Máximos y mínimos de una función real de dos variables reales

Transcripción

1 Mámos mínmos de una uncón real Dencón Sea D una regón del plano Sea :D R Se dce que alcanza su valor mámo absoluto M en un punto P =, ) D cuando M =, ),),) D Se dce que tene un mámo relatvo en un punto P =, ) D cuando, ),),) pertenecente a un entorno de, ) Se dce que alcanza su valor mínmo absoluto m en un punto P =, ) D cuando m =, ),),) D Se dce que tene un mínmo relatvo en un punto P =, ) D cuando, ),),) pertenecente a un entorno de, ) U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II 1

2 Mámos mínmos de una uncón real Mámo absoluto es el maor valor de todos los mámos relatvos Mínmo absoluto es el menor valor de todos los mínmos relatvos Geométrcamente: Los mámos mínmos de una uncón de dos varables mden alttudes mámas mínmas sobre la superce que consttue la gráca de la uncón (son como las cotas del punto más elevado de una colna ó del punto más proundo de una hondonada) No tenen porqué estr, sn embargo, lo msmo que el teorema de Weerstrass nos garantzaba la estenca de mámo mínmo absolutos de una uncón = ) contnua en [ a,b] R, puede demostrarse que z =,) contnua alcanza su valor mámo su valor mínmo absolutos en una regón D cerrada (nclue el borde) acotada del plano U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II

3 Mámos mínmos de una uncón real Teorema 1 Condcones necesaras para la estenca de etremos relatvos Supongamos que z =,) tene un valor etremo (mámo ó mínmo relatvo) en un punto, ) en el entorno del cual está denda que esten en dcho punto, entonces, )=, )= Demostracón: Sean r 1 r las rectas = = respectvamente, en el plano Sea c 1 la curva en la superce cua proeccón sobre el plano es la recta r 1 Sea análogamente c la curva en la superce cua proeccón sobre el plano es la recta r Sea P =,,z ) el punto de la superce cua proeccón es, ) Supongamos que tene un mámo relatvo en, ), entonces, P es el punto más alto sobre la superce en un entorno suo, luego P es el punto más alto sobre la curva c 1 sobre la curva c (para puntos prómos a P) Por tanto, por la teoría de mámos relatvos para uncones de una varable, se tene que, ) =, ) = Conclusón: S buscamos los etremos relatvos de una uncón ha que analzar los puntos donde las dervadas parcales valen cero ó no esten Dchos puntos se llaman puntos crítcos ó estaconaros de El teorema anteror no es sucente para estudar el problema de la estenca de los valores etremos de la uncón Sn embargo, s estamos seguros de que esten, este teorema nos permte hallar sus valores En caso contraro es precso hacer un estudo más detallado: Analzando los valores de la uncón en un entorno del punto crítco ó ben recurrendo a las dervadas parcales de orden superor al prmero en el punto en cuestón Para uncones de una varable, = ), s ) = ) >, entonces ) tene un mínmo relatvo en Vamos a tratar de buscar un crtero análogo para uncones de dos varables Es precso decr ( es una pena!) que s, ) =, ) =, aunque sean postvas en, ), no podemos garantzar que tenga un mínmo relatvo en, ) (Contraejemplo:, ) = en, ) =(,)) U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II 3

