INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO E INVESTIGACIÓN, ESIME

Transcripción

1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO E INVESTIGACIÓN, ESIME MAESTRÍA EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES Solució d la Ecuació d Pocligto Para Alambrs d Gomtría Arbitraria Usado Ua Sgmtació No-Equidistat Por Mdio d las TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS PRESENTA: Víctor Barrra Figuroa DIRECTOR DE TESIS: Dr. Jorg Robrto Sosa Pdroza México D.F., a 7 d abril d 007

2

3 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL SECRETARIA DE INVESTIGACION Y POSGRADO CARTA CESION DE DERECHOS E la Ciudad d México, D. F., l día 3 dl ms Mayo dl año 007 l qu suscrib Víctor Barrra Figuroa alumo dl Programa d Mastría Cicias Igiría d Tlcomuicacios co úmro d rgistro B0455 adscrito a la Scció d Estudios d Posgrado Ivstigació d la E.S.I.M.E. Uidad Zacatco, maifista qu s autor itlctual dl prst Trabajo d Tsis bajo la dircció dl Dr. Jorg Robrto Sosa Pdroza y cd los drchos dl trabajo ititulado: Solució d la Ecuació d Pocligto Para Alambrs d Gomtría Arbitraria Usado Ua Sgmtació No-Equidistat Por Mdio d las Raícs d los Poliomios d Lgdr Istituto Politécico Nacioal para su difusió, co fis Académicos y d Ivstigació. al Los usuarios d la iformació o db rproducir l cotido txtual, graficas o datos dl trabajo si l prmiso xprso dl autor y/o dirctor dl trabajo. Est pud sr obtido scribido a la siguit dircció: Cda. Alfoso Ortiz Tirado 0, Col. Jorg Ngrt, C.P. 0780, Dl. Gustavo A. Madro, México, D.F., -mail: victorbarrraf@hotmail.com, vbarrraf@ip.mx Si l prmiso s otorga, l usuario dbrá dar l agradcimito corrspodit y citar la fut dl mismo. Nombr y Firma Víctor Barrra Figuroa

4 «... Après cla, j rgardai, t voici, u port était ouvrt das l cil. La prmièr voix qu j'avais tdu, comm l so d'u tromptt, t qui m parlait, dit: Mot ici, t j t frai voir c qui doit arrivr das la suit. Aussitôt j fus ravi sprit. Et voici, il y avait u trô das l cil, t sur c trô qulqu'u était assis. Clui qui était assis avait l'aspct d'u pirr d jasp t d sardoi; t l trô était viroé d'u arc--cil smblabl à d l'émraud. Autour du trô j vis vigt-quatr trôs, t sur cs trôs vigt-quatr viillards assis, rvêtus d vêtmts blacs, t sur lurs têts ds couros d'or. Du trô sortt ds éclairs, ds voix t ds torrs. Dvat l trô brûlt spt lamps ardts, qui sot ls spt sprits d Diu. Il y a cor dvat l trô comm u mr d vrr, smblabl à du cristal. Au miliu du trô t autour du trô, il y a quatr êtrs vivats rmplis d'yux dvat t drrièr...»

5 Ddicatoria A quis ha stado comigo, apoyádom, motivádom y crydo mí, ddico sta Tsis. E spcial ddico st trabajo a mi madr, Ir Cosulo Figuroa Arriaga y a mis hrmaos Óscar Motoya Figuroa, Ir Trsa Barrra Figuroa y José Luis Campos Figuroa, quis m brida su cariño icodicioalmt. Tambié ddico st trabajo a todos los profsors qu ha smbrado mí la simit d buscar l coocimito y compartirlo. Fialmt, ddico st trabajo a mis vrdadros amigos, llos sab quis so. Agradcimitos Agradzco a todas aqullas prsoas qu m da su cariño, cofiaza y rspaldo para la ralizació d st humild trabajo. E spcial, y co grad rspto, agradzco a: M. C. Frado Navarrt Mots d Oca ( ): Dsd dod sté l ritro mi agradcimito y mi cariño, y rfrdo l camio qu algua vz dliamos. Su lugar cotiúa prst co osotros por simpr. Dr. Jorg Robrto Sosa Pdroza: Gracias por toda la cofiaza, amistad, grosidad y apoyo qu m ha bridado. D mi part l ritro mi laltad, amistad y cariño, valors imprcdros qu l ofrzco rsptuosamt. Dr. José Luis Lópz Boilla: Gracias por l coocimito, cofiaza y amistad qu m ddica. Espcialmt por cdr la llama la búsquda dl Vrdadro Coocimito. Mi rspto y mi cariño para su prsoa. M. Sp. S. José Torrs: Gracias por su cariño, comprsió y ayuda los momtos oscuros qu viví. Escialmt por mostrarm u camio para llgar al Vrdadro Coocimito y vivir d Él. Mi cariño por simpr. Al Istituto Politécico Nacioal, por su grosidad al hacrm lo qu soy y darm lo qu tgo por mdio d la ducació y la prparació, csarias para suprar las barrras y ayudar a los qu vi dtrás d osotros. A la familia Figuroa por los valors qu m iculcaro, l cariño simpr prst para comigo y por darm u lugar su hodura. A todos aqullos amigos vrdadros qu stará por simpr comigo. Gracias.

6 Boltzma había aludido a la ida d qu l Uivrso parcía dscasar dos columas: la mcáica y l lctromagtismo, cuado puso por acápit d su trabajo sobr la toría d Maxwll la prguta d Fausto l drama d Goth: War s i Gott dr dis Zich scrib? ( Fu Dios l qu scribió stos sigos? ). El rlato bíblico cotido l Gésis podría volvr a scribirs u lguaj modro: Hágas la luz s covrtiría : B E ds = da, da = ρdv, t D C S S v D H ds = + J da, da = 0. t B C S S - -

7 Rsum Para dtrmiar l comportamito lctromagético d ua ata, s csario coocr su distribució d corrit. Esta importat iformació pud cosguirs trs pricipals formas: midiédola l laboratorio, stimádola d acurdo a la xpricia dl ivstigador y dtrmiádola por mdio d métodos uméricos. A partir d los años 60, co la itroducció d las computadoras lctróicas l quhacr citífico, l último método surg como ua atractiva opció para aalizar atas, pro coform las computadoras s popularizaro, los métodos uméricos s costituyro como la pricipal técica d dsarrollo para l ivstigador. Etr los pricipals métodos uméricos aplicados al lctromagtismo s ti l método d Bubov-Krylov-Galri, tambié coocido como método d momtos, y l método d las Difrcias Fiitas l Domiio dl Timpo, prácticamt usado para rsolvr las cuacios d Maxwll forma difrcial. El método d momtos ha cotrado gra aplicació la solució umérica d cuacios itgrals como la Ecuació Itgral dl Campo Eléctrico (EFIE), la Ecuació Itgral dl Campo Magético (MFIE), la Ecuació d Hallé y la Ecuació d Pocligto, trasformádolas cuacios matricials fácils d rsolvr co los métodos dl Álgbra Lial. El método supo qu la distribució d corrit s pud xprsar como ua combiació lial d fucios d bas, dfiidas u pquño subdomiio dl alambr, dod s cosigu dtrmiar los coficits d la xpasió por mdio d la ivrsió umérica d la matriz d impdacias y l producto matricial d ésta co la matriz d voltajs. El uso d fucios bas subdomiio pud itrprtars físicamt como qu l alambr d la ata ha sido dividido pquños sgmtos, tradicioalmt, d igual logitud, si mbargo, l método uca ha rstrigido la forma d sgmtació, xigido solamt qu los sgmtos sa colials para cosrvar la idpdcia lial dl sistma d cuacios. Ua d las dsvtajas d la sgmtació quidistat s la aparició dl fómo d Rug-Borl, l cual dsaparc al cosidrar ua sgmtació oquidistat. E sta Tsis s prsta ua aplicació origial iovadora, hasta ahora o cotrada la litratura spcializada, para dividir la ata d acurdo a la forma qu,. Co sta s distribuy las raícs d los poliomios d Lgdr l domiio [ ] sgmtació s vita la aparició dl fómo d Rug-Borl la itrpolació d la distribució d corrit l alambr, s cosigu qu la codició d frotra dl campo léctrico s cumpla más uiformmt sobr la suprfici dl alambr y s obti mjors solucios d la cuació itgral d Pocligto para atas d gomtría arbitraria, co l mor rror posibl. El uso d stas raícs stá motivado por la técica d cuadratura d Gauss, qui buscado rducir l rror asociado la itgració umérica, dtrmió qu las raícs d los poliomios d Lgdr, miimiza l rror al máximo rspcto a otras técicas d cuadraturas. Los rsultados mostrados l Capítulo V d sta Tsis dmustra la fctividad dl método, por mdio d ua comparació tr la clásica sgmtació quidistat y la oquidistat. Estos rsultados furo scogidos para la ata dipolar léctrica, si mbargo, s ha comprobado su validz difrts publicacios para atas d otras gomtrías, y s spra aplicar la técica para alambrs grusos y atas plaars y diléctricas. - -

8 Abstract For dtrmiig th lctromagtic bhavior i a ata, it is cssary to ow its currt distributio. Such importat iformatio ca b rachd by mas of thr maily ways: masurig it i laboratory, stimatig it i accordac with rsarchr s xpric ad gttig it by usig umrical mthods. Startig i th 60 s yars, with th itroductio of th lctroic computrs i th scitific framwor, th last optio sprigs forth li a attractiv choic for aalyzig atas, but i agrmt with th computr s popularity, th umrical mthods hav b st up as th mai tchiqu of dvlopmt for th rsarchr. Btw th most usd umrical mthods applid i lctromagtism w hav th Bubov- Krylov-Galri Mthod, also ow as th Mthod of Momts, ad th Fiit Diffrc Tim Domai Tchiqu, maily usd for solvig Maxwll s quatios i diffrtial form. Th Mthod of Momts has foud may applicatios i solvig itgral quatios, li th Elctric Fild Itgral Equatio (EFIE), th Magtic Fild Itgral Equatio (MFIE), Hallé s quatio ad Pocligto s quatio, turig thm i matrix quatios asir to solv with stadard Liar Algbra tchiqus. Th mthod stablishs that th currt distributio ca b xprssd li a liar combiatio of basis fuctios, which ar dfid i a small subdomai i th ata s wir, whr th tas is dtrmiig th xpasio cofficits by mas of umrical ivrsio of th impdac matrix ad th matrix product of it with th voltag matrix. Th us of subdomai basis fuctios ca b thought li if th wir wr dividd ito small sgmts, commoly, of qual lgth, howvr, th mthod has vr rstrictd th dividig way, limitig oly th sgmts to b colliar i ordr to p th liar idpdc of th matrix quatio. A disadvatag of quidistat sgmtatio is th apparac of Rug-Borl phomo, which disappars wh a o-quidistat sgmtatio is usd. I this Thsis, a origial iovativ applicatio, ot foud util ow i spcializd litratur, for dividig th ata i accordac with th way Lgdr s,, is prstd. By usig such polyomial roots ar distributd i th domai [ ] sgmtatio, th occurrc of Rug-Borl phomo is avoidd i th itrpolatio mad with th wir s currt distributio, th lctric fild boudary coditio is satisfid mor uiformly o th ata s surfac, ad bttr solutios ar gott for Pocligto s quatio i atas with arbitrary gomtry with th lss possibl rror. Th us of ths roots is ispird i Gauss s quadratur tchiqu, who looig for miimizig th associatd rror i umrical itgratio, dtrmid that Lgdr s polyomial roots dcrasd th rror at maximum with rspct with othr quadratur tchiqus. Rsults show i Chaptr 5 dmostrat th ffctivss of th mthod, by mas of a compariso btw th classical quidistat sgmtatio ad th o-quidistat sgmtatio. Such rsults wr gott for th lctric dipolar ata, howvr, its validity has b prov i svral paprs for atas with othrs gomtris tha th liar o, ad it is xpctd to apply th tchiqu to thic wir atas, plaar ad dilctric os

9 Cotido Objtivo 6 Mtas 7 Justificació 8 Ídic d Figuras y Tablas 9 Itroducció Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal 6 Itroducció 7.. Estado dl Art: Elctromagtismo Computacioal 8.. El foqu d Harrigto 0.3. El trabajo d Pocligto.4. El aálisis d Hallé.5. El método d Champag: Sgmtos curvos 4.6. El foqu d Kig: Aálisis d Fourir Atas d Lazo Circulars 6.7. El trabajo d Bur y Poggio: Programa NEC 8.8. Aálisis d Butlr y Wilto El trabajo d Tapa Sarar t al Aálisis d D. H. Wrr t al: Aislamito d sigularidads 3.. La propusta d Ttriaov Y., Pa G 3.. Divrsos trabajos Coclusios dl Capítulo I 33 Rfrcias 34 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas 37 Itroducció 38.. Ecuacios d Maxwll 39.. Rlacios d rgía y potcia 4.3. La cuació d oda y su solució: Fucios potcials Ecuació para ua corrit uiform Ecuació itgral para ua corrit o uiform 5.6. Ecuació itgral para u alambr dlgado d gomtría arbitraria Ecuació itgral d Pocligto gralizada Coclusios dl Capítulo II 59 Rfrcias 59 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri 6 Itroducció El método d Bubov-Krylov-Galri La lcció d las fucios bas y pso l método d momtos El método d Galri La técica dl ajust d putos y l método d los míimos cuadrados Aálisis dl rror l método d momtos Solució dl método d momtos a la cuació d Pocligto Patró d radiació d la ata Coclusios dl Capítulo III 8 Rfrcias 8-4 -

10 Capítulo IV. Sgmtació Equidistat y No-Equidistat para l Método d Momtos 83 Itroducció Itrpolació Lagragiaa co putos scillos Itrpolació Lagragiaa co putos dobls El método d la cuadratura Gaussiaa El fómo d Rug-Borl y las raícs d Lgdr Cuadratura Gaussiaa aplicada a la solució dl método d momtos Sgmtació quidistat l método d momtos Sgmtació o-quidistat l método d momtos Coclusios dl Capítulo IV 0 Rfrcias 03 Capítulo V. Rsultados Comparativos para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat 04 Itroducció Aálisis d la stabilidad fució d las raícs d Lgdr para la cuadratura d los lmtos matricials Sgmtació quidistat Sgmtació o-quidistat Aálisis d la stabilidad fució dl úmro d sgmtos Sgmtació quidistat Sgmtació o-quidistat 5.3. Aálisis d la stabilidad fució dl radio dl coductor Sgmtació quidistat Sgmtació o-quidistat Aálisis d la codició d frotra sobr la suprfici dl coductor Sgmtació quidistat Sgmtació o-quidistat Gráficas d distribució d corrit 5.6. Gráficas dl patró d radiació Coclusios dl Capítulo V 4 Rfrcias 5 Capítulo VI. Coclusios, Aportacios y Trabajos Futuros Coclusios grals Aportacios Rprstació vctorial d la gomtría d la ata Dducció d la cuació d Pocligto térmios d la Toría d Circuitos Mtodología para dtrmiar las raícs d los poliomios d Lgdr Justificació dl método d la cuadratura Gaussiaa Prstació dl método d la sgmtació o-quidistat Aálisis d la codició d frotra dl campo léctrico Dsarrollo d u programa para la solució dl problma Algoritmo para dtrmiar l patró d radiació Trabajos futuros 34 Rfrcias 34 Axos 35 Publicacios gradas por sta Tsis

11 Objtivo El objtivo qu logra sta Tsis s obtr solucios uméricas a la cuació itgral d Pocligto gralizada, aplicada a atas d alambr dlgado d gomtría arbitraria por mdio dl método d momtos, al cosidrar ua sgmtació o-quidistat basada la mara o uiform qu s distribuy las raícs d los poliomios d Lgdr l,. Las solucios cosguidas d sta forma vita la aparició dl fómo domiio [ ] d Rug-Borl y cuta co l rror umérico más pquño posibl, rspcto a la bi coocida sgmtació quidistat cotrada toda la litratura dl lctromagtismo computacioal. Est tipo d sgmtació o-quidistat o ha sido cotrado publicacios, artículos o libros spcializados hasta st momto, razó por la cual l autor d sta Tsis cosidra qu s trata d ua aplicació origial iovadora d las raícs d los poliomios d Lgdr. La sgmtació o-quidistat prstada st trabajo ti por objtivo ampliar l ámbito d aplicació dl método d momtos la búsquda d mjors solucios uméricas. Otro objtivo afí a sta Tsis cosist dsarrollar u programa d cómputo qu prmita aalizar las atas por mdio d la sgmtació o-quidistat

12 Mtas El aálisis d atas por mdio dl método d momtos ha sido dsarrollado durat casi 40 años, dod divrsas técicas rduc los timpos d máquia, la mmoria usada y mjora los algoritmos d cálculo propios para cada aplicació. Citos d trabajos y publicacios s cutra las bibliotcas d las uivrsidads, mostrado las virtuds dl método. El trabajo qu s prsta sta Tsis xhib las mtas qu coforma su cotido. La primra d llas prsta l Estado dl Art d los trabajos más rlvats rlacioados co l studio d atas. La sguda mta s prstar ua forma difrt d aalizar la cuació d Pocligto basada la Toría d Circuitos, fudamtada l trabajo d Aharoi. La trcra mta s asita prstar ua mtodología basada l Aálisis Vctorial para tratar la gomtría d las atas d mara más ficit. Esta cosist xprsar tato l j dl alambr como l filamto quivalt d corrit por mdio d cuacios vctorials paramtrizadas rspcto a su logitud d arco, lo cual prmit xprsar las caractrísticas gométricas d cada ata por mdio dl vctor tagt a cada curva. La cuarta mta cosist itroducir d mara formal l método d Bubov- Krylov-Galri y sus difrts técicas, térmios d spacios lials d fucios. La quita mta radica prstar u algoritmo origial para calcular las raícs d los poliomios d Lgdr, la cual ti mjor dsmpño qu las fucios cotradas programas como MATLAB. La sxta mta s carga d prstar la mtodología para dividir la ata d mara o-quidistat y, fialmt, la séptima mta cosigu dmostrar la fctividad d la sgmtació o-quidistat al cofirmar qu la codició d frotra dl campo léctrico s satisfac más adcuadamt co sta sgmtació qu co la quidistat, admás d prstars divrsos aálisis qu apoya sta afirmació. Paralla a stas mtas xist ua d dsarrollar u programa basado l lguaj C++ qu prmita dtrmiar la distribució d corrit l alambr, como primra istacia

13 Justificació El método d momtos y la cuació d Pocligto forma ua parja úica para l aálisis d atas, ya qu co la itroducció d las computadoras lctróicas l ámbito dl lctromagtismo, s ha obtido solucios uméricas qu cocurda corrctamt co l comportamito mdido xprimtalmt divrsas atas. Tals solucios rflja l vrdadro comportamito qu ti la distribució d corrit l alambr d la ata, co lo cual s pud dtrmiar su comportamito léctrico y calcular sus parámtros, como la impdacia d trada, la gaacia, la dirctividad, l patró d radiació, tr otros. Tradicioalmt, l método d momtos divid l alambr pquños sgmtos d igual logitud los cuals s modla su distribució d corrit por mdio d ua fució bas dfiida solamt tal sgmto. La codició d frotra dl campo léctrico s furza a cumplirs putos discrtos sobr l alambr, dod a cada sgmto l corrspod uo d llos. Esta técica corrspod al método dl ajust d putos, tambié coocida como acoplamito putual. Cuado la codició d frotra dl campo léctrico s furza a cumplirs todo l sgmto, s utiliza otro cojuto d fucios, coocidas como fucios pso o d pruba, co las cuals s toma l producto itro co la cuació itgral. El producto itro co cada fució pso produc ua cuació, y l cojuto d stas forma ua cuació matricial qu pud rsolvrs co las técicas usuals dl Álgbra Lial. Exist u caso cocrto, cuado l oprador d la cuació s auto-adjuto, dod l cojuto d fucios bas s l mismo qu l d las fucios pso, coocido como método d Galri, l cual rsulta más difícil d implmtar qu la técica dl ajust d putos, dbido a la itgració rqurida por l producto itro. E la técica dl método d momtos, los sgmtos simpr s ha cosidrado d igual logitud, ya qu o había por qué psar otra mara d costruirlos, ya qu ua sgmtació quidistat rsulta sr trivial. Si mbargo, la sgmtació quidistat produc solucios istabls porqu aparc l fómo d Rug-Borl los datos itrpolados. Esto rsulta sr ua dsvtaja para tal sgmtació ta obvia. Para vitar qu las solucios sa istabls y mjorar su covrgcia, para vitar l fómo d Rug- Borl y obtr más datos d corrit qu los calculados, y para hacr cumplir más adcuadamt la codició d frotra dl campo léctrico s propo u método d sgmtació o-quidistat para la costrucció d los sgmtos d la ata. El método d momtos o limita la forma qu db sgmtars la ata, simplmt xig qu los sgmtos sa colials, para cosrvar la idpdcia lial d las cuacios qu forma la matriz. Por lo tato, basádoos la forma qu s distribuy las raícs d Lgdr, s propo sta Tsis u método o-quidistat qu ofrc todas las virtuds atriors, admás d ofrcr solucios uméricas co l mor rror posibl, rspcto a cualquir sgmtació qu puda practicars a la ata. D sta forma, l trabajo quda justificado por la iovació, l dsarrollo y l aálisis ralizado, basado la búsquda d mjors solucios para la cuació d Pocligto. S dsa qu st trabajo y las publicacios qu ha grado, prmita profudizar l futuro sobr las vtajas d aplicació d la cuació d Pocligto y su solució por l método d momtos - 8 -

14 Ídic d Figuras Capítulo I Figura.. a) Vctors d u sgmto curvo. b) Fució bas l sgmto curvo. 4 Figura.. Ata d lazo circular. 6 Capítulo II Figura.. Codicios d frotra d las compots tagcials y ormals. 40 Figura.. Elmto ifiitsimal lial d corrit. 45 Figura.3. Fut arbitraria d corrit. 47 Figura.4. Cargas oscilats los xtrmos dl coductor dbidas a F. 49 Figura.5. Lías stacioarias d corrit. 53 Figura.6. Cálculo d la capacitacia mutua C l. 53 Figura.7. Vctors asociados d u alambr dlgado d gomtría arbitraria. 55 Capítulo III Figura 3.. a) Domiio y rago dl oprador L. b) Norma míima para la mjor rprstació d g. 68 Figura 3.. Modlo dl grador Dlta-Gap aplicado a la ata. 77 Figura 3.3. a) Cálculo dl campo ljao para l patró d radiació d la ata. b) Dtall gométrico d los vctors d posició. 80 Capítulo IV Figura 4.. Mapo d coordadas dl j ξ al j x. 9 Figura 4.. Fómo d Rug-Borl. 9 Figura 4.3. Poliomios d Lgdr y Chbyshv. 9 Figura 4.4. Algoritmo para la localizació d las raícs d Lgdr. 94 Figura 4.5. Método d la burbuja para la ordació d las raícs. 94 Figura 4.6. Sgmtació quidistat dl alambr d gomtría arbitraria. 98 Figura 4.7. Sgmtació o-quidistat térmios d las raícs d Lgdr. 00 Capítulo V 5.. Aálisis d la stabilidad fució d las raícs d Lgdr para la cuadratura d los lmtos matricials Figura 5.. Fució pso dlta d Dirac, sgmtació quidistat. 06 Figura 5.. Fució pso pulsos, sgmtació quidistat. 07 Figura 5.3. Fució pso triágulos, sgmtació quidistat. 07 Figura 5.4. Fució pso pdazos soids, sgmtació quidistat. 07 Figura 5.5. Fució pso dlta d Dirac, sgmtació o-quidistat

15 Figura 5.6. Fució pso pulsos, sgmtació o-quidistat. 08 Figura 5.7. Fució pso triágulos, sgmtació o-quidistat. 08 Figura 5.8. Fució pso pdazos soids, sgmtació o-quidistat Aálisis d la stabilidad fució dl úmro d sgmtos Figura 5.9. Fució pso dltas d Dirac, sgmtació quidistat. 0 Figura 5.0. Fució pso pulsos, sgmtació quidistat. Figura 5.. Fució pso triágulos, sgmtació quidistat. Figura 5.. Fució pso pdazos soids, sgmtació quidistat. Figura 5.3. Fució pso dltas d Dirac, sgmtació o-quidistat. Figura 5.4. Fució pso pulsos, sgmtació o-quidistat. Figura 5.5. Fució pso triágulos, sgmtació o-quidistat. Figura 5.6. Fució pso pdazos soidals, sgmtació o-quidistat Aálisis d la stabilidad fució dl radio dl coductor Figura 5.7. Fució pso dltas d Dirac, sgmtació quidistat. 4 Figura 5.8. Fució pso pulsos, sgmtació quidistat. 5 Figura 5.9. Fució pso triágulos, sgmtació quidistat. 5 Figura 5.0. Fució pso pdazos soidals, sgmtació quidistat. 5 Figura 5.. Fució pso dltas d Dirac, sgmtació o-quidistat. 6 Figura 5.. Fució pso pulsos, sgmtació o-quidistat. 6 Figura 5.3. Fució pso triágulos, sgmtació o-quidistat. 6 Figura 5.4. Fució pso pdazo soidal, sgmtació o-quidistat Aálisis d la codició d frotra sobr la suprfici dl coductor Figura 5.5. Fució pso dlta d Dirac, sgmtació quidistat. 8 Figura 5.6. Fució pso pulsos, sgmtació quidistat. 9 Figura 5.7. Fució pso triágulos, sgmtació quidistat. 9 Figura 5.8. Fució pso pdazos soidals, sgmtació quidistat. 9 Figura 5.9. Fució pso dlta d Dirac, sgmtació o-quidistat. 0 Figura Fució pso pulsos, sgmtació o-quidistat. 0 Figura 5.3. Fució pso triágulos, sgmtació o-quidistat. 0 Figura 5.3. Fució pso pdazos soidals, sgmtació o-quidistat Gráficas d distribució d corrit Figura Distribució d corrit u dipolo léctrico d L = λ. Figura Distribució d corrit u dipolo léctrico d L = λ. Figura Distribució d corrit u dipolo léctrico d L = λ. 5.6 Gráficas dl patró d radiació Figura Patró d radiació d la ata dipolo para difrts logituds. 3 Ídic d Tablas Capítulo V Tabla 5.. Raícs d Lgdr csarias para l cálculo d cuadraturas. 09 Tabla 5.. Númro d sgmtos csarios para alcazar la covrgcia 3-0 -

16 Itroducció E l aálisis umérico s domia itrpolació al procdimito d costruir uvos putos a partir d u cojuto discrto d putos dados. E la igiría y las cicias s comú dispor d u cirto úmro d putos a partir d u mustro o u xprimto co los qu s dsa costruir ua fució qu los ajust, s dcir, qu pas por los putos origials y co la cual puda dtrmiars putos qu o furo mdidos o mustrados. Otro problma ligado a la itrpolació s la aproximació d ua fució dada por ua más scilla, mdiat la cual puda simplificars algú cálculo qu rquira muchos pasos. Dtro d los tipos d itrpolació poliomial, l más gral s l squma lagragiao, l cual dados putos x, x,, x, s costruy u poliomio itrpolat Pol ( x) d ord,,, : l cual ajusta los valors mustrados f ( x ) f ( x ) f ( x ) Pol x = f x p x, Pol x = f x, j =,,,, () dod la fució p j j = x s dfi por: ϕ x F x p ( x) =, ϕ ( x) =, p ( x j ) = δ j, ϕ x x x () dod δ s la dlta d Krocr y F j x s l poliomio fudamtal xprsado por: = ( )( ) ( ) F x x x x x x x (3). Cuado dos d los putos d mustro xα = x + ε y xβ = x ε s aproxima tato qu acaba colapsado, s dcir, cuado ε 0, l poliomio itrpolat s covirt : ( x x ) F x F x f x F x f x Pol ( x) = x x +, = F x 3 F x F x x x (4) Cosidrmos la fució f ( x) qu s la itgral idfiida d ua fució dada g ( x ) : = + = f x g x dx C, f x g x. (5) E st problma xist los valors dados g ( x ) qu corrspod a f ( x ), los cuals so csarios para ua itrpolació co putos dobls, si mbargo xist l problma d qu f x csarios para fctuarla. Podmos suprar sto al o coocmos los valors d colocar los putos x posicios tals qu sus psos automáticamt s haga cro, d forma tal qu la itrpolació (o xtrapolació) coti sólo datos coocidos. Supogamos qu qurmos valuar la itgral dfiida: - -

17 A = g x dx = f f, f = 0, (6) dod s ha fijado ua d las costats d itgració y cosidrar sta codició como u dato adicioal a los datos F x s x ya dados. Esto sigifica qu l poliomio fudamtal ahora d ord + porqu hmos añadido u puto simpl, x = a los putos dobls x. El puto f x x = s u puto simpl ya qu o tmos razó para supor qu dba coocrs st puto, por lo tato: = ( + ) ( )( ) ( ). (7) F x x x x x x x x Ahora, l factor d f ( x ) qu s hac cro dmada la siguit codició: ( x x ) F x F x f x F x x x = 0, x x = 0. F x 3 F x 3 F x (8) No podmos satisfacr sta codició simultáamt para varios valors d x, pro ustro f, y d sta mara podmos idtificar l valor d x co x =. La objtivo s obtr codició (8) pud scribirs como: ( x ) G + ( x x ) = 0, G ( x) = ( x x )( x x ) ( x x ), (9) + x G x la cual valuada x = dmada qu: ( x ) G ( x ) xg ( x ) = 0, (0) ya qu G ( x ) = 0 podmos modificar (0) d la siguit mara si altrar la igualdad: d d ( x ) x + ( + ) G ( x) = 0, dx dx x= x () El oprador difrcial d G ( x ) ti la propidad d qu limia la potcia x y d sta mara trasforma u poliomio d ord uo d mor ord. Pro u poliomio d ord mor qu o pud hacrs cro putos si hacrlo idéticamt. Y d sta forma, la cuació difrcial (), qu s la cuació difrcial d Lgdr, db cumplirs para G ( x ) o sólo los putos x sio cualquir lugar. Esto idtifica a G ( x ) como proporcioal al poliomio d Lgdr d -ésimo ord P ( x ) : (! ) ( ) G x = cp x, c =. ()! - -

18 Por lo tato, los cros d la cuadratura gaussiaa so d sta forma idtificados co los cros dl -ésimo poliomio d Lgdr. Fialmt, l problma d la cuadratura gaussiaa quda xprsado por la siguit fórmula: dod ( x ) ω g ( x ), ω, (3) = ( + ) P ( x ) A = = ω so los psos d la cuadratura. El método o s rstrig úicamt a itrvalos d itgració d [,] mapo d coordadas +, sio qu pud usars para itrvalos d [, ] a b mdiat u simpl b + a b a x = + ξ, ξ [, ]. (4) El hcho d qu ua itgració puda implmtars como ua suma, por mdio d las raícs d los poliomios d Lgdr, motiva a ralizar la sgmtació o-quidistat d ua ata d alambr dlgado d gomtría arbitraria, d acurdo a cómo s distribuy éstas. La forma d dividir la ata cosist colocar ua raíz l ctro d cada sgmto. La mara d localizar los xtrmos d cada sgmto ua vz qu s ha colocado las raícs mapadas s s por mdio d la siguit rlació: Sg = s Sg, = 0,,, N, Sg = 0. (5) 0 E ua ata d gomtría arbitraria, Fig., cuyo j s dscrib por la cuació r s y cuyo filamto quivalt d corrit s dscrib por la cuació vctorial vctorial r ( s ), l campo léctrico tagcial Pocligto: i E s stá xprsado por mdio d la cuació d L i Es = K ( s, s ) I ( s ) ds, jωε 0 ( ) = ( ) sˆ sˆ + ( + )( R sˆ )( R sˆ ) jr K s, s R R jr 3 3 jr R, 5 4π R (6) dod R = r r s l vctor difrcia tr u puto l j y otro l filamto I s, ŝ y s ˆ so los vctors tagts uitarios a las curvas r y quivalt d corrit r, paramtrizadas rspcto a su logitud d arco, s l úmro d oda, ω s la frcucia agular d la corrit y ε s la prmitividad léctrica dl mdio qu roda al alambr. Sgú l método d momtos, la corrit s xprsa como ua combiació lial d N fucios i s propustas: bas dod N N I s c i s E c i s K s s ds L jωε i ( ) = ( ), s = ( ) (, ), [ 0, ], (7) = = s l domiio d i

