Cálculo integral para funciones a valores reales y vectoriales

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1 Lros de Cátedr Cálculo tegrl pr fucoes vlores reles vectorles Mrí Crst Vccho Vv Gómez Plo Acost FACULTAD DE INGENIERÍA

2 CÁLCULO INTEGRAL PARA FUNCIONES A VALORES REALES Y VECTORIALES Mrí Crst Vccho Vv Gómez Plo Acost 4

3 Acost Plo Cálculo tegrl : pr fucoes vlores reles vectorles / Plo Acost ; Vv Edth Gómez ; Mrí Crst Vccho. - ed. - L Plt : Uversdd Ncol de L Plt 4. E-Book: ISBN Cálculo Itegrl.. Sucesoes.. Cmpos Vectorles. I. Gómez Vv Edth II. Vccho Mrí Crst CDD 55.4 Fech de ctlogcó: 7/6/4 Dseño de tp: Dreccó de Comuccó Vsul de l UNLP Uversdd Ncol de L Plt Edtorl de l Uversdd de L Plt 47 N.º 8 / L Plt B9AJP / Bueos Ares Arget / Edulp tegr l Red de Edtorles Uverstrs Ncoles REUN Prmer edcó 4 ISBN Edulp

4 Acerc de este lro Este lro es el mterl de l sgtur Mtemátc B que curs los lumos de tods ls crrers de l Fcultd de Igeerí de l Uversdd Ncol de L Plt. Es l versó ctul de ls guís teórco-práctcs que redctds e el mrco del cmo de ples de estudo del ño comezro utlzrse e es mter e que desde etoces se h do corrgedo modfcdo co portes de docetes lumos. L mter se desrroll teedo l proceso de tegrcó como eje coceptul l metodologí de eseñz doptd es l de l clse teórco-práctc dode lo prmordl ps por el trjo de los lumos l guí de los docetes trvés de dscusoes e ls mess del ul eplccoes e el pzrró. Est propuest de cotedos de metodologí h poddo mplemetrse fudmetlmete por dos rzoes: por u ldo l posldd de cotr co uls pls co mess mpls e ls que grupos de lumos trj co l supervsó de los docetes por otro por cotr co u mterl mpreso propo dseñdo de cuerdo los ojetvos crcterístcs de l mter. Ese mterl es el que se preset e este lro.

5 Ídce geerl Cpítulo I: Itegrl defd Áre dejo de l gráfc de vt= t e el tervlo [4] Itegrl defd de u fucó cotu o egtv e u tervlo 5 El teorem fudmetl del cálculo Itegrl defd de u fucó cotu e u tervlo 5 Más geerlzcoes de l defcó de tegrl El teorem del vlor medo Aplccoes de l tegrl defd 4 Itegrl defd 4 Téccs de tegrcó 4 Itegrcó promd 6 Autoevlucoes 67 Cpítulo II: Ecucoes dferecles Itroduccó 7 Ecucoes ordrs de prmer orde - Métodos de resolucó 8 Prolem de vlor cl 9 Modeldo de prolems 95 Curvs ortogoles fmls de curvs ortogoles Autoevlucó 5 Cpítulo III: Itegrles Múltples Itegrles doles 6 Aplccoes de l tegrl dole Cmo de vrles e l tegrl dole Coordeds polres 44 Itegrles trples 6 Cmo de vrles e l tegrl trple 66 Coordeds clídrcs 67 Coordeds Esfércs 7 Autoevlucoes 8

6 Cpítulo IV: Itegrles mprops seres umércs Itegrles mprops 84 Sucesoes umércs 95 Seres umércs 4 Seres de térmos postvos - Crteros de covergec Seres de térmos postvos egtvos- Seres lterds 7 Autoevlucó 6 Cpítulo V: Itegrles de líe Curvs e el plo e el espco - Prmetrzcó 8 Logtud de u rco de curv 9 Fucó logtud de rco 4 Cmpos vectorles 44 Cmpo grdete 5 Estudo de l vrcó de u cmpo 54 Itegrl de líe 6 Itegrl de líe de u cmpo vectorl 7 Teorem de Gree 77 Cmpos coservtvos e depedec del cmo 87 Autoevlucoes 98 Cpítulo VI: Itegrles de superfce Superfces 5 Dreccó orml u superfce Áre de u superfce 4 Itegrl de superfce 9 Flujo de u cmpo vectorl trvés de u superfce 5 Teorem de Stokes Teorem de Guss 4 Autoevlucoes 48

7 Itegrl defd Cpítulo I: Itegrl defd El cocepto de tegrl defd tuvo su orge e u prolem geométrco: el cálculo del áre de u regó pl cu froter o está formd por segmetos rectlíeos. Es éste uo de los grdes prolems de l hstor de l mtemátc pues más llá de su mportc detro de l prop dscpl está relcodo co cotles plccoes. El cálculo del áre de l regó ecerrd etre l gráfc de u fucó f el eje e u tervlo ddo puede rdr formcó de mucho terés segú se lo que represet l fucó f. Actvdd Stucó : U utomóvl se desplz e líe rect su velocdd es costte e gul 8 km/h. Clcule el desplzmeto etre t = t = 4 t represet el tempo se supoe epresdo e hors Grfque l fucó v t velocdd etre t = t = 4 c Oserve que el desplzmeto etre t = t = 4 cocde co el áre dejo de l gráfc de v e el tervlo 4 Stucó : U utomóvl se desplz e líe rect su velocdd e el tempo t e hors es v t t e km/h Cuál es l velocdd mám l velocdd mím e el tervlo de tempo? e? e 4? Clcule el desplzmeto etre t = t = etre t = t = etre t = t = etre t = t = 4.