4 Mámos mínmos de una uncón real Fórmula de Talor para una uncón de dos varables Sea una uncón z=,) contnua con dervadas parcales contnuas hasta el orden, n+1, nclusve, en un entorno del punto P(a,b) Entonces se puede representar, al gual que en el caso de una varable, como la suma de un polnomo de grado n en dos varables un resto Para n= la órmula de Talor sería:,)=(a,b) + (a,b)-a) + (a,b)(-b) + 1 (a,b) a) (a,b) a)( b) (a,b)( b) +! (c,b) a) + 3 (c,b) a) ( b) + 3 (c,b) a)( b) + (a,d)( b) 3 3 3! 1 3 c1, c, c3 (a, ), o ben,,a) sendo d (b, ), o ben, (, b) 1 La epresón (a,b)+ (a,b)-a)+ (a,b)(-b) es la apromacón lneal de 1 (a,b) a) (a,b) a)( b) (a,b)( b)! + + sumada a la anteror consttue la apromacón cuadrátca, o de orden es el térmno cuadrátco 3 1 (c,b) 3 (c,b) a) ( b) 3 (c,b) a)( b) (a,d)( b) 3 3! térmno complementaro o resto lo desgnaremos R es el Para n> la órmula de Talor sería totalmente análoga Demostracón: Desarrollaremos, en prmer lugar,,) por Talor consderando constante,b),)=,b)+,b)(-b)+!,d) (-b) + (-b) 3 sendo d (,b) ó (b,) (1) 3! Consderamos ahora los desarrollos de Talor en =a de,b),,b),,b),,d) (a,b) (c 1,b) 3 a) + a) con c 1 ( a, ) ó,a)! 3! (c,b) (a,b)+ (a,b) a) + a) con c (a,) ó,a)! (a,b) + (c 3, b) a) con c 3 (a, ) ó,a),b)=(a,b)+ (a,b)-a)+,b)=,b) =,d)= (a,d) Susttuendo en (1):,) = (a,b) + (a,b)-a) + (c,b) a) +! (a,b) (c 1,b) 3 a) a)! + 3! + (-b)+ (a,b) + (c 3, b) a) (-b) + (a,d) (-b) 3 (a,b) + (a, b) a) U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II 4

5 Mámos mínmos de una uncón real Desarrollando agrupando por el orden de las dervadas:,) = (a,b)+ (a,b)-a) + (a,b)(-b) + 1 (a,b) a) (a,b) a)( b) (a,b)( b)! (c,b) a) + 3 (c,b) a) ( b) + 3 (c,b) a)( b) + (a,d)( b) 3 3 3! 1 3 sendo c1, c, c3 (a, ), o ben,,a) d (b,), o ben, (, b) Teorema Condcones sucentes para la estenca de etremos relatvos Crtero de la dervada segunda Sea z=,) una uncón denda en D R P o, o ) D Supongamos que tene dervadas parcales de prmer segundo orden contnuas en D que P o, o ) es un punto crítco de, es decr o, o )= o, o )=, entonces se verca que: 1º) tene un mámo en P o, o ) s: o, ) <, ), ) o o o o o, o) o, o) > º) tene un mínmo en P o, o ) s: o, ) >, ), ) o o o o o, o) o, o) > 3º) no tene n mámo n mínmo en P o, o ) pues crece en unas dreccones decrece en otras, dremos que presenta un punto de slla, s: o, o) o, o), ), ) < o o o o 4º) S o, o) o, o), ), ) o o o o en Será precso realzar un estudo más detallado =, entonces no podemos asegurar que esta o no etremo Demostracón: Para analzar s presenta, o no, un etremo en Po,o) debemos estudar s permanece constante, o no, el sgno de,) - o,o), sendo,) Eo,o) D Desgnamos,)=o+h,o+k), entonces -o=h, -o=k Consderamos la apromacón lneal en la órmula de Talor, tenendo en cuenta que o,o)= o,o)= : U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II 5