19 Para obtr l sistma d cuacios, s raliza l producto itro co l cojuto d N fucios pso w : m N jωε = i wm Esds = c wm i ( s ) K ( s, s ) ds ds, m [ 0, L], m =,,, N, (8) m m dod m s l domiio d xprsa como: w m. D acurdo a la cuadratura d gaussiaa, las itgrals s w E ds c w ( s ) i ( s ) K ( s, s ), (9) m N M P i m m s = ωυ i j m i j i j jωε = 4 i = j = dod M y P so l úmro d raícs d Lgdr usadas para fctuar la itgració, s i so las raícs mapadas m y ω i so los psos corrspodits, y s j so las raícs mapadas y υ j so los psos corrspodits. El sistma d cuacios (9) pud scribirs forma matricial como: ( V ) = [ Z ]( C ), (0) m m dod ( V m) s l vctor columa d voltajs. Cuado a la ata s l cocta u grador dlta-gap co fasor d voltaj V l m -ésimo sgmto, sta matriz toma la forma: ( V ) m i w Esds 0 w E ds. i wn Esds 0 N i s V = w = mds m m () Figura. Ata d alambr dlgado d gomtría arbitraria

20 Los lmtos d la matriz d impdacia [ Z m] y la matriz d corrit s calcula co: Z w s i s K s s C V Z M P m m = i j m i j i j = m m 4 jωε i= j= ωυ ( ) (, ), [ ]. () Cab rcordar qu los coficits calculados d las fucios bas corrspod a los ctros d los sgmtos, los cuals stá colocados d mara o quidistat. Para obtr Q valors quidistats d corrit sobr la structura dl alambr s raliza u procso d itrpolació lagragiaa co putos simpls, como s mustra a cotiuació: dod I ( q s ') ( q s ') ( s ) L Iɶ ϕ ( q s ') = c i ( s ), q =,,, Q, s ' =, (3) Q N N i i i= = ϕi i ɶ s l poliomio itrpolat d la corrit qu dtrmia su valor l q - s so las N raícs d Lgdr mapadas [ 0, L ] ésimo puto quidistat d la ata; i qu sirviro para dividir la ata d forma o quidistat, y la fució auxiliar ϕ i s dfi térmios dl poliomio fudamtal F ( s ) i s como: N F ϕi ( s ) = = ( s s j ), s s (4) El trabajo qu s prsta sta Tsis stá dividido sis capítulos. E l Capítulo I, s prsta u studio dl Estado dl Art l lctromagtismo computacioal y l método d momtos aplicado a la toría d atas. E l Capítulo II s prsta u aálisis d las cuacios itgrals alambrs dlgados basado la Toría d Circuitos, toría fudamtal d la Igiría Eléctrica. Est foqu, propusto por Aharoi, l da sigificado físico a la cuació itgral, xprsádola térmios d acoplamitos tr codsadors iductors, lmtos ifiitsimals d circuito qu coforma la ata. A cotiuació, l Capítulo III aborda l método d momtos, prstádolo térmios d spacios lials d fucios, co l fi d mostrar las difrts técicas ruidas por Harrigto, ampliamt usadas la matria. Dtro d los métodos uméricos mostrados sta Tsis s prsta l d la itrpolació poliomial Lagragiaa co putos simpls y dobls. Est humild cocpto matmático s capaz d dsarrollar u arsal d hrramitas ta podrosas como las trasformadas itgrals d Fourir y Laplac, la sri d Taylor hiprgométrica, las cuacios difrcials d Lgdr, Chbyshv, Lagurr, tc., métodos d cuadratura, por sólo mcioar las más dstacadas. E l Capítulo IV, a partir d la itrpolació co putos dobls s justifica l uso d las raícs d Lgdr para l cálculo d cuadraturas y s prsta u algoritmo, origial dl autor d sta Tsis, para dtrmiar todas las raícs d cualquir poliomio d Lgdr. E st mismo capítulo s prsta y justifica la sgmtació o-quidistat aplicada al método d momtos. E l Capítulo V s mustra rsultados comparativos tr ambas sgmtacios, hacido rsaltar l hcho d qu la o-quidistat rsulta sr más ficit y hac cumplir las codicios d frotra dl campo léctrico d mara más adcuada qu la quidistat. Fialmt, l Capítulo VI s prsta las coclusios grals, l trabajo a futuro y las aportacios hchas co st humild trabajo. j= j i - 5 -

21 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal Capítulo I Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal - 6 -

22 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal Itroducció El lctromagtismo s ua rama d la Física Clásica ddicada al studio dl campo lctromagético grado por ua distribució d cargas léctricas, la cual comprd tato su distribució spacial como su variació tmporal. El cocpto matmático d campo ha sido muy groso l foqu qu l lctromagtismo l da a los fómos qu studia, ya qu la formulació matmática s simplifica y hac rsaltar las simtrías itríscas tr la lctricidad y l magtismo. E timpos d Michal Faraday sólo s coocía trs furzas fudamtals la Naturalza, la léctrica, la magética y la gravitacioal, las cuals s rprsta mdiat lys dl ivrso dl cuadrado d la distacia. La ly d la gravitació uivrsal fu dducida por Isaac Nwto a partir d las lys d Kpplr, ésta stablc qu la furza s más itsa mitras tga más masa los putos matrials dl sistma gravitacioal, pro dismiuy al aumtar la distacia tr éstos. Charls Coulomb obtuvo la ly d atracció d cargas léctricas a partir d su célbr balaza d torsió. Biot y Savart, ivstigado la furza tr lmtos d corrit, s diro cuta qu la ly para l campo magético ra similar a aqullas cotradas por Nwto y Coulomb para l campo gravitacioal y l campo léctrico, rspctivamt. Postriormt, las furzas léctrica y magética s fusioaro ua sola, la furza lctromagética, y aparciro dos uvas: La furza débil, rsposabl d la dsitgració radiactiva d alguos úclos atómicos y la furza furt, rsposabl d la formació d éstos a partir d utros y protos []. Gracias a los trabajos d Maxwll, l lctromagtismo pudo proporcioar rspustas sobr la aturalza d la luz, y los xprimtos d Hrtz pudiro dmostrar qu las odas d radio s propaga co la misma vlocidad qu la luz visibl. D acurdo al caráctr odulatorio d la luz s stablció tambié qu l campo lctromagético s propaga como ua oda; tato l campo léctrico como l magético s trlaza tr sí para crarla. Si uo d los dos dsaparc, la oda o s propaga. La xistcia d la oda lctromagética s ua coscucia dl movimito aclrado d la distribució d carga léctrica; la radiació s la rspusta qu s prsta at u obsrvador movimito rlativo aclrado u sistma d rfrcia co rspcto a la distribució d carga. Si l movimito o s aclrado sio uiform, s prstará sparados l campo léctrico y l magético y la radiació o ocurrirá. Si tr l obsrvador y la distribució d carga o xist movimito rlativo, l obsrvador sólo rgistrará l campo léctrico. Por lo tato, toda la iformació d u sistma léctrico dpd d mara xclusiva d la distribució d carga léctrica y dl movimito rlativo aclrado, otras palabras, la iformació dpd d la distribució d corrit []. E térmios prácticos, cualquir coductor qu trasport ua corrit variabl l timpo radiará rgía lctromagética. El fcto s más prouciado cuado las dimsios d los coductors so comparabls co la logitud d oda d la corrit. Si l sistma ha sido disñado x profso para fucioar como radiador, la radiació s u fcto sprado d las codicios la frotra los coductors. Si l sistma o fu disñado para sto, la radiació s cosidra ua pérdida d rgía. E térmios grals, cualquir sistma qu trasporta rgía lctromagética s cooc como lía d trasmisió y si l sistma radía rgía s cooc como ata [3]. Las atas s pud clasificar d acurdo a la forma qu s costruy. Exist atas lials costruidas a partir d alambrs, y atas plaars laboradas a partir d placas coductoras, grupos d alambrs o diléctricos. Las atas lials s costruy co alambrs dlgados, cuyas dimsios so comparabls co la logitud d oda, lo cual - 7 -

23 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal simplifica cosidrablmt l aálisis matmático. Estas so las qu s aaliza sta Tsis. Atriormt sólo s fabricaba atas formadas por coductors rctos, pro actualmt s ha ivstigado las propidads gométricas d los coductors rspcto a las caractrísticas d radiació. D sta forma s ti atas d lazo circulars, dipolos doblados, atas hlicoidals, atas spirals, atas d cruz, tr otras [4]. Por lo tato, s db cotar co u modlo matmático qu tom cuta la gomtría itrísca d la ata. El modlo más gral corrspod a las cuacios d Maxwll co sus apropiadas codicios la frotra. Otros modlos más simplificados so la cuació d Hallé y la cuació d Pocligto [5]. La primra s ua cuació para l potcial léctrico y la sguda s para l campo léctrico. Estos modlos s xprsa térmios d cuacios itgrals qu la mayoría d los casos so difícils d rsolvr aalíticamt, por lo cual simpr s busca ua solució aproximada obtida por métodos uméricos. El modlo usado st trabajo srá l d Pocligto [6]... Estado dl Art: Elctromagtismo Computacioal Origialmt l aálisis d las atas s basaba l studio d las lías d trasmisió corto circuito o circuito abirto, dod la ata s cosidraba ua xtsió fial d stas. D sta forma s supoía qu la distribució d corrit la ata sría aproximada a la qu xist la lía d trasmisió crca dl xtrmo fial. Est aálisis, mramt aproximado, llga a proporcioar rspustas adcuadas cuado la gomtría d la ata o s complicada y cuado su logitud s múltiplo impar d λ, como por jmplo, dipolos [7]. U dtall importat s qu para podr cosidrar la ata como ua xtsió d la lía d trasmisió, s csario qu xista u corrcto acoplamito d impdacias tr stas. Esto prsupo coocr la impdacia d trada d la ata, lo cual, si duda, s ta complicado como coocr su distribució d corrit. Postriormt, l aálisis d las atas s ctró la mdició d la distribució d corrit a lo largo d todos sus coductors, lo cual produjo ua rprstació adcuada d la forma qu la corrit s distribuy fució d su gomtría [8]. Las mdicios podía sr difícils d ralizar pro los rsultados obtidos furo d mucha utilidad para los ivstigadors d los años 60. E sa época aparció u importat lmto d aálisis para las atas, las computadoras. Sólo las grads uivrsidads, mprsas y bacos cotaba co tals máquias programabls, capacs d ralizar ua gra catidad d opracios u timpo muy corto. Las computadoras prmitiro implmtar formulacios uméricas para problmas citíficos qu o podía rsolvrs d forma dircta por métodos aalíticos. Gralmt stas formulacios implicaba l cálculo d complicadas opracios matmáticas qu rquría gra catidad d pasos y rcursos d cálculo. Gracias a la programació d stas máquias s produjro rsultados qu popularizaro su uso. D sta forma, las cuacios itgrals para las atas pudiro rsolvrs co gra xactitud gracias a u método umérico qu ruía, orgaizaba y fudamtaba u gra cojuto d técicas hasta s tocs orgaizadas pobrmt, l método d momtos. Rogr Harrigto u sfurzo por uificar stas técicas formuló l método qu dsd tocs ha sido ampliamt usado l aálisis d problmas lctromagéticos [9]. El método, tambié coocido como método d Bubov-Krylov-Galri, trasforma la cuació itgral ua cuació matricial capaz d rsolvrs co las técicas stádar dl álgbra lial. El método s basa las rlacios itríscas qu xist tr u sistma d - 8 -

24 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal cuacios lials y las cuacios itgrals. La covrgcia dl método tid a aumtar frcutmt cuado l úmro d cuacios icógitas aumta. La xactitud cosguida s ta satisfactoria co rspcto a las mdicios ralizadas qu l método pasa a formar la primra opció d aálisis por los igiros tlcomuicacios. El método d momtos supo qu la distribució d corrit pud rprstars térmios d ua combiació lial d u cojuto d fucios propustas, coocidas como fucios bas; l objtivo s dtrmiar los coficits d la xpasió. Para cotrarlos s raliza l producto itro d la cuació itgral rsultat co otro cojuto d fucios lialmt idpdits, coocidas como fucios pso. Esto produc u sistma d cuacios lials qu pud rsolvrs co l método d Gauss-Jorda, por jmplo. Exist u cojuto ilimitado d fucios bas qu puda usars, pro usualmt s clasifica dos grupos: fucios bas subdomiio y d domiio complto. El domiio d dfiició d las primras corrspod a ua pquña porció d la logitud d la ata. Para las sgudas l domiio d dfiició quival a toda la logitud dl alambr. Las fucios subdomiio más comus so las triagulars, pdazos soidals y pulsos, y las fucios d domiio complto más comus so las soidals, cosoidals y alguos poliomios como los d Chbyshv, Lgdr y Lagurr [0]. El uso d fucios subdomiio pud itrprtars qu la ata fu dividida pquños sgmtos los cuals usualmt ti la misma logitud, auqu sto o s ua codició csaria. Si l úmro d sgmtos s grad, tocs cada uo d llos pud cosidrars aproximadamt rcto, y su distribució d corrit aproximadamt costat. E cada sgmto, dbido al producto itro co las fucios pso, s furza las codicios d frotra a cumplirs sobr la suprfici dl coductor, s dcir, la compot tagcial dl campo léctrico total db sr cro. Si las fucios pso corrspod a dltas d Dirac, las codicios d frotra s cumpl solamt l puto dod la dlta ti su ctro, l cual gralmt (auqu o csariamt) s l ctro dl mismo sgmto. Rspcto a la cuació matricial, cada térmio s calcula a partir d ua o varias itgracios qu ti qu valuars por mdio d técicas d cuadraturas. La más ficit s la d Gauss-Lgdr ya qu produc l mor rror posibl rspcto a otras cuadraturas. Si s utiliza como fucios pso dltas d Dirac, s cuta co la vtaja d qu l úmro d itgracios s rduc ua uidad []. Los métodos d cuadratura produc la aproximació d ua itgral térmios d ua suma fiita d térmios. Los primros métodos d cuadratura s basaba l Torma Fudamtal dl Cálculo Itgral, dod l rsultado s xprsa térmios d la suma d las áras d los trapcios costruidos dbajo d la gráfica d la fució. Las bass d todos llos so iguals, lo qu implica qu para cubrir corrctamt l ára d la fució s csita u gra úmro d trapcios. Esto s rflja l timpo d máquia csario para calcular la itgral. Los otros métodos d cuadratura s basa la itrpolació dl itgrado qu s aproximado por u poliomio qu rsulta fácil d itgrar. El rsultado s más xacto cuado l poliomio s más crcao al itgrado. Los métodos d itrpolació poliomial más adcuados a la cuadratura so los basados las raícs d los poliomios d Lgdr y Chbyshv. D sta forma s cosigu dos objtivos, rducir l timpo d cálculo y rducir l rror asociado la itgral []. La solució d la cuació itgral pud psars térmios d ua cuadratura gaussiaa. Las raícs d Lgdr s mapa toda la logitud d la ata y s calcula los psos d la cuadratura. Cada uo d llos s multiplica por l valor d la corrit valuada - 9 -

25 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal la corrspodit raíz mapada. Para dtrmiar l valor d la corrit los putos d mustro d la cuadratura, s csita l método d momtos, qu divid la ata pquños sgmtos. Por lo tato, ya qu las raícs d Lgdr o so quidistats y como s csita calcular la corrit cada ua d llas, tocs los sgmtos dja d sr quidistats, para qu cada raíz s coloqu l ctro d cada sgmto. El método d momtos o xig qu los sgmtos sa quidistats, lo úico qu pid s qu sa colials y o s traslap, para cosrvar la idpdcia lial dl sistma d cuacios. Por lo tato, ua sgmtació o-quidistat propusta a partir d la distribució d las raícs d Lgdr rsulta acptabl para l método d momtos. E sta sgmtació, los xtrmos d cada sgmto s calcula a partir d qu cada raíz s coloca l ctro d cada uo d llos. Exist otra forma altra para dividir la ata qu cosist colocar las raícs los xtrmos d los sgmtos, pro al implmtar sta opció o s cosigu adcuados rsultados. El hcho d qu s divida d acurdo co las raícs d Lgdr asgura qu la solució d l cuació itgral tdrá l mor rror posibl. Esto por sí mismo costituy ua gra vtaja rspcto a la sgmtació quidistat. La úica dificultad apart d st squma d sgmtació quizá cosista l cálculo d las raícs dl poliomio, ya qu o xist ua fórmula aalítica qu las cotga, como s l caso d las raícs d los poliomios d Chbyshv, si mbargo, xist algoritmos basados l método d Nwto qu prmit calcularlas y ordarlas [3]. El squma d sgmtació o-quidistat propusto sta Tsis o ha sido cotrado algú txto d la litratura spcializada. Por sta razó, l autor d st trabajo cosidra qu s trata d u tma origial iovador. Origial porqu hasta st momto simpr s ha cotrado l squma d sgmtació quidistat todas las ivstigacios dl lctromagtismo computacioal. Iovador porqu s propo u uso altrativo a las raícs d los poliomios d Lgdr, mpladas solamt las técicas dl aálisis umérico. E sta Tsis las raícs d Lgdr aparc d mara muy atural la formulació dl aálisis lctromagético d la radiació mitida por la ata [4]. E los siguits pígrafs s prsta alguos d los trabajos más sigificativos rlacioados co l tma dsarrollado sta Tsis, qu pud cosidrars qu forma l Estado dl Art l método d momtos y l Elctromagtismo Computacioal... El foqu d Harrigto Harrigto cosigu su cuació itgral co la aplicació d las cuacios d Maxwll xprsadas térmios d las fucios potcials vctorial magética A y scalar léctrica Φ, qu para l caso armóico s scrib como [5]: ( r ) jr jr µ J r ρ A( r) = dv, dv, 4π Φ r = v R 4πε (.) v R dod J s la dsidad d corrit d coducció, ρ s la dsidad d carga léctrica y R s la distacia tr u puto fut y uo d obsrvació. Estas fucios satisfac l torma d Hlmhöltz, por lo qu l campo léctrico quda xprsado como: E = Φ jωa. (.) - 0 -

26 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal Al hacr la sustitució d (.) (.) y al aplicar la cuació rsultat a u alambr rcto d logitud L qu yac sobr l j Z, s ti qu l campo léctrico imprso s: ( ) L jr i I z Ez = jωµ I ( z ) dz, jωε z z 4π R (.3) L dod I ( z ) s la corrit léctrica distribuida a lo largo dl alambr..3. El trabajo d Pocligto Pocligto scribió su clbr trabajo 897 mitras ivstigaba la propagació d odas léctricas alambrs coductors [6]. Históricamt, l trabajo d Pocligto sirvió d bas para l d Hallé y l d Harrigto. El aálisis supo qu s trata d u coductor prfcto, d forma cilídrica rcta, cuyo radio s mucho mor qu la logitud d oda d la corrit. Las odas l alambr satisfac la siguit cuació difrcial: F F 0, (.4) c t = dod F s u vctor ormal a la suprfici dl alambr. La rspusta dl problma cosist formar ua solució co suficit gralidad por mdio d ua combiació lial d solucios más simpls. Las costats d proporcioalidad s dduc a partir d otra cuació difrcial qu s rsulv por mdio d aproximacios. La solució más simpl, obtida por Hrtz, s la siguit: j( r+ ωt) Π Π Π F = aˆ ˆ ˆ x + a y + + Π,, a z Π = (.5) x z y z z R dod s l úmro d oda d la oscilació. Esta solució xprsa qu la furza léctrica dbida a ua oscilació hrtziaa co l lmto ds como j, s compo por dos furzas. La primra s rlacioa co la fució potcial Π s, y la sguda, paralla a ds, s Π. Si s coloca u gra úmro d stos lmtos coscutivamt para formar ua curva, dod ds s u lmto difrcial d arco a los cuals s ls atribuy ua itsidad λ, s cosigu u sistma d furzas qu satisfac la cuació d propagació d la oda: F dλ ds = Π + λπˆ ds, ds s (.6) dod ŝ s u vctor tagt a la curva. Esta s la solució gral d la cuació qu pud rsolvrs aproximadamt al cosidrar u puto a ua pquña distacia ε d la curva: dλ dλ j t Π ds = l ε ω, (.7) ds ds por lo tato, d acurdo a sta aproximació, la furza srá l siguit vctor: - -

27 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal dλ j t l ˆ F = ε λs ω. ds (.8) La furza tagcial a lo largo dl alambr db d sr cro, d tal forma qu l sistma d furzas sa ua solució d (.6), por lo tato: d λ + = = ds jωt js l ε λ 0, λ. (.9) Esta cuació implica qu la oda s propaga co vlocidad uiform c y co amplitud costat, lo cual corrspod a lo sprado para u coductor rcto. Para obtr ua mjor rprstació d la furza léctrica s csario hacr otra aproximació dod s cosidr qu cualquir puto tagcial al j dl coductor, ésta s obti como la suma d ua catidad fiita más u térmio qu cotga lε. Supogamos qu movmos la curva a través d ua pquña distacia proporcioal a ε. El fcto s cambiar l valor d la compot tagcial la scció trasvrsal por ua catidad fiita qu varía como l coso d algú águlo azimutal y la paralla al j dl alambr por ua catidad proporcioal a ε. Co tal cambio s pud limiar la compot tagcial para la scció trasvrsal, mitras la compot paralla s ialtrada. Por lo tato s pud cotiuar drivado la codició la suprfici d (.6) al itgrar a lo largo dl j dl alambr: dλ Π ds + ˆ λπ ˆ ds = 0. s s ds s (.0) La cuació atrior db rsolvrs itrativamt, a mos qu puda hacrs simplificacios qu prmita tr ua fórmula aalítica para λ. La cuació d Pocligto corrspod a la compot tagcial d la furza léctrica: F λπ = ds + λπds. s (.) La cuació d Pocligto [7] s dducida formalmt l siguit capítulo térmios d lmtos discrtos d circuitos léctricos, lo cual rlacioa l rl d la itgral co ua impdacia mutua dbida al acoplamito iductivo y capacitivo tr dos sccios difrcials dl coductor. Matmáticamt s xprsa como: ˆ ˆ. jωε s s s s 4π R (.) jr i E = I s + ds.4. El aálisis d Hallé Hallé aalizó la distribució d corrit alambrs cilídricos rctos por mdio d los potcials rtardados. Él cosigu ua cuació itgral para la corrit léctrica térmios dl potcial léctrico, dod s toma cuta la codició la frotra sobr la suprfici dl coductor dl campo léctrico, cuya compot tagcial db sr cro [8]: - -

28 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal E ( r ) = S, jωµε A + A = 0 (.3) dod r S rprsta la suprfici dl coductor. Si s supo qu l coductor s dlgado y qu yac sobr l j Z, tocs sólo s cosidra la compot A z dl potcial magético vctorial, qudado la siguit cuació difrcial: d Az A 0, z dz + = (.4) cuya solució cosist la suma d dos fucios lialmt idpdits: ( ) jr I z Az = B s z + C cos z = dz, (.5) R dod B y C so costats d itgració. La compot A z dl potcial magético vctorial s xprsa térmios d la corrit léctrica. Si l coductor s xcitado co ua fut d voltaj V, tocs s ti qu B = V Z0, dod Z 0 s la impdacia itrísca dl mdio, mitras qu la costat C db obtrs l procso d la solució d (.5) al cosidrar la codició d frotra los xtrmos dl alambr. Por lo tato s ti: ( ) 0 jr I z V dz = C cos z s z, (.6) R Z la cual s válida para coductors rctos. Para coductors d gomtría arbitraria, xist ua formulació aáloga a (.) obtida por Mi [9] qu s xprsa como: jr s jr s ˆ i I s ξ s ˆ dξ ds = jωε Es ( ξ ) dξ + A, (.7) s 4π R 4π R 0 0 dod ˆξ s u vctor uitario tagt a la curva, rlacioado co la variabl d itgració ξ, qu s ua variabl muda. El rl d sta cuació ti la siguit propidad: K ( s, s ) = K ( s, s ), (.8) s s razó por la cual s dic qu l rl s d ciclo crrado. Est rl s apropiado para structuras simétricas, tals como dipolos, atas circulars y hlicoidals. Al dsarrollar la itgració d (.7) s ti la cuació gralizada d Hallé: s (.9) jr j i I ( s ) ds = C cos s Es ( ξ ) s ( s ξ ) dξ, R Z dod C s la costat d itgració qu db calculars a partir d las codicios la frotra los xtrmos dl coductor

29 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal.5. El método d Champag: Sgmtos curvos El método d los sgmtos curvos s ua técica basada l método d momtos, l trabajo d Pocligto y Harrigto, para modlar structuras d gomtría arbitraria [0]. Su modlo matmático s la Ecuació Itgral dl Campo Eléctrico (EFIE), la cual s prsta térmios d los potcials rtardados. La cuació itgral qu rsulta toma cuta las variacios circufrcials d la corrit; la codició d frotra dl campo léctrico s furza toda la suprfici dl alambr. E sta técica, cada sgmto qu s divid l alambr s modla por mdio d ua ly cuadrática dod s utiliza trs vctors d posició r, r + y r +, Fig... Cada sgmto curvo s ajusta d mara más aproximada a la forma dl alambr qu algú sgmto lial. Matmáticamt s dfi por: r ( ξ ) = ξ ξ + + ξ ( ξ ) + 4ξ ( ξ ) +, ξ [ 0, ], r r r (.0) dod ξ s l parámtro ormalizado d la curva y =,,, N. Para cotrar la variació d la curva coform aumta ξ, s calcula l vctor tagt a cada sgmto s: ( ξ ) = ( ξ ) + ( ξ ) + ( ξ ) l 4 r 4 3 r 4 r. (.) + + Figura.. a) Vctors d u sgmto curvo. b) Fució bas l sgmto curvo. La logitud d arco d la curva s dfi como ua fució dl parámtro ormalizado ξ : ξ = σ ξ l ξ l ξ dξ. (.) 0 El campo léctrico radiado pud calculars como ua rprstació combiada dl Φ r : potcial vctorial magético A( r ) y l potcial scalar léctrico A r ( r ) = jω + Φ E r A r r i, ta ta ( r ) jr jr µ I r I r = ds, S ds, 4π Φ r = π a R j4πωε π a R S S (.3) dod r s cutra sobr la suprfici dl alambr y i E s l campo léctrico imprso

30 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal La corrit I s xprsa como ua combiació lial d N fucios bas Λ ( r ) : N N N I = I Φ = I Φ I r Λ r, A r A r, r r. (.4) = = = Si s cosidra l siguit cambio d variabl, σ [ σ σ ] ξ [ ], 0,, qu raliza u mapo d σ a ξ, tocs los potcials d la xpasió (.4) quda como: π jr + π jr A ( r µ dσ ξ dσ ξ + ) = dϕ dξ dϕ dξ, 8π Λ r + R dξ Λ r R dξ (.5) 0 π 0 π π jr + π jr dσ ξ dσ ξ + Φ ( r ) = S dϕ dξ S dϕ dξ, j8π ωε Λ r + R dξ Λ r R dξ 0 π 0 π dod dσ dξ s l Jacobiao d la trasformació. Λ ( r ) y su divrgcia s dfi por: ξˆ ( ξ ), si S, dξ ˆ ± ξ ( ξ ), si S, dσ ( ξ ) Λ r = l r ± ±, si r S, Λ ( r) = Λ r = l r S Λ r = (.6) 0, otro lado, 0, otro lado. El sigo + idtifica l sgmto l cual Λ ( r ) ti ua pdit positiva y l sigo idtifica al d la pdit gativa. Al sustituir (.6) (.5): µ + + A ( r) = A ( r) + A ( r) = ξ ( ξ, ξ ) dξ ( ξ ) ( ξ, ξ ) dξ, 4π K + K Φ ( r) = Φ ( r) + Φ ( r) = ( ξ, ξ ) dξ ( ξ, ξ ) dξ, j4πωε 0 0 (.7) dod K ± ( ξ, ξ ) y + ( ξ, ξ ) so los rls dl alambr co sgmtos curvos: ( ξ ) ± π jr π jr K (, ) ˆ dσ ± ± ± ξ ξ = l ( ξ ) dϕ, ( ξ, ξ ) = dϕ. dξ π R π R (.8) π π Para calcular los coficits d la xpasió d corrit s utiliza l método d Galri Λ r. El producto itro s: la cuació (.3), dod las fucios pso so m E Λ ( r) dσ I jω A ( r) Λ ( r) dσ ( r) Λ ( r ) dσ, (.9) σ σ σ m+ N m+ m+ i m = m + Φ m = m m m σ σ σ dod m =,,, N, l cual forma u sistma d N cuacios co N icógitas. El primr térmio dl lado drcho d (.9) s xprsaría como: - 5 -

31 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal + A ˆ dσ m ξ ( ) ˆ dσ m ξ + Zm = jω ξ lm ξ A r dξ + ξ m ( ξ ) dξ. dξ l A r (.30) dξ 0 0 El sgudo térmio dl lado drcho d (.9) qudaría como: σ dφ Z r dσ r dξ r dξ. (.3) m+ Φ + m = Λ m = dσ Φ Φ σ m 0 0 El lado izquirdo d la cuació (.9) corrspod a los lmtos d la matriz d voltajs: dσ ξ dσ ξ V ξl ξ E dξ ξ l ξ E dξ. (.3) ξ + ˆ+ i m ˆ i m m = m + m dξ d 0 0 Fialmt, l sistma d cuacios quda como: [ Z ]( I ) ( V ), Z Z A Z Φ. m m m m = = + (.33) Auqu l método toma cuta la variació circufrcial d la corrit, su implmtació computacioal s complicada, dbido a las itgracios qu s raliza para calcular los lmtos (.33). El método propusto sta Tsis rduc cosidrablmt los rcursos d cómputo y l timpo d máquia utilizados para ua xactitud smjat []..6. El foqu d Kig: Aálisis d Fourir Atas d Lazo Circulars La ata d lazo circular cosist u aillo prfctamt coductor xcitado por u grador Dlta Gap ϕ = 0, Fig... Para sta ata a b, qu quival a a. La cuació itgral para la corrit I ( ϕ ) pud obtrs d la cuació la frotra sobr la suprfici dl alambr []: V0 δ ϕ 0, ϕ 0, Eϕ = = E bd = V b, ϕ = 0, π ϕ ϕ 0. (.34) π Figura.. Ata d lazo circular

32 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal A cotiuació s dfi la rlació d potcials rtardados para l campo léctrico coordadas cilídricas. Ya qu l radio dl coductor s pquño y dbido a la idalizació dl grador Dlta Gap, l campo léctrico sólo db tr variacios ϕ : V δ ϕ 0 b Φ = + ρ ϕ jω A ϕ. (.35) D acurdo a la cuació d cotiuidad, los potcials rtardados s dfi por: ( ) π π I ϕ µ 0 Φ = W ( ϕ ϕ ) dϕ, Aϕ I ( ϕ ) W ( ϕ ϕ ) cos ( ϕ ϕ ) dϕ, j4πωε 0b = ϕ 4π π π (.36) π j0br ϕ ϕ A ψ W ( ϕ ϕ ) = dψ, R 4s, A a s. π = + = R b π Al sustituir (.36) (.35) s ti ua cuació itgral: π jζ 0 V0 δ ( ϕ ) = M ( ϕ ϕ ) I ( ϕ ) dϕ, M ( ϕ ϕ ) 0b cos ( ϕ ϕ ) W ( ϕ ϕ ), 4π = + (.37) 0b ϕ π dod ζ 0 = µ 0 ε 0 s la impdacia itrísca dl mdio. Ua solució d la cuació itgral pud obtrs forma d ua xpasió sri. Esto s cosigu al dsarrollar tato l rl como la corrit co ua sri d Fourir: ( ϕ ϕ ) jm jϕ W ϕ ϕ = K, I ϕ = I, π m jm( ϕ ϕ ) jϕ K m W ( ϕ ϕ ) dϕ, I I ( ϕ ) ± = dϕ. π = π π π π (.38) Al sustituir (.38) (.37) s ti qu: 0b m M ( ϕ ϕ ) = ( K + K ) K = a Al sustituir (.39) (.37) rsulta: jm( ϕ ϕ ) jm( ϕ ϕ ) m m+ m m. 0b (.39) jζ jζ V a I d a I (.40) π 0 jϕ jϕ 0 jϕ 0 δ ( ϕ ) = ( ϕ ) ϕ =. 4π π Esta s ua sri d Fourir co los coficits jζ 0aI. Estos pud sr valuados d la mara usual, pro la fució dlta d Dirac prmit u rsultado más simpl: jζ a I V jv,. (.4) π 0 jϕ 0 0 = V0 δ ( ϕ ) dϕ = I = π π ζ 0π a π - 7 -