8 Itegrl defd c Cuál es el desplzmeto etre t = t = 4? d Grfque l fucó v verfque que e cd tervlo el desplzmeto cocde co el áre dejo de l gráfc de v. Stucó : U utomóvl se desplz e líe rect su velocdd e el tempo t e hors es v t t e km/h Cuátos km se desplz el utomóvl etre t = t = 4? Grfque l fucó v t. Pr hcer u verfccó smlr l relzd e ls stucoes terores el áre de qué regó tedrí que clculr? Áre dejo de l gráfc de vt= t e el tervlo [4] Pr u fucó lel o lel trozos el prolem del cálculo del áre ecerrd por l gráfc de l fucó e u tervlo ddo el eje es smple: st co sumr áres de rectágulos trágulos. Pero cómo clculr el áre dejo de l gráfc de v t t e el tervlo 4? Podrímos promr el vlor del áre utlzdo u úmero fto de rectágulos como veremos e los sguetes ejemplos: Ejemplo S tommos rectágulos co se de logtud ltur gul l vlor de l fucó e el puto medo del tervlo correspodete llmmos A l áre jo l curv de t t v desde t = t = 4... A v v v5 v7...

9 Itegrl defd Ejemplo S tommos rectágulos co se de logtud ltur el vlor de l fucó e el puto medo del tervlo correspodete... A Ejemplo S tommos rectágulos co se de logtud 6 ltur gul l vlor de l fucó e el puto medo del tervlo correspodete... Cuátos térmos deemos sumr? serí coveete cotr co u otcó revd pr epresr sums! Notcó L letr greg sgm es el símolo que se utlz pr dcr de mer revd u sum de vros térmos: Co est otcó =... 4 del ejemplo se epres. - l sum 5 7 L epresó es el térmo geerl de es sumtor. S se reemplz e el térmo geerl sucesvmete por 4 tercldo el sgo + se otee l sum del ejemplo se epres L sum del ejemplo se epres..

10 Itegrl defd Volvmos l prolem que os ocup l procedmeto segudo e los ejemplos. E lugr de elegr el puto medo e cd tervlo pr estlecer l ltur de los rectágulos podrímos her elegdo el etremo derecho del tervlo el etremo zquerdo o u puto culquer teror. Es ovo que e culquer cso cutos más rectágulos co ses cd vez más pequeñs cosderemos tto mejor será l promcó que otedremos del áre. Certo es tmé que el proceso se vuelve proto tedoso. L sguete tl fue elord usdo u softwre mtemátco. E ell puede oservr los resultdos que se otee l reproducr el procedmeto de los ejemplos pr vlores crecetes del úmero de rectágulos cosderdos pr dferetes eleccoes de l ltur de esos rectágulos. Se llm Sum zquerd Sum co el puto medo Sum derech l sum de ls áres de los rectágulos elgedo como ltur de cd uo de ellos respectvmete l vlor de l fucó e el etremo zquerdo e el puto medo e el etremo derecho de l se. E l tercer colum está clculd l dferec etre Sum derech l Sum zquerd. Número de rectágulos Sum zquerd Sum co puto medo Sum derech Dferec tl := Hemos vsto de qué mer podemos promr el vlor del áre dejo de l gráfc de u fucó como áre? v t t e u tervlo ddo... pero cuál es el vlor ecto del 4

11 Itegrl defd Itegrl defd de u fucó cotu o egtv e u tervlo Defcó Sedo f u fucó cotu o egtv e l tegrl defd de f e que se deot f d es el áre de l regó lmtd por l gráfc de f el eje ls rects = =. Covedremos demás e que f d. De cuerdo co est defcó e se lo que hcmos tes podrímos decr que l tegrl defd de u fucó cotu o egtv e u tervlo result ser el úmero l que se prom medd que se hce cd vez más grde ls sums * de l form f putos equdsttes del tervlo [] e l que so + o se : * es u puto culquer del sutervlo f d lím f * f * =f - * f * es el áre del rectágulo co se e * ltur f 5

12 Itegrl defd =f R f d = áre de l regó R = lím f * Cometro Los putos prtcó de Sedo los costtue lo que se llm u má... equdsttes se llm orm de l prtcó.. Pero podrímos soslr l codcó de equdstc de los putos. Co tl de segurros de que todos los se cd * vez más pequeños es tutvmete clro que ls sums f promdo l áre dejo de l gráfc de f e el tervlo o se que : se rá f * d lím f Cometro Por el mometo segumos s cotr co u método efectvo pr clculr e form ect el áre dejo de u curv culquer el cálculo de los límtes pltedos e o es por lo geerl vle! 6

13 Itegrl defd Veremos cotucó lgus propeddes que se deduce medtmete de l defcó. Propedd Adtvdd respecto l tervlo de tegrcó S f es cotu o egtv e < c < etoces c f d f d f d c R R c Propedd Mootoí S f g so cotus o egtvs e d f g d f g g etoces f Propedd S f k dode k es u costte mor o gul que cero etoces f d k k 7

14 Itegrl defd Propedd 4 S f es cotu o egtv e sedo m = mí de f e M = má de f e es m f d M M m Defcó Sedo f cotu o egtv e podemos defr u uev fucó A sgdo cd el vlor de l tegrl de f e el tervlo defd l fucó A se llm fucó tegrl de f e.. Así A f t dt = áre de l regó lmtd por l gráfc de f el eje e el tervlo El estudo de l vrcó de A os coducrá l solucó del prolem del cálculo del vlor ecto del áre dejo de l gráfc de u fucó e u tervlo. Ates de ordr ese estudo les propoemos resolver lguos ejerccos relcodos co ls defcoes propeddes que hemos presetdo. Ejercco Grfque e ls fucoes f g 8