6 ,) - o,o) = Mámos mínmos de una uncón real 1 (c, )h 1 o! + (c, o )hk o,d)k + c1, c ( o, o + h), entonces al ser,, contnuas en Eo,o), s tomamos h k d ( o, o + k) sucentemente pequeños, el sgno que toma la epresón 1 (c 1, o )h! + (c, o )hk + o,d)k es gual al que toma o, o)h + o, o)hk o, o)k + Es decr sgno(,) - o,o)) = sgno o, o)h + o, o)hk + o, o)k Multplcando ambos membros por o,o) o, o)h + o,o) tenendo en cuenta que o, o)hk o, o)k + = (, ), ), ) k ) ( ) o, o)h + o, o)k + o o o o ( o o ), ), ) + + k, ), ) ( ) o, o)h o, o)k o o o o o o o o =, entonces: 1º) S o,o)< o, o) o, o), ), ) o o o o >, entonces ha de ser sgno(,) - o,o))<, luego tene un mámo relatvo en P º) S o,o)> tene un mínmo relatvo en P o, o) o, o), ), ) o o o o >, ha de ser sgno(,) - o,o))>, luego 3º) S o, o) o, o), ), ) o o o o <, la uncón crece en unas dreccones decrece en otras Por ejemplo s o,o)>, la uncón crece a lo largo de la recta k=, decrece a lo largo de la recta o, o)h + o, o)k =, (análogamente s o,o)<) 4º) S o, o) o, o), ), ) o o o o sgno de pues en este caso, por ser el sgno de =, no podemos obtener conclusones generales acerca del o,o) (,) - o,o)) gual al sgno de o,o) o, o)h + o, o)hk o, o)k o, o)h + o, o)k, cabe la posbldad de que la epresón o, o)h + o, o)hk + o, o)k = no se puede deducr nada acerca del sgno(,)-o,o)) + = ( ) U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II 6

7 Nota En el teorema anteror el nombre de Hessano de El número ( ) Ejemplos: Mámos mínmos de una uncón real = en D = se denomna, a veces, dscrmnante de Éste últmo determnante recbe,) = 5- -,) = +,) =,) = U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II 7

8 Mámos mínmos de una uncón real Cálculo de mámos mínmos absolutos de una uncón S z=,) es una uncón contnua en una regón D cerrada acotada, a hemos dcho que alcanza sus valores mámo mínmo absolutos Según lo que acabamos de ver, estos valores se alcanzarán en: Puntos rontera de D Puntos crítcos de (puntos nterores de D en los que = =, o alguna de ellas no esta) Calculando en todos ellos elgendo los valores maor menor tendremos los valores mámo mínmo absoluto respectvamente MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONADOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Proposcón Sea z =,) una uncón contnuamente derencable en un aberto U de R Sea r (t) = ((t),(t)) la ecuacón de una curva plana C enteramente contenda en U que posee en cada punto vector tangente r (t) = (t), (t)) S el punto, ) r hace máma ó mínma,) sobre C, entonces, ) = (, ), ) es perpendcular a dcha curva en, ) Demostracón: Sea t R tal que r(t ) =, ) La uncón compuesta: (, )(, ) ( '( t ), '( t )) c t z = ( r (t)), que tene como t gráca la curva sobre la superce, posee un mámo (ó mínmo) en t Por tanto, d [ ( r (t))] = en t = t dt Aplcando la regla de la cadena: d d d = + = (r(t)) r (t) = en t = t Luego, ) r (t ) dt dt dt Como r (t ) es tangente a C en, ), se tene que, ) es perpendcular a la curva en, ) U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II 8

9 Mámos mínmos de una uncón real Método de los multplcadores de Lagrange Sea g una uncón de dos varables contnuamente derencable en un subconjunto del domno de S, ) hace máma (ó mínma) a,), sujeta a la condcón etra g,) =, entonces, ) g, ) son colneales, es decr, de gual dreccón En consecuenca, este un escalar λ tal que, ) = λ g, ) Demostracón geométrca: La ecuacón g,) = dene una curva C que vamos a suponer que posee en cada punto un vector tangente no nulo Como, ) hace máma (ó mínma) a,) sobre C, sabemos que, ) es perpendcular a C en, ) Puesto que g, ) es tambén perpendcular a C en, ) (a que en todo punto el gradente es perpendcular a la curva de nvel que pasa por dcho punto), los dos gradentes han de ser colneales Nota El recíproco no es certo Ha que estudar lo que ocurre en un entorno del punto Forma práctca de cálculo en el método de los multplcadores de Lagrange Para mamzar ó mnmzar una uncón,) sujeta a la restrccón g,) =, se construe la uncón aular H,, λ ) =,) - λ g,) Luego se hallan los valores,, λ para los cuales son nulas las dervadas parcales de H: H =, H =, H = λ Estos requstos son equvalentes a los ormulados anterormente a que: U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II 9