33 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal Por lo tato, la sri d Fourir qu rprsta la corrit s: I jv cos ϕ = +. (.4) ζ 0π a0 a 0 ( ϕ ) A psar d qu la distribució d corrit s xprsa d mara ta simpl, la valuació d los coficits a implica ua gra dificultad computacioal, ya qu: = + = (.43) b a K K K, K dψ dθ. j0br j 0 ( ) π π θ + 0b 4π R π π La valuació d K ha sido la mayor dificultad la solució dl problma d la ata circular. La solució aalítica para los coficits K s: 0b a a K = K J + C Ω ( x) + jj ( x) dx, ± 0 0 π b b 0 C = γ m + + l 4, Ω x = s xs θ mθ dθ, m m= 0 π 0 π (.44) dod γ = s la costat d Eulr-Maschroi, Ω m s la fució d Lomml- Wbr, J 0 s la fució modificada d Bssl d primr tipo, K 0 s la fució modificada d Bssl d sgudo tipo, y J s la fució d Bssl d primr tipo. El úmro d fucios qu db d calculars para cada K rprsta u gra rto computacioal, razó por lo cual s sul usar ua rprstació aproximada. Admás d sto, la valuació d las itgrals dadas (.44) ti qu ralizars uméricamt. Todo sto hac l método d Fourir difícil d implmtar computacioalmt. El método propusto sta Tsis vita stas complicacios, proporcioado ua solució computacioal más fácil d implmtar, dod s optimiza los rcursos d cómputo y s cosigu ua xactitud similar [3]..7. El trabajo d Bur y Poggio: Programa NEC El código NEC (Numrical Elctromagtic Cod) fu dsarrollado por G. J. Bur y A. J. Poggio l Laboratorio Lawrc Livrmor durat los años 70 para modlar la rspusta lctromagética d atas y otras structuras mtálicas por mdio d la solució d cuacios itgrals mdiat l método d momtos [4]. El código combia ua cuació itgral para suprficis suavs y otra para alambrs, lo cual l da vrsatilidad para modlar difrts structuras radiats. La cuació itgral para alambrs s dduc a partir d la EFIE (Elctric Fild Itgral Equatio) la cual furza la codició d frotra dl campo léctrico sobr la suprfici d st: s E ( r) = 4π s s s s L r r j r r I jη ˆ I s ˆ ˆ ds, (.45) - 8 -

34 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal dod η s la impdacia itrísca dl vacío. Para las placas coductoras, la cuació itgral s obti a partir d la MFIE (Magtic Fild Itgral Equatio) dod s furza la codició d frotra dl campo magético sobr la suprfici: j r0 r I ˆ ( r0 ) H ( r0 ) = J ( 0 ) ˆ S r + ( 0 ) S ( ) da, 4π r J r S r0 r (.46) dod ˆ s u vctor ormal a la suprfici, J S s la dsidad suprficial d corrit y r 0 s u puto la suprfici. Para la cuació (.45), su solució co l método d momtos utiliza la siguit fució d xpasió: I s = A + B s s s + C cos s s, s s <, (.47) dod s s l valor l ctro dl sgmto. D las costats A, B y C, dos d llas s limia por codicios locals d la cotiuidad d la carga léctrica la itrfas tr dos sgmtos, qudado sólo ua qu s dtrmia por la cuació matricial rsultat. Si los dos sgmtos ti l mismo radio, la cuació d cotiuidad stablc qu: I = jωq. s (.48) Si a u sgmto s l u otros más, la Ly d Kirchhoff d corrits stablc qu la uió, la corrit total s cro. Por lo tato, la cuació d cotiuidad qudaría como: I s s la uió Q =, l γ a (.49) dod Q s la carga total la vcidad d la uió y a s l radio dl coductor. El código NEC ha gaado mucha popularidad dsd su aparició, por lo qu ha aparcido difrts vrsios. Dsd la origial, basada tarjtas prforadas para las computadoras d los años 70, hasta las más rcits basadas istruccios d 6 y 3 bits para computadoras prsoals. Durat mucho timpo NEC fu la úica hrramita usada por igiros para modlar atas ya qu admás d calcular la distribució d corrit, dtrmia l patró d radiació y otros parámtros como la impdacia d trada. E las vrsios d 6 bits l úico limitat ra la mmoria, ya qu había u valor máximo d MB qu podía dirccioar l microprocsador. Esto limitaba l úmro d sgmtos qu s dividía la ata y por lo tato la xactitud dl rsultado. Las vrsios d 3 bits o cuta co problmas d mmoria, ya qu l microprocsador trabaja modo protgido, por lo qu toría l programa pud usar toda la mmoria d la computadora. Las últimas vrsios cuta co itrfass gráficas d usuario lo cual facilita su uso, llgado a sr prácticamt ituitivo. Las itrfass mustra la cofiguració d los alambrs y las suprficis mtálicas ua vista tridimsioal, así como gráficas d la distribució d corrit y dl patró d radiació. La gra dsvtaja d NEC radica qu los alambrs d gomtría arbitraria db modlars a partir d sgmtos rctos, co lo cual o s rprsta corrctamt la structura origial

35 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal Para l caso d las atas d alambr, l método propusto sta Tsis o prcisa rprstar la ata como ua sucsió d sgmtos rctos, como lo hac NEC, sio qu por mdio d ua cuació vctorial qu dscrib l j dl alambr y al filamto quivalt d corrit, s cosigu caractrizar la gomtría d la ata, lo cual facilita su dsarrollo computacioal. Otra d las vtajas dl método propusto s la cuació itgral usada, la cual s rsulv co ua xpasió d fucios qu o rquir valuar la codició d cotiuidad d carga léctrica la itrfas d los sgmtos. La rprstació vctorial d la ata s otra d las aportacios hchas por l autor d sta Tsis..8. Aálisis d Butlr y Wilto E st trabajo s aaliza l dsmpño d las cuacios d Hallé y Pocligto para las fucios bas trigoométrica, pdazo soidal y pulso, coductors dlgados rctos qu actúa como radiadors, por mdio dl método d momtos [5]. El trabajo aborda sit combiacios tr las fucios bas y las cuacios itgrals, dod s ormaliza los rsultados rspcto a los obtidos co l procdimito d Galri-soidal, para 3 sgmtos y s grafica fució d N. Butlr y Wilto subraya qu para calcular las costats para la fució trigoométrica s csita icrmtar l úmro d cuacios ó rsolvr ua cuació auxiliar difrcias fiitas. El trabajo s ctra coductors d radios a = 0.00λ y a = 0.000λ co logituds d L = λ y L = λ. Butlr y Wilto cocluy qu la cuació d Pocligto covrg pobrmt co la técica dl ajust d putos para pdazos soidals, ya qu l campo varía rápidamt la uió d los sgmtos dbido a la discotiuidad d la drivada d la corrit. La covrgcia s mjora otablmt co l método d Galri para pdazos soidals, auqu sto sigifica ua itgració xtra para l producto itro d la fució pso. Cuado s aaliza la fució pso trigoométrica, forzado a qu la drivada d la corrit sa cotiua la itrfas d los sgmtos, s mjora la covrgcia d la solució ya qu s vita las sigularidads. Otro aálisis s raliza a la cuació d Hallé co la técica dl ajust d putos usado fucios bas pulso. Ya qu sta cuació o xist drivadas, la solució s más idpdit a la discotiuidad tr los sgmtos. Butlr y Wilto cocluy qu para ua corrcta covrgcia d la solució d la cuació d Pocligto, s db suprimir o suavizar las discotiuidads la aproximació d la corrit y su drivada la uió d los sgmtos..9. El trabajo d Tapa Sarar t al E st trabajo s aaliza la stabilidad umérica d la técica dl ajust d putos, dl método d Galri y dl d míimos cuadrados, así como s plata los rquisitos formals qu db cumplir las fucios bas l método d momtos [6]. Las fucios bas db cotrars l domiio dl oprador y satisfacr sus codicios d frotra y d difrciabilidad, para l caso d opradors itgro-difrcials. Tambié, l cojuto d fucios bas db formar u cojuto complto l domiio dl oprador

36 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal La técica dl ajust d putos utiliza como fució pso la dlta d Dirac, lo cual rduc l trabajo umérico. Si mbargo, s poco xacta y s difícil coocr a priori los lugars dod colocar las dltas. Para mjorar l dsmpño s propo aumtar l úmro d sgmtos y rducir l grado dl poliomio cada uo d llos. Tapa Sarar rcomida qu, por formalidad matmática, o db usars l método d Galri l oprador d Pocligto ya qu s o auto-adjuto, si mbargo, u plao práctico, los rsultados qu s cosigu cocurda corrctamt co los sprados. Ua coscucia d u oprador auto-adjuto, s qu l método d Galri l cojuto d fucios bas s l mismo qu l d las fucios pso. E l método d los míimos cuadrados las fucios pso L ( f ) db formar u cojuto complto, d tal forma qu g s cutr l domiio dl oprador adjuto. Para cotrar los coficits d la xpasió s csita miimizar la siguit orma: N αl ( f ) g. (.50) = Est método s d los más sguros umérica y matmáticamt cuado o s cuta co iformació sobr la aturalza dl oprador y d la solució xacta..0. Aálisis d D. H. Wrr t al: Aislamito d sigularidads Exist la cuació d Pocligto ua sigularidad prst l rl qu ocurr cuado r r. Auqu la cuació s dduc para alambrs dlgados, su sigularidad vita qu l radio dl coductor tida a cro idfiidamt. La propusta d Wrr cosist aislar dl rl la sigularidad [7], d tal forma qu l rl modificado qu s cosigu s comporta adcuadamt alguas técicas uméricas cuado R 0. Para u alambr rcto, l rl pud rducirs como [8]: K z,z = ( + jr)( R a ) + ar R = ( z z ) + a R jr 3,. 5 (.5) E l límit cuado a 0 para z = z ocurr ua sigularidad d trcr ord. Para xtrarla, l rl s xprsa como: ( ) { ( ) ( S )} S ( ), K z, z = K z, z K z, z + K z, z (.5) dod K S corrspod a la part sigular y l térmio tr corchts s ua fució qu varía suavmt. Al hacr u dsarrollo sri d Taylor d la fució xpocial co cico térmios, l corcht s pud xprsar como: ( ) ( ) K z, z K z,z = S jr ( jr )( jr)( R 3a ) ( ar) { } ( R ) + ( a ) ( R) ( 3 + jr)( a) R R 5 5, (.53) - 3 -

37 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal l cual rprsta a ua fució qu varía ltamt y qu satisfac l siguit límit: ( ) ( ) K z,z KS z,z lim = j. (.54) R Co st dsarrollo, los lmtos d auto-impdacia d la matriz d impdacias, para la técica dl ajust d putos co fucios bas pulsos, pud xprsars como: ( a) ( h) ( h) jr 0 j d η0 Z = dz 4 a 4πωε + 0 dz R 0 6π 3 η0h h + r h hr + j l +, π 4 a r ( r ) = +, = +, =, R0 z a r h a h (.55) dod s la logitud dl sgmto. D sta forma, s obti ua itgració más suav... La propusta d Ttriaov Y., Pa G Rcitmt s ha usado wavlts como fucios bas l método d momtos, dbido a las rápidas propidads d covrgcia d la trasformació Malvar (coso suav local, SCL), propusto por Ttriaov y Pa [9], la cual s útil para caractrizar radiadors léctricamt grads, dod l rl s comporta d forma oscilatoria. E st trabajo s compara los rsultados obtidos co los d los métodos stádar. Los sistmas trigoométricos localmt suavs (SLT), propustos por Malvar, Coifma y Myr, so fucios trigoométricas multiplicadas por ua vtaa forma d campaa suavizada, qu forma ua bas ortogoal L. D igual forma qu las wavlts, los sistmas SLT costruy sus fucios bas por mdio d la traslació y xpasió d fucios simpls. Las wavlts cutra muchas aplicacios la solució d cuacios itgrals, co lo cual s obti scasas matrics d impdacia. Esto s dbido a sus caractrísticas d ortogoalidad, aálisis d multirsolució y qu los momtos s hac cro. Si mbargo, a psar d stas vtajas, las wavlts, dfiidas todo l j ral, ti qu rstrigirs a u domiio o itrvalo fiito para los problmas prácticos dl lctromagtismo. E sta propusta s aplica la trasformació Malvar a u radiador dlgado, l cual s divid sgmtos, dod cada fució bas s suprpo a las d los sgmtos cotiguos para formar ua solució cotiua. El procdimito d Ttriaov cosist hacr u mapo dl alambr d forma arbitraria a itrvalos rctos, los cuals s divid subitrvalos I, j = 0,,, M. A cotiuació s dfi N j fucios SCL cada j -ésimo subitrvalo para formar ua xpasió d la corrit l alambr: M N j π I ( s) = q j, ψ j, ( s), ψ j, ( s) = bj ( s) cos + ( s α j ), (.56) j= 0 = 0 I j I j j - 3 -

38 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal b s s la vtaa co forma d campaa I j = α j, α j + s la logitud dl subitrvalo. Los coficits d la xpasió s dtrmia por mdio dl método d Galri, por lo qu las fucios pso corrspod tambié a ψ j,. D sta forma, los lmtos d la matriz d impdacia s calcula co la siguit itgració dobl: dod j A + + = K ( s, s ) ψ ( s ) ψ ( s) ds ds, (.57) jn j, j N j j, j, dod K ( s, s ) s l rl d la cuació d Pocligto. Los autors compara la solució d la técica dl ajust d putos co fucios bas pulso, co la dl método d Galri usado wavlts para u dipolo d L = λ y a = 0.035λ. Los rsultados qu s cosigu ti ua difrcia dl %, co ua gaacia l timpo d cómputo d hasta 5 vcs co rspcto al acoplamito putual... Divrsos trabajos El método d momtos y las cuacios itgrals ha sido aplicados por difrts ivstigadors para dtrmiar la distribució d corrit las atas. Las aplicacios o cosist solamt atas d alambr dlgado, sio tambié atas grusas, lías d trasmisió d par torcido [30], fctos disipativos tr la tirra y la ata [3], atas plaars [3] y lías d microcita [33], por sólo mcioar alguas. Otras lías d ivstigació s ctra l procdimito umérico sí mismo, dod s itta rducir los timpos y rcursos d cómputo, por mdio d difrts técicas para rsolvr la cuació matricial. Por jmplo, Kluss dfiió u algoritmo para simplificar la solució d la cuació itgral [34]..3. Coclusios dl Capítulo I Dsd los trabajos pioros d Hrtz y Pocligto, la ivstigació atas s ha ctrado dtrmiar su distribució d corrit. A lo largo d los años s ha mostrado la icapacidad d cotar co solucios aalíticas dbido a la compljidad d las cuacios itgrals qu modla las structuras radiats. Por sta razó la ivstigació atas s basa cotrar solucios y métodos uméricos para cada tipo d problma. Las pricipals técicas uméricas so l método d momtos y l método d difrcias fiitas l domiio dl timpo. La primra stá mjor adaptada a rsolvr cuacios itgrals mitras qu la sguda fu disñada x profso para cuacios difrcials. A partir d sta bas tórica s ha aalizado divrsos tipos d atas para dtrmiar sus parámtros léctricos. Los objtivos qu s prsigu l disño d atas s ctra pricipalmt sus caractrísticas d radiació: Patró d radiació, gaacia dirctiva, lóbulos pricipals y scudarios, acho fctivo dl haz, tc. D aquí surg la csidad d cotar co hrramitas cofiabls para caractrizar a las atas

39 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal E st capítulo s prsta ua rcopilació d los trabajos qu l autor d sta Tsis cosidra más dstacados para los propósitos d ésta. Estos trabajos toma como modlo matmático la cuació d Pocligto y la cuació EFIE, rsolviédolas co l método d momtos, qu ha sido ua hrramita sumamt podrosa para l lctromagtismo computacioal, dbido a qu trasforma las cuacios oprador cuacios matricials más fácils d rsolvr. Cualquir técica umérica db stablcr critrios d covrgcia, ofrcr prubas dl balac d rgía (la rgía trgada a la ata db sr igual a la rgía radiada más la rgía prdida), ofrcr rciprocidad al itrcambiar los putos fut co los putos d obsrvació, y satisfacr las codicios d frotra dl problma, como so las d los xtrmos fials d la ata y la codició dl campo léctrico sobr su suprfici. Rfrcias [] Robrt Eisbrg, Robrt Rsic, Física Cuática, Átomos, Moléculas, Sólidos, Núclos y Partículas. Editorial Limusa. México D. F [] Marclo Aloso, Edward J. Fi, Física Vol. II Campos y Odas. Addiso Wsly Logma. México D. F [3] Jorg Sosa Pdroza, Lizbth Ortga Lara, Lías d Trasmisió y Guías d Oda. Editorial Limusa, México D. F [4] Adrés Lucas-Bravo, Jorg Sosa-Pdroza, Víctor Barrra-Figuroa, Caractrizació y Aálisis D Ua Ata d Cruz : Mmorias dl 8º Cogrso Nacioal d Igiría Elctromagética y d Sistmas, México D. F., Novimbr 004. [5] Hisamatsu Naao, Hlical ad Spiral Atas, A Numrical Approach. Jho Wily & Sos, Ic. Uitd Kigdom 987. [6] S. A. Schluoff, Advacd Ata Thory, Joh Wily & Sos, Ic. N. Y. 95. [7] E. C. Jorda, Odas Elctromagéticas y Sistmas Radiats, Paraifo, Madrid 973. [8] Joh D. Krauss, Roald J. Marhfa, Atas For All Applicatios. McGraw Hill, 3rd ditio. Nw Yor 00. [9] Rogr F. Harrigto, Matrix Mthods for Fild Problms i: Procdigs of th IEEE, Fb. 967, Vol. 5, No., p.p [0] Rogr F. Harrigto, Fild Computatios By Momt Mthod. Robrt E. Krigr Publishig Compay, Ic. 986, Florida USA. [] Richard C. Booto, Computatioal Mthods for Elctromagtics ad Microwavs. Joh Wily & Sos, Ic. Nw Yor 99. [] Margarita Suárz Aloso, Matmática Numérica. IPN-Miistrio Suprior d Cuba, 997, México D.F

40 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal [3] Víctor Barrra-Figuroa, Jorg Sosa-Pdroza, José Luis Lópz-Boilla, Multipl root fidr algorithm for Lgdr ad Chbyshv polyomials via Nwto s mthod i: Aals Mathmatica t Iformatica, 33 (006) p.p [4] Víctor Barrra-Figuroa, Jorg Sosa-Pdroza, José Luis Lópz-Boilla, Sgmtació o-quidistat d atas dlgadas d gomtría arbitraria por mdio dl uso d las raícs d los poliomios d Lgdr : Mmorias dl 9º Cogrso Nacioal d Igiría Elctromagética y d Sistmas, México D. F., Novimbr 006. [5] K. Fog L, Pricipls of Ata Thory, Joh Wily & Sos, Ic. Nw Yor 984. [6] H. C. Pocligto, Elctrical Oscillatios i Wirs, i: Cambridg Phil. Soc. Proc. 9, Octobr 897. p.p , Lodo Eglad. [7] Jorg Sosa-Pdroza, José Luis Lópz-Boilla, Víctor Barrra-Figuroa, La cuació gralizada d Pocligto para atas d alambr d forma arbitraria, : Citífica, Vol. 9, No., 005, p.p , México D.F. [8] W. K. H. Paofsy & M. Phillips, Classical Elctricity ad Magtism. Addiso Wsly, Radig Massachussts, d Ed. 96. [9] Kth K. Mi, O Th Itgral Equatios Of Thi Wir Atas i: IEEE Tras.o Atas Ad Propagatio, May 965, Vol. AP-3, No. 3, p.p [0] Champag J., Natha II, T. Williams, Jffry ad R. Wilto, Doald, Th us of curvd sgmts for umrically modlig thi wir atas ad scattrrs, i: IEEE Tras. o Atas ad Propagatio, Vol. 40, No. 6, p.p , Ju 99. [] Jorg Sosa-Pdroza, Víctor Barrra-Figuroa, José Luis Lópz-Boilla, Pocligto s Equatio Mthod Vrsus Curvd Sgmts Tchiqu For Th Numrical Study Of Circular Atas i: Apiro, Vol. 3, No., April 006, p.p [] Robrt E. Colli, Fracis J. Zucr, Ata Thory Part I, Itr-Uivrsity Elctroics Sri, Nw Yor 969, p.p [3] Víctor Barrra-Figuroa, Jorg Sosa-Pdroza, José Luis Lópz-Boilla, Numrical Approach To Kig s Aalytical Study For Circular Loop Ata i: Joural of Discrt Mathmatical Scics & Cryptography, 0, No. (007), p.p [4] G. J. Bur, A. J. Poggio, Numrical Elctromagtic Cod, Mthod Of Momts, Lawrc Livrmor Laboratory, Livrmor, Jauary 98. [5] Chalmrs M. Butlr, D. R. Wilto, Aalysis of Various Numrical Tchiqus Applid to Thi Wir Scattrrs, i: IEEE Tras. o Atas ad Propagatio, Vol. AP-3, No. 4, p.p. 4-48, July 975. [6] Tapa K. Sarar, Atoij R. Djordjvic ad Ercumt Arvas, O th Choic of Expasio ad Wightig Fuctios i th Numrical Solutio of Oprator Equatios i: IEEE Tras. o Atas ad Propagatio, Sptmbr 985, Vol. AP-33, No. 9, p.p

41 Capítulo I: Estado dl Art Elctromagtismo Computacioal [7] D. H. Wrr, P. L. Wrr, J. K. Braall, Som Computatioal Aspcts of Pocligto s Elctric Fild Equatio for Thi Wirs i: IEEE Tras. o Atas ad Propagatio, April 994, Vol. 4, No. 4, p.p [8] Víctor Barrra-Figuroa, Jorg Sosa-Pdroza, José Luis Lópz-Boilla, Simplificatio of Pocligto s Equatio Krl for Arbitrary Shapd Thi Wirs i: Rvista Cubaa d Física, Vol., No., 004, p.p. -8. [9] Y. Trtiaov, G. Pa, Malvar Wavlt Basd Pocligto Equatio Solutios to Thi Wir Atas ad Scattrrs i: Progrss i Elctromagtics Rsarch, PIER 47, 004, p.p [30] Kt Chambrli, K Komisar, Kodaguta Sivaprasad, A Mthod of Momt Solutio To Th Twitd-Pair Trasmissio Li i: IEEE Tras. o Elctromagtic Compatibility, Fbruary 995, Vol. 37, No., p.p. -6. [3] Draga Polja, Vico Doric, Wir Ata Modl For Trasit Aalysis Of Simpl Groudig Systms, Part I: Th Vrtical Groudig Elctrod i: Progrss i Elctromagtics Rsarch, PIER (Publishd by MIT, USA), Ju 006, Vol. 64, p.p [3] Y. Li, L. Zafia, Momt Mthod Solutio Of Th Nar-Fild Distributio ad Far- Fild Pattrs Of Microstrip Atas i: IEEE Procdigs, Octobr 985, Vol. 3 Pt. H., No. 6, p.p [33] L. Shafai, A. A. Sba, Radiatio Charactristics Ad Polarisatio Of Odulatd Microstrip Li Atas i: IEEE Procdigs, Dcmbr 985, Vol. 3 Pt. H., No. 7, p.p [34] Michal S. Kluss, A Nw Algorithm For Th Complx Expotial Itgral I Th Mthod Of Momts i: IEEE Trasactios o Atas ad Propagatio, May 000, Vol. 47, No. 5, p.p

42 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas Capítulo II Ecuacios Itgrals E Atas

43 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas Itroducció Las cuacios d Maxwll costituy uo d los más grads logros d la Física clásica; su majstuosa lgacia y simplicidad, y las imsas aplicacios qu d llas s ha obtido proporcioa los cimitos para qu st prfcto dificio prmazca rguido toda la tridad. Su importacia radica su xtraordiario podr para rprstar todos los fómos lctromagéticos o cuáticos por mdio d u sistma d cuacios. Jams Clr Maxwll fu capaz d rsumir l imso lgado d xprimtació d Coulomb, Ampr, Gauss, Faraday y otros por mdio d la itroducció dl cocpto d campo y la corrit d dsplazamito, uificado los hasta s momto icompatibls fómos dl magtismo y la lctricidad u solo cocpto: l campo lctromagético. Co Maxwll l cocpto d campo obti gra rlvacia ya qu s la hrramita qu dscrib los fómos físicos a través d ua formulació matmática prcisa. Los campos so caractrísticas físicas qu adquir l spacio y qu maifista su xistcia ustra vida cotidiaa ifluydo la matria. El campo asiga a cada puto dl spacio ua propidad física qu pud mdirs y rprstars por mdio d vctors o scalars. E su formulació origial d 865, Maxwll propo u sistma d 0 cuacios co 0 icógitas. Más tard 873, ivtó ua formulació más simplificada qu o tuvo éxito. Si mbargo, la formulació modra s db a Olivr Havisid y Josiah Willard Gibbs, quis 884 rformularo las cuacios origials utilizado la otació vctorial. Esto proporcioó ua muy lgat y scilla vrsió qu mostraba las icríbls simtrías itríscas tr las cuacios y tr los campos, hacido más fácil su utilizació ispirado aplicacios postriors. Fialmt, l gra éxito fu alcazado co l dscubrimito d las odas lctromagéticas por part d Hrtz, qui, basado la prdicció d Maxwll d dicho fómo, fu capaz d grarlas y dtctarlas l laboratorio 887. La importacia dl lgado d Maxwll s po d maifisto co lo xprsado por Emilio Sgrè []: Si Rafal volvira a la vida y tuvira qu pitar ua uva Escula d Atas d la Física, piso qu tdría qu icluir a Eisti juto co Galilo, Nwto y Maxwll sñalado a los cilos, mitras qu Faraday y Ruthrford aputaría hacia la Tirra. Otro d los grads logros obtidos por la toría lctromagética fu la toría d la rlatividad spcial d Eisti [], qui trataba d dtrmiar si las cuacios d Nwto y Maxwll combiadas satisfacía la rlatividad galilaa. Eisti y Poicaré dscubriro idpditmt qu las cuacios d Maxwll tambié satisfacía u pricipio d rlatividad [3]. Es sorprdt l hcho d qu todas las drivacios tóricas dl dificio wtoiao ha stado scialmt asociadas co l comportamito d la luz. No sólo la blla toría d Maxwll, sio tambié la toría d la rlatividad spcial y gral d Eisti, la toría d la mcáica cuática y fialmt la lctrodiámica cuática. E st capítulo s prsta la toría d las cuacios itgrals usadas alambrs coductors. S comiza co las cuacios d Maxwll y sus codicios la frotra, las rlacios d rgía dl campo lctromagético y l uso d los potcials rtardados. Dspués s prsta l caso d la cuació para ua corrit uiform y postriormt s xpo la cuació itgral para ua corrit o uiform, a partir d la cual s dduc la cuació gralizada d Pocligto, qu srá l modlo matmático utilizado sta tsis atas d alambr dlgado d gomtría arbitraria

44 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas.. Ecuacios d Maxwll La lctrodiámica modra s basa las cuacios d Maxwll y sus rlacios costitutivas [4]. La ly d Gauss-Maxwll maifista qu l flujo léctrico qu atravisa cualquir suprfici crrada s igual a la carga léctrica ta crrada por ésta; para l campo magético sta ly dmada la o xistcia d moopolos magéticos. La ly d Faraday- Maxwll stablc qu u campo magético variabl iduc u campo léctrico tambié variabl. Fialmt, la ly d Ampr-Maxwll postula qu u campo léctrico variabl iduc u campo magético tambié variabl. Las rlacios costitutivas stablc corrspodcias tr las itsidads d los campos léctrico y magético y sus rspctivas dsidads d flujo. Matmáticamt las cuacios d Maxwll s xprsa por u sistma d cuacios difrcials parcials, auqu su forma itgral tambié s frcut, la cual s obti usado los tormas d Stos y d Gauss-Ostrogradsy [5]: B B E =, d = d, t E s C a S t D = p, D da = pdv, D D H = + J, d = + d, t C S H s J a t B = 0, B da = 0. S S v (.) Las rlacios costitutivas s xprsa como: D = ε ε E, B = µ µ H, J = σe. (.) 0 r 0 r Los vctors E y H rprsta las itsidads d los campos léctrico y magético, y los vctors D y B so sus rspctivas dsidads. El vctor J spcifica la dsidad d corrit léctrica d coducció, tato qu p dfi la dsidad d carga léctrica. El vctor D t costituy la dsidad d corrit léctrica d dsplazamito dscubirta por Maxwll, mitras qu B t s rlacioa co la FEM iducida [6]. Las costats uivrsals µ 0 y ε 0 s cooc, rspctivamt, como la prmabilidad magética y la prmitividad léctrica dl spacio libr, cuyos valors l sistma MKS so : Kg C s = 4 0, = (.3) C m Kg m µ π ε La prmabilidad rlativa µ r y la prmitividad rlativa ε r so catidads adimsioals qu dfi las propidads dl mdio [7]. E u mdio lial llas so idpdits d la itsidad d los campos, caso opusto l mdio s o lial. Si éstas o so fucios d la posició, l mdio s homogéo, d otra forma s o homogéo. E J. Aharoi, Op. Cit. pág

45 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas u mdio isotrópico llas so scalars, mitras qu uo aisotrópico so tsorials. Si dpd d la frcucia ω dl campo, l mdio s cooc como disprsivo, caso cotrario s o disprsivo; para stos mdios l aálisis s raliza co modlos cuáticos dod participa la structura atómica dl mdio [8]. El parámtro costitutivo σ rprsta la coductividad léctrica 3, y clasifica al mdio a través dl factor d disipació 4 σ ωε : Si σ ωε, l mdio s u bu coductor, si σ ωε, l mdio s u diléctrico. El trasport d carga léctrica los mdios matrials xig ua cuació d cotiuidad, qu rlacio la dsidad d corrit d coducció co la d carga léctrica: p p J =, d = dv. t J a S v t (.4) Esta cuació stablc qu at u xcso dl flujo d corrit ua rgió putual dl mdio, la carga positiva lla dismiuy co ua rapidz p t igual al flujo to d la misma. Esta cuació rspod al pricipio d la cosrvació d la carga léctrica, sgú l cual las cargas o s cra i s dstruy, auqu catidads iguals d cargas positivas y gativas pud sr simultáamt cradas (obtidas) por procsos d sparació, o dstruidas (pérdidas) por procsos d rcombiació [0]. La forma difrcial d las cuacios d Maxwll xig qu los campos y sus drivadas, sa uivaluados, acotados y cotiuos. E la discotiuidad d dos mdios, Fig.., las drivadas carc d sigificado 5, por lo qu los campos db rgirs por las codicios la frotra. Si los dos mdios so diléctricos, la itrfas d stos o pud xistir cargas léctricas librs, ya qu simpr aparc ligadas crado pquños dipolos dbidos a los fctos d la polarizació los mdios 6. Figura.. Codicios d frotra d las compots tagcials y ormals. Los tsors µ y r ε d sgudo ord s xprsa co las siguits matrics: r ε xx ε xy ε xz µ xx µ xy µ xz ε r = ε yx ε yy ε yz, µ r = µ yx µ yy µ yz. ε zx ε zy ε zz µ zx µ zy µ zz 3 E l modlo d la rspusta diléctrica uivrsal (UDR) [9], la coductividad léctrica s icrmta a altas frcucias d acurdo a: σ ω = σ 0 + Aω, dod A s ua costat positiva y 0.6 < <.0. 4 Edward C. Jorda, Kith G. Balmai, Op. Cit. pág Costati A. Balais, Op.Cit. p William H. Hayt, Op. Cit. pág

