Qué es? Primer paso Representación en un sistema de coordenadas. numéricos Cada punto muestra el valor de cada pareja de datos (X e Y)

Transcripción

1 Gráfico de dispersión Qué es? Primer paso Representación en un sistema de coordenadas cartesianas de los datos numéricos Cada punto muestra el valor de cada pareja de datos (X e Y)

2 Gráfico de dispersión Características de la nube de puntos. Según la forma de la nube de puntos podemos obtener la siguiente información: Si existe una relación directa o inversa entre las variables; Si esa relación es fuerte o débil. Si la relación se ajusta a un modelo lineal o a otro modelo matemático (ej: exponencial ).

3 Gráfico de dispersión RELACIÓN FUNCIONAL RELACIÓN POSITIVA SIN RELACIÓN RELACIÓN NEGATIVA RELACIÓN FUNCIONAL RELACIÓN NO LINEAL

4 Gráfico de dispersión Diferentes casos de relación entre variables Relación funcional: nube de puntos dispuesta en línea recta cuando conocida la primera se puede saber con exactitud el valor de la segunda Relación positiva: nube de puntos con dispersión creciente: al aumentar la variable X aumenta la variable Y

5 Gráfico de dispersión Diferentes casos de relación entre variables Relación no lineal: nube de puntos en línea curva transformación de datos originales Sin relación: nube de puntos con máxima dispersión ambas variables son independientes

6 Gráfico de dispersión Utilidad Detección de puntuaciones atípicas" Errores en la transcripción de la información Mezcla de datos correspondientes a distribuciones distintas Si los estadísticos de correlación apropiados para analizar relaciones lineales deben ser sustituidos por otros

7 Covarianza Definición Medida de la variación conjunta Formulación clásica: σ xy calculada a partir de una población S xy a partir de una muestra S xy = n i=1 x N i y i XY

8 Covarianza Características Sín límites (entre +infinito a infinito): no determina el grado de relación solo la tendencia Covarianza positiva: puntuaciones bajas de la primera variable (X) se asocian con puntuaciones bajas de la segunda variable (Y); puntuaciones altas de X se asocian con los valores altos de Y. Covarianza de negativa: puntuaciones bajas de X se asocian con los valores altos de Y; puntuaciones altas de X se asocian con valores bajos de Y. Covarianza 0 no existe relación entre las dos variables estudiadas.

9 Covarianza Cálculo x i y i x i y i S xy = = 5,

10 Correlación Definición Cuantifica el grado de asociación entre dos variables Correlación producto-momento de Pearson, Sobre una población ρxy (rho) Sobre una muestra, r xy. r = xy S S x xy S y Covarianza Desviación típica

11 Correlación Cálculo 1º Promedio de las variables º Cálculo de la covarianza S xy = = 5,9 1 3º Cálculo de las desviaciones típicas S = 504 (6),45 1 = x S = 380 (5), 58 1 = y x i y i x i y i x i y i º Fórmula

12 Correlación Significación Su valor es independiente de la unidad usada para medir las variables (adimensional) Oscila entre 1 y +1. Una correlación de +1 relación lineal perfecta (positiva) entre las dos variables. Una correlación de -1 relación lineal perfecta (negativa) entre las dos variables Una correlación de 0 no hay relación lineal entre las dos variables

13 Correlación Significación Correlación no implica causalidad Causalidad: juicio de valor que requiere más información que un simple valor cuantitativo No se debe extrapolar más allá del rango de valores observado La relación existente entre X e Y puede cambiar fuera de dicho rango No afectado por una transformación lineal de una variable (multiplicación de una variable por una constante, suma de una constante)

14 Correlación Significación estadística Objetivo: Determinar si el valor del coeficiente de correlación es estadísticamente significativo Fórmula sencilla al nivel de error del 0,05 r * n >1,96

15 Correlación Significación estadística Cálculo del error típico de r: Si el coeficiente de correlación supera al valor del error estándar multiplicado por la t de Student con n- grados de libertad significativo error = 1 r n El nivel de significación viene dado por la decisión (nivel de probabilidad) que adoptemos al buscar el valor en la tabla de la t de Student

16 Correlación Significación estadística Cálculo test hipótesis r: 0 niños grados de libertad 18 Valor de la tabla de la t de student Seguridad del 97,5%:,10*0,109 = 0, < r = coeficiente de correlación es significativo (p<0.05). Seguridad del 99%:,88*0,109 = significativo con un nivel de probabilidad p<0.001

17 Correlación Significación estadística:

18 Correlación Problemas Sensible a valores extremos o atípicos Sobre todo con muestras pequeñas perturba de forma "espurea" el grado de relación Solución: Detección a través del diagrama de dispersión y eliminación en su caso Transformación de datos cambia la escala de medición y modera el efecto de valores extremos (pe. transformación logarítmica)

19 Correlación Problemas Restricción del rango Suele afectar al valor de la correlación obtenida, bien aumentando o disminuyendo su valor Ejemplo: fuerte relación lineal positiva entre las dos variables (r = 0.88, línea roja) Sujetos comprendidos entre los 7 y los 9 años: disminución de la correlación valor 0, ausencia de relación (ver línea verde). Sujetos de 9 a 1 años: aumento del valor de la correlación (línea azul)