15 Itegrl defd Qué relcó h etre f g e? Cuál es el sgo de g d f d? c Qué represet es dferec? Ejercco Estude l fucó 4 f e el tervlo. Cuáles so los vlores mámo mímo solutos de f e? Qué cots dmte f d? Ejercco Se g= f t dt dode f es l fucó del gráfco Evlúe g g g g. Ecuetre l epresó lítc de g. c Es dervle g? Cuál es su dervd? Ejercco 4 Grfque l rect t. Utlzdo ls fórmuls de l geometrí clcule el áre determd por l rect el eje t ls rects t = t = 5. 9

16 Itegrl defd Se >. Cosdermos A l fucó que descre el áre de l regó que se ecuetr dejo de l rect t el eje t ls rects t = t =. Duje u esquem de est regó use l geometrí co el f de hllr u epresó pr l fucó A. c Derve l fucó A. Qué coclusó puede oteer? El teorem fudmetl del cálculo Teorem S f es cotu o egtv e A ' d A f t dt etoces f t dt d f Demostrcó: Pr compror que este A' deemos clculr lím h A h A h pr Supogmos prmero h >. A prtr de l defcó de l fucó A plcdo l propedd de dtvdd e el tervlo de l tegrl defd teemos:. = ft A h A h f t dt h f t dt f t dt Y +h

17 Itegrl defd S m h M so respectvmete los vlores mímo mámo que tom f e h el tervlo h result por propedd de l tegrl defd: m h h h f t dt M h h A h A de dode mh M h h Cudo h el tervlo h tede reducrse l úco puto tedremos que f es cotu lím h m h lím h Por propedd del límte coclumos que: lím h M h f A h A A h f Supoedo h < co u rzometo smlr se coclue que: lím h A h A A h f A h A Por lo tto: lím A f h h Oservcoes: Se puede demostrr co u rzometo smlr que A ' f que A ' f Cudo u fucó F es tl que F f pr todo de certo tervlo I se dce que F es u prmtv de f e ese tervlo. Así por ejemplo e culquer tervlo I de úmeros reles puede dr otrs?. F se es u prmtv de f cos El Teorem Fudmetl del Cálculo os está dcedo que tod fucó f cotu o egtv e tee u prmtv e ese tervlo dd por A f t dt.

18 Itegrl defd Corolro del teorem Regl de Brrow S f es cotu o egtv e F es u prmtv de f e ese tervlo etoces f d F F Demostrcó E vrtud del Teorem Fudmetl del Cálculo f e. Cosderemos hor otr prmtv de f llmémosl F. A f t dt es u prmtv de A F k Por qué? E prtculr A F k Como A Por qué? result k = - F A f t dt = F F e prtculr A f d F F Ejemplo 4 Clculemos 4 d F es u prmtv de f= e el tervlo 4 F = Aplcdo l Regl de Brrow: d F4 F 64 es el vlor ecto del áre dejo de l gráfc de f= e el tervlo [4]!

19 Itegrl defd Escrmos e l práctc: d 4 Ejercco 5 Clcule plcdo l regl de Brrow ls sguetes tegrles defds. Grfque e terprete geométrcmete. 6 d d c d d f d sedo f e d f e d g se d h cos d e d Ejercco 6 Clcule ls dervds de ls sguetes fucoes t F dt G t t dt t Hemos vsto hst quí que:. Sedo f u fucó cotu postv e f d represet el áre de l regó lmtd por l gráfc de f el eje ls rects = = su vlor es F F sedo F u prmtv de f e.. S u fucó cotu postv v t represet l velocdd de u prtícul que se mueve lo lrgo de u rect el áre dejo de l gráfc de v e el tervlo t t cocde co el desplzmeto de l prtícul e el tervlo de tempo t t. E efecto el desplzmeto es p t p dode p t es l fucó poscó t como v t p t esto es p t es u prmtv de v t teemos:

20 Itegrl defd Áre dejo de l gráfc de v e el tervlo t t t v t dt p t p t t desplzmeto de l prtícul e el tervlo t t A cotucó etederemos l defcó de tegrl defd fucoes cotus culesquer e u tervlo. Refleoe tes sore l sguete stucó: Stucó 4: U ojeto h sdo rrojdo vertclmete hc rr v t t es su velocdd e el stte t. L poscó p t es u prmtv de v t v t p t E prcpo podemos decr etoces que será: p t t 5t C S supoemos p dee ser p t t 5t E el tervlo l velocdd es postv el desplzmeto e ese tervlo es p p 5 cocde co el áre dejo de l gráfc de v t e ese tervlo co l tegrl de t v e el tervlo El desplzmeto e el tervlo es egtvo: p p 5 5 Qué relcó h etre este úmero el áre de l regó compredd etre l gráfc de vt el eje t e el tervlo? Cuál es el desplzmeto e el tervlo? 4

21 Itegrl defd Itegrl defd de u fucó cotu e u tervlo Por uestr refleó teror precerí teer setdo defr l tegrl defd de u fucó que se meor o gul que cero e u tervlo como meos el áre de l regó compredd etre l gráfc de dch fucó el eje e ese tervlo que pr u fucó cotu como muestr l fgur sguete... R R R 5 R R 4 resulte : f d áre R áre R áre R áre R áre 4 R5 Pr formlzr l defcó oservemos que u fucó sempre puede epresrse como l dferec de dos fucoes o egtvs: Dd f defd e se: f s f f s f f f s f s f ve que f f f que f f so ms o egtvs que s f es cotu f f so cotus. f f + f - 5