46 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas Al costruir u pquño rctágulo d prímtro C 0 y ára S 0 cuya altura y tid a cro, Fig..a, y al aplicar las lys d Faraday-Maxwll y Ampr-Maxwll, s dduc qu la frotra las compots tagcials dl campo léctrico y magético so cotiuas: ˆ ˆ E E = 0, H H = 0, σ, σ fiitos. (.5) Al aplicar la ly d Gauss-Maxwll dl campo léctrico y magético a u pquño cilidro d ára latral A co tapas d ára A 0 cuya altura y tid a cro, Fig..b, s dduc qu la frotra las compots ormals dl campo léctrico y magético so discotiuas: ˆ ˆ ε E ε E = 0, µ H µ H = 0, σ, σ fiitos. (.6) Si uo d los mdios s u coductor léctrico, las cargas librs su suprfici forma ua dsidad ρ qu s somtida a las furzas d Lortz at la prscia dl campo, S stablcido ua dsidad d corrit suprficial 7 J. E la itrfas las compots S tagcials dl campo magético so discotiuas por ua catidad igual a J y las S compots ormals dl campo léctrico so discotiuas por ua catidad igual a ρ : S ˆ ˆ H H = J, ε E ε E = ρ. (.7) S Si l mdio s u coductor prfcto, los campos léctrico y magético su itrior so cro, por lo qu las codicios la frotra s rduc a: ˆ H = J, ˆ E = ρ ε. (.8) S S S D stas cuacios s cocluy qu l campo léctrico E s ormal a la suprfici dl coductor y qu l campo magético H s tagt a la misma 8. La simplicidad d stas codicios hac a los coductors prfctos muy útils l trabajo tórico. E muchos problmas d la igiría léctrica, los campos y las futs qu s prsta ti u caráctr oscilatorio, qu su forma más gral s xprsa por: E E E jϕx jωt jωt ( x y z) ωt ϕ ( x y z) { E } { E } jϕ y jωt jωt ( x y z) ωt ϕ ( x y z) { E } { E } jϕ z jωt jωt ( x y z) ωt ϕ ( x y z) { E } { E } = E,, cos +,, aˆ = R aˆ = R aˆ, x ax x x ax x ax x = E,, cos +,, aˆ = R aˆ = R aˆ, y ay y y ay y ay y = E,, cos +,, aˆ = R aˆ = R aˆ, z az z z az z az z (.9) dod las amplituds E ax, E ay, E az y las fass ϕ x, ϕ y y ϕ z so fucios spacials. Las amplituds multiplicadas por sus rspctivas fass, corrspod a las compots d u vctor compljo E= E aˆ + E aˆ + E aˆ, coocido como amplitud complja dl campo: ax x ay y az z = { E jωt } E R. (.0) 7 Costati A. Balais, Op.Cit. pág J. Aharoi, Op. Cit. pág

47 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas Si al mismo sistma s l aplica otra fut qu sté 90º dsfasada rspcto a la primra, tocs su campo s dtrmiará por: ( x y z) ωt ϕ ( x y z) aˆ jωt { E } ( x y z) ωt ϕ ( x y z) ˆ jωt { E } ( x y z) ωt ϕ ( x y z) aˆ jωt { E } E,, s,, Im ˆ x = E ax + x x = ax a, x jωt E,, s,, Im ˆ y = E ay + y a y = ay a y, E = Im { E }. E,, s,, Im ˆ z = E az + z z = az az, (.) Si l sistma s lial, como aqullos qu s rig por las cuacios d Maxwll, la aplicació simultáa d los campos (.9) y (.), l último multiplicado por la uidad imagiaria j, producirá l campo rsultat: jωt E + je = E. (.) La vtaja d utilizar vctors compljos s dmustra al mplarlos dirctamt las cuacios d Maxwll, ya qu l oprador t s sustituy por jω y vicvrsa 9. Esto ω j t prmit suprimir l factor por cotrars ambos lados d la cuació. Por lo tato, las cuacios d Maxwll para l caso armóico s scrib forma complja como: C S C E = jωb, E ds = jω B da, D = ρ, D da = ρdv, ( ω ) H = jωd + J, H ds = j D + J da, B = 0, B da = 0, J = jωρ, J da = jω ρdv. S S v S S v (.3).. Rlacios d rgía y potcia El campo lctromagético s capaz d trasportar iformació a grads distacias 0. Para sostrlo, s usa gradors qu trasfir rgía tr las trmials dl sistma. Éstos pud modlars co u campo d furzas F rlacioado co la FEM l coductor, co las mismas dimsios qu E, cuya fució s matr ua corrit léctrica imprsa J 0 quivalt a σf qu db sumars a la ly d Ampr-Maxwll: j H = σ E + F + ωεe, σ E + F = J. (.4) Tomado l producto puto d E co l compljo cojugado d (.4), y l producto puto d H co la ly d Faraday-Maxwll s posibl obtr la rlació dl balac d la rgía. Al rstar ambos rsultados s ti: 9 Esto s muy similar a lo cotrado la Toría d Circuitos, dod la trasformada d Laplac sustituy l oprador t por la frcucia complja s, y l caso stacioario, ésta frcucia s sustituy por la frcucia agular ral s jω. La trasformada d Laplac s usa para covrtir las cuacios itgro-difrcials simpls cuacios algbraicas, más fácils d rsolvr. 0 Costati A. Balais, Op.Cit. pág

48 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas σ jω ( ε µ ) E H + E E + F E H = 0, (.5) dod σ ( + ) = σ ( + ) ( + ) E E F E F F E F. Al sustituir y dividir tr dos rsulta: J E H + + jω µ H + ε E = F J, (.6) σ 4 4 y al itgrar (.6) sobr cualquir volum dl campo s dduc qu: J E H da + jω µ H + ε E dv + dv = F J dv, 4 4 σ S v v v (.7) dod da = ˆda s u lmto difrcial d suprfici. La cuació (.7) rprsta la forma itgral dl balac d la rgía lctromagética l domiio v y xprsa qu l trabajo hcho por la FEM quival al cambio xprimtado la rgía léctrica y magética dl campo, más la rgía qu ha fluido por l volum cosidrado, más la rgía qu s ha grado forma d calor. D acurdo al torma d Poytig, l vctor compljo E H d a rprsta la rapidz dl flujo d rgía promdio salit d la suprfici S ; su part ral rprsta la potcia ral y su part imagiaria rprsta la potcia ractiva. Los térmios ε E dv y µ H dv corrspod a la rgía léctrica y magética promdio almacada l volum v. La itgral J dv σ s la potcia total promdio disipada forma d calor. El trabajo total promdio hcho por la FEM para stablcr la corrit s rprsta por F J dv. La potcia promdio trgada por la fut, qu cosist calor y radiació, s xprsa frcutmt térmios d u fasor d corrit I qu fluy a través d algú ára d rfrcia como: dod R h s la rsistcia óhmica y W = Rh I + Rr I, (.8) R r s la rsistcia d radiació. E u campo lctromagético qu raliza oscilacios forzadas xist ua cotiua trasformació d rgía léctrica magética y vicvrsa, dod los promdios d ambas o ti qu sr csariamt iguals, ya qu gral, raramt lo so. Ahora, ya qu l campo stá stado oscilatorio, la dsidad d rgía cualquir timpo o pud prmacr stacioaria, lo qu implica qu la fut absorba y aport rgía priódicamt; l xcso d rgía magética sobr la rgía léctrica ti u comportamito pulsat dl campo a la fut y d uvo al campo. Esta difrcia d rgías promdio, multiplicada por dos vcs la frcucia s igual a la potcia pulsat promdio. La aparició d ω stá rlacioada co la aturalza cuadrática d la potcia. J. Aharoi, Op. Cit. pág. 7. Edward C. Jorda, Kith G. Balmai, Op. Cit. pág

49 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas.3. La cuació d oda y su solució: Fucios potcials Para simplificar l aálisis d problmas lctromagéticos co valors la frotra, s utiliza l potcial vctorial magético A y l potcial scalar léctrico Φ, coocidos como potcials rtardados. Auqu los campos E y H rprsta catidads qu s pud mdir, A y Φ so, strictamt hablado, hrramitas matmáticas qu surg aturalmt al cosidrar qu H db sr proporcioal al rotacioal d u vctor A : Al sustituir la cuació d Faraday-Maxwll s ti: µ H = A. (.9) ( jω ), E + A = 0 (.0) lo cual implica qu l oprado dl rotacioal sa igual al gradit d algú campo Φ : E = Φ jωa. (.) Al sustituir (.9) y (.) las cuacios d Ampr-Maxwll y Gauss-Maxwll rsulta: A ω µε A + jωµε Φ = µ J, ε Φ + jωε A = ρ. (.) La arbitraridad d Φ s maifista qu Φ 0. D acurdo al torma d Hlmhöltz 3, al habr dfiido a A por (.9), xig dscribir a A para dtrmiar compltamt a A []. Esto s logra dfiido: A = jωµεφ, (.3) qu s cooc como codició calibradora d Lorz 4. Al aplicarla, y d acurdo a la idtidad vctorial ( A) ( A) A, s ti qu: ω µε ρ ε, A ω µε A µ J, (.4) Φ + Φ = + = qu so cuacios d oda o homogéas, sido la primra ua cuació scalar y la sguda ua vctorial, qu coordadas cartsiaas pud dividirs trs cuacios: A + ω µε A = µ J, A + ω µε A = µ J, A + ω µε A = µ J. (.5) x x x y y y z z z 3 El torma d Hlmhöltz stablc qu cualquir campo vctorial V qu satisfac: V = 0, V = 0, pud sr dscrito como la suma d ua part irrotacioal y ua part soloidal, V = Φ + A, dod: V dv, V Φ = A = dv. v 4π r r v 4π r r 4 Esta orma sul atribuirs a H. A. Lortz, auqu su autor fu Ludvig Valti Lorz, daés, 867. Exist otras ormas, como la d Coulomb, A = 0, la cual rduc la cuació d oda la d Poisso, co la dsvtaja d dar potcials si rtardo. Otra orma s la codició calibradora d Poicaré, r A = 0, qu s l aálogo d la orma d Coulomb l spacio rcíproco: A = 0, dod A = I A s la trasformada d Fourir tridimsioal d A. Esta orma s usa pricipalmt problmas d lctrodiámica { } cuática y gravitació, por lo qu o s cutra aplicacios la toría lctromagética clásica

50 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas Por la smjaza tr las cuacios scalars, al rsolvr algua d llas, las dmás quda rsultas por aalogía. La solució gral s obti co l método d la fució d Gr [], l cual obti la solució particular cuado la fució fut quival a ua dlta d Dirac 5, qu corrspod a la fut radiat más simpl: u lmto ifiitsimal lial d aˆδ r r, dod r localiza la fut radiativa y â dtrmia la corrit, rprstado por dircció d la corrit [3]. Para simplificar l aálisis, si prdr gralidad, s cosidra qu la fut s localiza l orig y s dirig a lo largo dl j z, como s mustra la Fig... D acurdo a sto, l vctor A tdrá solamt la compot z, por lo qu su cuació d oda s xprsa como: ( ) A z µδ + = r, (.6) dod = ω µε s l úmro d oda d la oscilació. Dbido a la simtría sférica ivolucrada, A z s fució d r solamt, por lo qu l oprador d Hlmhöltz quda como: r A + z = µδ. r r r r (.7) Esta cuació difrcial dfi las fucios sféricas d Bssl d ord cro d primr y sgudo tipo (d Numa) dfiidas por 6 : ( r π ) ( r π ) cos s r s cos r j0 ( r ) = =, 0 ( r ) = =. (.8) r r r r Figura.. Elmto ifiitsimal lial d corrit. Para satisfacr la codició d radiació 7 l ifiito s db d usar ua combiació lial d fucios sféricas d Bssl [4,5], coocidas como fucios sféricas d Hal d primr y sgudo tipo: 5 El método d la fució d Gr pud aalizars al cosidrar l siguit torma:, u = ρ Torma. Si G ( x y ) satisfac la cuació oprador lial L, la cual ρ s sustituy por la dlta d Dirac δ ( ) tocs la solució d la cuació s: u ( x) = G 3 ( x, y) ρ ( y) dy R Dmostració. Al sustituir la solució gral la cuació oprador s ti: x y, L ( u) = L G ( x, y) ρ ( y) dy = ( G, ) ρ d = δ ( ) ρ d = ρ. 3 L x y y y 3 x y y y x 3 R R R La fució G ( x, y ) s cooc como fució d Gr para l oprador L y las codicios d frotra dadas y ti la siguit propidad d simtría: G ( x, y) = G ( y, x ). 6 Edward C. Jorda, Kith G. Balmai, Op. Cit. Apédic II, p.p

51 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas jr jr h r = j r + j r = j, h r = j r j r = j. (.9) r r D ambas, sólo la d sgudo tipo corrspod a ua oda viajra qu s propaga y s atúa al aljars d la fut. Por lo tato, la solució para A db tr la forma: dod C s dtrmia al itgrar z jr A = jc r, (.30) z A z ua pquña sfra cuyo radio r tid a cro: A dv A dv µ (.3) lim z + lim z =. r 0 v r 0 v La itgració d a A z tid a cro ya qu v s proporcioal a r. Por lo tato, al aplicar l torma d la divrgcia s ti: 3 r y A z dcrc d acurdo S S a µ ˆ (.3) lim A dv z = lim A dv z = lim A z d =, d = r d Ω r, r 0 v r 0 v r 0 S dod dω s l lmto difrcial d águlo sólido, por lo tato: 4π 4π A jc j4π C lim lim. r z jr jr r dω = ( jr + ) dω = = µ (.33) r 0 r Por lo tato, la solució d la cuació d oda (.6) s: Az jr = µ 4 π r, (.34) la cual pud gralizars para u lmto ifiitsimal d corrit localizado r y co dircció â, simplmt al cambiar l orig dl sistma d coordadas y otado qu A db tr la misma dircció qu â. Por lo tato, las fucios d Gr l spacio libr para las cuacios d oda d A y Φ so: µ aˆ j r r =, Φ =. 4π r r 4πε r r j r r ( r) A r (.35) 7 La fució j( r ), para oscilacios puramt radials, ua sfra d radio a ti los igvalors dados por 0 j0 a = 0 a = π, = π a 0 cuado a, Z, dod s la difrcia tr dos igvalors sucsivos, qu tid a cro coform l domiio d j crc idfiidamt, co lo qu 0 s obti u spctro cotiuo d igvalors. Por lo tato, j db cosidrars como ua igfució dl spacio ifiito. D sta 0 forma, si u problma lctromagético srá rsulto para u úmro d oda dado, s pud sumar simpr la fució j a la solució 0 cosguida. Por lo tato, los problmas oscilatorios o stá dtrmiados úicamt por sus futs u domiio fiito. Ést rsultado paradójico mustra qu la codició d qu la solució s haga cro l ifiito o s suficit, ya qu dbmos rmplazarla por ua más furt qu stablc qu las futs dl campo o db comportars como sumidros d rgía. Para la igfució spacial u s ti la codició gral d radiació d Arold Sommrfld (909): jr jr u = jr, lim r u ju = 0, ( ) ( r ) r qu garatiza la uicidad d la solució dl problma oscilatorio. Dbmos star covcidos qu la solució dl problma matmático s idética a la solució qu s raliza la Naturalza

52 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas A partir d las fucios d Gr s ti la solució gral d las cuacios d oda: ( r ) jr jr µ J r ρ A ( r) = dv, dv, 4π Φ r = v R 4πε (.36) v R dod R = r r s la distacia tr l puto fut dotado por r y l puto campo (puto d mdició) simbolizado por r, como s mustra la Fig..3. Asumido la dpdcia tmporal s ti: ( r ) jωt jωt jωt µ J r jωt ρ A( r) = dv ', dv ', 4π Φ r = v R 4πε (.37) v R * dod t, coocido como timpo d rtardo, s l timpo csario para qu l fcto producido por la fut s propagu hasta u obsrvador situado a ua distacia R, l mismo marco d rfrcia 8. Est s obti d xprsar l xpot d la fució xpocial d la siguit mara: R R ωt R = ω t = ω t = ωt ω c, (.38) dod c s la vlocidad d propagació d la oda l mdio. Para l caso gral, dod la corrit y la carga léctrica varía l timpo d forma arbitraria, las solucios d la cuació d oda s scrib como 9 : A ( r ) ( r ) ( r ) µ J, t R c p, t R c, t = dv ', (, t) dv '. 4π Φ r = v R 4πε v R (.39) Figura.3. Fut arbitraria d corrit. Esta solució s mucho más gral qu (.36) ya qu o stá atada a ua dpdcia armóica l timpo. Si J y p s xprsa d acurdo a las itgrals d Fourir 0 : jωt = J = J jωt p t p ω dω, t ω dω, (.40) 8 El rtardo qu sufr los potcials s dbido a qu la vlocidad d propagació c s fiita. Para ua sola carga léctrica rprstada por su lía uivrso l spacio-timpo, l rtardo s dtrmia trazado u coo d luz dsd algú puto d ésta hasta qu cort la trayctoria dl obsrvador. Para ua distribució arbitraria d corrit léctrica, l rtardo sigifica qu l fcto qu s mid u timpo t ocurrió atriormt u timpo t. 9 Edward C. Jorda, Kith G. Balmai, Op. Cit. p.p Wolfag Pauli, Op. Cit. p.p

53 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas tocs la solucios corrspodits qudará xprsadas por: jωt jωt Φ t = Φ ω dω, A t = A ω dω. (.4) Por lo tato, las solucios (.40) so válidas mitras J y p puda xprsars como ua itgral d Fourir l timpo. E la forma dada por (.4), A y Φ so llamados potcials rtardados, dbido al timpo csario para qu sus fctos s propagu hasta l puto dod s dsa mdir; llos satisfac la codició d radiació. Otra solució d la cuació d oda so los potcials avazados, xprsados por: A ( r ) ( r ) ( r ) µ J, t + R c p, t + R c, t = dv ', (, t) dv ', 4π Φ r = v R 4πε v R (.4) los cuals rprsta odas sféricas qu llga a la fut. A psar d sr solucios d la misma cuació difrcial, o pud cotrars físicamt ya qu u spacio ifiito, la Naturalza favorc a los potcials rtardados..4. Ecuació para ua corrit uiform Para aalizar l problma d u coductor qu trasporta ua corrit uiform db supors qu todas las dimsios dl coductor so mors qu la logitud d oda d la L,C,R corrit. D sta mara l problma s rduc a la obtció d cirtos parámtros y a la solució d u sistma d cuacios lials para la corrit. Para comzar, la cuació dl balac d la rgía (.7) s sustituy la ly d Faraday-Maxwll y la ly d Ampr-Maxwll, qu produc la siguit cuació: J E J dv + dv = dv. v v σ F J (.43) v Al xprsar l campo E térmios d los potcials rtardados llgamos a: J J Φ dv + jω A J dv + dv = F J dv, (.44) σ v v v v y al aplicar la idtidad vctorial G ψ = ψ G ψ G, obtmos: J ΦJ dv Φ J dv + j A J dv + dv = F J dv. (.45) σ ω v v v v v D acurdo al torma d la divrgcia y la cuació d cotiuidad J = jωρ s ti: Los potcials avazados djaro d usars dsd la década d 970 co las ivstigacios d Claudio Titlboim, ya qu su uso traba coflicto co l cocpto d causalidad física d la toría d la rlatividad. Dsd tocs, la lctrodiámica sólo s mpla potcials rtardados

54 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas J ΦJ da jω ρ dv jω dv dv dv, S Φ + + = v A J v v σ F J (.46) v dod J s la compot ormal d la corrit la suprfici, la cual quival a la dsidad d carga suprficial sobr l coductor. Por simplicidad, la cuació atrior s scrib si l térmio d la itgral d suprfici, cosidrado qu ρ rprsta tato a las cargas volumétricas como a las suprficials, por lo tato: J jω Φ ρ dv + jω dv dv dv. v A J + = v v σ F J (.47) v Al xprsar los potcials rtardados A y Φ térmios d J y ρ, s ti: jr jr jω ρρ jωµ J J J dvdv dv dv dv dv. 4πε + + = r 4π r σ F J (.48) v v v v v v D acurdo a la hipótsis d la uiformidad d la corrit, al cosidrar ua scció trasvrsal dl coductor, Fig..4, ésta pud scribirs como: I = J d a, (.49) a dod a s l ára d la scció cosidrada I s la corrit léctrica total qu atravisa la scció cosidrada. Al sustituir (.48) s ti qu: jω ρρ jωµ I I sˆ sˆ dv F sˆ dv dv + dv dv + I I = I dv. 4πε r 4π a r a σ a jr jr v v v v v v (.50) Figura.4. Cargas oscilats los xtrmos dl coductor dbidas a F. Ya qu la carga los xtrmos forma ua dsidad suprficial ρ S distribuida uiformmt, ésta cotribuy por mdio d ua itgral d suprfici. Exist ua carga total Q l xtrmo A y Q l xtrmo B, las cuals s rlacioa tr sí d acurdo a: A B (.5) Q = ρ da = Q = ρ da = Q, A SA A B SB B A B

55 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas dod da A y da B so lmtos difrcials d suprfici d los xtrmos A y B, rspctivamt. Al usar la cuació d cotiuidad I = jωq, l primr térmio d la cuació (.50) quda como: ρs ρs A A B B A B (.5) jr jr jr jr da da I I da da da da da da =. + r ω aar abr aaabr S S A A B B A B Al sustituir la cuació (.50) y al dividir por I rsulta: jr jr jr I da AdaA da BdaB daada B dl I jω4πε + a A A Ar a B B Br + a A B AaBr aσ jr jωµ I sˆ sˆ + dv dv = F, ldl 4π a r v v (.53) dod dl s u lmto difrcial d trayctoria. La cuació atrior corrspod a la Ly d Kirchhoff d Voltajs para u circuito sri RLC l stado stacioario [6]:, I jω L j ωc + R = IZ = V (.54) dod Z s la impdacia complja dl circuito. La cuació (.54) xprsa la forma complja gralizada d la ly d Ohm para corrits armóicas 3. Los parámtros so: C jr jr jr da AdaA da BdaB daada B =, 4πε + a A A Ar a B B Br a A B AaBr jr µ sˆ sˆ dl L = dv dv, R =, V = F. ldl 4π a r aσ v v (.55) E st caso la autoiductacia L y la capacitacia C so catidads compljas y o rals jr como ocurr co los circuitos ordiarios. Esto s db a la aparició d dtro d las itgrals dbido al rtardo qu sufr l campo lctromagético propagars l spacio. El procdimito utilizado para obtr la cuació (.54) pud gralizars para u circuito formado por mallas co corrits uiforms circulats I, I,, I [7]: jωl + + R I = Z I = V, =,,,, (.56) l l l l l l= jωcl l= La Ly d Kirchhoff d voltajs xprsa qu la suma d las caídas d voltaj ua malla crrada s igual a cro: V = 0. i Esta s ua muy bua aproximació cuado la logitud d oda s pquña comparada co las dimsios dl circuito. E gral, la ly db modificars para icluir la autoiducció d voltaj sobr la propia malla producida por la corrit I qu la circula: V = jωl I, i s dod L s la autoiductacia d la malla. Costati A. Balais, Op.Cit. p. 8. s 3 J. Aharoi, Op. Cit. pp

56 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas dod Z l s la impdacia mutua tr la -ésima y la l -ésima mallas, la cual ti la propidad d sr simétrica Zl = Zl. Los parámtros dl circuito s dtrmia d acurdo a: C jr jrl l jrl jrl da da dab dabl da da da da = 4πε + aaaalr l abablr l aaablr l abaalrl jrl µ sˆ ˆ sl dll Ll = dvdvl, Rl =, 4π r a a σ a l A Al A Bl B Al l l, (.57) dod L l s la iductacia mutua tr los iductors -ésimo y l -ésimo, C l s la capacitacia mutua tr los codsadors -ésimo y l -ésimo y R s la rsistcia mutua tr las -ésima y l -ésima rsistcias, dod dl l s u lmto difrcial dl alambr qu s comú a las -ésima y la l -ésima mallas. l.5. Ecuació itgral para ua corrit o uiform Cuado las dimsios dl coductor so comparabls o mayors a la logitud d oda, la corrit dja d sr uiform, por lo qu s csita stablcr ua cuació itgral qu la dscriba. Ua cuació itgral tridimsioal ti la siguit forma gral: + ( ) ( ) = f x, y, z K x, y, z; x, y, z f x, y, z dx dy dz g x, y, z, (.58) dod f ( x, y, z ) s ua fució qu db sr dtrmiada. La fució (,, ) K ( x, y, z; x, y, z ) g x y z y l rl so coocidos, l cual gral cumpl co la propidad d simtría: ( ) K ( x y z x y z) K x, y, z; x, y, z =,, ;,,. (.59) La cuació (.58) s ua cuació itgral d sgudo tipo, mitras qu ua cuació itgral d primr tipo, la fució dscoocida o aparc afura d la itgral 4 : ( ) ( ) = K x, y, z ; x, y, z f x, y, z dx dy dz g x, y, z. (.60) Cosidrmos ua cuació itgral uidimsioal, la cual coti a x y x solamt. E cirto stido, ésta db cosidrars como quivalt a u úmro ifiito d cuacios lials. D sta forma: 4 Sa ϕ ( t ) ua fució dscoocida, f ( x ) ua fució dada y (, ) primr y sgudo tipo so cuacios d la forma: b b = ϕ ϕ = + ϕ a a f x K x, t t dt, x f x K x, t t dt. Ua cuació itgral d Voltrra d primr y sgudo tipo so cuacios d la forma: x x = ϕ ϕ = + ϕ a a f x K x, t t dt, x f x K x, t t dt, K x t l rl d la itgral. Ua cuació itgral d Frdholm d dod l límit suprior s variabl. Los métodos para calcular st tipo d cuacios dpd d las propidads dl rl [8]

57 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas + K f + K f + + K f = g, K f + + K f + + K f = g, f ( ) + K (, l ) f ( l) = g ( ). K f + K f + + ( + K ) f = g, (.6) D mara similar a cuado ua suma s cosidra ua itgral, los ídics y l s covirt cotiuos y la cuació atrior pud scribirs como: + = f K, l f l dl g. (.6) Cualquir sistma ifiito d cuacios lials s umrabl, mitras qu ua cuació itgral sugir u sistma ifiito d cuacios iumrabl. Co sto mt, l cocpto d quivalcia tr ua cuació itgral y u sistma ifiito d cuacios lials s muy útil. E stos sistmas o s pud hablar d dimsios mayors, pro (.6) pud gralizars ua cuació bidimsioal d la siguit mara: + = f, K, ; l, l f l, l dldl g,. (.63) Simpr qu los ídics d u sistma lial d cuacios tga cirta rlació co u cojuto discotiuo d putos u spacio -dimsioal, l límit s obti ua cuació itgral d dimsios. Supogamos qu u coductor dado xist ua corrit distribuida lías d flujo stacioario, Fig..5a, cada ua d llas dscrita por l vctor tagt uitario s ˆ x, y, z qu sñala la dircció dl flujo la lía. Todos los putos d ua misma lía d corrit mati la misma itsidad 5. E gral, la lía d flujo stacioario qudará dscrita térmios d dos fucios lialmt idpdits g y g : ( x y z t) = g ( x y z) ωt + g ( x y z) ωt ( x y z) J,,,,, s,, cos s,,. (.64) ˆ Si s supo qu cada lía d flujo s compo d u gra úmro d lmtos, Fig..5b, a lo largo d los cuals la corrit s uiform, y tr los cuals o xist rsistcias mutuas, s tdrá l siguit sistma: KlIl = V R I, Kl = jωll +, (.65) jωc l = l por lo tato, los parámtros dl sistma db calculars cuado los lmtos d corrit s hac ifiitsimals. El térmio d L l s covirt : (,, ;,, ) jr x y z x y z sˆ ( x, y, z) sˆ ( x, y, z ) ( ) jrl µ sˆ ˆ sl µ Ll = lim dvdvl dldll. 4π = r a a 4 π r x, y, z; x, y, z l l (.66) 5 E gral, l vctor J dscrib ua lips y o ua lía, si mbargo, los alambrs las lipss acaba dgrádos su j mayor, covirtiédos lías d flujo scialmt parallas al j dl alambr - 5 -

58 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas El térmio d πε 4 Cl lim C l, Fig..6a, s calcula por mdio d: da da = + a a r a a r a a r a a r jr jr l l jrl jrl daadaal B Bl daadabl dabdaal A Al l B Bl l A Bl l B Al l jrl jrl jrl jrl = = r l r l r l r l jr = sˆ ( x, y, z) sˆ ( x, y, z ) dldll, r jr jr ˆ ( x, y, z) dl s (.67) r r B A dod s usó la siguit rlació tr la difrcia d valors d ua fució térmios d su gradit, Fig..6b: () () f r - f r = ŝ A A f r dl, (.68) Figura.5. Lías stacioarias d corrit. Figura.6. Cálculo d la capacitacia mutua C. l Los térmios qu corrspod a R, a V y a I l s obti por mdio d: dl dl R lim, lim ˆ, ˆ = = V = d = dl Il = al l, σ a σ a F l F s J s (.69) dod a l, s la scció trasvrsal dl lmto. El sistma d cuacios qudaría como: l= J ˆ sadl K ˆ ˆ lj sadldll = F s dl, Kl = Kldldll. (.70) σ a Al dividir por dl y al quitar l producto puto co l vctor ŝ s ti: l = J KlJ adll = F. (.7) σ E l límit, cuado, s ti ua cuació itgral, dod a ldl l = dv :

59 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas J ( x, y,z) σ v ( ) J ( ) F + K x, y,z; x, y,z x, y,z dv = x, y,z -jr -jr j ωµ sˆ sˆ K ( x, y,z; x, y,z ) = + sˆ sˆ. 4π r jω4πε r, (.7) La cuació itgral d sgudo tipo atrior xprsa ua gralizació d la toría d los circuitos, qu toma cuta qu la corrit l coductor o s uiform. La cuació (.7) s ua xacta coscucia d las lys d Maxwll al cosidrar las lías d flujo stacioarias 6. Para alambrs dlgados, la cuació atrior pud rducirs a ua cuació uidimsioal co cirta xactitud. E muchos casos, σ s ta grad qu l térmio J σ pud dsprciars; matmáticamt sto s quizá ua dsvtaja, ya qu ua cuació itgral d sgudo tipo s más fácil d rsolvr qu ua d primr tipo. Si mbargo, dbido a qu σ, la corrit s cofia la suprfici dl coductor y las lías d flujo srá coocidas co u mayor grado d prcisió. Fialmt, si F = 0, la cuació itgral s covirt ua cuació homogéa qu tdrá solucios compljas solamt para cirtos ig-valors d, cuyas parts rals dará las frcucias librs d oscilació y las parts imagiarias dará las costats d atuació, sta última dbida a la radiació..6. Ecuació itgral para u alambr dlgado d gomtría arbitraria La mayoría d las atas s fabrica por coductors cilídricos dlgados qu, u aspcto práctico, ti diámtros mors qu λ 00[9]. E la toría, para vitar sigularidads, l radio a dl coductor uca db hacrs ifiitamt dlgado. Para stos coductors, s csita dtrmiar la distribució d corrit trasvrsal y logitudial, ésta última satisfac ua cuació itgral uidimsioal. E u alambr dlgado l flujo d corrit stá pricipalmt cofiado a lo largo d ést, d tal forma qu ŝ y s ˆ ti prácticamt la misma dircció qu la tagt a la r s qu rprsta l j dl alambr. D hcho, las lías d flujo stá ligramt curva dobladas hacia los lados, causado la aparició d cargas suprficials sobr l alambr. El alambr d gomtría arbitraria qu s cosidra a cotiuació, Fig..7, ti ua r s, scció trasvrsal circular d radio a y su j s rprsta por l vctor d posició rspcto al sistma d coordadas cartsiaas XYZ, l cual s cutra paramtrizado rspcto a su logitud d arco s [0]: s t ( ξ ) r ( ξ ) t dr d = 0 dξ dξ dξ. (.73) E cada puto d la curva xist trs vctors formado ua bas ortoormal qu dfi u s ˆ s, sistma local d coordadas cilídricas. Estos so los vctors uitarios tagt ormal ˆ ( s) y biormal b ˆ ( s ), qu forma l trido d Frt-Srrt, dfiidos por: 6 J. Aharoi, Op. Cit. pp