20 Correlación Requisitos El coeficiente de Correlación de Pearson requiere Que ambas variables procedan de una muestra aleatoria de individuos. Al menos una de las variables debe tener una distribución normal En caso de no cumplir esas condiciones Transformación de una distribución normal (transformación logarítmica) Alternativa: coeficiente de correlación de Spearman, tau de Kendall

21 Correlación Coeficiente de correlación de Spearman Utiliza los rangos (números de orden) de dos variables y los compara Recomendada: Datos con valores extremos Distribuciones no normales Métodos para calcular el coeficiente de correlación de los rangos

22 Correlación Coeficiente de correlación de rangos (Spearman) Cálculo r s 6 d i = 1 n n 1 r s x i y i d x d y dif ( ) 6 * 4 = 1 = 4 * ( 16 1) 0,60 1er paso ordenar los datos º paso asignar rangos (valores coincidentes: se sustituye por el promedio de los rangos que hubiesen sido asignados si no hubiese coincidencias)

23 Regresión (lineal) simple Características generales: Método que permite investigar la relación (estadística) entre una variable dependiente (Y) una o más variables independientes (X 1, X, X 3,,X n ) La relación más utilizada es la lineal: Una variación en una variable supone una variación proporcional en la otra Se expresa mediante la siguiente ecuación y = ax + b + i i e i

24 Regresión (lineal) simple Significado de la ecuación: x i valores de la variable independiente e i : errores aleatorios que representan las diferencias entre el modelo y la realidad a y b: parámetros que definen a (pendiente) cuánto aumenta Y por cada aumento de una unidad en X b (ordenada en el origen) el valor de Y cuando X = 0

25 Regresión (lineal) simple Significado de la ecuación: a y b: se estiman mediante el método de mínimos cuadrados: Consiste en encontrar aquellos valores de a y de b que hagan mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto de la recta que representa el modelo a = S S xy x Covarianza x y Varianza x b = y ax

26 Regresión (lineal simple) Cálculo 1º Promedios º Cálculo covarianza S xy 1 n = x n 3º Cálculo varianza n xi i 1 S x = X = n 4º Parámetros a y b S xy 0,6875 a = = = 7,8 b =,75 7,8*1, 075 S 0,0369 x i 1 i y i X Y 4,77 4 1,9 = 1,075*,75 = 0, ,075 = 0,0369 x i y i x i y i x i y i 0,8 1 0,8 0, , 3 3,6 1,44 9 1,3 5 6,5 1,69 5 4,3 11 1,9 4,77 39

27 Regresión (lineal simple) Cálculo 5º Ecuación (modelo) y = 7,8x 5,0847 6º Cálculo coeficiente de correlación S y = r = n i 1 S S n x y xy S i y Y = 39,75 =,18 4 0,6875 = = 0,0369*,1875 0,94 x i y i x i y i x i y i 0,8 1 0,8 0, , 3 3,6 1,44 9 1,3 5 6,5 1,69 5 4,3 11 1,9 4,77 39

28 Regresión Cálculo 1º Promedios 431 º Cálculo covarianza S xy = 6*5 = 5, 9 1 3º Cálculo varianza 4º Recta de regresión de Y sobre X. a = S S 5,9 6 xy = = x 0,98 b= 5 0,98*6 = 0,9 S x = = 6 x i y i x i y i x i y i

29 Regresión (lineal simple) Predicción El modelo de regresión lineal se utiliza para obtener valores de Y ajustados al modelo Los puntos que representan estos valores en el gráfico de dispersión forman una recta El promedio de los valores ajustados es igual al promedio de los valores observados El promedio de las diferencias es cero.

30 Regresión (lineal simple) Predicción Residuo: diferencia entre el valor real y el valor predicho por el modelo (errores de predicción). Cuanto más pequeños sean los residuos, mejor será el ajuste de nuestro modelo

31 Regresión (lineal simple) Predicción Estimación de la varianza del error (σ): Calcular las diferencias entre valores calculados y observados Elevar al cuadrado las diferencias Calcular el promedio de los cuadrados de las diferencias Calcular la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y ajustados

32 Regresión (lineal simple) Coeficiente de determinación (r ) Medida de bondad de ajuste del modelos de regresión lineal a los datos. Equivale al cuadrado del coeficiente de correlación Refleja la cantidad de variabilidad de los datos originales que es explicado por el modelo Entre 0 (no se explica) hasta 1 (ajuste perfecto; todos los puntos aparecen en un línea recta)

33 Regresión (lineal simple) Bandas de confianza Predicciones por intervalos de confianza verticales Ventaja: proporcionar una cuantificación del error de predicción. Los intervalos tienen diferente ancho (según el valor de X Angostos cuando X es igual al promedio, ensanchándose a medida que nos alejamos del promedio. Cuando se sale del rango de los datos, se ensanchan cuanto más nos alejamos del centro de los valores de la variable X, más imprecisas serán nuestras estimaciones del valor de la variable Y