PROBLEMAS DE ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALOS

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1 Estadística 1 PROBLEMAS DE ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALOS 1. Obtener un estimador insesgado para p en una m.a.s. de tamaño n de una distribución binomial B(m,p) con m conocido y calcular su error cuadrático medio. Es consistente? 2. Para estimar la media de una población se considera el estimador ax. Encontrar el valor de a que minimice el error cuadrático medio. 3. Los defectos en una placa fotográfica siguen una distribución de Poisson. a) Encontrar un estimador centrado para λ, indicando la varianza del estimador. b) Se estudian 7 placas, encontrando: 3, 5, 2, 1, 2, 3, 4 defectos. Dar la estimación máximo verosímil de λ y de la longitud media entre defectos. 4. Calcular el valor de k para el cuál ˆθ = kx es un estimador insesgado del parámetro θ de la v.a. X que sigue una distribución uniforme en el intervalo (0, θ). 5. En una gran piscifactoría hay una proporción desconocida de peces de una especie A. Para obtener información sobre esa proporción vamos a ir sacando peces al azar. a) Si la proporción de peces de la especie A es p, cuál es la probabilidad de que el primer pez de la especie A sea el décimo que extraemos? b) Tres personas realizan, independientemente unas de otras, el proceso de sacar peces al azar hasta encontrarse con el primero de tipo A: La 1 a persona obtiene el primer pez de tipo A en la décima extracción. La 2 a persona obtiene el primer pez de tipo A en la décimoquinta extracción. La 3 a persona obtiene el primer pez de tipo A en la décimoctava extracción. Escribir la función de verosimilitud y obtener la estimación de máxima verosimilitud de p. 6. Sea X un variable aleatoria con media µ y varianza σ 2. Dadas dos muestras aleatorias independientes de tamaño n 1 y n 2, con medias muestrales X 1 y X 2, demuestre que ˆµ = ax 1 + (1 a)x 2, 0 < a < 1 es un estimador insesgado para µ. Si X 1 y X 2, son independientes, encuentre el valor de a que minimiza la desviación estándar de ˆµ. Es consistente el estimador, para dicho valor de a? 7. Sea X una v.a. con distribución uniforme en el intervalo [0, θ]. Hallar la estimación máximo verosímil de θ. 8. La función de densidad de una v.a. X es f (x, θ) = (θ + 1) x θ si 0 < x < 1. Hallar el E.M.V. de θ.

2 Estadística 2 9. Sea (X 1, X 2,..., X n ) una m.a.s. de una v.a. con función de densidad f θ (x) = θ(1 x) θ 1 ; 0 x 1, θ > 0. Encontrar el estimador máximo verosímil para el paramétro θ. 10. Dada una muestra aleatoria simple (X 1, X 2,..., X n ) procedente de una población X con función de densidad x f(x) = θ e x 2 2θ si x 0 0 si x < 0. Calcular por el método de máxima verosimilitud un estimador para θ. 11. Supón que T 1, T 2 y T 3 son estimadores de θ. Se sabe que E(T 1 ) = E(T 2 ) = θ, E(T 3 ) = θ + 2, V ar(t 1 ) = 12, V ar(t 2 ) = 10 y V ar(t 3 ) = 9. Compara estos tres estimadores desde el punto de vista del sesgo y la varianza. Cuál prefieres? Por qué? 12. Sea X 1, X 2,..., X 7 una m.a.s. de una población que tiene media µ y varianza σ 2. Se consideran dos estimadores de µ: ˆµ 1 = X 1 + X X 7 7 a) Estos estimadores son insesgados? b) Calcular la varianza de cada uno. c) Cuál consideras mejor estimador de µ? Por qué? ˆµ 2 = 2X 1 X 6 + X Sea X 1, X 2,..., X n una muestra aleatoria de tamaño n. a) Demuestre que X 2 es un estimador sesgado de µ 2. Nota: Recordar que V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 b) Qué sucede con el sesgo a medida que aumenta el tamaño n de la muestra? 14. En un experimento de Bernouilli se observan los valores X 1, X 2,..., X n en n ensayos independientes. Se proponen los siguientes estadísticos como estimadores del parámetro p: T 1 = 1 n X i T 2 = 1 ( ) n 1 + X i n n + 2 a) Son estimadores insesgados de p? b) Son estimadores consistentes? i=1 i=1 15. De una distribución de media desconocida y varianza 25 se toma una m.a.s. de tamaño n = 3, (X 1, X 2, X 3 ) y se consideran los siguientes estimadores: T 1 = 0, 65X 1 + 0, 25X 2 + 0, 1X 3 T 2 = 2X 3 X 1 T 3 = X 1 + X 2 + X 3 3 Cuál consideras mejor estimador de la media? Por qué?