60 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas ˆ ˆ ˆ dr s dx s ˆ dy s ˆ dz s r s = x s i + y s j+ y s, sˆ s = = i + j + ˆ, ds ds ds ds dsˆ ( s) ˆ ˆ, ˆ ds s s = b ( s) = sˆ ( s) ˆ ( s), K =, K ds ds (.74) dod K s la curvatura dl j dl alambr. Los vctors ˆ y ˆb forma l plao ormal, l cual yac la scció trasvrsal dl coductor, cuyos putos co coordadas cilídricas ρ, ϕ,0 s xprsa por l siguit vctor rfrido al sistma local d coordadas: ˆ ˆ a ρ, ϕ = ρ cosϕ + ρ s ϕ b, 0 ρ a, 0 ϕ π. (.75) El mismo puto rspcto al sistma d coordadas cartsiaas XYZ toma la forma: ( s ρ ϕ ) = ( s) + ( ρ ϕ ) = ( s) + ρ ϕ ˆ ( s) + ρ ϕ ˆ ( s) P,, r a, r cos s b. (.76) Etocs, la distacia R tr dos putos dl alambr s dtrmia por 7 : ( ρ ϕ ) ( ρ ϕ ) ( ρ ϕ ) ( ρ ϕ ) R = P s,, P s,, = r s r s + a, a,. (.77) Figura.7. Vctors asociados d u alambr dlgado d gomtría arbitraria. Por lo tato, la cuació itgral para l alambr dlgado s: L π a -jr -jr J s, ρ jωµ + ˆ ˆ ˆ ˆ ( s, ρ ) ρ dρ dϕ ds ( s, ρ ). σ s s + s s J = F (.78) 4π R jω4πε R E particular, si l alambr s rcto y s cutra localizado sobr l j Z, tocs: ˆ s = ˆ s = ˆi, bˆ s = bˆ s = ˆj, r s = s ˆ, r s = s ˆ, por lo tato, la distacia tr los dos putos dl alambr s: R = s s + ρ + ρ ρ ρ cos ϕ ϕ

61 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas Pud vrs qu ahora la corrit dja d sr fució d la variabl azimutal ϕ, ya qu, por la hipótsis dl alambr dlgado, o xist variacios circufrcials la distribució d corrit. Tambié db otars qu la corrit s fució dl radio vctor ρ, qu rprsta la profudidad l radio dl alambr, ya qu s cosidra qu la coductividad σ d ést s fiita lo qu provoca qu las difrts capas cocétricas d corrit l alambr o fluya fas. Para u alambr prfcto, la corrit stará coctrada su suprfici y muchos d los casos la distribució circufrcial srá la misma qu aqulla d cargas státicas u alambr ifiitamt largo Ecuació itgral d Pocligto gralizada La cuació itgral d Pocligto s l modlo matmático qu rprsta l caso hipotético qu la dsidad d corrit J s coctra u filamto sobr u coductor prfcto. Esta cuació fu propusta por H. C. Pocligto 897 [] para u alambr cilídrico rcto, basado l trabajo hcho por Hrtz [], para dtrmiar las oscilacios léctricas alambrs coductors. La cuació d Pocligto qu a cotiuació s prsta s ua gralizació atural para alambrs dlgados d gomtría arbitraria, la cual s basa las siguits hipótsis:. El matrial coductor co l qu s costruy l alambr s cosidra prfcto: σ, por lo qu l térmio J σ d la cuació (.78) s pud dsprciar, trasformádola ua cuació itgral d primr tipo. E la práctica, sto corrspod a ua muy bua aproximació para matrials como l alumiio, l cobr o la plata, los cuals las 7 coductividads so dl ord d 0 Sims. J J.. La corrit l alambr stá cofiada compltamt su suprfici: ( s,a) = ( s) Esto s ua coscucia atural d la hipótsis atrior, ya qu los coductors prfctos, l campo lctromagético s aula su itrior. E la práctica sto s ua muy bua aproximació altas frcucias, ya qu por l fcto pil, la corrit tid a acumulars la suprfici formado ua capa dlgada pro fiita d grosor δ igual a: δ = ωµσ. (.79) 3. La variació circufrcial d la corrit pud dsprciars, s dcir, la dsidad d corrit o s fució d la variabl azimutal ϕ. La rlativamt baja variació d J rspcto a ϕ y ρ ua distacia a lo largo d s dl ord d a justifica sta suposició. 4. La dsidad J pud sustituirs por u filamto d corrit I sobr l alambr: = π a. I J (.80) Ya qu J forma ua capa uiform d corrit, tocs pud supors qu ésta colapsa ua lía ifiitsimal sobr la suprfici dl alambr, la cual forma ua curva 8 J. Aharoi, Op. Cit. pág

62 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas paralla al j dl alambr. D sta forma, l volum qu ocupa l alambr s cosidra como part dl mdio d propagació dl campo La codició la frotra dl campo léctrico csita sr forzada la dircció axial solamt. Dbido a qu l alambr s suficitmt dlgado, la codició d frotra dl campo léctrico o csita aplicars alrddor dl alambr, ya qu la corrit varía pricipalmt a lo largo d s. Al aplicar stas hipótsis a la cuació itgral (.78), s posibl trasformarla ua cuació uidimsioal. El térmio d la ractacia capacitiva qudaría como: -jr -jr -jr ˆ ˆ ˆ, R s s = s R s = s s R (.8) dod R s solamt fució d s. Por lo tato: L π a -jr -jr jωµ ˆ ˆ ( s ) ρ d ρ dϕ ds ( s). π a 4π R s s + jω4πε s s R I = F (.8) Ya qu l itgrado s fució d s, s posibl fctuar las itgracios rspcto a ρ y ϕ : L -jr -jr jωµ ˆ ˆ ( s ) ds ( s). 4π R s s + jω4πε s s R I = F (.83) 0 E sta cuació l campo F corrspod a la compot tagcial dl campo léctrico radiado, d sta forma, tato la corrit I como l campo F pud xprsars como: S ( s ) = I ( s ) ˆ ( s) = E ( s ) I s, F s ˆ, (.84) dod l subídic s dota la compot tagcial y l suprídic S dota qu l campo s radiado. Al aplicar la codició la frotra dl campo léctrico sobr la suprfici dl coductor s ti: I s S E s, a = E s, a, (.85) s I dod E s s la compot tagcial dl campo léctrico imprso. Por lo tato, la siguit cuació s coocida como la cuació itgral gralizada d Pocligto: El térmio G ( s s ) s L -jr -jr I E ˆ ˆ s s = I ( s ) ds. jωε + s s 4π R s s 4π R (.86) 0 jr, = 4π R corrspod a la fució d Gr para l spacio libr (.35). El tr como domiador a R provoca ua sigularidad cuado l puto d obsrvació corrspod al puto fut. Para vitar sto, s lig covitmt colocar 9 Costati A. Balais, Op.Cit. p.p

63 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas a los putos d obsrvació l j dl alambr, y a los putos futs sobr su suprfici. r s rprsta l j dl alambr, tocs la curva paralla qu Coscutmt, si rprsta al filamto d corrit s: ( s ) = ( s ) + a ( s ) = x ( s ) + y ( s ) + z ( s ) r r ˆ i ˆ j ˆ, (.87) por lo tato, la distacia tr los dos putos s: ( ) ( ) ( ) ( ). R = r s r s = x s x s + y s y s + z s z s (.88) A partir d sta cuació, s posibl dsarrollar l oprador d difrciació itrada qu actúa sobr la fució d Gr: ( R + jr ) + ( R jr) -jr = s s s s 3 s s 4π R 4π R R R R -jr. (.89) A partir d (.88) s calcula las drivadas siguits: R R sˆ R R sˆ R R sˆ sˆ R sˆ R sˆ =, =, =, 3 s R s R s s R (.90) y al sustituir (.89) s ti: ( + ) sˆ sˆ 3 + ( R sˆ )( R sˆ ) -jr R jr R jr = 5 s s 4π R 4π R -jr. (.9) D sta forma, la cuació itgral (.86) toma la siguit forma: L -jr 3 3 s s + R s R s.(.9) 5 4π R 0 I 4 3 E ˆ ˆ ( ˆ )( ˆ s s = R R jr + jr R ) Ids jωε E l caso particular d qu l alambr sa rcto y s localic ctrado sobr l j Z, s ti la siguit cuació itgral comúmt cotrada la litratura spcializada 30 : L -jr = ( + )( ) + 3. (.93) 5 4π R 0 I Es s jr R a ar I z dz jωε 30 Costati A. Balais, Op.Cit. pág

64 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas.8. Coclusios dl Capítulo II E st capítulo s prsta u modlo matmático qu stablc ua rlació tr la distribució d corrit l alambr dlgado y l campo léctrico tagcial a su suprfici, coocido como cuació gralizada d Pocligto. E su forma origial, Pocligto cosidra a u alambr cilídrico rcto, pro aquí s prsta ua gralizació para cualquir alambr dlgado. La forma prstada st capítulo costituy ua d las aportacios dl autor, ya qu la gomtría dl alambr s aaliza vctorialmt por mdio d ua curva qu rprsta su j y ua curva qu rprsta l filamto d corrit. La iformació sobr la gomtría dl alambr s cutra pricipalmt los vctors uitarios ŝ y s ˆ. Est foqu s compltamt radical al gralmt usado alguas formulacios y programas comrcials, como l softwar NEC. E stos, u alambr d gomtría arbitraria s dscompo pquños pdazos rctos, los cuals s aplica las solucios clásicas. Esto, si mbargo, rsulta complicado para atas como las hlicoidals, spirals, circulars y d cruz, dod su logitud total cubr varias logituds d oda, y por cosiguit, l úmro d pdazos rctos qu s ti qu dividir la ata s cosidrabl. E cambio, al xprsar a la ata por mdio d los vctors qu la dscrib, s vita stos problmas y s rspta su particular forma itrísca. E l siguit capítulo s prsta alguas técicas uméricas para obtr solucios computacioals d la cuació d Pocligto. E spcial, s xpo u importat método usado para rsolvr cuacios itgrals como (.9), coocido como l método d momtos, l cual trasforma la cuació oprador ua cuació matricial qu pud rsolvrs co los métodos covcioals dl aálisis umérico. Rfrcias [] Emilio Sgrè, D los Rayos X a los Quars. Los físicos modros y sus dscubrimitos. Folios Edicios Cap. V, pág. 89. [] Robrt M. Wald, Espacio, Timpo y Gravitació. La toría dl Big Bag y los agujros gros. Fodo d Cultura Ecoómica. Brviarios Cap. II, p.p [3] Rogr Pros, La Mt Nuva dl Emprador. E toro a la cibrética, la mt y las lys d la física. Fodo d Cultura Ecoómica. Slcció d obras d cicia y tcología Cap. V, p.p [4] Vladislav V. Kravcho, Propagació d Odas Elctromagéticas. Aputs d clas. Cap. I, p.p. -5. [5] Edward C. Jorda, Kith G. Balmai, Odas Elctromagéticas y Sistmas Radiats. Paraifo. Madrid, 973. Cap. IV, p.p [6] J. Aharoi, Ata. A itroductio to thir thory. Clardo Prss. Oxford 946. Cap. I, pág. 4. [7] Costati A. Balais, Advacd Egirig Elctromagtics. Joh Wily & Sos, Ic Cap. I, p.p

65 Capítulo II: Ecuacios Itgrals Atas [8] Wolfgag Pauli, Elctrodyamics. Pauli Lcturs o Physics. Dovr Publicatios, Ic. Nw Yor 973. Vol. I. Cap. IV, p.p [9] S. Paty, R. Stvs, ad C. R. Bow, Th Frqucy Dpdt Prmittivity ad AC Coductivity of Radom Elctrical Ntwors, i: Taylor & Fracis Jourals. Frrolctrics, 005, Vol. 39, p.p [0] William H. Hayt, Jr., Toría Elctromagética. Mc Graw Hill, 5ª Ed. 99. Cap. V, p.p [] W. K. H. Paofsy & M. Phillips, Classical Elctricity ad Magtism. Addiso Wsly, Radig Massachussts, d Ed. 96. Chaptr. [] Jrrold E. Marsd, Athoy J. Tromba, Cálculo Vctorial. Addiso Wsly Ibroamricaa, 3ª Ed. 99. p.p [3] Robrt E. Colli, Fracis J. Zucr, Ata Thory, McGraw Hill, Itr-Uivrsity Elctroics Sris. Part I Chaptr. [4] Arold Sommrfld, Partial Diffrtial Equatios i Physics, Lcturs o Thortical Physics, 949, Acadmic Prss, Ic. Lodo. p.p [5] Arold Sommrfld, A. Phys. 8, 909, p.p [6] William H. Hayt Jr., Jac E. Kmmrly, Aálisis d Circuitos Igiría, McGraw Hill, 5ª Ed p.p [7] Eriqu Bustamat Llaca, Modr Aalysis of Altratig Currt Ntwors. Limusa, Vol. I y Vol. II. [8] Vladimir Ivaovich Krylov, Approximat Calculatio of Itgrals. MacMilla, NY. 96. p.p [9] Joh D. Kraus, Roald J. Marhfa, Atas, For All Applicatios. McGraw Hill, 3 rd Ed. 00. p.p , [0] Erwi Kryszig, Matmáticas Avazadas Para Igiría. Limusa México D.F., p.p [] H. C. Pocligto, Elctrical Oscillatios i Wirs, i: Cambridg Phil. Soc. Proc. 9, Octobr 897. p.p , Lodo, Eglad. [] H. Hrtz, Th Forcs Of Elctric Oscillatios Tratd Accordig To Maxwll s Thory i: Natur, Fb., 889, p.p ,

66 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri Capítulo III El Método d Bubov-Krylov-Galri - 6 -

67 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri Itroducció El aálisis umérico surgió como altrativa a las técicas dl aálisis puro para proporcioar rspustas aproximadas a problmas qu carcía d solucios aalíticas. Estas técicas tuviro u gra aug durat l siglo XX dbido al uso d las computadoras las cuals furo programadas, si mbargo, muchas d llas provi d siglos pasados dod su dsarrollo ra limitado, dbido a qu gralmt sus procdimitos rquría ua gra catidad d pasos qu si más hrramitas ra ralizados a mao. Como jmplo s pud citar l método qu Nwto usó para dtrmiar los cros las fucios. Los métodos uméricos rsulta sr curiosamt scillos y fácils d comprdr, si mbargo, bajo tal scillz s acumula todo u arsal d cocptos matmáticos qu, para la mayoría d los spcialistas, pasa dsaprcibidos. Tal s l caso d la itrpolació Lagragiaa, cocpto dl cual s dsprd hrramitas como la trasformada d Laplac y la trasformada d Fourir, por citar sólo alguas. Los métodos uméricos aplicados al lctromagtismo aparciro durat la Sguda Gurra Mudial, cuado fu csario aalizar problmas d radiació d microodas []. E sta tapa, l cojuto d técicas qu xistía s cotraba pobrmt orgaizado y muchas d llas carcía dl formalismo qu csita las matmáticas puras. Si mbargo, 967 Rogr F. Harrigto logró agruparlas u método más gral coocido como l método d momtos []. El formalismo qu aplica Harrigto s basa l uso d spacios lials d fucios y opradors, cocptos ya usados por la toría cuática los años d 90, y graliza l atiguo método d Galri, ivtado 95 co l cual ua cuació oprador s trasforma ua cuació matricial. El método d momtos cutra su icho problmas dscritos por cuacios itgrals, auqu su aplicació o s rstrig ta sólo a éstos. Actualmt rvivió u atiguo procdimito coocido como l método d las Difrcias Fiitas l Domiio dl Timpo, propusto por Ka Y 966, l cual s cutra mjor adaptado a rsolvr problmas dscritos por cuacios difrcials. A st cojuto d métodos uméricos aplicados a la toría lctromagética s l cooc d forma gral como Elctromagtismo Computacioal. E la toría lctromagética, l cocpto clav qu acumula toda la iformació d u sistma radiat s su distribució d corrit. El coocrla prmit dtrmiar l comportamito léctrico dl sistma, como por jmplo, su patró d radiació, su impdacia d trada, su gaacia dirctiva, tc., los cuals so sumamt útils para l corrcto dsmpño d los sistmas d comuicacios. Los modlos qu dscrib la distribució d corrit dl sistma s basa las cuacios d Maxwll, como ya s ha prstado l capítulo atrior, sido los más rprstativos la cuació d Pocligto y la cuació d Háll. La solució aalítica d las mismas s, la mayoría d los casos, imposibl, por lo qu s rcurr al uso d técicas uméricas, las cuals proporcioa solucios sorprdtmt prcisas. Por sta razó, xist ua amplia ivstigació sobr cómo mjorar l dsmpño d los métodos uméricos los problmas d la igiría léctrica, buscado ua rducció d los rcursos d máquia usados, ua simplificació los algoritmos y la aplicació d éstos a uvos problmas d itrés. E st capítulo s prsta l método Bubov-Krylov-Galri, mjor coocido como l método d momtos y s dtalla caractrísticas sobr su utilizació los problmas lctromagéticos. S mustra alguas variats dl método, s ivstiga las propidads matmáticas d las fucios bas y pso y s discut sobr los rrors qu ifluy la solució umérica dl método

68 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri 3.. El método d Bubov-Krylov-Galri El método d Bubov-Krylov-Galri s ua técica umérica sumamt útil la igiría léctrica dbido a qu proporcioa ua solució aproximada a ua cuació oprador, por mdio d ua xpasió ua sri d la fució dscoocida, trasformádola ua cuació matricial, la cual pud rsolvrs co los métodos stádar dl aálisis umérico, como l método d Gauss-Jorda [3]. El método s rlativamt atiguo y fu crado por l igiro mcáico ruso A. Galri 95, si mbargo, su uso s limitaba a aqullas situacios dod las técicas dl aálisis fallaba, djádolo como última opció. El método fu utilizado co éxito durat la Sguda Gurra Mudial l Laboratorio d Radiació dl MIT por Schwigr y otros para rsolvr problmas d microodas, covirtiédos ua hrramita valiosa. Co la llgada d las computadoras los años sstas, l método s popularizó ormmt ya qu producía solucios co gra xactitud. E spcial, Rogr F. Harrigto ruió todas las técicas uméricas hasta tocs coocidas y las agrupó ua más gral coocida como l método d momtos. El método tambié s coocido como l método d rsiduos podrados, l método d proyccios y l método d Bubov-Krylov-Galri. El método s basa l hcho d qu la mayoría d las fucios pud rprstars como ua combiació lial d u cojuto d fucios d xpasió, las cuals so lialmt idpdits tr sí [4]. Por lo tato, térmios d spacios lials d fucios, cada uo d los coficits d la sri corrspod a la proycció d la fució origial rspcto a la fució bas corrspodit dl sub-spacio d fucios d Hilbrt. Esto s aálogo a xprsar u vctor cualquira como ua combiació lial d u cojuto d vctors qu forma ua bas ortogoal; las compots dl vctor corrspod a las proyccios d ést sobr los vctors d la bas. E la práctica l cojuto d fucios d xpasió s fiito, lo cual produc solucios aproximadas, cuya xactitud dpd dl úmro d térmios d la sri. Sa ua cuació o homogéa xprsada térmios d u oprador lial L : ( f ) = g, L (3.) dod la fució dscoocida f corrspod al domiio dl oprador y s cooc como la fució d campo o fució rspusta, la fució coocida g corrspod al rago dl oprador y s cooc como la fució fut. E u problma dtrmiístico, la solució d (3.) s úica, por lo qu xist sólo ua fució f asociada a la fució g : f ( g ) = L, (3.) dod L s l oprador ivrso dl problma. Si g y L so coocidos, tocs (3.) rprsta la solució buscada, si mbargo, la mayoría d las ocasios s imposibl obtr forma aalítica l oprador ivrso, por lo qu s rcurr al método d momtos. Su formulació cosist xprsar a f como ua combiació lial d N fucios lialmt idpdits tr sí, coocidas como fucios bas: N = α + α + + α N N = α = f f f f f, (3.3)

69 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri dod las costats α so los coficits a dtrmiar. Para ua solució xacta dl problma s cosidra u úmro ifiito d térmios, por lo qu l cojuto d fucios bas forma u sub-spacio lial d fucios l spacio d Hilbrt, si mbargo, térmios prácticos, la suma s usualmt fiita, co lo cual s obti ua solució aproximada. Al sustituir (3.3) (3.), y dbido a la lialidad dl oprador s ti: N α L ( f ) = g. (3.4) = Dpdido d la aturalza d las fucios mpladas s utiliza algú producto itro adcuado para l problma, l cual satisfac las siguits propidads: f, g = g, f, α f + β g, h = α f, h + β g, h, f > 0, f 0,, f = 0, f = 0. (3.5) El producto itro f, g dota la proycció d f la dircció d g. A cotiuació s propo otro cojuto d N fucios lialmt idpdits l domiio d L, coocidas como fucios pso o fucios pruba { w, w,, wn }, co las cuals s toma l producto itro co (3.4). Esto s csario ya qu la sola cuació (3.4) co N icógitas o proporcioaría u vctor solució úico; al tomar l producto puto s gra u sistma lial d N cuacios cuyas N icógitas s dtrmia si l sistma s o sigular: N α wm, L( f ) = wm, g, m =,,, N, (3.6) = l cual pud scribirs forma matricial como: ( N ) w, L f w, L f w, L f α w, g w, L f w, L f w, L fn α w, g =, [ Lm ]( α ) = ( gm ). w, ( ), ( ), N wn, g N f wn f wn f α L L L N (3.7) Si [ L m ] s o sigular, tocs xist su ivrsa y los coficits d la xpasió so: ( α ) [ L ] ( g ) =. (3.8) m m El producto itro d dos fucios s ua gralizació dl producto puto tr vctors: f g = f, g = fg. N = Al calcular las proyccios d u vctor rspcto a ua bas ortogoal s utiliza st producto. E l caso d u spacio d Hilbrt, las proyccios s calcula por mdio dl producto itro, l cual para fucios rals y fucios vctorials compljas s xprsa por: b f, g = f g dx, f, g = f g ds. a S

70 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri E forma matricial, la solució dl problma s dtrmia al costruir l siguit vctor fila: ( f ɶ ) = [ f f f N ] f = ( f ɶ )( α ) = ( f ɶ )[ Lm ] ( gm ),. (3.9) El ombr dl método provi d la trmiología origial dod x f corrspod al -ésimo momto d f ( x ). Cuado arbitraria w, la itgral cotiúa llamádos momto d f m x dx x s rmplaza por ua fució x. El ombr d método d rsiduos podrados provi d la siguit itrprtació [5]. Si (3.4) rprsta ua g x, tocs la difrcia tr ésta y la solució xacta, aproximació d la fució coocida como rsiduo, s: α N r x = g x L f. (3.0) El producto itro dl rsiduo co cada fució pso s cooc como rsiduo podrado. La cuació (3.6) s obti d hacr todos los rsiduos podrados igual a cro, r, w = 0, m =,,, N. m El ombr d método d proyccios provi d la itrprtació térmios d spacios lials d fucios dl método. Las fucios bas f gra u sub-spacio co l cual s itta aproximar a f, y las fucios pso w m gra otro l cual s proycta L ( f ), tocs s stablc u rsiduo igual al vctor ulo ést sub-spacio. Los productos itros co cada w m (3.6) so proporcioals a las compots w m d (3.4), por lo tato, altrativamt s pud dcir qu cada compot dl rsiduo s cro l sub-spacio d fucios pso, lo qu quival a dcir qu l rsiduo s ortogoal a cada w. Ua d las pricipals taras para u problma particular s la lcció d las fucios f y w m. Las f db scogrs d tal forma qu aproxim razoablmt bi a f y la lcció d w s tal qu l producto itro w, g sa rlativamt m idpdit a las propidads d g [6]. Alguos factors adicioals para la lcció d las fucios so: la xactitud d la solució buscada, la facilidad d la valuació d los lmtos d la matriz y l tamaño d la matriz qu srá ivrtida. Lo más importat dl método radica la obtció d la matriz [ L ] m, la cual da cirta rprstació al oprador ivrso = L. D sta forma, s ti simpr ua solució (usualmt aproximada) para cualquir fució xcitació. Por lo tato, la matriz [ ] L m m toma l papl aálogo d ua fució d trasfrcia d la toría d los circuitos; dtrmiarla implica coocr compltamt al sistma. Dtro dl método d momtos xist cirtas técicas qu prmit modificar l oprador L d tal forma qu l trabajo para valuar los lmtos matricials puda rducirs ssiblmt. A cotiuació s xpo las técicas más comus: m

71 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri. Método d las igfucios. Est método s u caso spcial cuado las fucios bas propustas corrspod co igfucios dl oprador L y cuado las fucios pso corrspod co igfucios dl oprador adjuto L a. Por supusto qu s difícil cotrar tals fucios, pro ua vz qu s cutra, la f = g L s covirt solució dl problma L s simpl ya qu la matriz [ ] diagoal, cuyos lmtos quival a los igvalors λ dl problma, cuado las igfucios stá ormalizadas o biortogoalizadas. La matriz ivrsa [ L ] m calcula fácilmt al tomar l rcíproco d los igvalors, lo cual rduc cosidrablmt l timpo d cálculo y prmit cosidrar matrics d dimsios ifiitas para solucios xactas.. Oprador xtdido. U oprador s dfi por ua opració qu s aplicada a su domiio, l cual cosist u spacio d fucios. Est domiio s pud xtdr para rdfiir la opració, d tal forma qu puda aplicars a uvas fucios qu o prtcía al domiio origial, simpr y cuado la opració xtdida o cambi a la origial su domiio. Si l oprador origial s autoadjuto s acostumbra hacr qu l xtdido sa auto-adjuto tambié. Co st procdimito s pud usar ua clas más amplia d fucios para la solució co l método d momtos. 3. Oprador aproximado. E alguos problmas compljos gralmt s csario aproximar l oprador para obtr solucios más fácilmt. Por jmplo, para u oprador difrcial, la aproximació por difrcias fiitas s ua opció covit, y para u oprador itgral, la aproximació s obti al aproximar l rl d la opració. Cualquir método por l cual ua cuació fucioal s rduc a ua cuació matricial pud itrprtars térmios dl método d momtos. Por lo tato, cualquir solució matricial usado l oprador aproximado corrspodrá a ua solució mplado la aproximació d la fució. 4. Solucios d prturbació. Alguas vcs l problma studiado s sólo ligramt difrt (prturbado) d u problma qu pud rsolvrs xactamt (problma o prturbado). Ua solució d primr ord dl problma prturbado pud tocs obtrs al usar la solució dl problma o prturbado como ua bas dl método d momtos. Solucios d prturbació d alto ord pud obtrs al usar las solucios o prturbadas más térmios d corrcció l método d momtos. 5. Método d Galri. Esta técica s prsta cuado l oprador dl problma s igual a a su oprador adjuto, L = L, s dcir, L s auto-adjuto, lo cual prmit qu las f x = w x. Est método ti la vtaja fucios bas y pso sa iguals [7], d producir ua matriz [ L m ] simétrica, si mbargo, computacioalmt s más a difícil calcular sus lmtos. E l caso qu L L la técica s cooc como l método d Ptrov, qu fu qui xtdió l método d Galri a stos casos. m s a U oprador adjuto L s aqul qu cumpl co la siguit propidad: a L f, g = f, L g para toda f l domiio d L. U oprador auto-adjuto s aqul qu cumpl co la propidad d qu a L s l mismo qu l d L. L a = L, dod l domiio d

72 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri Exist otras técicas dod o itrvi la forma dl oprador, sio las propidads d las fucios bas y pso. E la primra d llas s lig como fució pso a la fució dlta d Dirac, la cual prmit simplificar la itgració dl producto itro d los lmtos matricials dbido a su propidad d mustro: b a b a δ ( x ) x0 [ a b] x0 [ a b] ( 0 ) 0 [ ] x [ a b] si,, x0 dx = 0 si,, f x si x a, b, f ( x) δ ( x x0 ) dx = 0 si 0,. (3.) Por lo tato, si las posicios d las dltas d Dirac s coloca d modo qu uca coicida tr sí, para cosrvar la idpdcia lial, s ti qu la solució s: wm δ ( x xm ) ( f ) ( f ) ( f ) = L L L x= x x= x N x= x α g ( x ) L( f ) L( f ) L( f N ) α x x g ( x ) = x= x x= x =. ( f ) f f α N N g x N L L L x= xn x= xn x= x N (3.) El uso d la fució dlta d Dirac sigifica qu las codicios d frotra dl problma s satisfac sólo cirtos putos discrtos. E los dmás putos, o s garatiza qu las codicios d frotra s satisfaga. Est procdimito s cooc como: método d ajust d putos, método d colocació, o método dl acoplamito putual. E la siguit técica, las fucios bas f s cutra dfiidas sólo ua pquña scció dl domiio d f, por lo qu cada α d la xprsió (3.3) afcta la aproximació d f sobr ua pquña scció d la rgió d itrés. Esta técica s cooc como l método d las fucios bas subdomiio y gralmt simplifica la valuació y L, ya qu s combia comúmt co l uso d la técica dl la forma d la matriz [ ] m ajust d putos [8]. Ya qu las fucios bas so distitas d cro ua pquña rgió dl domiio d f, rcib l ombr d fucios bas subdomiio, y su uso quival a dividir tal domiio N sgmtos o traslapados qu por simplicidad so colials y d igual logitud, auqu o csariamt. Etr st tipo d fucios bas, las más comus so las siguits:. Fució pulso. S dfi d acurdo a: f ( x) si x x x, + = (3.3) 0 otro lugar. Su uso quival a obtr ua rprstació forma d scalra d la fució f x y su pricipal vtaja radica su simplicidad matmática y su scillz d programació

73 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri. Fució triagular. Esta fució s dtrmia por mdio d: x x si x x < x, x x x+ x f ( x) = si x x x+, x+ x 0 otro lugar. (3.4) El uso d sta fució implica cubrir dos sgmtos por cada ua d llas, por lo qu dos fucios bas coscutivas acaba traslapádos tr sí. La rprstació gráfica d f x s más suav, pro s icrmta l trabajo computacioal. Estas fucios furo usadas muchos trabajos d Harrigto y l programa MININEC para alambrs dlgados. 3. Fució pdazo soidal. Esta fució s spcifica d acurdo a: ( ) s x x x si x x x f ( x) = s x 0 otro lugar. + (3.5) Los pdazos soidals furo usados por primra vz por Richmod la formulació d Galri dsarrollada co la cuació itgral d racció. Estas fucios so muy ficits computacioalmt para alambrs dlgados, dbido part a qu la distribució d corrit tid a sr soidal coform l radio dl coductor tid a cro. Su uso dmustra ua rápida covrgcia l método. 3.. La lcció d las fucios bas y pso l método d momtos E l método d momtos las fucios bas f sirv para aproximar a la fució f por mdio d ua combiació lial f N d N térmios, dod s busca dtrmiar sus coficits. La lcció d stas s basa las codicios la frotra y por las propidads d difrciabilidad dl oprador L. Más formalmt, llas csita star l D L, y su lcció o dpd d la forma qu s lija las domiio d L, dotado por fucios pso [9]. E la cuació oprador: ( f ) = g, L (3.6) l oprador mapa cada lmto f dl domiio, al lmto g l rago d L, dotado por R( L ), como s v la Fig. 3.a