22 Itegrl defd Defcó Sedo f cotu e el tervlo f d f d f d Oserve! Ls propeddes tes vsts sgue cumplédose pr f cotu o ecesrmete postv e u tervlo. Ls recordmos: S < c < etoces c f d f d f d S g tmé es cotu e f g etoces S f=k d f g d etoces f d k Sedo m = mí de f e M = má de f e es m f d M c Se etede tmé l cso de u fucó cotu el Teorem Fudmetl l Regl de Brrow: S f es cotu e F f t dt es u prmtv de f E efecto: F f t dt f t dt dode f egtvs sí que l dervr mos memros result: F f f f f so cotus o podemos rzor como tes pr coclur que s G es culquer prmtv de f f d G G. 6

23 Itegrl defd S f g so cotus e [] so úmeros reles [ f g ] d f d g d Pr demostrr est propedd strá co teer e cuet que: s F es u prmtv de f G es u prmtv de g etoces F G F G f g decr que F G es u prmtv de f g por lo tto: [ f g ] d F G es F G F G F F G G F F G G f d g d 4 Sedo f cotu e [] cosderdo: prtcó que dvde e sutervlos de logtud sedo má... l orm de es prtcó * puto culquer de * f f d promcó que será tto mejor cuto más pequeños se todos los lo que epresmos escredo: f d lím f * 7

24 Itegrl defd Ejercco 7 Evlúe ls sguetes tegrles. E los csos l h terprete geométrcmete los vlores otedos. 4 5d d c d 4 d d e dt 4set f set dt l 6 l e e g 5 e d h d 4 sec t dt j d / k d / 4 l d 4 6 t t m dt 4 t se d 4 cos ñ d o d Qué deemos teer e cuet s es meor que? Ejercco 8 E cd uo de los sguetes csos hlle l epresó lítc de l fucó tegrl de f e el tervlo ddo. s f e s s f e s Ejercco 9 Determe u fucó cotu f tl que f t dt e e t f t dt 8

25 Itegrl defd Ejercco Supog que f tee dervd egtv pr todo que f Cuáles de ls sguetes frmcoes so verdders pr l fucó h h es dos veces dervle como fucó de dh h d so fucoes cotus f t dt? c L gráfc de h tee u tgete horzotl e = d h tee u mámo locl e = e h tee u mímo locl e = f L gráfc de h tee u puto de fleó e = dh g L gráfc de cruz el eje e = d Ejercco Hlle l fucó lel promte de: 9 f dt cetrd e = t g sec t dt cetrd e = - Ejercco Use lgú softwre mtemátco f Se se cos F l fucó tegrl de f e ese tervlo Grfque f F e u msmo sstem de coordeds. Resuelv l ecucó F Qué ps e ls gráfcs de f F e los putos dode F? Cocuerd ello co el teorem fudmetl del cálculo tegrl? c E qué tervlos crece e cuáles decrece l fucó F? Qué ps co f e esos tervlos? d Qué ps e l gráfc de F e los putos dode f? 9

26 Itegrl defd Ejercco Grfque l fucó t f t se s t t s t oserve que es cotu e. Clcule f t dt dcdo ls propeddes que us. Ecuetre F f t dt pr clcule F F F c Supog que G es u prmtv de f e este lgu relcó etre F G? Justfque su respuest. Más geerlzcoes de l defcó de tegrl Defcó 4 Sedo < f d = - f d Oserve que l defcó teror es rzole: pr que l propedd de dtvdd sg vledo dee ser f d f d + f d de dode f d = - f d Defcó 5 S f es cotu e slvo e u úmero c < c < s los límtes lterles lím c f lím f c este c f d f d f d c dode f f lím f c s c s c f f lím f c s c s c

27 Itegrl defd Ve que ls fucoes f f so cotus e c c respectvmete por lo tto ls tegrles Oservcoes c f d f d está defds. c Cudo u fucó f o es cotu e c pero este los límtes lterles lím f c espece. lím f c decmos que f tee e c u dscotudd de prmer L defcó teror se etede turlmete l cso e que f se cotu e slvo e u úmero fto de putos c c... c k e todos ellos presete dscotuddes de prmer espece. L dscotudd podrí presetrse e los etremos del tervlo como sucede e los sguetes ejemplos c dode f d f d f s f lím f s dode f d f s f lím f s f d

28 Itegrl defd Ejercco 4 Grfque l fucó s f oserve que cumple ls s codcoes de l defcó 5 evlúe f d. Ejercco 5 Se s t f t se F f t dt s t Hlle l epresó lítc de F Trce ls gráfcs de f de F c Estude l cotudd l dervldd de ms fucoes e el tervlo. d Refleoe sore l vldez del Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl. El teorem del vlor medo El sguete Teorem tee pr el cso de u fucó cotu postv u terpretcó geométrc secll: el áre dejo de l gráfc de l fucó e el tervlo result ser gul l áre de u rectágulo de se - ltur gul l vlor de l fucó e certo puto c del tervlo Teorem S f es cotu e este u úmero c etre tl que: f d f c c