3 Estadística Para estimar la media de una variable aleatoria X Exp(λ), se considera una m.a.s. (X 1, X 2, X 3 ) y el estadístico T = ax 1 + 2aX 2 + 3aX 3 Para qué valor de a el valor de ECM(T) (error cuadrático medio) es mínimo? 17. Sea (X 1, X 2,..., X n ) una muestra aleatoria simple de tamaño n de una variable aleatoria X B(p). Se construyen los estimadores: ˆp 1 =X ˆp 2 = a) Son estimadores insesgados? n Xi 2 i=1 n b) Calcular la varianza y el ECM (error cuadrático medio) de cada uno. c) Cuál será mejor estimador de p? Por qué? 18. Dada una m.a.s. (X 1, X 2, X 3 ) de la v.a. X, cuál es mejor estimador de la media de X Razonar la respuesta. θ 1 = X 1 + 2X 2 + X 3 4 o θ 2 = 2X 1 + X 2 + 2X 3? Dos máquinas A y B, usadas para el corte de pieles para zapato, tienen que ser comparadas para comprobar la calidad de la producción. Se extrae una muestra de 50 elementos para la máquina A y 45 para la máquina B. También, se sabe que la varianza de los cortes es de 9 cm para el grupo A y 16 para el grupo B. Sabiendo que el corte sigue una distribución normal y que las medias muestrales obtenidas son respectivamente iguales a 140 cm y 120 cm, hallar un intervalo de confianza al 93 % para la diferencia de medias de las dos poblaciones. 20. Se midió la resistencia a la rotura por tracción de 9 hilos de cierta clase de algodón con los resultados, expresados en kgs, siguientes: Suponiendo que la población de resistencia es normal, hallar unos límites de confianza de la media µ del 95 %. Se puede aceptar, al 95 % que la media de las resistencias es 1.2 KG? Razona la respuesta. Obtén también un intervalo de confianza para la desviación típica de la población, al mismo nivel de confianza. 21. En una bodega se quiere estimar el número medio de litros de vino servidos cada semana. Se sabe que la cantidad de litros que se sirven a la semana está normalmente distribuida con una desviación típica de 40 litros semanales. Determinar un tamaño muestral mínimo para asegurar que el error cometido al estimar el número medio de litros por medio de un intervalo de confianza de nivel 0.99 sea menor que Sea X una v.a. con distribución normal. Se ha obtenido, a partir de una muestra de 40 unidades de la variable X, una media muestral de 4. Calcular el I.C. para la media al 95 % y 99 %, sabiendo que la varianza de la población es igual a 36. Cuál sería el intervalo si no se supiera nada acerca de la distribución de X? 23. Se quiere comparar la renta semanal en los barrios A y B. Se supone que la distribución de las rentas es normal. Se toman las muestras siguientes: A: B:

4 Estadística 4 a) Hallar un intervalo de confianza para el cociente de varianzas. b) Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de medias. 24. En una muestra de 40 personas ingresadas en un hospital, se encuentra que 6 de ellas padecen una determinada enfermedad. Hallar el intervalo de confianza para la proporción de dichas personas, al 99 %. 25. Se examina cada una de 150 piezas recién fabricadas y se registra el número de arañazos por pieza (se supone que las piezas no deben tener arañazos) y resulta la siguiente información: Número de arañazos por pieza Frecuencia observada (número de piezas que presentan ese número de arañazos) Sea X=n o de arañazos en una pieza seleccionada al azar, y suponga que X tiene una distribución de Poisson de parámetro λ. a) Obtener un intervalo de confianza al nivel 0.99 para λ. b) Puede concluirse que el número medio de arañazos por pieza es 1?. c) Sin construir el correspondiente intervalo de confianza y utilizando la informac ón del apartado a), podrías concluir al nivel del 95 % si λ puede o no ser 1?. Razona tu respuesta. 26. Se toma una muestra de 30 cd s y se someten a una prueba de calidad. En 12 se observa cierto desperfecto. a) Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la verdadera proporción de cd s de este tipo que mostrarán defecto como resultado de la prueba. b) Al utilizar la estimación puntual de p obtenida a partir de la muestra preliminar de 30 cd s, cuántos deben probarse para tener una confianza del 95 % de que el error al estimar el verdadero valor de p sea menor que 0.02?. c) De qué tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos el 95 % de que el error al estimar p sea menor que 0.02, sin importar el valor verdadero de p?. 27. Se analiza la proporción de productos defectuosos producidos por dos líneas de producción. Una muestra aleatoria de 100 unidades provenientes de la línea 1 contienen 10 que son defectuosas, mientras que una muestra aleatoria de 120 unidades de la línea 2 tiene 25 que son defectuosas. Encuentre un intervalo de confianza del 99 % para la diferencia de proporciones de productos defectuosos producidos por las dos líneas. 28. Se pueden utilizar dos pruebas analíticas diferentes para determinar el nivel de impureza en aleaciones de acero. Se probaron ocho especímenes con ambos procedimientos y los resultados fueron:

5 Estadística 5 Espec. Prueba 1 Prueba Se puede concluir que ambas pruebas dan el mismo nivel de impureza promedio? Utiliza un nivel del 0,99 % y supón en donde haga falta, que la distribución es normal. 29. Un científico de computación está investigando la utilidad de dos lenguajes de diseño para mejorar las tareas de programación. Se pide a doce programadores expertos, familiarizados con los dos lenguajes, que codifiquen una función estandar en ambos lenguajes, anotando el tiempo, en minutos, que necesitan para hacer esta tarea. Los datos obtenidos son: Tiempo Programador Lenguaje 1 Lenguaje a) Obtén un intervalo de confianza del 95 % para la diferencia en los tiempos de codificación promedio y explica qué hipótesis has adoptado para calcularlo. b) Qué lenguaje es más útil? 30. En una población de familias, se está estudiando si una variación del precio de un producto cambia el número medio de unidades compradas. Para una m.a.s. de 8 familias se midieron las variables X e Y, número de unidades compradas en la semana anterior y posterior, respectivamente, al cambio de precio. Familia X Y Suponiendo que todas las variables que utilices son normales:

6 Estadística 6 a) Obtener un intervalo de confianza de nivel 99 % para la diferencia de medias. b) Se puede admitir que la variación del precio cambia el número medio de unidades compradas? c) Se puede aceptar que la diferencia entre el número medio de unidades compradas antes y después es de 10? Qué otros valores serían aceptables para la diferencia de medias al nivel del 99 %? Razona la respuesta. d) Considerando la varianza muestral como poblacional, obtener el tamaño de muestra necesario para garantizar que el error cometido al estimar la verdadera diferencia de medias es menor que 0.1, con un nivel de confianza de Se aplicaron dos métodos para enseñar a leer a dos grupos de niños de primaria que se eligieron de forma aleatoria y se realizó una comparación con base en una prueba de comprensión de lectura al final del proceso de enseñanza (se supone que el grado de comprensión alcanzado con ambos métodos sigue una distribución normal). La siguiente tabla resume los valores de las medias y varianzas muestrales calculadas con los resultados de la prueba. Calcula un intervalo de confianza al 99 % para determinar si existe diferencia en el promedio del grado de comprensión alcanzado con ambos métodos de enseñanza. Cuál es la conclusión del estudio? Método 1 Método 2 N o de alumnos del grupo x s La producción diaria de un cierto producto en una planta de productos químicos sigue una distribución normal. Se registra la producción durante 50 días y se obtiene una media de 871Kg y una desviación estándar de 21Kg. a) Calcular un intervalo de confianza al 90 % para la media de la población. b) Qué tamaño de muestra se debería tomar al menos si se desea que el error de estimación sea menor que 4Kg con probabilidad 0,95? c) Los datos nos permiten aceptar la hipótesis de que µ = 880 frente a µ 880, para α = 0,1? 33. Sea X una v.a. cuya distribución es desconocida. Sabiendo que para una muestra de tamaño 40, la media muestral es igual a 100 y la desviación típica es igual a 4, calcula el intervalo de confianza al 95 % para µ. Que cambia si n=20?