74 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri Figura 3.. a) Domiio y rago dl oprador L. b) Norma míima para la mjor rprstació d g. Cada g = L ( f ) db star N N R L, y l trabajo d las fucios pso s hacr qu l rsiduo RN = g g N sa pquño. E l método d momtos las fucios pso so usadas para crar u sistma cosistt d cuacios. Esto s logra al tomar l producto itro d cada fució pso co l oprador actuado sobr la xpasió d fucios bas. Para cada problma s db scogr u producto itro apropiado, l cual, gral, o s u producto itro simétrico. Ua forma covit d xprsarlo s: C, D = C z D z dz, (3.7) L dod D dota l compljo cojugado d D. U producto itro simétrico s xprsa d mara similar, pro si usar la cojugació, lo cual o dfi ua orma 3 a mos qu las fucios sa rals. El cocpto d orma s importat para dfiir u critrio d rror, l cual o s cosigu co u producto simétrico. Para ua rprstació úica d la orma míima, g N db sr ortogoal al rsiduo g g N, como s mustra la Fig. 3.b, pro tambié, d acurdo a la formulació dl método d momtos, las fucios pso db sr ortogoals a R N : R, w = g L f, w = g g, w = 0, m =,,, N. (3.8) N m N m N m Por lo tato, las fucios pso forma ua bas ortogoal capaz d rprstar cualquir xcitació g R( L ) El método d Galri Para obtr ua solució co l método d momtos, s csario stablcr l cojuto d fucios bas { f } = N { m} w m= N qu prtzca a D( L ) y l cojuto d fucios pso qu sa part d R( L ). Por lo tato, si l rago dl oprador s cooc, tocs pud lgirs las fucios pso y s pud costruir l sistma d cuacios: 3 Ua orma los spacios d fucios lials s dfi por X = X, X

75 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri N α L( f ), wm = g, wm, m =,,, N. (3.9) = E particular, si R( L ) s u subspacio d D L, tocs pud aplicars l método d Galri, d otra forma, l método o dbría sr usado. Ya qu gralmt s difícil coocr l rago dl oprador, ua forma d lgir a las fucios pso s por mdio dl a oprador adjuto L, cuyo domiio cubr l rago d L, s dcir: R a D, L L (3.0) a por lo tato, las fucios pso db d star csariamt a s cooc, y D D R L o D L. Cuado L L, o hay razó para supor qu puda aplicars l método. Frcutmt, l método d Galri, las fucios pso so dl tipo subdomiio. La justificació matmática s qu s pud cosguir ua xactitud arbitrariamt bua al P g ua fució lial hacr qu los subitrvalos sa suficitmt pquños. Sa cotiua qu coicid co g los putos = z j, z j, j,,, N +, tocs: dod j l valor d j al odo N j j j= N z j, la cual s lial l subitrvalo N P g = g z z, (3.) z s ua fució subdomiio lial (por jmplo, ua fució triagular) qu toma z y 0 los dmás odos y ( j ) g z s l valor d la fució corrspodit z j, d tal forma qu P N s ua proycció lial co orma uitaria dl spacio d fucios cotiuas l itrvalo [ a, b ] al subspacio N S rprstado por { },,, N : S = max z z 0, (3.) N j j j N tocs s vidt la siguit codició d covrgcia: max P g g 0, N, z. (3.3) N Si mbargo, si g o s cro los putos xtrmos a, b, tocs la covrgcia mcioada ocurr sólo forma cuadrática mdia. Por lo tato, para aplicar l método d Galri, las fucios bas f db cubrir tato l domiio como l rago dl oprador. S ha mostrado qu la distribució d corrit u alambr s modla co la cuació d Pocligto, y si l alambr o forma u lazo crrado, la corrit db sr cro los xtrmos. Si mbargo, l oprador adjuto o cumpl co sta codició la

76 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri frotra 4 a, y por lo tato D D L L. Más aú, si l alambr s xcitado uiformmt por ua oda plaa ormal icidt, l uso d pdazos soidals como fucios bas o rcostruy a ua fució costat a psar d qu los xtrmos s furza la codició d frotra. Por lo tato, stas o dbría usars como fucios pso, ya qu o cubr l rago dl oprador. U argumto qu s prsta para usar l método d Galri s qu la cuació d Pocligto o s válida los xtrmos dl alambr, ya qu stos putos los campos so ifiitos, y por lo tato l campo léctrico tagcial srá cro todos los putos mos los xtrmos qu quda xcluidos. Ua forma d solucioar l problma s trabajado co la cuació itgral d Háll, la cual s válida todo l alambr, icluidos sus xtrmos, porqu sta rprsta l potcial, y la cuació d Pocligto rprsta l campo léctrico. Otro argumto d mayor furza s qu la discusió mostrada atriormt s matmáticamt corrcta, si mbargo, o implica qu l uso d cirtas fucios pso produzca rsultados corrctos cuado s apliqu a la cuació d Pocligto o a la cuació d Hall para structuras co xtrmos abirtos. Icluso xist vidcia d qu si uo scog apropiadamt a las fucios bas, la difrcia tr los rsultados tóricos y uméricos s pquña para l problma custió La técica dl ajust d putos y l método d los míimos cuadrados La técica d ajust d putos s u método muy socorrido por su simplicidad, ya qu l uso d dltas d Dirac, simplifica l sistma (3.9) d la siguit forma: N α L ( f ) = g ( z ). (3.4) = z= z Hay, si mbargo, dificultads co st método. E gral, para u oprador dado, o s posibl dtrmiar a priori cuáls putos d ajust so los adcuados. E alguos casos, l uso d las raícs d los poliomios d Chbyshv d N -ésimo ord hac qu la proycció dl oprador divrja mos rápido, lo cual los habilita como ua opció covit para l ajust d putos. Si mbargo, uo db sr cuidadoso co la slcció d los putos d ajust, los cuals db d star ljos d las rgios dod los campos so pquños. E l método d los míimos cuadrados, las fucios pso d hcho s prslccioa L, l cual csariamt ti qu formar u cojuto complto. f y s dfi por Tambié s importat sñalar qu g db star l domiio dl oprador adjuto; si sta L s a codició o s satisfac, la solució clásica d st método stá idfiida, porqu ( g ) idtrmiado. La solució calculada por l método d los míimos cuadrados s obti d la solució d: 4 Para u alambr rcto, l oprador y l oprador adjuto d la cuació d Pocligto so: jr d a d L( I ) = + I ( z ) G ( z, z ) dz, ( W ) W ( z) G ( z, z ) dz, G ( z, z ). dz L = + = dz 4π R - 7 -

77 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri a ( ( f )) = ( g ), a L L L (3.5) si mbargo, uméricamt simpr s pud dfiir ua solució co míimos cuadrados ya qu para st caso o s stá rsolvido l problma u spacio co ifiitas solucios, sio qu s rsulv para las icógitas α para ua fució bas dada f, co lo cual s miimiza la siguit orma: N αl ( f ) g. (3.6) = El método d los míimos cuadrados s, matmática y uméricamt, la técica más sgura a utilizar cuado s cooc muy poco sobr la aturalza dl oprador y la solució xacta Aálisis dl rror l método d momtos E los problmas d radiació y disprsió lctromagética, gralmt los opradors itgrals mplados o so auto-adjutos, por lo qu las solucios clásicas d covrgcia d los métodos uméricos basados stos opradors o so aplicabls [0]. Para aalizar l rror asociado stos problmas, s cotaba co dos foqus pricipals: métodos d validació y l puto d vista aalítico matmático. El primro cosist hacr sayos comparativos problmas d pruba rspcto a solucios aalíticas o mdicios ralizadas. Est foqu s idircto porqu los rrors obtidos para los casos d pruba podría o xtrapolars cofiablmt a otros problmas dbido a fómos itríscos d stos, tals como rsoacia, fctos d bord, o dfctos d sgmtació. E l sgudo foqu las dificultads computacioals s icrmta. Est cosist rvisar las codicios d frotra sobr l coductor ifrir la xactitud d los campos o corrits calculados. Otra mara cosist dtrmiar las solucios uméricas para ua sri d sgmtacios d rfiamito crcit, co lo cual s posibl calcular la xactitud dl problma al supor qu la covrgcia s rig por ua ly d potcias d dichas solucios. Auqu las prubas comparativas simpr cosist scialmt vrificar los métodos uméricos, las stimacios tóricas dl rror so prfribls para grads colccios d casos d pruba La solució d rror dl método d momtos dca asitóticamt d acurdo a algua potcia dl tamaño d los lmtos d la sgmtació coform ésta s hac más pquña. El xpot s dtrmia por las caractrísticas d la suprfici dl radiador y la lcció d las fucios bas. Estos rsultados s obti dsd l puto d vista d los spacios d Sobolv d ord fraccioario 5, los cuals pud itrprtars físicamt como fucios spacials d corrits y campos icidts valuados suprficis: l rago y l domiio d los opradors itgrals d radiació y disprsió. 5 U spacio d Sobolv s u spacio ormado d fucios obtidas al impor sobr ua fució f y sus drivadas débils arriba d algú ord la codició d ua orma ifiita spacios d Sobolv admit la orma atural:, p p ( i) ( i ) f = f = f t dt p i= 0 i= 0 p L, para u valor dado d p. Su ombr s hoor d Srgi L. Sobolv. Los p

78 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri Ua prguta icluso más fudamtal qu la tasa d covrgcia asitótica d u método umérico s, primr lugar, sí o o la solució covrg a la rspusta corrcta para u problma dado. La xactitud dl método d momtos dpd dl problma físico a rsolvr, la sgmtació usada para rprstarlo y la técica slccioada. Los parámtros qu afcta la xactitud so: Problma:. Caractrísticas d la suprfici radiadora: Bords, squias y putos sigulars.. Gomtría dl radiador: Rsoacias ficticias y rals para cavidads abirtas. 3. Campo lctromagético icidt o xcitació: Águlo d icidcia, tipos d futs. 4. Fómos bajas frcucias. 5. Tipo d rsultado umérico fial: Corrit, campo léctrico total o campo disprsado. Sgmtació:. Dsidad d sgmtació: Elmtos por uidad d logitud d oda.. Irrgularidad dl tamaño d los lmtos y dfctos d la sgmtació. 3. Error gométrico la discrtizació: Factas plaas o curvas. Técica umérica:. Formulació d la cuació itgral: EFIE, MFIE, CFIE.. Fucios bas y pso: Tipos y ord d los poliomios. 3. Rglas d cuadratura usadas para valuar los lmtos d las matrics. 4. Algoritmos d solució d sistmas lials d cuacios: Factorizació dircta o itrativa. Los rrors más bajos stá asociados co radiadors d suprficis suavs, sgmtacios d alta dsidad, sgmtos rgulars, factas curvas qu coforma su suprfici, fucios bas poliomials d alto grado y rglas d cuadratura d alto ord. Auqu lo ivrso o s cirto, todos los factors qu dtrmia la tasa d dcaimito asitótico tambié afcta al rror iicial. Para simplificar l problma dl aálisis dl rror, sólo s studia la dpdcia d la dsidad d sgmtació la tasa d dcaimito asitótico, si tomar cuta los dmás factors. La pricipal dificultad co las stimacios asitóticas s qu o proporcioa iformació sobr l rror para ua sgmtació dada, porqu sólo s prov l xpot d dcaimito o l ord dl rror. Est ord s idpdit d la frcucia, gomtría dl radiador y fctos físicos como la rsoacia. Al calcular las solucios dos o más sgmtos qu so suficitmt pquños, l xpot d dcaimito pud usars para stimar l rror absoluto, si mbargo, problmas prácticos d lctromagtismo, l más llao cambio la sgmtació s difícil d programar. Otra limitació s qu sólo s dispo d stimacios asitóticas para la corrit l radiador, por lo qu parámtros drivados, como la impdacia d la ata, sta iformació o s ti. Las stimacios d rror asitótico stá dadas tambié térmios d ormas d Sobolv, qu podría o sr computabls. Los pricipios más simpls dl aálisis dl rror l método d momtos so l d la aproximació y la optimizació. E l primro, d todas las posibls combiacios lials d fucios bas, s obti ua aproximació para la corrit obtida por l método d

79 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri momtos, la cual xist ua fució qu s óptima o la más crcaa a la corrit xacta dl radiador, dfiida co rspcto a la orma d Sobolv d la solució d rror. El térmio d aproximació dl rror stá dado por l rror d sta solució óptima rlativa a la solució xacta. E gral, u método umérico o dvulv la mjor o más óptima solució posibl la aproximació buscada. Si mbargo, muchos casos, la solució umérica s acrca a la óptima combiació d fucios bas. Esto proporcioa al aálisis dl rror u primr itto para dmostrar qu la solució umérica obtida co l método d momtos s crcaa a la solució óptima, d tal forma qu la solució d rror s crcaa a la aproximació dl rror. Co tal rsultado, l problma dl aálisis dl rror s rduc al siguit: Dado u particular cojuto d fucios bas, cuál s l rror d la mjor combiació lial posibl rlacioada co la corrit xacta? Esta prguta pud rspodrs si u coocimito dtallado d los métodos uméricos o icluso d la solució xacta, todo lo qu s rquir s cirta clas d suavidad la solució. Exist dos tipos d rsoacias qu afcta las simulacios co l método d momtos. La primra s la rsoacia itra. E u coductor léctrico prfcto crrado, xist frcucias las cuals l itrior dl coductor tra rsoacia. Ya qu l modo d rsoacia itra o pud sr xcitado por campos xtros, o hay impacto físico las propidads radiativas dl objto. Si mbargo, xist u impacto umérico l método d momtos, ya qu l modo d rsoacia coduc al ig-valor cro para l oprador d la EFIE. Esto provoca qu la matriz dl método d momtos s haga sigular, lo qu produc u rror cuado l sistma d cuacios s rsulv. El sgudo tipo d rsoacia física ocurr cavidads abirtas. Para u curpo coductor prfcto las cavidads rsoats abirtas ti u factor Q fiito y pud sr xcitadas por campos xtros, lo qu coduc a u ig-valor d la matriz dl método d momtos co ua pquña pro fiita part ral qu rprsta las pérdidas dl modo rsoat a través d la cavidad abirta al xtrior. E los párrafos atriors s ha supusto qu los lmtos d la matriz dl método d momtos pud valuars xactamt. E las simulacios uméricas s usa rglas d itgració d alto ord, d tal forma qu los lmtos d la matriz so fctivamt xactos. El rror la cuadratura umérica rduc la tasa d covrgcia d la solució asitótica dl método d momtos. E la práctica s pud icurrir rrors al rsolvr l sistma lial d cuacios usado métodos d factorizació dircta o algoritmos itrativos. E structuras radiativas grads, l úmro d icógitas rquridas por l método d momtos pud sr orm, por lo qu l uso d métodos itrativos pud sr ivitabl. Estos métodos gra ua solució aproximada cada paso dl algoritmo, co u costo computacioal d ua o dos multiplicacios matricials por itració. El algoritmo db jcutars tal úmro d pasos qu l rror d la solució aproximada sa pquño comparado co los otros tipos d rrors. La prguta rlació co sta técica s: Cuátas itracios s rquir para qu u método itrativo covrja co u rror dado? E la práctica, l úmro d itracios rquridas s altamt ssibl al tipo d problma rsulto. U método podría covrgr dcas d itracios para u simpl problma d pruba, y muchos citos para ua gomtría más complicada. Esto coduc a ua falta d robustz y cofiabilidad para los programadors dl método d momtos. Al cambiar la formulació itgral pud, alguos casos, rducirs l úmro d itracios rquridas, pro para alguos problmas la covrgcia s lta a psar dl tipo d formulació. Por lo tato, los studios tóricos qu aaliza la covrgcia d métodos itrativos problmas d lctromagtismo computacioal so d itrés

80 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri 3.6. Solució dl método d momtos a la cuació d Pocligto La cuació d Pocligto s l modlo matmático qu dscrib la distribució d corrit ua ata dlgada d gomtría arbitraria: L -jr 3 3 s s + R s R s. (3.7) 5 4π R 0 I 4 3 E ˆ ˆ ( ˆ )( ˆ s s = R R jr + jr R ) Ids jωε El coocr cómo s distribuy la corrit a lo largo d ésta, proporcioa toda la iformació csaria para dtrmiar los parámtros d la ata, tals como su patró d radiació, su impdacia d trada y su gaacia dirctiva, tr otros. Por lo tato, l objtivo srá proporcioar ua solució umérica a la cuació d Pocligto por mdio dl método d momtos. La solució umérica s covirt la opció más rcomdabl, ya qu la obtció d solucios aalíticas costituy ua tara prácticamt imposibl para la mayoría d las atas cotradas la práctica. La solució co l método d momtos proporcioa ua itrprtació adcuada térmios d la toría d los circuitos d las matrics qu db calculars. D acurdo a la formulació dl método, la distribució d corrit db xprsars térmios d las proyccios c sobr l subspacio fiito d las N fucios bas i ( s ) : N I s = c i s. (3.8) ( ) ( ) = E l límit cuado N, (3.8) rsultará ua igualdad. Al sustituir (3.7) s ti: E s c K s s i s ds L N I s jωε = dod l rl d la itgral s dfi por: y dod = (, ) ( ), [ 0, ], (3.9) ( ) = ( 4 3 ) ˆ ˆ ( + )( ˆ )( ˆ) K s, s R R jr 3 3 jr R s s + R s R s, (3.30) 5 4π R rprsta l domiio d la fució bas i itro adcuado para ua fució pso subdomiio srá l siguit: dod m L -jr s. Para st problma, u producto [ ] (3.3) w, f = w f ds = w f ds, 0, L, m m m m 0 m rprsta l domiio d la fució pso w m s. Por lo tato, al tomar l producto itro d (3.9) co las fucios pso s ti l siguit sistma d cuacios: w E ds = c w K s, s i s ds ds, m =,,, N. N I m s m jωε m = m (3.3)

81 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri El sistma lial (3.3) pud scribirs forma matricial como: [ Z ]( c ) ( v ), m m dod los lmtos d la matriz [ Z m ] y la matriz ( m ) = (3.33) v s calcula d acurdo a: I Z = w K s, s i s ds ds, v = w E ds, m, =,,, N. (3.34) m m m m s jωε m m Si la matriz [ Z m ] s o sigular, tocs la solució dl sistma lial d cuacios srá: ( c ) [ Z ] ( v ) =. (3.35) m m Para calcular los lmtos d las matrics [ Z m ] y ( m ) v s csita fctuar la itgració rsultat d la opració dl producto itro, más la propia itgració dl, Z. Las itgracios (3.34) so difícils d ralizar rl K ( s s ) l caso d [ ] m aalíticamt, por lo qu s rcurr a ua aproximació umérica mdiat l método d la cuadratura d Gauss. La cuació d Pocligto fu dducida térmios d u sistma ifiito d rds léctricas acopladas, las cuals la corrit s cosidra uiform, y para las cuals s dtrmia los parámtros léctricos fució d la gomtría dl alambr. D sta forma, a [ Z m ] s l llama covitmt matriz d impdacias, a ( m ) v s l cooc como matriz d voltajs y ( c ) corrspod a la matriz d corrits, aú cuado sus uidads sa Ω m, V m y A m, rspctivamt. Esta itrprtació asum qu l alambr qu costituy la ata s forma por N pquños sgmtos cuyos xtrmos dfi u par d trmials l spacio, d tal mara qu los N pars d trmials forma ua rd d N purtos, dod l alambr d la ata s obti al por corto-circuito cada uo d llos. La matriz d impdacias d la rd s dtrmia al aplicar ua fut d corrit a cada purto co lo cual s calcula l voltaj circuito abirto para cada uo d llos. La matriz d admitacias s la ivrsa d la matriz d impdacias; ua vz qu ésta s cooc, las corrits d cada purto (la distribució d corrit l alambr) s dtrmia para cada xcitació d voltaj particular (campo aplicado) por mdio d ua multiplicació d matrics. El aálogo d la matriz d admitacias [ Z ] m co la fució d trasfrcia H ( s ) d u sistma s vidt; si importar cómo sté formado u sistma, la fució d trasfrcia lo trata como ua caja gra y proporcioa para cada xcitació ua rspusta úica, d igual forma qu como cada vctor d voltajs produc u vctor d corrits úico. Esto dja d lado a la matriz m v, dádol toda la importacia a [ ] Z m. D sta forma, al igual qu la fució d trasfrcia s busca la rspusta cuado la xcitació s ua dlta d Dirac, la solució dl método d momtos la xcitació d la ata s lig d mara aáloga co u grador altamt idalizado coocido como grador Dlta-Gap. Esto s csario ya qu la distribució dl campo léctrico imprso tagcial s dscooc, co lo cual o podría calculars los lmtos d m v dfiidos por (3.34)

82 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri E la modlació d sistmas lctromagéticos s ti varios modlos d gradors qu limia l problma d coocr la distribució dl campo léctrico las suprficis studiadas. E l método d momtos los modlos más usados para structuras radiativas so l grador Dlta-Gap y l grador d aillo magético (Magtic Frill Grator), mitras qu structuras disprsivas l más usado s l modlo d ua oda plaa icidt. La solució dada por (3.35) s suficitmt gral para cosidrar qu la ata trabaj tato como radiador como disprsor. I El grador Dlta-Gap surg d la suposició d qu l campo léctrico imprso E s s cutra cofiado sólo ua pquña sparació practicada l alambr d la ata (l gap), por lo qu los dmás lugars s xactamt igual a cro. Esta sparació s cosidra ta pquña qu l campo léctrico s costat sta rgió, como s v la Fig. 3., y s rlacioa co l voltaj V aplicado por ua lía d trasmisió balacada, d acurdo a: V gap si s gap, I I I I V = E s ˆ ds = Es ds = Es gap, Es = (3.36) 0 fura dl gap. gap gap Gralmt s toma la sparació dl gap mor qu alguo d los sgmtos qu fu dividido l alambr y s cosidra qu l fasor d voltaj dl grador s uitario. gap Figura 3.. Modlo dl grador Dlta-Gap aplicado a la ata. El modlo Dlta-Gap simplifica la matriz d voltajs, djado como úico lmto difrt d cro, aquél qu corrspod al m -ésimo sgmto dod s coctó ést: 0 V = s ds. gap m 0 ( v ) wm m (3.37) Alguas vcs a la ata s l acopla impdacias a lo largo d lla, co l fi d modificar la distribució d corrit l alambr. Ua impdacia Z pud itroducirs la solució dl método d momtos si s cosidra qu s cocta al m -ésimo sgmto dl alambr, l cual, ormalmt stá somtido a ua difrcia d potcial v m. La caída d potcial provocada por la impdacia s tocs:

83 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri Al sustituir l sistma (3.33) s ti: Vm = vm cmz. (3.38) Z Z Z Z c v m N Z Z Zm Z N c v =. Zm Zm Zmm ZmN cm vm cmz Z Z Z Z c v N N Nm NN N N (3.39) Al dsarrollar l producto d las matrics s v qu l m -ésimo lmto dl vctor columa d voltajs s: c Z + + c Z + + c Z = v c Z, m m mm N mn m m c Z + + c Z + Z + + c Z = v m m mm N mn m, (3.40) por lo tato, la cuació matricial (3.39) quda como: Z Z Z m ZN c v Z Z Zm Z N c v =. Zm Zm Zmm + Z ZmN cm vm Z N Z N Z Nm Z NN c N v N (3.4) S cocluy tocs qu coctar ua impdacia l m -ésimo lmto s lo mismo qu sumar su valor al lmto Z d la matriz d impdacias. Esto proporcioa admás ua mm mara muy covit d cosidrar la impdacia itra dl grador Dlta-Gap Z s, si s qu fus csario cosidrarla. Para u sistma d comuicacios bi acoplado, dod s vita rflxios d rgía, la impdacia itra dl grador Z db sr igual a la impdacia d trada d la ata Z i. La forma d dtrmiar st importat parámtro s por mdio d la corrit l sgmto dod s cocta l grador y su voltaj []: Z i V = (3.4) I s. Dbido a qu la solució matricial dpd d las distitas combiacios d fucios bas y pso, a cotiuació s mustra la forma qu toma los lmtos matricials al usar como fucios bas, pulsos y como fucios pso, dltas d Dirac, parja qu proporcioa w s = δ s s, dod la forma más scilla d valuar. D la cuació (3.34), al sustituir s m rprsta l ctro d la dlta, y al sustituir la fució bas pulso s ti: m m s m

84 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri Zm = δ ( s sm ) K ( s, s ) i ( s ) ds ds K ( sm, s ) ds jωε = jωε m I I v = δ s s E ds = E s, m, =,,, N. m m s s m m (3.43) D sta forma, l uso d la fució dlta d Dirac prmit prscidir d la valuació d la Z, la itgració más xtra. La úica itgració qu quda s para los lmtos d [ ] m cual pud fctuars al ralizar ua cuadratura Gaussiaa. La valuació d los lmtos d v s aú más fácil, ya qu solo s csario coocr l valor dl campo léctrico imprso m tagcial los putos dod las dltas d Dirac ti sus ctros. Si la ata s alimta co u grador Dlta-Gap, tocs l campo léctrico sólo s difrt d cro aqul sgmto dod l grador s cocta. Matricialmt, l sistma d cuacios qudaría como: K s, s ds K s, s ds K s, s ds 0 N c (, ) (, ) (, ) K s s ds K s s ds K s s ds c V N =. jωε gap c N K ( sn, s ) ds K ( sn, s ) ds K ( sn, s ) ds 0 N (3.44) 3.7. Patró d radiació d la ata Las caractrísticas d radiació dl sistma pud calculars ua vz qu s cooc la distribució d corrit la ata. La forma d dtrmiar l patró d radiació qu s prsta a cotiuació costituy ua aportació hcha por l autor. Esta formulació o s basa arrglos d atas i futs putuals, sio qu toma cosidració la gomtría d la ata para dtrmiar l vctor potcial magético u puto rtirado d la ata, co l cual s calcula las compots dl campo léctrico ljao. A partir d los potcials rtardados s ti qu l potcial vctorial magético producido por u filamto d corrit s: jr µ A = ( s ) ds, 4π I (3.45) R dod R s la distacia tr u puto d la ata dfiido por ( s ) s r y u vctor fijo l spacio r, aljado suficitmt d la misma, como s v la Figura 3.3. La rlació tr los vctors s la siguit: R = r r. (3.46) Dbido a la ljaía dl puto d mdició, r s prácticamt parallo a R, por lo tato:

85 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri r r R = r r cos ξ, cos ξ =, r r (3.47) dod ξ s l águlo tr los vctors r y r. La cuació (3.47) prmit aproximar la itgral (3.45), ya qu l domiador pud xprsars aproximadamt por r, si mbargo, la fució xpocial sto o db hacrs ya qu ésta dtrmia la fas d A. Al sustituir obtmos: jr µ jr r r A = ( s ) ds. 4π r I (3.48) s Figura 3.3. a) Cálculo dl campo ljao para l patró d radiació d la ata. b) Dtall gométrico d los vctors d posició. D acurdo al método d momtos, la corrit l alambr s xprsa térmios d ua s ˆ s, por lo tato: sri, dod cada sgmto d corrit ti la dircció d N jr N µ jr r r I s c i s s s, A c i s s s ds. (3.49) = ˆ = ˆ = 4π r = La itgració xprsada (3.49) pud dsarrollars térmios d ua cuadratura gaussiaa. El vctor potcial así obtido s cutra rfrciado l sistma rctagular XYZ. Para xprsarlo fució d las coordadas sféricas s calcula las proyccios dircció d los vctors uitarios a ˆθ y a ˆϕ. El campo léctrico, térmios dl potcial magético s: E = jω A + ( A) jω. A (3.50) La aproximació atrior s válida para l campo ljao dbido a qu l térmio 3 4 A sólo cotribuy co las compots r, r, r, tc., los cuals s atúa

86 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri rápidamt d acurdo a la potcia d r, llgado a sr dsprciabls l campo ljao. Las compots dl campo léctrico qu dfi l patró d radiació so []: jr N µ jr r r E = jω A = jωa aˆ = jω c i ( s ) ˆ ( s ) ˆ ds, π s a θ θ θ θ 4 r = jr N µ jr r r E = jω A = jωa aˆ = jω c i ( s ) ˆ ( s ) ˆ ds, π s a ϕ ϕ ϕ ϕ 4 r = (3.5) tal qu: dx dy dz dx dy aˆ ˆ cos cos cos s s, ˆ ˆ θ s = θ ϕ + θ ϕ θ aϕ s = sϕ + cos ϕ, (3.5) ds ds ds ds ds dod ( r, θ, ϕ ) so las coordadas sféricas dl puto ljao Coclusios dl Capítulo III E st capítulo s prstó la solució umérica d la cuació itgral d Pocligto por mdio dl método d momtos, l cual la trasforma ua cuació matricial cuya solució s basa los métodos uméricos clásicos d ivrsió d matrics. El método d momtos s apoya los cocptos d opradors y spacios lials d fucios para rprstar aproximadamt la corrit l coductor por mdio d ua xpasió térmios d fucios bas; l objtivo dl método s dtrmiar los coficits d cada ua d llas. Esto cirta mara s aálogo al método d Fourir para dtrmiar los coficits d la sri d ua fució, dod st caso, tato las fucios bas como las fucios pso so trigoométricas. Dtro d las spcializacios dl método d momtos s dstaca pricipalmt dos d llas: l método dl ajust d putos y l método d Galri. El primro d llos prmit rducir sigificativamt l trabajo computacioal al limiar la itgració dl producto itro. Est método s acostumbra usar co fucios bas subdomiio, las cuals divid al coductor sgmtos colials, dod la corrit s cosidra aproximadamt costat. E u puto d cada sgmto s cumpl las codicios d frotra dl campo léctrico la suprfici dl alambr, lo cual corrspod al uso d fucios pso dlta d Dirac, si mbargo, los dmás putos stas codicios d frotra podría o cumplirs. La pricipal vtaja d st método s su simplicidad computacioal, la cual s rflja l uso d pocos rcursos d cómputo y ua rápida vlocidad d procsamito. El método d Galri s prsta cuado l oprador dl problma L a quival a su oprador auto-adjuto L, lo cual tra como coscucia qu tato las fucios bas como las fucios pso sa iguals. Alguas vcs la litratura s acostumbra a scribir qu l método s prsta cuado f = wm si tomar cuta las propidads dl oprador, lo cual podría sr icorrcto para alguos opradors. La pricipal Z simétrica, la cual rsulta más fácil d ivrtir vtaja dl método s producir ua matriz [ ] m qu algua otra matriz, si mbargo, sta bodad s v rlgada por la dificultad d calcular los lmtos Z dod sí s ti qu fctuar la itgració dl producto itro. m - 8 -

87 Capítulo III: El Método d Bubov-Krylov-Galri Fialmt st capítulo s prsta u algoritmo para dtrmiar uméricamt l patró d radiació d la ata. La vtaja d st método rsid l foqu vctorial qu s ti d la curva qu rprsta l alambr y d la simplicidad qu ti la xprsió dl campo léctrico. Co l dsarrollo d los productos scalars idicados, l campo léctrico s calcula altrativamt para cada valor d θ y ϕ co u valor d r fijo, d tal forma qu s cubr l spacio qu roda la ata, co lo cual s obti l patró d radiació. Rfrcias [] Rogr F. Harrigto, Origi ad Dvlopmt of th Mthod of Momts for Fild Computatio i: B. J. Strait Editor, SCEE Prss, 980, p.p [] Rogr F. Harrigto, Matrix Mthods for Fild Problms i: Procdigs of th IEEE, Fb. 967, Vol. 5, No., p.p [3] Rogr F. Harrigto, Fild Computatios By Momt Mthod. Robrt E. Krigr Publishig Compay, Ic. 986, Florida USA, p.p. -. [4] Michl M. Ny, Mthod of Momts as Applid to Elctromagtic Problms i: IEEE Tras. o Microwav Thory, Oct. 985, Vol. MTT-33, No. 0, p.p [5] S. R. Sigh, Som Covrgc Proprtis Of Th Bubov-Galri Mthod i: Pacific Joural of Mathmatics, 976, Vol. 65, No., p.p. 7-. [6] Kuio Sawaya, Numrical Tchiqus for Aalysis of Elctromagtic Problms i: IEEE Tras. Commu., March 000, Vol. E83-B, No. 3, p.p [7] Tapa K. Sarar, A ot o th Choic Wightig Fuctios i th Mthod of Momts i: IEEE Tras. o Atas ad Propagatio, April 985, Vol. AP-33, No. 4, p.p [8] D. R. Wilto, C. M. Butlr, Efficit Numrical Tchiqus for Solvig Pocligto s Equatio ad thir Rlatioships to Othr Mthods i: IEEE Tras. o Atas ad Propagatio, Jauary 976, Vol. AP-4, p.p [9] Tapa K. Sarar, Atoij R. Djordjvic ad Ercumt Arvas, O th Choic of Expasio ad Wightig Fuctios i th Numrical Solutio od Oprator Equatios i: IEEE Tras. o Atas ad Propagatio, Sptmbr 985, Vol. AP-33, No. 9, p.p [0] Karl F. Waric, Wg Cho Chw, Error Aalysis of th Momt Mthod i: IEEE Atas ad Propagatio Magazi, Dcmbr 004, Vol. 46, No. 6, p.p [] C. H. Tag, Iput Impdac of Arc Atas ad Short Hlical Radiators i: IEEE Tras. o Atas ad Propagatio, Jauary 964, Vol, p.p. -9. [] Costati A. Balais, Advacd Egirig Elctromagtics. Joh Wily & Sos, Ic Cap. VI, p.p