29 Itegrl defd Demostrcó: Cosderemos l fucó f t dt. Sedo f cotu e G G result cotu e dervle e por qué? qué es G?. Podemos plcr etoces el teorem del vlor medo pr dervds coclur que este c tl que G G G c. Ve que reemplzdo e l guldd teror G G c. G se otee: f d f c f d El úmero es llmdo vlor promedo de f e. El teorem del vlor medo pr tegrles os dce que s f es cotu e ese vlor promedo cocde co el vlor de f e lgú c. S t s t f cuál es el vlor promedo de f e s t? es ese úmero el vlor de l fucó e lgú c etre -? cotrdce ésto lo dcho prevmete? Ejercco 6 Clcule el vlor promedo de f e el tervlo ddo. f d f / ; ; 4 f se ; c e f ; f ; Ejercco 7 Ecuetre los posles vlores de pr que el vlor promedo de e el tervlo se gul. f 6 Ejercco 8 Ecuetre todos los vlores tles que f se gul l vlor promedo de e el tervlo f

30 Aplccoes de l tegrl defd Aplccoes de l tegrl defd I. Áre de u regó etre dos curvs Actvdd Semos que s f es cotu o egtv e etoces f d represet el áre de u regó pl que podemos descrr como R / f f R Oserve el sguete dujo. Cómo es g? Qué represet g d?. Descr l regó R R g g Cosdere hor l sguete regó R descríl. Cómo clculrí el áre de l regó R? R f g 4

31 Aplccoes de l tegrl defd Les pltemos u uev regó. Descríl. Cómo clculrí el áre de R? f g Y estmos e codcoes de eucr e geerl: S f g so cotus e e ese tervlo es f g qued defd u regó pl que puede descrrse como R / g f cu áre es A R f g d Cosdere hor l sguete stucó f g c 5

32 Aplccoes de l tegrl defd Oserve el dujo. Ve que: e el tervlo es f g e el tervlo c es g f. Cómo puede descrr l regó lmtd por ls gráfcs de f g? Cómo clcul su áre? Ejemplo 5 Grfquemos l regó R lmtd por clculemos su áre. Buscmos los putos comues ms gráfcs resolvedo el sstem Sedo f f e g es g e cosecuec R / áre R f g d d Ejemplo 6 Clculemos el áre de l regó lmtd por: ; ; = =. Pr resolver grfcmos determmos el puto de terseccó de ls práols. 6

33 Aplccoes de l tegrl defd 7 R =g =f E el tervlo es e el tervlo es Descrmos etoces l regó como uó de dos suregoes: / / R Por lo tto el áre es: d d R A Covee veces descrr l regó de otr mer clculr el áre tegrdo respecto de l vrle. Ve: / f g R d g f R A = = = =

34 Aplccoes de l tegrl defd Ejercco 9 E el tervlo ddo hlle el áre de l regó lmtd por ls curvs. e ; ; e e Ejercco Hlle el áre de l regó ecerrd por ls curvs. ; 4 ; c ; 4 d ; Ejercco Grfque l regó lmtd por ; ; Descr lítcmete l regó. Ofrece lgu vetj cosderr los trmos de l froter como fucoes de ó como fucoes de? c Clcule el áre. Ejercco Hlle el áre de l regó ecerrd por ls curvs 4 ; 4 ; 6 7 Ejercco Clcule el áre de l regó lmtd por l práol el eje. l tgete es curv e Ejercco 4 Pr qué vlores de m l rect m l curv Ecuetre el áre de es regó pr u m fjo defe u regó? Ejercco 5 Clcule llme A l vlor promedo de f sore el tervlo Clcule el áre de l regó por ecm de = A por dejo de f. 8

35 Aplccoes de l tegrl defd c Clcule el áre de l regó por dejo de = A por ecm de f. d Compre los resultdos otedos e c grfque descr e leguje coloqul. e Muestre que el resultdo otedo e d es verddero pr f cotu e prodo que f Ad. II. Volume de u sóldo de revolucó Imge que el rco de curv C: = co gr lrededor del eje... Cd puto de l curv descre u crcuferec cetrd e de rdo geerádose u superfce que decmos es u superfce de revolucó. Es superfce está lmtdo u sóldo que decmos es u sóldo de revolucó. Podemos terpretr que dcho sóldo es el geerdo l rotr lrededor del eje l regó compredd etre l curv = el eje e el tervlo. R 9

36 Aplccoes de l tegrl defd Vmos descrr cotucó u método que os permtrá clculr el volume de u sóldo de revolucó V que reproduce dptádolo este uevo prolem uestro procedmeto pr clculr el áre dejo de l gráfc de u fucó cotu postv e u tervlo lo recuerd? Al vlor del áre de l regó compredd etre l gráfc de u fucó f cotu o egtv el eje ls rects = = lo hemos promdo sumdo ls áres de rectágulos coveetemete elegdos. Ahor l volume del sóldo lo promremos cosderdo cldros como el que muestr l sguete fgur V Sedo el rco C l gráfc de l fucó f cotu o egtv e el tervlo tomemos u prtcó de por medo de + putos de dvsó gulmete espcdos esto es cosderemos + putos que defe sutervlos de logtud = - - = * S elegmos sóldo V cuo volume es: rtrrmete f represet el rdo de u cldro Vol V * f * E cosecuec Vol V f * A medd que se cd vez más grde los cldros V currá cd vez mejor l sóldo V por lo tto ls sums de sus volúmees se promrá cd vez más l volume del sóldo V esto es: Vol V lím f *

