f(x) =0 y dx dx <0 Máx f( x i )

16 Cuantiles P(X x p )= p o bien P(X > x p )=1- p P(X x p i )= i 4, parai= 1,,3 P(X x p i )= i 10, parai=1,,...,9 P(X x p i )= i 100, parai=1,,...,99

17 Medidas de variabilidad Varianza Es la medida de la dispersión más usada Brinda el valor promedio de la distancia desde los valores de la variable al centro de gravedad, sin tener en cuenta el signo

18 Var[X] = x = E[X - E[X] ] Var[X] = + (x - E[X] ) f(x)dx, si X es continua - Var[X] = i ( x i - E[X] ) f( x i ), si X es discreta

19 Desvío Estándar x =+ Var(X)

20

21 Algunas propiedades: Var(C)= 0 E[C - E(C) ] = E[C - C ] = E( 0 )= 0 Var(CX)= C Var(X) E[CX - E(CX) ] = E[CX - CE(X) ] = = E{[C.(X - E(X)) ] }= E{ C.[X - E(X) ] }= = C E[X - E(X) ] = C Var(X)

22 Momentos k = E[ X k ] = i x k i.f( x i ),para variable discreta k = E[ X k ] = + - x k f(x)dx,para variable continua = E[(X k - E[X] ) k ] = + - (x - E[X] ) k f(x)dx,si X es continua = E[(X k - E[X] ) k ] = i ( x i - E[X] ) k.f( x i ), si X es discreta

23 1 = E[x - E[X]] = E[X] - E[E[X]] = E[X] - E[X] =0 Var[X] = x = E[X - E[X] ]

24 Coeficiente de variabilidad Cv (%)

25 Teorema de Tchebycheff 1 P( X - h ) h 1 ó P( X - < h ) 1- h P( - h X +h ) 1 h 1- +h -h f(x)dx 1 h

26 f(x) h h

27 ) ( ) ( II I f(x)dx ) (X - f(x)dx+ ) (X - f(x)dx+ ) (X - = +h +h -h -h - +h -h - +h -h - h ) + h )+ P(X h - P(X f(x)dx f(x)dx+ h f(x)dx h f(x)dx+ h h 1 ) h - X P(

28 MEDIDAS DE FORMA MEDIDAS DE ASIMETRÍA

29 = 3 1 3

30 Medidas aproximadas de Asimetría: As= E(X) - Modo (X) o bien As= 3 [E(X) - Mediana] (X)

31

32 Medidas de curtosis = 4 4 =

33 MEDIDAS DE CURTOSIS

34 Volviendo al caso real planteado: Estamos ya en condiciones de responder a las preguntas que se formularon y obtener también las características de asimetría y de empinamiento de la función que describe al máximo nivel de crecida. La propuesta es realizarlo e interpretar su utilidad.

35 Lo primero es poder establecer la función de probabilidad:

36 La Mediana es encontrada teniendo en cuenta que es el valor que divide en dos el área. Para eso simplemente se van a hallar las ecuaciones de las dos rectas que constituyen los lados del triángulo pero además sabiendo que el área total debe ser 1. Luego el valor medio es el punto medio de la base o sea ese punto es la esperanza o sea la ubicación del centro de gravedad y que podemos hallar con la expresión de la E(x).

37 Podemos considerar entonces que es una función simétrica. Encontrarla usando herramientas de la matemática básica y verificarla para que sea una función de probabilidad. Podemos además determinar la dispersión: o sea la varianza, el desvío, y el coeficiente de variabilidad. Todos estos valores sirven para poder caracterizar la crecida anual de este río y por lo tanto brindar valores que interesan para el diseño de estructuras de defensa o de otro tipo por ejemplo.