88 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos Capítulo IV Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para l Método d Momtos

89 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos Itroducció El método d momtos trasforma la cuació itgral d Pocligto ua cuació matricial. Esto o db parcros xtraño, ya qu tr ua cuació itgral y ua matricial simpr xist ua rlació dircta qu s hac más vidt coform l ord dl sistma d cuacios tid a ifiito, s momto la solució discrta y la cotiua so quivalts tr sí. Si mbargo, térmios prácticos l ord dl sistma o pud cosidrars ifiito, auqu sí suficitmt grad, lo cual grará u rror la solució dl problma, qu db miimizars coform s rquira ua solució más xacta. La discrtizació d la cuació itgral s db al uso d fucios bas y pso subdomiio, lo cual s traduc ua divisió d la ata pquños sgmtos, los cuals pud cosidrars aproximadamt rctos y los cuals la corrit qu los circula s prácticamt costat. Al aumtar l úmro d sgmtos, s modla mjor a la forma origial dl alambr, por lo qu s rduc l rror dl problma. Covcioalmt, la litratura, los sgmtos simpr s ha cosidrado quidistats dsd qu s aaliza atas uméricamt, ya qu sto parc sr la lcció más atural y apropiada, si mbargo, l método d momtos o rstrig la mara qu db dividirs la ata, por lo cual s posibl propor u squma d sgmtació o-quidistat. El squma d sgmtació qu s propo sta Tsis s basa la forma qu s distribuy las raícs d los poliomios d Lgdr. La motivació provi d su uso l método d itgració Gaussiaa; ya qu l modlo d Pocligto s ua cuació itgral, s posibl dsarrollarlo como ua cuadratura, la cual itríscamt discrtiza l rsultado al xprsarlo como ua suma fiita. Si s hac coicidir sta discrtizació co la dl método d momtos, s ti qu los sgmtos dja d sr quidistats. D sta forma, xist dos maras aturals d sgmtar la ata: colocado las raícs los xtrmos d cada sgmto, o colocádolas los ctros. La primra forma implica csariamt qu l úmro d raícs d Lgdr sa mayor por ua uidad qu l úmro d sgmtos, y la sguda, los dos úmros rsulta iguals. Ambas propustas furo implmtadas mitras s trabajaba l programa y l autor pud cocluir qu los mjors rsultados s obti cuado las raícs s coloca l ctro d cada sgmto. Al usar sta sgmtació s garatiza qu la fució itrpolat qu rprsta la corrit uca prstará l fómo d Rug-Borl, y qu la itgral d la corrit tdrá l míimo rror posibl. El autor d st trabajo tambié cosidra qu sta técica s origial iovadora, ya qu hasta st momto o s ha cotrado u squma d sgmtació smjat i ua aplicació origial d las raícs d Lgdr l Elctromagtismo Computacioal, como la qu aquí s prsta. E st capítulo s xhib u cojuto d técicas uméricas sumamt útils qu srvirá como sustto para la solució d la cuació d Pocligto gralizada por mdio dl método d momtos. Aquí s xplica l método d la itrpolació lagragiaa, co putos scillos y co putos dobls, co lo cual s dduc qu los mjors putos para fctuarla, si la aparició dl fómo d Rug-Borl, corrspod a aqullos dfiidos por las raícs d los poliomios d Lgdr. A partir d sto, s prsta l método d la cuadratura d Gauss, l cual aproxima ua fució a itgrar por mdio d u poliomio itrpolat, miimizado al máximo l rror comtido la itgració umérica; st tma srá muy útil para dsarrollar la cuació itgral d la corrit dl alambr térmios d ua cuadratura

90 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos 4.. Itrpolació Lagragiaa co putos scillos E l aálisis umérico s domia itrpolació al procdimito d costruir uvos putos a partir d u cojuto discrto ya dado []. E la igiría y las cicias s comú dispor d u cirto úmro d valors a partir d u mustro o u xprimto co los qu s dsa costruir ua fució qu los ajust y co la cual puda dtrmiars valors qu o furo mdidos o mustrados. Otro problma ligado a la itrpolació s la aproximació d ua fució dada por ua más scilla, mdiat la cual puda simplificars algú cálculo complicado. Dtro d los tipos d itrpolació s ti las trigoométricas y las poliomials, dtro d las cuals, l squma más gral s l lagragiao []. E la itrpolació lagragiaa s dfi u poliomio itrpolat Pol ( x) d grado, a partir d u cojuto dado d putos { x, x,, x} mustrados { f ( x ), f ( x ),, f ( x )}, l cual ajusta al cojuto d valors. Primro s costruy l poliomio fudamtal: = ( )( ) ( ) F x x x x x x x, (4.) a partir dl cual s obti las siguits fucios auxiliars:,,,,. ϕ F x ( x) = x x = (4.) A cotiuació s costruy los siguits poliomios auxiliars: ( x) ( x ) ϕ si j =, p ( x) =, p ( x j ) = δ j = ϕ 0 si j, (4.3) los cuals s comporta como dltas d Krocr. E sto rsid la gial ida d Lagrag, co la cual l poliomio itrpolat coicid co los valors d mustro: F x f x Pol ( x) = f ( x ) p( x) =, Pol x = f x, j =,,,. (4.4) j j = = F x x x Al ralizar l procso d itrpolació s comt u rror igual a: η η x = f x Pol x, x = 0, =,,,, (4.5) qu pud stimars por mdio dl método d la fució d Gr para rsolvr la siguit cuació difrcial, obtida al drivar vcs la cuació atrior: cuya solució corrspod a: ( ) ( ), η x = f x (4.6) x ( ) ( ) x, (, ), [, ], x (4.7) x η x = f x G x x dx = f x G x x dx x x x

91 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos dod G ( x, x ) s la fució d Gr d la cuació difrcial (4.6). Esta fució, para u valor fijo d x, o cambia su sigo coform x varía l itrvalo [ x, x ]. La itgral x G ( x, x ) dx s idpdit d x, por lo qu val lo mismo si importar qué f ( x ) s tom. x Por lo tato s lig qu: x x ( )( ) ( ) F x x x x x x x G ( x x ) dx = =!!,, (4.8) y al sustituir (4.7) s ti qu: ( ) F x η x = f ( x ), x [ x, x ]. (4.9)! E l caso particular qu los putos colaps uo sólo, x = a (putos quidistats), l rror rsultat corrspod al d la sri d Taylor fiita: η x a x f x, x [ a, x]. (4.0)! x a 4.. Itrpolació Lagragiaa co putos dobls Lo qu a cotiuació s prsta s l studio dl poliomio itrpolat d Lagrag cuado dos putos stá ta crcaos tr sí qu acaba colapsado l mismo lugar x. Sa los putos xα = x + ε y xβ = x ε, dod ε corrspod a u ifiitésimo. El poliomio fudamtal s tocs: = ( ) ( α )( β ) ( ) = Φ ( α )( β ) F x x x x x x x x x x x x x x (4.). D acurdo al algoritmo d Lagrag, las fucios auxiliars para α y β so: F x F x ϕα = = Φ ( x)( x xβ ), ϕβ = = Φ ( x)( x xα ), x x x x α β (4.) y los poliomios auxiliars os quda: ( ) ( x) ( x ) ( ) ϕα x Φ x x x + ε ϕβ Φ x x x ε pα ( x) = =, pβ ( x) = =. ϕ x ε Φ x + ε ϕ ε Φ x ε α α β β (4.3) Los térmios dl poliomio d Lagrag qu corrspod a x α y x β so: Laczos, Liar Diffrtial Oprators, Op. Cit. p.p

92 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos ( x)( x x ε ) ε ( x ε ) Φ ± f ( xα, β ) pα, β ( x) = f ( x ± ε ), f ( x ± ε ) f ( x ) ± ε f ( x ), ± Φ ± (4.4) dod l sigo positivo corrspod a α y l gativo a β. Por lo tato, al sumarlos s ti: + f x p x f x p x α α β β Φ Φ f x x x x + ε x x ε f x x x x + ε x x ε = + +, ε Φ ( x + ε ) Φ( x ε ) Φ ( x + ε ) Φ ( x ε ) (4.5) dod ( x ε ) ( x ) ε ( x ) Φ ± = Φ ± Φ. Por lo tato, al sustituir y dsarrollar (4.5) rsulta: ε ( ) Φ x x x ± ε f x f ( xα, β ) pα, β ( x) = ± f ( x ) ± ε. Φ x ± Φ x ε f x (4.6) Los siguits mimbros d la cuació atrior pud xprsars como: ( x ) x x ± ε x x ε Φ = ±, Φ ( x ) ± ε Φ ( x ) = Φ ( x ) ± ε, ε ε x x Φ x (4.7) por lo tato, al sustituir (4.6) s ti: ( ) ( ) Φ x x x ε f x Φ x f ( xα, β ) pα, β ( x) = ± f ( x ) ± ± ε ± ε. Φ x ε x x f x Φ x (4.8) Al hacr l dsarrollo d Nwto dl biomio d abajo s ti la aproximació: ( x ) ( x ) d sta forma, al sustituir (4.8) s llga a: ( x ) ( x ) Φ Φ ± ε ε, (4.9) Φ Φ ( ) ( ) Φ x x x ε f x Φ x f ( xα, β ) pα, β ( x) = ± f ( x ) ± ± ε ε. (4.0) Φ x ε x x f x Φ x Al dsarrollar los térmios tr corchts s ti: ε f x Φ x f x Φ x ± ± ε ε ± + ε, x x f x Φ x f x x x Φ x (4.) 3 dod s dsprciaro los térmios qu cotía a ε y ε, ya qu stos tid a cro co mucha mayor rapidz qu ε, por lo tato, los dos térmios dl poliomio itrpolat so:

93 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos ( ) ( ) Φ x x x f x Φ x f ( xα, β ) pα, β ( x) = ± f ( x ) ± + ε. Φ x ε f x x x Φ x (4.) Al dsarrollar para f ( x ) y f ( x ), y al tomar l límit cuado ε 0 obtmos: ( x) ( x ) ( x ) ( x ) Φ Φ f ( x ) p ( x) = f ( x ) + f ( x ) f ( x ) ( x x ), p ( x j ) = δ j, Φ Φ (4.3) E l límit s llga a ua itrpolació qu s adcuada para ambas f ( x ) y f ( x ) puto crítico cuadrado, por lo qu l x. Ahora l factor x x dl poliomio fudamtal aparc lvado al x s ha covrtido u puto dobl. Si todos los putos so dobls, s satisfac xactamt x, por lo tocs l valor d f ( x i ) y su drivada f ( x i ) tato, l poliomio itrpolat d grado ajusta a f ( x ) y f ( x) d mustro. El poliomio fudamtal s ahora: = ( )( ) ( ) todos los putos F x x x x x x x, (4.4) l cual prmac positivo durat todo l rago [ x, x ] vz d cambiar d sigo d puto puto, como l poliomio (4.). Covitmt, l poliomio itrpolat s xprsa utilizado a F ( x ) y sus drivadas: = Φ ( ) F x x x x = Φ( ) + ( ) Φ F x x x x x x x,, = Φ + 4 ( ) Φ + ( ) Φ, = Φ + ( ) Φ + ( ) Φ F x x x x x x x x F x 6 x 6 x x x x x x. (4.5) Al valuar (4.5) x = x y al sustituir (4.3), s ti qu: ( x x ) F x F x f x F x f x Pol ( x) = x x +. = F x 3F x F x x x (4.6) 4.3. El método d la cuadratura Gaussiaa Cosidrmos l problma d calcular l valor aproximado d la itgral d g ( x ) : f x = g x, f x = g x dx + C, (4.7)

94 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos l cual s ha proporcioado los valors g ( x ), qu corrspod a f ( x ), co los qu s prtd implmtar l squma d itrpolació co putos dobls. Si mbargo, s f x csarios para l algoritmo. Esto s ti l problma d o cotar co los valors d supra al colocar los putos x posicios tals qu sus psos s haga cro automáticamt. D sta forma, la itrpolació (o xtrapolació) tdrá sólo datos coocidos. Supogamos qu s quir calcular aproximadamt la itgral dfiida: A = g x dx = f f. (4.8) Dbido a qu f ( x ) ti ua costat d itgració libr, s pud dfiir qu: f ( ) = 0, (4.9) y cosidrar sta codició como u dato adicioal a los x datos ya dados. Esto sigifica qu l poliomio fudamtal F ( x ) s ahora d grado +, porqu s ha añadido l puto scillo x =, a los putos dobls. El puto x = s cosidra scillo ya qu o xist f x dba coocrs st lugar, por lo tato: ua razó para supor qu = ( + ) ( )( ) ( ) F x x x x x x x x. (4.30) Ahora l factor d f ( x ) qu hac cro la cuació (4.6), dmada la siguit codició: ( x x ) F x F x f x F x x x = 0, x x = 0, F x 3F x 3F x (4.3) la cual o pud satisfacrs simultáamt para varios valors d x, pro l objtivo s f, cuació (4.8), por lo tato s pud idtificar l valor d x co x =. Sa obtr l siguit poliomio G : = ( )( ) ( ) = ( + ), G x x x x x x x F x x G x = + ( + )( + ) F x 4GG x GG G, = + + ( + )( + ) F x 6GG 6G x GG 3 G G., (4.3) Al valuar (4.3) x = x, y al sustituir (4.3) s ti: ( x ) G ( x ) xg ( x ) = 0, (4.33) cuació qu pud sr modificada y scrita forma d oprador como:

95 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos d d ( x ) x + ( + ) G ( x) = 0, x = x. dx dx (4.34) La adició dl último térmio o altra l rsultado, ya qu G ( x ) = 0. D sta forma, la cuació difrcial (4.34), qu s la cuació difrcial d Lgdr [3], db cumplirs o sólo los putos x sio cualquir lugar. Esto idtifica a G ( x ) como proporcioal al poliomio d Lgdr d -ésimo grado P ( x ): (! ) ( ) G x = cp x, c =. (4.35)! Por lo tato, los cros d la cuadratura gaussiaa corrspod a los cros dl -ésimo poliomio d Lgdr. Fialmt, l problma d la itgració umérica quda xprsado por la siguit fórmula: dod ( x ) ω g ( x ), ω, (4.36) = ( + ) P ( x ) A = = ω corrspod a los psos d la cuadratura. El rror producido la cuadratura s calcula d acurdo al térmio dl rsiduo d la itrpolació lagragiaa d g ( x ) : + η = (!) (! ) ( ) ( + )! 4 + g x. (4.37) El método d la cuadratura gaussiaa o s rstrig úicamt a itrvalos d, a, b mdiat u simpl itgració d [ ], sio qu pud usars para itrvalos d [ ] mapo d coordadas. Sa la siguit itgral qu s dsa calcular, la cual stá sujta al mapo d la Fig. 4.: Al sustituir la itgral s ti: b b + a b a A = g ( x) dx, x = + ξ, ξ [, ]. (4.38) y al aplicar la cuadratura gaussiaa rsulta: a b a b a b + a b a g ( x) dx = g + ξ dξ, (4.39) b b a b + a b a b a g ( x) dx = ω g + ξ = ω g ( x ), (4.40) = = a

96 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos dod ξ so las raícs dl poliomio d Lgdr d -ésimo grado y mapadas [ a, b ]. x so las raícs Figura 4.. Mapo d coordadas dl j ξ al j x El fómo d Rug-Borl y las raícs d Lgdr E l campo dl aálisis umérico, l fómo d Rug-Borl s u problma qu s prsta al usar la itrpolació poliomial cuado los putos d mustro so quidistats. Fu dscubirto por Carl David Tolmé Rug y Félix Édouard Justi Émil Borl cuado ivstigaba l comportamito dl rror usado itrpolació poliomial para aproximar cirtas fucios. Ellos aprciaro qu l rror cirtas fucios tdía al ifiito cuado l grado dl poliomio itrpolat s icrmtaba y cuado s usaba ua sgmtació a, b d la fució a itrpolar. quidistat dl domiio [ ] lim max f x Pol x =. a x b (4.4) E la Fig. 4. s mustra la itrpolació d la fució d Rug-Borl, la qu s itta ajustar la fució co poliomios d quito y ovo grado, dod l rror s icrmta otablmt los xtrmos: f =. + 5x (4.4) ( x) Figura 4.. Fómo d Rug-Borl. Laczos, Applid Aalysis, Op. Cit., pág

97 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos El rror o provi dl squma d itrpolació, sio d la forma quidistat qu s localiza los putos. Si mbargo, l problma s limia cuado s lig ua localizació o quidistat. Las formas más comus d hacrlo s por mdio d las raícs d los poliomios d Lgdr y las d Chbyshv [4], Fig Su uso garatiza qu l rror dismiuya a cro coform s icrmta l grado dl poliomio, co lo cual s vita la aparició dl fómo d Rug-Borl. D ambos tipos d raícs, las d Chbyshv cutra más aplicacios la igiría ya qu pud dtrmiars aalíticamt por mdio d ua fórmula cosoidal 3. Si mbargo, l uso d las raícs d Lgdr garatiza qu la cuadratura d la fució itrpolada tdrá l mor rror posibl, aú cuado o xist ua fórmula qu las calcul. Figura 4.3. Poliomios d Lgdr y Chbyshv. Sa l siguit poliomio d Lgdr d -ésimo grado xprsado térmios d sus raícs: = ( )( ) ( ) P x c x x x x x x (4.43), dod c s algua costat. Para dtrmiar aproximadamt las raícs dl poliomio s usa l método d Nwto 4 [5], co l cual s cutra la primra raíz por mdio d la siguit fórmula rcursiva [6]: ( x) ( x) P x = x. (4.44) P 3 Las raícs dl poliomio d Chbyshv d -ésimo grado s calcula por mdio d: x cos,,,,. π = = 4 Tambié s pud usar l método d Nwto modificado, dod s usa la aproximació d sgudo grado dl dsarrollo d Taylor: y f ( x ) 0 + f ' x0 x x0 + f '' x0 x x0, a partir dl cual s ti la siguit fórmula rcursiva: f ( x ) f '( x ) x = x, =,,3, f '( x ) f ( x ) f ''( x ) dod s l úmro d itració. A psar d qu l úmro d itracios s rduc, su implmtació computacioal s más difícil y los rcursos d cálculo so más grads qu l método ormal

98 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos Ua vz hallada ésta, s costruy l poliomio g ( x ) d grado, l cual o ti a x como su raíz: ( x) P g ( x) = c( x x )( x x3 ) ( x x ). x x = (4.45) Al aplicar l método d Nwto s dtrmia la sguda raíz, y l procdimito s rpit sucsivamt hasta obtr las dmás. E l -ésimo paso s calcula la -ésima raíz por mdio dl siguit poliomio: i= ( x x ) ( ) '( x ) P x g x g ( x) =, x. = x g i (4.46) E sta fórmula s csario dtrmiar la drivada d (4.46), qu quival a: g '( x) = P x P x, xi i= i= x i ( x x ) (4.47) d sta mara, al sustituir (4.46) y (4.47), s ti la siguit fórmula rcursiva 5 : ( x ) P x = x, =,,, N. (4.48) P ( x ) P ( x ) x x i= i Para st método umérico s más covit usar la forma rcursiva d los poliomios d Lgdr 6 : P0 ( x) =, P ( x) = x, P + = xp + P, = 0,,,. (4.49) + + Computacioalmt, l método pud xprsars por mdio dl diagrama d flujo d la Fig. 4.4, l cual garatiza la localizació d todas las raícs dl poliomio, pro o garatiza qu éstas aparzca ordadas corrctamt. Para hacrlo, s implmta l clásico método d la burbuja, como s mustra la Fig Si s utiliza l método d Nwto modificado, la fórmula rcursiva qu s obti s la siguit: f ( x ) B ( x ) x = x, =,,, N, B ( x ) + f ( x ) f ( x ) f ( x ) + f ( x ) i= ( x xi ) dod: B ( x ) = f ( x ) f ( x ), =,,, N. i= x xi 6 Para los poliomios d Chbyshv s ti la siguit fórmula rcurrt: T x =, T x = x, T = xt T, = 0,,,

99 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos Figura 4.4. Algoritmo para la localizació d las raícs d Lgdr. Figura 4.5. Método d la burbuja para la ordació d las raícs Cuadratura gaussiaa aplicada a la solució dl método d momtos El método d la cuadratura gaussiaa pud aplicars a la obtció d la solució umérica dl sistma d cuacios producido por l método d momtos. D sta forma, las itgrals dbidas al producto itro tr la cuació itgral y las fucios pso y la itgral d la propia cuació d Pocligto pud calculars muy adcuadamt como ua cuadratura, dod s garatiza qu l rror grado simpr srá mor rspcto a otros métodos d itgració umérica. Para los lmtos d la matriz d impdacia: Zm = wm K ( s, s ) i ( s ) ds ds, m, =,,, N, jωε m ( ) = ( 4 3 ) sˆ s ˆ + ( + )( R sˆ )( R sˆ ) K s, s R R jr 3 3 jr R, 5 4π R -jr (4.50) s comiza aplicado l método d la cuadratura gaussiaa a la itgral itra: P K ( s, s ) i ( s ) ds ω jk ( s, s j ) i ( s j ),,,, N, = (4.5) j= dod P s l úmro d raícs d Lgdr utilizadas la cuadratura, s j so las raícs mapadas y ω j so sus psos corrspodits. Al calcular ahora la cuadratura d la itgral xtra rsulta: Z w ( s ) K ( s, s ) i ( s ), m, =,,, N, (4.5) Q P m m υiω j m i i j j 4 jωε i = j =

100 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos dod Q (o csariamt igual a P ) s l úmro d raícs d Lgdr usadas para sta cuadratura, s i so las raícs mapadas Para los lmtos d la matriz d voltajs: al aplicar l método d la cuadratura gaussiaa, s ti: m y υ i so sus psos corrspodits. I vm = wm Es ds, m =,,, N, (4.53) m v w s E s m = N Q m m i m i s i i= I υ,,,,. (4.54) E l caso qu s utilic como fucios pso, dltas d Dirac, los lmtos d la matriz d impdacia qudaría como: Zm = δ ( s sm ) K ( s, s ) i ( s ) ds ds K ( sm, s ) ds, jωε = jωε m m, =,,, N, (4.55) dod s m so los lugars dod s localiza los ctros d las dltas. Al aplicar l método d la cuadratura gaussiaa s ti qu: P Zm = ω jk ( sm, s j ), m, =,,, N. (4.56) jωε j = La valuació d los lmtos d la matriz d voltaj o rquir la valuació d algua itgral, ya qu dbido al torma d mustro d la fució dlta d Dirac, sus valors corrspod al valor dl campo léctrico los putos dod las dltas so colocadas: I I,,,,. v = δ s s E ds = E s m = N (4.57) m m s s m m Si la ata s alimta co u grador Dlta-Gap, tocs l campo léctrico sólo s difrt d cro aquél sgmto dod ést s cocta. Matricialmt, l sistma d cuacios qudaría como: P P P ω jk ( s, s j ) ω jk ( s, s j ) N ω jk ( s, s j ) 0 j= j= j= P P P c ω jk ( s, s j ) ω jk ( s, s j ) N ω jk ( s, s j ) c j= j= j= V jωε = c P P P N ω jk ( sn, s j ) ω jk ( sn, s j ) N ω jk ( sn, s j ) 0 j= j= j= gap. (4.58)

101 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos La propusta d st trabajo cosist dividir l alambr sgmtos o quidistats. Esto pudira sigificar ua dsvtaja cuado s csit ralizar ua gráfica d la distribució d corrit a partir d M putos quidistat. Para suprar sto s rcurr a u procso d itrpolació lagragiaa co putos scillos: ( q s ) ( s ) L Iɶ ϕ ( q s ) = c i ( s ), q = 0,,,, M, s =, (4.59) M N N i i i= = ϕi i dod I ɶ s l poliomio itrpolat d la corrit, q s l úmro dl puto quidistat, s s l tamaño dl sgmto quidistat, y las fucios auxiliars ϕ i s dfi por: ( ) N F s ϕi ( s ) = = ( s s j ). s s (4.60) i El úmro d putos a itrpolar M podría sr difrt dl úmro d sgmtos N qu s dividió l alambr. Si mbargo, si la divisió ralizada fu quidistat, tocs s csario qu M = N para vitar la aparició dl fómo d Rug-Borl. E cambio, si la divisió s ralizó d acurdo a la forma qu s distribuy las raícs d Lgdr o d,, s garatiza qu l fómo o s prstará y podrá Chbyshv l domiio [ ] obtrs tatos datos quidistats itrpolados como fus csarios. Al calcular l patró d radiació, s llga tambié a ua forma itgral qu pud valuars fácilmt implmtado ua cuadratura. Primramt, l vctor potcial magético s xprsa como: = j= j i jr N µ jr r r A = c i ˆ s ( s ) ds. 4π r s (4.6) Al aplicar l método d cuadratura d Gauss s ti: jr N P µ jr r ( s j ) r A = c ˆ ζ ji s j s ( s j ), (4.6) 8π r = j= dod P s l úmro d raícs d Lgdr usadas la cuadratura, ζ j so los psos d la cuadratura y s j so las raícs mapadas. El vctor potcial así obtido s cutra rfrciado l sistma rctagular XYZ. Para cotrar l campo léctrico fució d las coordadas sféricas s dduc qu: jr N P jωµ jr r ( s j ) r E ˆ ˆ θ = jω Aθ = c ζ ji s j s s j aθ, 8π r = j= jr N P jωµ jr r ( s j ) r E ˆ ˆ ϕ = jω Aϕ = c ζ ji s j s s j aϕ, 8π r = j= (4.63)

102 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos 4.6. Sgmtació quidistat l método d momtos El squma d sgmtació quidistat ha sido l úico cotrado la litratura, para sgmtar a la ata para utilizar l método d momtos [7]. Est surg d mara atural al ralizar la discrtizació d la cuació d Pocligto, ya qu ralidad o xist justificació algua para complicar más l problma y propor algú otro tipo d sgmtació. Si mbargo, como s ha xpusto atriormt, s csario buscar sgmtacios altrativas para mjorar la solució umérica y vitar problmas como l fómo d Rug-Borl prst la sgmtació quidistat. E la sgmtació quidistat, cada sgmto qu fu dividida la ata, ti la misma logitud d arco, como s mustra la Fig. 4.6: L = = = N =, =. (4.64) N Esto prmit xprsar a los lmtos d la matriz d impdacia como: Q P L Z υ ω w ( s ) K ( s, s ) i ( s ), m, =,,, N, (4.65) ωε = = m i j m i i j j 4 jn i j dod s j so las P raícs mapadas y s i so las Q raícs mapadas lmtos d la matriz d voltajs qudaría como: Q L v w s E s m = N m. Los I υ,,,,. (4.66) m i m i s i N i= Si s utiliza la técica dl ajust d putos, los lmtos d la matriz d impdacia s dtrmia por: P L Z = ω K ( s, s ), m, =,,, N. (4.67) ωε = m j m j jn j Si s supo qu las dltas d Dirac s coloca l ctro d cada sgmto, tocs s s: m ( m ) L sm = m =, m =,,, N. (4.68) N Para l cálculo dl campo léctrico ljao, las cuacios d sus compots sféricas qudaría como: jr N P jωµ L jr r ( s j ) r E c ˆ ˆ θ = ζ ji s j s s j aθ, 8π rn = j= jr N P jωµ L jr r ( s j ) r E c ˆ ˆ ϕ = ζ ji s j s s j aϕ. 8π rn = j= (4.69)

103 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos E l caso quidistat, los valors d corrit obtidos o csita itrpolars para obtr la gráfica d la distribució d corrit. Si mbargo, si s itrpolara M valors d corrit a partir d los N valors obtidos co l método d momtos, tocs s prstaría l fómo d Rug-Borl para cualquir valor M N. Esto costituy ua gra dsvtaja, ya qu si la gráfica d distribució d corrit rquir d más d N putos (más rsolució), tocs csariamt s ti qu aumtar l úmro d sgmtos d la ata y por lo tato s icrmta l úmro d icógitas dl sistma d cuacios, lo cual s rflja mayor timpo d máquia. El fómo d Rug-Borl la itrpolació d valors d corrit o s db al método d Lagrag, al método d Gauss d cuadratura o al método d momtos, sio qu s db xclusivamt al hcho d habr sgmtado quidistatmt la ata. Figura 4.6. Sgmtació quidistat dl alambr d gomtría arbitraria Sgmtació o-quidistat l método d momtos S ha comprobado qu cualquir procso d itrpolació, l fómo d Rug- Borl dsaparc al cosidrar ua itrpolació o-quidistat. E spcial s ha comprobado la ficicia dl uso d las raícs d los poliomios d Chbyshv y Lgdr para ralizar l procdimito d itrpolació; las raícs d los poliomios, mapadas l itrvalo d itrés [ a, b ], sirv como los putos { x, x,, x} los cuals db d mustrars la fució f ( x ) qu srá aproximada co l poliomio d Lagrag ( x) Pol. D ambos tipos d raícs, las d Lgdr so más fctivas qu las d Chbyshv, si mbargo su dsvtaja stá podrlas dtrmiar, ya qu s rquir d algú algoritmo umérico qu las calcul. A psar d qu las raícs d Chbyshv pud dtrmiars por mdio d ua fórmula aalítica, su dsmpño s ifrior auqu acptablmt buo rspcto a las raícs d Lgdr

104 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos El método d momtos ha dmostrado sus virtuds trasformar ua cuació oprador ua simpl cuació matricial, qu pud rsolvrs fácilmt co algoritmos computacioals. Al rsolvr la cuació d Pocligto, los coficits d las fucios bas forma u vctor columa: ( c ) [ c c c ] =,,,, (4.70) l cual prmit xpadir la corrit l alambr térmios d las fucios bas: N ( ) ( ) = T N I s = c i s. (4.7) E busca d u squma d sgmtació o-quidistat, las fórmulas atriors sigu i s =, sido válidas, pro ahora los valors d la corrit mdidos los putos dod qu gralmt corrspod a los putos ctrals d los domiios d las fucios bas, dja d sr quidistats, por lo qu s csita aplicar u método d itrpolació para podr dtrmiar putos quidistats l valor d la corrit qu csita sr graficada. Al abordar l método d itrpolació s ti qu garatizar la o aparició dl fómo d Rug-Borl. Esto quda asgurado al utilizar las raícs d los poliomios d Lgdr; por lo tato, los putos ctrals d los domiios d las fucios bas, db d corrspodr a 0, L. D aquí s dsprd qu l úmro d raícs las raícs dl poliomio mapadas [ ] db d sr igual al úmro d fucios bas, l cual o csariamt s igual al úmro d sgmtos qu s divid l alambr 7. El método d momtos, por mdio d las fucios bas subdomiio, discrtiza la cuació d Pocligto. El domiio d cada ua d llas corrspod a uo o dos sgmtos qu s divid l alambr. Por lo tato, la discrtizació d la cuació d Pocligto quival a dividir la ata N sgmtos, los cuals so aproximadamt rctos y los cuals la corrit total s aproximadamt costat. Si tomamos cuta qu las fucios bas db d colocars ahora bajo u squma o-quidistat, tocs la distribució d las raícs dl poliomio d Lgdr implica otra discrtizació dl domiio I s. Por lo tato, xist al mos dos formas d apostar las raícs los d la corrit sgmtos d la ata: l ctro d cada uo d llos o los xtrmos d éstos. Al implmtar sta última forma s v qu para N sgmtos s csitaría N + raícs; sto o parc sr muy atural, y d hcho al programarlo, las solucios obtidas s comporta muy istablmt. La siguit forma cosist ctrar cada raíz dtro d cada sgmto; al implmtar sta otra forma s csita N raícs para N sgmtos. Esta solució, cuya aturalidad s vidt, s comporta si istabilidad algua, por lo qu fu l squma utilizado st trabajo d tsis. Ahora qu s sab qu cada raíz db d star l ctro d cada sgmto, lo siguit s dtrmiar la logitud d cada uo d llos. Esta s dtrmia por las difrcias d coordadas d los xtrmo d éstos. Cosidrmos la Fig Ya qu s cooc qu cada raíz s localiza l ctro d cada sgmto, tocs, las coordadas d cada sgmto so: 7 Cuado las fucios bas cubr más d u sgmto, como las triagulars o pdazos soidals, l úmro d fucios bas s mor por ua uidad al úmro d sgmtos