10 H g Mámos mínmos de una uncón real = λ = ó ben = λ g H = λ g = ó ben = λ g Hλ = g, ) = ó ben g, ) = Las prmeras dos ecuacones dan =λ g, la últma g,) = Nota Toda la teoría anteror puede etenderse (sn más que añadr una coordenada) a uncones de tres varables,,z) En este caso, tene sentdo plantearse el problema de hallar mámos ó mínmos de condconados por dos restrccones g,,z) = h,,z) = Se localzan los puntos P,,z) que satsagan smultáneamente las ecuacones : =λ g+µ h g,,z) = h,,z) = Se requere que las uncones, g h tengan dervadas parcales prmeras contnuas La nterpretacón geométrca de las ecuacones anterores es senclla: Sea C la curva derencable nterseccón de las dos superces g h g = h = 9 9 Superce g= A lo largo de esta curva buscamos los puntos donde alcanza mámos ó mínmos relatvos respecto a sus otros valores sobre Superce h= la curva Estos son los puntos donde es perpendcular a C, como vmos anterormente Pero tambén g C está en las superces g = h = Por tanto, h, es decr, =λ g+µ h para certos h son perpendculares a C en estos puntos, a que λ µ está en el plano determnado por g Como los puntos que buscamos están además en ambas superces, sus coordenadas han de satsacer las ecuacones g,,z) = h,,z) =, que son los dos últmos requstos que habíamos escrto U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II 1

11 Mámos mínmos de una uncón real OBTENCIÓN DE UNA FUNCIÓN A BASE DE DATOS EXPERIMENTALES SEGÚN EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Supongamos que se quere establecer una relacón unconal, = ), entre dos varables e (ó ben z =,)), que se conocen epermentalmente n valores de la uncón ( 1,, n) para los valores correspondentes de 1,, n ) (ó ben se conocen (z 1,z,z n) para los correspondentes ( 1, 1),, ),, n, n))) Estos puntos epermentales, ), = 1,n, se dsponen en el plano (ó ben,,z ), = 1,n en el espaco) de coordenadas, a la vsta de su dsposcón, se deducrá de qué orma ha de ser la uncón buscada Por ejemplo, s la dsposcón uera: z parece lógco pensar que la relacón entre,, z ha de ser lneal, es decr: z =,) = a + b +c En cambo, s la stuacón uera la sguente: sería natural buscar una uncón de la orma z = ) = ae b + c Una vez que, a la vsta del gráco, se ha elegdo la orma de la uncón =,a,b,c,) (ó ben z =,,a,b,c)), el método de los mínmos cuadrados consste en buscar los parámetros a, b, c, de orma que sea mínma la suma de los cuadrados de las derencas entre los valores epermentales los valores,a, b,c,) (ó ben entre los valores z los valores,,a,b,c,) ) de la uncón en los puntos )correspondentes (ó ben en, )) Es decr, han de elegrse a, b, c, para los cuales la uncón de varas varables n S(a,b,c,) = [,a,b,c,)] tenga un mínmo = 1 Por el teorema 1, se ha de cumplr: S S S =, =, =, a b c U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II 11

12 Mámos mínmos de una uncón real Es decr, desarrollando dchas dervadas parcales:,a, b,c,) n [,a, b,c,)] = = 1 a,a, b,c,) n [,a, b,c,)] = = 1 b Se obtene así un sstema con tantas ecuacones como ncógntas (los parámetros) que habrá que estudar en cada caso Del msmo modo se procedería para el caso S(a,b,c,) = [z,,a,b,c,)] n = 1 U D de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: Cálculo II 1