37 Aplccoes de l tegrl defd Oservemos el º memro de es guldd: cd térmo de l sum result ser el producto etre el vlor de g f * e tervlo Sedo f cotu e l logtud de ese g f es cotu o egtv e * es etoces lím f f d Coclumos etoces que Vol V f d Ejemplo 7 El volume del sóldo geerdo l rotr l regó compredd etre l curv el eje e el tervlo es: Vol V d d Actvdd Pese hor e l sguete stucó: L gráfc de f fucó cotu e u tervlo d c rot lrededor del eje. Iterprete gráfcmete rept el rzometo teror pr ecotrr u fórmul pr el volume del sóldo de revolucó correspodete. Como verá el tegrr co respecto ó o depede de l crcterístc de l curv so del eje elegdo como eje de rotcó Ejercco 6 Clcule el volume del sóldo de revolucó que se geer cudo l regó compredd etre el eje el eje 4 el eje e el tervlo rot lrededor de:

38 Aplccoes de l tegrl defd Actvdd 4 Les propoemos que trte de respoder l sguete pregut: Cuál será el volume del sóldo geerdo l grr e toro l eje l regó compredd etre los gráfcos de dos fucoes f g co f g e el tervlo? Pr respoder puede udrse co el sguete ejemplo: Ejemplo 8 Se R l regó lmtd por = 4 e = Al rotr R lrededor del eje se produce u sóldo V co cvdd. No se pretede grfcr e el espco co precsó pero por lo meos tetmos u esquem de u seccó del sóldo geerdo os dmos cuet de que el volume puede oteerse como dferec etre los volúmees de dos sóldos V V cuáles? Los putos comues so O A44 e cosecuec d d 4 d d 4 vol V vol V vol V 6

39 Aplccoes de l tegrl defd S rotmos l regó lrededor del eje tmé oteemos u sóldo co cvdd. Su volume otr vez puede oteerse como dferec de los volúmees de dos sóldos cuáles? No deemos olvdr que cd rco dee cosderrse e este cso gráfc de u fucó de. Pr el rco de práol: ; pr el segmeto: vol V d d Ejercco 7 Se R l regó lmtd por Grfque e Rote l regó R lrededor del eje oserve el sóldo que se geer. c Oserve que tods ls seccoes perpedculres l eje del sóldo so coros crculres. Cuál es el áre de tles seccoes? d Cómo clculrí el volume de dcho sóldo? Actvdd 5 Alce el procedmeto empler cudo el eje de rotcó es u rect prlel uo de los ejes coordedos. Supog que es el eje de rotcó C el rco de ecucó f. Al seccor el sóldo e dscos qué rdo puede tomrse pr cd uo de ellos? puede ser f? por qué? Complete l propuest lce cómo se procede l rotr lrededor de u rect prlel l eje.

40 Aplccoes de l tegrl defd =f = E l msm form les propoemos que lce cómo proceder cudo u regó determd por dos curvs rot lrededor de u rect prlel l eje o l eje. Oserve l gráfc sguete. Cómo clculrí el volume del sóldo geerdo por l rotcó? =f R =g = Ejercco 8 Clcule el volume de l esfer que se otee hcedo rotr l regó lmtd por l gráfc de f r lrededor del eje. Ejercco 9 Clcule el volume del sóldo que se otee hcedo rotr e toro l eje l regó lmtd por l gráfc de f ls rects = e = Ejercco Clcule el volume del sóldo otedo hcedo rotr e toro l eje l regó lmtd por ls curvs = e. 4

41 Aplccoes de l tegrl defd Ejercco Clcule el volume del sóldo otedo hcedo grr l regó lmtd por l gráfc de f ls rects = e = e toro l rect = luego lrededor de = 4. Ejercco Clcule el volume del sóldo otedo hcedo grr l regó del ejercco 9 e toro l eje. Ejercco Clcule el volume de u coo crculr recto co ltur h rdo de l se r. Ejercco 4 E los sguetes prolems clcule el volume del sóldo geerdo por l rotcó de l regó R lmtd por ls curvs dds e toro l eje dcdo. Acosejmos e cd cso grfcr l regó R. 4 4 lrededor del eje lrededor del eje c 4 lrededor del eje d 4 lrededor del eje e 4 lrededor de l rect = Ejercco 5 Bosqueje l regó R lmtd por = = e =. Pltee ls tegrles que permte clculr: el áre de R el volume del sóldo otedo cudo R gr e toro del eje c el volume del sóldo otedo cudo R gr e toro de l rect = - d el volume del sóldo otedo cudo R gr e toro de l rect = 4 5

42 Aplccoes de l tegrl defd Uso de Mple Co los sguetes comdos podrá grfcr u sóldo de revolucó plter l tegrl que permte clculr su volume oteer dcho volume. > wthstudet[clculus]: > VolumeOfRevoluto^=..output = plot; > VolumeOfRevoluto^=..output = tegrl; > VolumeOfRevoluto^=..output = vlue; III. Logtud de u rco de curv Se C el rco de curv correspodete l gráfc de u fucó cotu f co. Los putos A f B f so los etremos de C. C B A Nuestro ojetvo es ecotrr u epresó que os permt clculr l logtud del rco C. Utlzremos u procedmeto smlr l que usmos tes pr clculr áres volúmees. Cosderemos u prtcó del tervlo formd por + putos equdsttes : Est prtcó de [] determ sore el rco C + putos P f surcos P - P cus logtudes se puede promr por l logtud de los segmetos P P P P - B=P A= P 6

43 Aplccoes de l tegrl defd log del rco P f f P log P P Etoces: log del rco AB log P P f f S f que se supoe cotu e es demás dervle e etoces por el teorem del vlor medo plcdo f e cd sutervlo podemos frmr: este * * * tl que f f f f log del rco AB * * f f medd que se cd vez más grde es promcó será cd vez mejor: log del rco AB lím f * S gregmos l hpótess de cotudd l dervd de f tmé cotu o egtv lce por qué result f result log del rco AB lím * f f d Coclusó: Se C u rco de curv de etremos A B gráfc de cert fucó f cotu dervle co dervd cotu e el tervlo etoces: B Logtud del rco AB = LA f ' d sedo A f B f Ejemplo 9 Clculemos l logtud del rco de curv de etremos A B48 7