105 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos Figura 4.7. Sgmtació o-quidistat térmios d las raícs d Lgdr. Sg 0 = 0, Sg = s Sg + Sg = s Sg, Sg = s Sg + Sg = s Sg, Sg = s Sg + Sg = s Sg, Sg = s Sg + Sg = s Sg, Sg = s Sg + Sg = s Sg, Sg = s Sg + Sg = s Sg (4.7) A partir d stas rlacios, rsulta vidt la siguit cuació rcursiva: Sg = s Sg, = 0,,, N, (4.73) dod Sg 0 = 0. Como s d sprars, la última coordada dl xtrmo dl último sgmto, db sr igual a la logitud dl alambr, s dcir: Sg = L, N = m +, m Z. (4.74) N Si mbargo, sto sólo rsulta cirto si N s u úmro impar. Para valors pars d N la rlació atrior o s cumpl, sido Sg mayor qu L. Esto o db d vrs como u N rror la forma qu s sgmta l alambr, ya qu la cuació (4.73) furza a qu cada raíz s cutr l ctro d cada sgmto. Esto simplmt sigifica qu para sgmtacios pars, la covrgcia tid a sr mucho mor qu l caso impar 8. D hcho, coform N crc, la igualdad (4.74) s cumpl corrctamt para N par: lim Sg = L, N = m, m Z. (4.75) N N Pud vrs qu l fómo d la paridad aparc icluso si s comiza a mdir a partir dl xtrmo fial dl alambr hacia l iicio d ést. Las coordadas d cada sgmto s calcula rcursivamt por: dod Sg N Sg = s Sg, = N, N,,, (4.76) = L. Ahora, para u valor par d N, s ti qu Sg 0 < 0. 8 D hcho, la mayoría d los métodos uméricos, la paridad tid a sr u factor qu dtrmia la covrgcia dl método. Por jmplo, la itrpolació trigoométrica, s aprovcha sta propidad para aclrar la xactitud d la fució itrpolat; sto s logra al costruir ua fució impar a partir d ua par

106 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos Dsd st puto d vista, si importar qué stido s calcul las coordadas d cada sgmto, la paridad d N hac aparcr l fómo. El hcho d qu Sg 0 < 0 o db vrs tampoco como u rror, simplmt sigifica qu las sgmtacios pars covrg más ltamt qu las impars. Coform N crc s cumpl la siguit idtidad: lim Sg = 0, N = m, m Z. (4.77) N 0 Podría psars tambié qu l fcto dsaparcrá al utilizar las raícs d algú otro poliomio, pro como s v las fórmulas (4.73) y (4.76), los valors d s podría sr los d las raícs d cualquir poliomio. Esto sigifica qu l tipo d raícs utilizadas o solucioa l fómo. El fómo d la paridad sólo dsaparc si la sgmtació s quidistat; d acurdo a la fórmula (4.73) s ti qu: dod s N s calcula d acurdo a (4.68): L Sg N = sn Sg N = sn ( N ), (4.78) N s N ( N ) L =, (4.79) N por lo tato, al sustituir (4.78) s ti: Sg N ( ) + ( ) N L N L = = L. (4.80) N D sta forma, la sgmtació o-quidistat, l fómo d la paridad db vrs como ua caractrística itrísca dl método. Por lo tato, s covit utilizar sólo valors impars d N para qu los rsultados sa adcuados. Empro, l utilizar u valor par d N produc solucios istabls la distribució d corrit. Esta istabilidad s aprcia como ua pquña oscilació suprpusta la gráfica d la corrit; la amplitud d la oscilació dismiuy coform la sgmtació s más dsa. Por lo tato, s rsposabilidad dl usuario dtrmiar la paridad d la sgmtació; l autor d st trabajo sugir utilizar solamt valors impars. Para la sgmtació o-quidistat, los lmtos d las matrics dl método d momtos sigu calculádos co las siguits fórmulas: Z w s K s, s i s, Q P m m υiω j m i i j j 4 jωε i= j= Q m m υi m i s i i= I ( ) ( ) v w s E s m, =,,, N, (4.8) dod la logitud dl sgmto s dtrmia por: = Sg Sg, =,,, N. (4.8) - 0 -

107 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos 4.8. Coclusios dl Capítulo IV E st capítulo s prstaro los métodos d itrpolació lagragiaa y cuadratura gaussiaa, co los cuals s pud cocluir qu l uso d las raícs d los poliomios d Lgdr prmit la costrucció d u poliomio itrpolat l cual s garatiza la auscia dl fómo d Rug-Borl y admás s garatiza qu la itgració d st poliomio corrspodrá a la qu tga l mor rror posibl. Estas hrramitas so muy útils para optimizar la solució dl método d momtos d la cuació d Pocligto. La dificultad dl uso d las raícs d Lgdr rsid dtrmiarlas, ya qu o xist ua fórmula aalítica qu las proporcio, como l caso d las raícs d los poliomios d Chbyshv. Si mbargo, st capítulo s prstó u método umérico para dtrmiarlas, l cual costituy ua aportació hcha por st autor. El algoritmo o sólo s útil para poliomios d Lgdr, sio tambié para cualquir otro poliomio dod s busqu sus cros. Los rsultados obtidos co st método rsulta alguas vcs más xactos qu los cosguidos co programas como MATLAB, admás d cosumir muy pocos rcursos d cómputo y prstar u rápido dsmpño. Tambié s prsta st capítulo u squma d sgmtació o-quidistat para dividir la ata y aplicar l método d momtos. Est squma s basa cómo s,, pro mapadas a lo distribuy las raícs d los poliomios d Lgdr l domiio [ ] largo d toda la logitud dl alambr. La sgmtació surg d mara atural al cosidrar la discrtizació itrísca dl método d momtos; para vitar la aparició dl fómo d Rug-Borl, los ctros d los sgmtos o quidistats ti qu coicidir co las raícs 0, L. D sta forma, s cosigu dos objtivos: La o aparició d Lgdr mapadas [ ] dl fómo d Rug-Borl los valors itrpolados d corrit obtidos a partir d los valors d corrit o quidistats y la sgmtació o-quidistat d la ata. El squma d sgmtació quidistat rsulta la forma más trivial qu pud dividirs la ata. E st squma la logitud d todos los sgmtos s la misma. La vtaja más vidt d st squma s la simplicidad d la implmtació computacioal dl método d momtos. Su dsvtaja más grad rsid la aparició dl fómo d Rug-Borl. E cotrast, l squma d sgmtació o-quidistat s u poco más complicado d implmtar computacioalmt, ya qu implica calcular N raícs d Lgdr. Si mbargo, su vtaja más grad cosist qu s garatiza la o aparició dl fómo d Rug-Borl, y s garatiza qu l rror d los valors itrpolados d corrit s l mor posibl. Db mcioars qu las virtuds dl squma o-quidistat dsaparc coform N s hac más grad. Esto s db a qu las raícs d Lgdr comiza a distribuirs,, d tal forma qu para valors suficitmt más uiformmt l domiio [ ] grads d N o xistirá difrcias tr ua sgmtació quidistat y ua oquidistat. El podr d las raícs d Lgdr s aprcia para valors pquños d N. Tambié s cotró qu la sgmtació o-quidistat aparc l fómo d la paridad dl úmro d sgmtos. Est fómo surg como ua coscucia lógica d forzar a qu cada raíz s cutr l ctro d cada sgmto. Esto o db vrs como u dfcto dl método, simplmt sigifica qu para valors pars d N, la covrgcia dl método s mor qu para valors impars. Coform N crc, la paridad dja d cosidrars como ua limitat dl método. La istabilidad d la paridad s prsta como - 0 -

108 Capítulo IV: Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Para El Método d Momtos ua rápida oscilació suprpusta a la gráfica d la distribució d corrit. E térmios matricials, la istabilidad s db a qu, para u grador Dlta-Gap coctado l ctro d la ata, la matriz d voltajs dja d sr simétrica. La amplitud d la oscilació dcrc coform N aumta, lo cual provoca qu la matriz d voltajs s covirta simétrica. El fómo d la paridad y la istabilidad d la gráfica d corrit o s algo qu ats haya llamado la atció, ya qu la sgmtació quidistat éstos uca s prsta. El studio d st fómo costituy otra d las aportacios dl autor d sta tsis. Rfrcias [] C. Laczos, Applid Aalysis. Dovr Nw Yor. [] C. Laczos, Liar Diffrtial Oprators. Dovr Nw Yor. [3] M. Abramowitz, I. A. Stgu, Hadboo of mathmatical fuctios. Wily ad Sos. 97. Nw Yor. [4] J. C. Maso, D. C. Hadscomb, Chbyshv Polyomials. Chapma & Hall CRC Prss. 00. [5] Margarita Suárz Aloso, Matmática Numérica. IPN-Miistrio Suprior d Cuba, 997, México D.F., p.p [6]Víctor Barrra-Figuroa, Jorg Sosa-Pdroza, José Luis Lópz-Boilla, Multipl root fidr algorithm for Lgdr ad Chbyshv polyomials via Nwto s mthod i: Aals Mathmatica t Iformatica, Nov. 006, Vol. 33, p.p [7] Costati A. Balais, Advacd Egirig Elctromagtics. Jho Wily & Sos. 989, Caada, p.p

109 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Capítulo V Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat

110 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Itroducció Para rsolvr las cuacios itgrals, qu rprsta la distribució d corrit los coductors qu forma la ata, s csario aplicar métodos uméricos ya qu o s posibl obtr solucios aalíticas dbido a su dificultad matmática. El más adcuado para stos propósitos s l método d momtos, l cual produc ua cuació matricial qu pud rsolvrs co los métodos stádar dl álgbra lial. Usualmt s utiliza fucios bas subdomiio para dsarrollar la corrit dscoocida, auqu a vcs s mpla fucios d domiio complto. El hcho d usar fucios bas subdomiio pud itrprtars qu l alambr stá sido dividido pquños sgmtos, los cuals pud cosidrars aproximadamt rctos y los cuals sólo stá dfiida la fució bas corrspodit. Comúmt s utiliza sgmtos d igual logitud, ya qu st tipo d sgmtació s la más trivial y la qu pud programars más rápidamt. Los sgmtos ti qu sr colials para cosrvar la idpdcia lial dl sistma d cuacios. Si mbargo, ua sgmtació quidistat o s l úico squma prmitido, ya qu l método d momtos o rstrig l tamaño d los sgmtos. Por sta razó, sta Tsis s propo ua sgmtació o-quidistat basada la forma qu s distribuy las raícs d los,. Esta sgmtació s ua propusta iovadora qu poliomios d Lgdr [ ] dismiuy los rrors asociados co l método umérico, dbidos tr otras cosas a la cuadratura gaussiaa aplicada a la cuació d Pocligto. La sgmtació o-quidistat tambié ti como objtivo rducir los rcursos d cómputo, tato d mmoria como d timpo d jcució. E sta sgmtació o-quidistat, l úmro d raícs d Lgdr ti qu sr igual al úmro d sgmtos qu s divid l alambr. Cada raíz s coloca l ctro d cada sgmto d tal forma qu s posibl dtrmiar los xtrmos d ést. E l capítulo atrior s vio qu cuado N s impar, la suma d las logituds d todos los sgmtos s igual a la logitud total dl alambr, pro cuado N s par sta igualdad o s cumpl. Solamt cuado l úmro d sgmtos sa suficitmt grad, la suma d las logituds d los sgmtos tdrá como límit al valor d la logitud dl alambr. Est fómo d paridad o db vrs como u rror l método d sgmtació, ya qu sigifica qu para sgmtacios pars la covrgcia dl método s más lta rspcto a las impars. E st capítulo s prsta los rsultados comparativos tr la sgmtació quidistat y la o-quidistat, para difrts combiacios d fucios bas y pso. S compara l úmro d raícs csarias para las cuadraturas gaussiaas d los lmtos d la cuació matricial, admás dl úmro d sgmtos qu s divid la ata para dtrmiar la tasa d covrgcia d las solucios. Tambié s dtrmia l rago d valors dod l radio dl coductor o idtrmia l rl d Pocligto. Fialmt, la pruba qu dmustra d mara cotudt la ficacia dl método s la vrificació d la codició d frotra dl campo léctrico la suprfici dl coductor. Para la sgmtació quidistat sta codició o s cumpl adcuadamt, icluso l campo tid a ifiito los xtrmos d la ata. La sgmtació o-quidistat limia stos problmas, uiformizado la codició d frotra y vitado qu l campo s idtrmi los xtrmos d la ata. Todos stos rsultados comparativos s prsta para la ata dipolo, la cual srá l objto d studio d st capítulo y l parámtro d comparació d los rsultados srá la magitud d la impdacia d trada d la ata. Las coclusios obtidas rsulta sr válidas para cualquir otra gomtría d la ata

111 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat 5.. Aálisis d la stabilidad fució d las raícs d Lgdr para la cuadratura d los lmtos matricials Para calcular los lmtos d la cuació matricial s csario ralizar las siguits itgracios por mdio d métodos uméricos: Zm = wm K ( s, s ) i ( s ) ds ds, jωε m I v = w E ds, m, =,,, N. m m s m (5.) El más adcuado s l método d cuadratura d Gauss-Lgdr, d tr otras técicas como la rgla d Simpso o la d Nwto-Cots []. La cuadratura gaussiaa rduc l rror umérico al míimo, admás dl timpo csario para calcular la itgració, l cual rsulta sr mor qu l d las otras técicas d cuadratura. Las cuadraturas para los lmtos matricials s xprsa como: Z w s K s, s i s, Q P m m υiω j m i i j j 4 jωε i= j= Q m m υi m i s i i= I ( ) ( ) v w s E s, m, =,,, N, (5.) dod m, s la logitud dl m, -ésimo sgmto, quidistat o o-quidistat, y P, Q so l úmro d raícs usadas para la itgració. E l aálisis qu sigu a cotiuació s dtrmia la stabilidad d la magitud d la impdacia d trada fució dl úmro d raícs usadas para las cuadraturas (5.). Para simplificar l aálisis s cosidra qu P = Q. Para difrts combiacios d fucios bas y pso s dtrmia l úmro míimo d raícs co las cuals s cosigu la stabilidad d la solució. Los datos dl dipolo so: L = 0.5 λ, a = L 00, N = 8, = 0.05 L Sgmtació quidistat gap Figura 5.. Fució pso dlta d Dirac, sgmtació quidistat

112 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Figura 5.. Fució pso pulsos, sgmtació quidistat. Figura 5.3. Fució pso triágulos, sgmtació quidistat. Figura 5.4. Fució pso pdazos soids, sgmtació quidistat

113 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat 5... Sgmtació o-quidistat Figura 5.5. Fució pso dlta d Dirac, sgmtació o-quidistat. Figura 5.6. Fució pso pulsos, sgmtació o-quidistat. Figura 5.7. Fució pso triágulos, sgmtació o-quidistat

114 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Figura 5.8. Fució pso pdazos soids, sgmtació o-quidistat. D acurdo a las gráficas atriors, la stabilidad dpd d las fucios bas y pso usadas. La fució pso qu hac más istabl la solució s la dlta d Dirac. E la Tabla 5. s mustra l úmro d raícs csarias para alcazar la stabilidad las cuadraturas gaussiaas d los lmtos matricials. Para la sgmtació quidistat, s csita u promdio d 33 raícs, mitras qu para la sgmtació o-quidistat s csita 3 raícs. E ambos casos l úmro s mucho mor qu l csario por la rgla d cuadratura d Simpso, dod s csario al mos 90 subitrvalos para llgar a la stabilidad. Tabla 5.. Raícs d Lgdr csarias para l cálculo d cuadraturas Sgmtació quidistat Combiació Fució Bas-Fució Pso Númro d raícs P Combiació Fució Bas-Fució Pso Númro d raícs P Pulsos Dltas 8 Pulsos Pulsos 9 Triágulos Dltas 50 Triágulos Pulsos 8 Soids Dltas 50 Soid Pulsos 8 Combiació Fució Bas-Fució Pso Númro d raícs P Combiació Fució Bas-Fució Pso Númro d raícs P Pulsos Triágulos 39 Pulsos Soids 30 Triágulos Triágulos 39 Triágulos Soids 30 Soids Triágulos 39 Soids Soids 30 Sgmtació o-quidistat Combiació Fució Bas-Fució Pso Númro d raícs P Combiació Fució Bas-Fució Pso Númro d raícs P Pulsos Dltas Pulsos Pulsos 33 Triágulos Dltas 33 Triágulos Pulsos 33 Soids Dltas 4 Soid Pulsos 33 Combiació Fució Bas-Fució Pso Númro d raícs P Combiació Fució Bas-Fució Pso Númro d raícs P Pulsos Triágulos 3 Pulsos Soids 3 Triágulos Triágulos 3 Triágulos Soids 3 Soids Triágulos 3 Soids Soids

115 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat 5.. Aálisis d la stabilidad fució dl úmro d sgmtos E l método d momtos s stablc u procdimito para trasformar la cuació itgral ua cuació matricial. El úmro d cuacios icógitas s igual al úmro d fucios bas qu s dsarrolla la corrit dscoocida. Si mbargo, xist u dtall rspcto al úmro d fucios bas y l úmro d sgmtos, los cuals o csariamt rsulta sr iguals. Cuado s usa como fucios bas o pso las fucios triagulars o los pdazos soidals l úmro d sgmtos s mayor por ua uidad qu l úmro d fucios. Esto s db a qu l domiio d dfiició d stas dos fucios alcaza dos sgmtos dl alambr, lo cual s rflja l hcho d qu dos fucios sucsivas parc star traslapadas tr sí l sgmto qu compart. Para las fucios pulsos y dltas d Dirac, st pormor pasa dsaprcibido ya qu l úmro d sgmtos corrspod al úmro d fucios bas y pso. Est dtall o s ha cotrado mcioado la litratura spcializada, y l autor d sta Tsis cosidra qu s u hcho importat qu db idicars para abordar corrctamt d mara computacioal l procdimito dl método d momtos. La quivalcia tr u sistma d cuacios y ua cuació itgral rsulta vidt cuado l úmro d cuacios tid a ifiito. E l momto qu los ídics y l s hac cotiuos la suma siguit s covirt ua cuació itgral: N + K f + K f + + KN fn = g, f ( ) + lim K (, l ) f ( l ) = g ( ), N K f + + K f + + K, l N f N = g = (5.3) K (, ). N f + K N f K NN f N = g N, f + K l f l dl = g Coform s icrmta N, la solució obtida corrspod fctivamt a la d la cuació itgral. E l aálisis qu sigu s dtrmia la stabilidad d la magitud d la impdacia d trada fució d N. Los datos dl dipolo so: L = 0.5 λ, a = L 00, P = 33, = 0.05 L. gap 5... Sgmtació quidistat Figura 5.9. Fució pso dltas d Dirac, sgmtació quidistat

116 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Figura 5.0. Fució pso pulsos, sgmtació quidistat. Figura 5.. Fució pso triágulos, sgmtació quidistat. Figura 5.. Fució pso pdazos soids, sgmtació quidistat. - -

117 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat 5... Sgmtació o-quidistat Figura 5.3. Fució pso dltas d Dirac, sgmtació o-quidistat. Figura 5.4. Fució pso pulsos, sgmtació o-quidistat. Figura 5.5. Fució pso triágulos, sgmtació o-quidistat. - -

118 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Figura 5.6. Fució pso pdazos soidals, sgmtació o-quidistat. D acurdo a las gráficas atriors, la stabilidad dpd furtmt d las fucios bas y pso slccioadas. La fució pso qu hac más istabl la solució s la dlta d Dirac, sobr todo la sgmtació quidistat, dod s vulv divrgt, Fig E la Tabla 5. s mustra l úmro d sgmtos csarios para llgar a la stabilidad umérica. Para la sgmtació quidistat, s csita u promdio d 7 sgmtos, mitras qu para la sgmtació o-quidistat s csita hasta 6. Esta ligra rducció s v rfljada u timpo d máquia mor para solucioar la cuació matricial. Tabla 5.. Númro d sgmtos csarios para alcazar la covrgcia Sgmtació quidistat Combiació Fució Bas-Fució Pso Sgmtos N Combiació Fució Bas-Fució Pso Sgmtos N Pulsos Dltas 0 Pulsos Pulsos 8 Triágulos Dltas 8 Triágulos Pulsos 30 Soids Dltas 8 Soid Pulsos 30 Combiació Fució Bas-Fució Pso Sgmtos N Combiació Fució Bas-Fució Pso Sgmtos N Pulsos Triágulos 30 Pulsos Soids 30 Triágulos Triágulos 30 Triágulos Soids 30 Soids Triágulos 30 Soids Soids 30 Sgmtació o-quidistat Combiació Fució Bas-Fució Pso Sgmtos N Combiació Fució Bas-Fució Pso Sgmtos N Pulsos Dltas 0 Pulsos Pulsos 6 Triágulos Dltas 6 Triágulos Pulsos 30 Soids Dltas 0 Soid Pulsos 30 Combiació Fució Bas-Fució Pso Sgmtos N Combiació Fució Bas-Fució Pso Sgmtos N Pulsos Triágulos 30 Pulsos Soids 8 Triágulos Triágulos 30 Triágulos Soids 8 Soids Triágulos 30 Soids Soids 8-3 -

119 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat 5.3. Aálisis d la stabilidad fució dl radio dl coductor E l modlo d la cuació d Pocligto xist ua sigularidad itrísca qu idtrmia l rl cuado 0 R. L -jr 3 3 s s + R s R s. (5.4) 5 4π R 0 I 4 3 E ˆ ˆ ( ˆ )( ˆ s s = R R jr + jr R ) Ids jωε Est caso ocurr cuado l puto d obsrvació corrspod al puto fut. Para vitar st problma, sta Tsis, los putos d obsrvació s coloca sobr l j dl alambr y los putos futs s localiza sobr la lía quivalt d corrit, la suprfici dl alambr. Cuado las coordadas s y s coicid, la distacia míima tr los putos s:, R = r s r s = a (5.5) lo cual impid qu la itgral s idtrmi. Si mbargo, al sr sta distacia igual al radio dl coductor, dpdmos d qué ta pquño sa ést para qu la itgral s haga sigular. El modlo d Pocligto s apropiado para alambrs dlgados, si mbargo, dbmos rstrigir los valors d a para vitar qu l radio s haga ifiitamt dlgado. Kraus stablció u rago d valors para qu u alambr s cosidr dlgado []: s= s L 60 a L 00. (5.6) Matmáticamt, D. H. Wrr propuso ua altrativa para aislar la sigularidad la cuació d Pocligto para alambrs rctos [3]. Para alambrs d gomtría arbitraria, o xist u procdimito aálogo, por lo cual s csita dtrmiar l rago d valors dod la solució sa stabl. E l aálisis qu sigu s dtrmia la stabilidad d la magitud d la impdacia d trada fució d a. Los datos dl dipolo so: L = 0.5 λ, P = 33, N = 8, = 0.05 L. gap Sgmtació quidistat Figura 5.7. Fució pso dltas d Dirac, sgmtació quidistat

120 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Figura 5.8. Fució pso pulsos, sgmtació quidistat. Figura 5.9. Fució pso triágulos, sgmtació quidistat. Figura 5.0. Fució pso pdazos soidals, sgmtació quidistat

121 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Sgmtació o-quidistat Figura 5.. Fució pso dltas d Dirac, sgmtació o-quidistat. Figura 5.. Fució pso pulsos, sgmtació o-quidistat. Figura 5.3. Fució pso triágulos, sgmtació o-quidistat

122 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Figura 5.4. Fució pso pdazo soidal, sgmtació o-quidistat. D acurdo a las gráficas atriors, s mustra qu l modlo d Pocligto s válido, promdio, para l siguit rago d valors dl radio dl coductor, si importar gra mdida la combiació d fucios bas y l tipo d sgmtació: L L a. (5.7) Est rago varía para las codicios co qu s aalic la ata. La rlació (5.7) coti a la propusta por Kraus para spcificar a los alambrs dlgados. Arriba dl límit suprior, la solució d la cuació divrg, dbido a qu l rl d la itgral s hac sigular. Por lo tato, para vitar st problma, l radio dl alambr db qudar rstrigido a la rlació dfiida por (5.7) Aálisis d la codició d frotra sobr la suprfici dl coductor E u coductor prfcto l campo lctromagético o pud xistir su itrior, por lo qu o pud habr cargas oscilats dtro dl matrial, a xcpció d su suprfici, dod l campo iduc su movimito, crado ua dsidad suprficial d corrit qu s somt a las furzas d Lortz. Cuado l coductor actúa como radiador, la difrcia d potcial co qu s xcita iduc l movimito d cargas léctricas qu stablc ua corrit imprsa su suprfici. Esta corrit gra u campo léctrico qu s propaga como ua oda, pro la suprfici dl coductor su compot tagcial s aula. Cuado l coductor actúa como disprsor, l campo icidt iduc ua corrit imprsa la cual gra u campo disprso, d tal forma qu la compot tagcial dl campo total s cro. La aparició dl campo disprso s ua coscucia d la aturalza dl problma, la cual hac cumplir la codició d frotra dl campo léctrico. La mayoría d los coductors co qu s fabrica atas pud cosidrars prácticamt prfctos, ya qu σ. Si mbargo, u aálisis más dtallado dbría cosidrar la fiitud d la coductividad léctrica, ya qu por l fcto pil, s stablc ua dsidad d corrit co u spsor igual a la profudidad d ptració δ [4]. El modlo d Pocligto cosidra qu δ = 0, d tal forma qu toda la corrit pud cosidrars coctrada u filamto quivalt sobr la suprfici dl alambr. Esta codició s cumpl adcuadamt cuado la frcucia d la corrit s ralmt alta, lo cual s vrifica las atas qu trabaja las badas d los MHz y GHz

123 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat El modlo dl grador Dlta-Gap supo qu l campo léctrico co qu s xcita la ata s cutra cofiado ua pquña sparació practicada l coductor d sta. Fura d la sparació l campo léctrico s cro. V gap si s gap, I I I I V = E s ˆ ds = Es ds = Es gap, Es = (5.8) 0 fura dl gap. gap gap Ua vz qu s cooc la distribució d corrit, s posibl calcular l campo léctrico la suprfici dl alambr d acurdo a: N I s jωε = gap E s c K s, s i s ds, = (5.9) dod la itgració dtro d la suma s raliza térmios d ua cuadratura gaussiaa: N P c E ( s) = ω K ( s, s ) i ( s ), (5.0) ωε = = I s j j j j j sido P l úmro d raícs usadas la itgració, ω j so los psos d la cuadratura y s j so las raícs mapadas. Lo qu s spra s qu l campo léctrico sa cro todos los putos d la suprfici d la ata, mos l ára d xcitació dl grador. E l aálisis qu sigu s dtrmia si la codició d frotra dl campo léctrico s satisfac l ctro y los xtrmos d cada sgmto, fució d difrts combiacios d fucios bas y pso y dl tipo d sgmtació. Los datos dl dipolo so: L = 0.5 λ, P = 33, N = 58, a = L 00, = 0.05 L Sgmtació quidistat gap Figura 5.5. Fució pso dlta d Dirac, sgmtació quidistat

124 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Figura 5.6. Fució pso pulsos, sgmtació quidistat. Figura 5.7. Fució pso triágulos, sgmtació quidistat. Figura 5.8. Fució pso pdazos soidals, sgmtació quidistat

125 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Sgmtació o-quidistat Figura 5.9. Fució pso dlta d Dirac, sgmtació o-quidistat. Figura Fució pso pulsos, sgmtació o-quidistat. Figura 5.3. Fució pso triágulos, sgmtació o-quidistat

126 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Figura 5.3. Fució pso pdazos soidals, sgmtació o-quidistat Gráficas d distribució d corrit La solució d la cuació d Pocligto obtida por l método d sgmtació oquidistat cosist u cojuto d putos qu o pud graficars primra mao ya qu o s cutra distribuidos uiformmt. Esto o s ua dsvtaja d la técica, ya qu co u procdimito stádar d itrpolació lagragiaa s pud graficar más o mos d los valors o-quidistats obtidos. Si s dcid graficar más valors qu los cosguidos, tocs s ahorra l trabajo d cálculo csario para obtrlos, ya qu l procdimito d itrpolació s muy fácil d implmtar y o rquir grads rcursos d cálculo. El graficar mos rsultados o s algo muy comú d cotrar, pro l procdimito prstado sta Tsis cotmpla st caso. El procso d itrpolació lagragiaa co putos scillos obti u dsarrollo poliomial d la corrit: ( q s ) ( s ) L Iɶ ϕ ( q s ) = c i ( s ), q = 0,,,, M, s =, (5.) M N N i i i= = ϕi i dod I ɶ s l poliomio itrpolat d la corrit, q s l úmro dl puto quidistat, s s l tamaño dl sgmto quidistat, M s l úmro d putos a itrpolar y las fucios auxiliars ϕ i s dfi por: ( ) N F s ϕi ( s ) = = ( s s j ), s s (5.) i dod F ( s ) s l poliomio fudamtal, formado por los putos d mustro oquidistats s j. E las gráficas qu s prsta a cotiuació, los datos dl problma so: P = 33, = 0.05 L, a = L 00. El úmro d sgmtos y las dimsios d la ata gap cambia para cada gráfica. j= j i - -

127 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat Figura Distribució d corrit u dipolo léctrico d L = λ. Figura Distribució d corrit u dipolo léctrico d L = λ. Figura Distribució d corrit u dipolo léctrico d L = λ. - -

128 Capítulo V: Rsultados Comparativos Para la Sgmtació Equidistat y No-Equidistat 5.6. Gráficas dl patró d radiació El patró d radiació, admás d mostrar gráficamt aqullas zoas dod la ata trga su radiació, proporcioa iformació suficit para dtrmiar la dirctividad D y la gaacia G d la ata, las cuals s calcula a partir d: 4π D =, G = D, 0, P dω 4π ( θ, ϕ ) (5.3) dod s la ficicia d la ata, la cual s rlacioa co sus pérdidas, dω s u P θ, ϕ s l patró d potcia ormalizado, l cual lmto difrcial d águlo sólido y quda xprsado térmios dl vctor d Poytig S ( θ, ϕ ) : P ( θ ϕ ) S ( θ, ϕ ) ( θ, ϕ ) max ( θ, ϕ ) + E ( θ, ϕ ) E θ ϕ, =, S θ, ϕ =. (5.4) S Z D acurdo a (5.4), s csario cotrar las compots compljas dl vctor dl campo léctrico. Éstas, para u valor d r bastat aljado d la ata, s calcula d acurdo co: 0 jr N P jωµ jr r ( s j ) r E ˆ ˆ θ = c ζ ji s j s s j aθ, 8π r = j= jr N P jωµ jr r ( s j ) r E ˆ ˆ ϕ = c ζ ji s j s s j aϕ. 8π r = j= (5.5) E las gráficas qu s mustra a cotiuació s grafica E θ para ua ata dipolo d difrts logituds. Las difrcias rspcto a las gráficas cotradas la litratura s db a qu l aálisis clásico s supo ua distribució soidal d corrit, mitras qu l aálisis umérico dmustra qu la distribució o s soidal. Los datos dl problma so: N = 40, P = 33, = 0.05 L, a = L 00, r = m, ϕ=0 rad. gap Figura Patró d radiació d la ata dipolo para difrts logituds. Joh D. Kraus, Op. Cit. pág. 5,