44 Aplccoes de l tegrl defd Sedo f f es cotu 9 f 4 9 etoces 4 L B A 4 9 d verfque que es u prmtv de Ejemplo Se C el rco de susode desde hst. E este cso es se ; f. Como f cos cotu : L B A cos d Cómo hllr u prmtv pr clculr est tegrl? Por el mometo o teemos método pr hllrl sólo podemos segurr que es tegrl represet l logtud del rco propuesto. 8

45 Aplccoes de l tegrl defd Covee e este puto dvertr que l tomr l zr u curv gráfc de f es cs seguro que l tegrl de f o pued resolverse s ud de u tl o u softwre. Vmos propoerle pr fzr el método resolver lguos csos secllos e los sguetes ejerccos. Ejercco 6 Use u tegrcó e pr ecotrr l logtud del segmeto de rect 5 pr 4. Compruee el resultdo usdo l fórmul de dstc etre dos putos. Ejercco 7 Use u tegrcó e pr ecotrr l logtud del segmeto de rect 6 4 pr. Compruee el resultdo usdo l fórmul de dstc etre dos putos. Ejercco 8 Clcule l logtud del rco de curv pr 7 Ejercco 9 U cle suspeddo etre dos torres eléctrcs que dst 4 metros dopt form de cter de ecucó cosh co - dode e se mde e metros. Cómo clculrí l logtud del cle? Uso de Mple Co los sguetes comdos podrá grfcr u rco de curv plter l tegrl que permte clculr su logtud oteer su vlor. > wthstudet[clculus]: > ArcLegtht^t=..5 output=tegrl; > ArcLegtht^t=..5 output=plot; > ArcLegtht^t=..5 output=vlue; > evlf%;este comdo d el vlor promdo del resultdo prevo 9

46 Itegrl defd- Téccs de tegrcó Itegrl defd Como hemos vsto el prolem del cálculo de l tegrl defd de u fucó cotu e u tervlo qued resuelto u vez hlld u prmtv de l fucó. A est ltur hemos llevdo delte dch úsqued co éto pr dverss fucoes. Pero ecotrr prmtvs o sempre es secllo cuál es por ejemplo u fucó l cu dervd se gul f? No h regls que os coduzc trvés de su plccó sstemátc l determcó de ls prmtvs de u fucó. Cooceremos sí e ls sguetes págs certs téccs que puede plcrse e determdos csos. Itroducmos tes u otcó que result cómod. Recordemos que s F es u prmtv de f etoces tod otr prmtv tee l form de f. F C sedo C u costte rtrr. F C se llm prmtv geerl El símolo f d que se lee tegrl defd de f co respecto represet l prmtv geerl de f. Así u prmtv de f. f d F C dode F es Ejemplo d l C l s Verfíquelo dervdo l fucó F l l s L guldd teror es váld e culquer tervlo de úmeros reles que o coteg l cero. Ejercco 4 Resuelv ls sguetes tegrles defds. Recuerde verfcr sus respuests sí 4

47 Itegrl defd- Téccs de tegrcó como oservr los tervlos de úmeros reles e dode ls msms tee vldez d 4 d c d d d e t dt f d g d h d d j cos sed Téccs de Itegrcó I. Método de susttucó 4 Supogmos que os pde resolver 4 d Algue podrí propoer desrrollr l potec del omo dstrur el producto co el otro fctor sí reducr todo tegrr potecs pero serí práctco eso? Se mrí desrrollr l potec? Bueo o lo tete squer que s llmmos g = 4 + etoces g' = 4 + tedrímos: g g d Oserve que de cuerdo co l regl de l cde el tegrdo o es otr cos que l dervd respecto de de g por lo tto 4 4 d 4 = g g d g C C Itete hor resolver se cos d 4

48 Itegrl defd- Téccs de tegrcó Lo que hemos hecho e el ejemplo es u smple susttucó. El método que permte resolver u tegrl defd o se hllr l prmtv geerl de u fucó de est mer se cooce como método de susttucó que se puede formlzr dcedo: S u g es u fucó dervle F es u prmtv de f etoces: f g g d f u du F u C F g C Ejemplo S queremos resolver I = cos d etoces du d. podemos tetr u Esto os permte trsformr l tegrl e cos u du L respuest es etoces: I se u C se C Ejemplo S queremos resolver I = 5 5 8d etoces du 5 d. podemos tetr u 5 8 Esto os permte trsformr l tegrl e u du u L respuest es etoces I C 5 8 C 6 Ce cotr uque ovo se que o sempre vmos teer u stucó t fvorle será ecesros etoces otros recursos pr clculr tegrles. Podrímos medte u secllo ejemplo lustrr el cometro teror: hcemos S I = d u etoces du d. Reemplzdo e l tegrl quedrí u du. Por leldd podrímos psr l frete del sgo 4

49 Itegrl defd- Téccs de tegrcó 4 tegrl pero o podemos hcer lo msmo co el fctor restte por qué? de mer que o cosegumos u tegrl de l form du u f que podmos resolver. Tl vez quer tetr otr posle eleccó de u s l huer ver s tee mejor suerte... Ejercco 4 Resuelv ls sguetes tegrles plcdo el método de susttucó: d h d g d f d g e d tg d d tg c d d rctg 4 cos 9 cot sec l d se se p d se o d e e d e m d se l d k dt t t j d se cos cos l 4 4 Ejercco 4 Hlle u prmtv pr cd u de ls sguetes fucoes / 4 e f c e e f e f sec 4 6cos f j f t t t f h f g e e s f f t tg t t t f e set t t f d s s

50 Itegrl defd- Téccs de tegrcó Cmo de vrle e tegrles defds De cuerdo co lo que hemos vsto pr clculr l tegrl defd 5 d deemos: o uscr u prmtv F de f o plcr l Regl de Brrow. E este cso pr uscr F es coveete plcr el método de susttucó l tegrl defd: 4 u d u du C C O se que u prmtv de f es F = 8 4 Luego 5 d = F 5 F Oserve que se podrímos her resuelto de otr mer: 5 6 d = u 6 du = Result mucho más stétco verdd? El últmo procedmeto se puede stetzr como sgue: Llmmos u g etoces du g d. Reemplzmos e l tegrl cmmos los límtes de tegrcó cosderdo que cudo = es u g cudo = es u g. Se tee etoces: f g g' d g g f u du 44

51 Itegrl defd- Téccs de tegrcó Ejercco 4 Resuelv ls sguetes tegrles defds. l d d 4 c e d t d cos d e t e dt f d II. Itegrcó por prtes Recordemos que s u v so fucoes dervles de etoces: D u v u v u v tegrdo mos memros: u v u v d v u d pero v d dv u d du etoces u v u dv v du Stetzdo: u dv u v v du Est fórmul trsld el prolem de tegrr u dv l de tegrr v du. Co eleccó propd de u dv l d tegrl dee ser más smple. No so muchs ls opcoes pero l o her regls fjs es solo cuestó de pror. L práctc del método permte " tur " l eleccó decud. 45

52 Itegrl defd- Téccs de tegrcó Ejemplo 4 e d Ve que el método de susttucó o es plcle e este cso. S hcemos es u posldd u e d dv teemos: du e d l plcr l fórmul de tegrcó por prtes: v e d e e d Qué ocurró? l d tegrl es más "complcd" que l orgl que hor teemos segud potec de. Proemos l otr posldd: u dv e d etoces: du d v e remplzdo e l fórmul qued: e d e e d l segud tegrl es medt! Coclusó: e d e e C Co respecto este ejemplo podrímos coclur que l eleccó pr u es l potec de pues l formr el dferecl se reduce u udd esto será sempre sí? Ejemplo 5 l d S " copmos " el esquem teror hrímos: u dv l d de dode: du d... qué result ser v? 46

53 Itegrl defd- Téccs de tegrcó Se os preset el prolem de oteer u tdervd de l eso o lo semos!! S cmmos l eleccó: u l dv d etoces: du d v l reemplzr e l fórmul: l d l d E este cso l segud tegrl se reduce : d 4 C l d l 4 C Como podemos ver o fucoó elegr u como l potec de e cosecuec o podemos estlecer u regl pero covemos e que dsmur el grdo de u potec de por medo de l dfereccó es u posldd que dee tetrse. Actvdd 6 Les propoemos que resuelv e d. De cuerdo co el ejemplo 4 Uds. decdrá tomr u dv e d e cosecuec: Aplcdo l fórmul: du e d d v e e e d Puede etoces oservr que l eleccó fue decud se redujo el grdo de l potec pero l d tegrl requere su vez u uev tegrcó por prtes. Complete el resultdo. Pregut: Cuáts veces deerí plcr el método pr oteer u prmtv de f e? Resuelv hor e cos d E este cso tee el producto de dos fucoes trscedetes o h gu potec que requer reducr el grdo. Puede etoces pror co cd u de ls ltertvs. 47

54 Itegrl defd- Téccs de tegrcó S u e dv cos d l plcr l fórmul: etoces: du e d v se e d e se e se d cos L d tegrl es del msmo tpo que l dd orglmete. Les sugermos que vuelv plcr el método co ell tomdo hor u e se d dv s o se equvoc co los sgos v teer como d tegrl uevmete l pedd que reemplce e l epresó oted. Despejdo e se e e cos d e cos d otedrá: cos C Ejercco 44 Resuelv: cos d se d c sec d d l d e rctg d f rcse d g l d h se l d Ejercco 45 Clcule: el áre d l regó lmtd por ls gráfcs de l ; ; 6 el áre de l regó lmtd por ls gráfcs de rcse ; ; Ejercco 46 L regó lmtd por ls grfcs de l ; ; 5 se hce grr lrededor del eje. Hlle el volume del sóldo geerdo. III. Itegrles Trgoométrcs Muchs tegrles defds que comprede productos potecs de fucoes trgoométrcs se puede clculr co ud de detddes trgoométrcs. 48

55 Itegrl defd- Téccs de tegrcó Ejemplo 6 se d cos d Pr trtr estos tegrdos dee teerse e cuet que: cos cos se se cos Sumdo memro memro se otee cos = ½ + cos Restdo memro memro se otee se = ½ - cos cos Luego: se d d cos d... completr cos d cos d cos d... completr Ejemplo 7 tg d cotg d E este cso usremos que: sec tg c otg cosec Verfcremos hg Uds. lo msmo co : tg se cos cos cos cos sec E cosecuec: tg d sec d sec d d tg C Complete l otr tegrl. 49

56 Itegrl defd- Téccs de tegrcó Oservcó El método pr clculr se d se d cos d cudo es u etero postvo pr. cos d se puede usr tmé pr clculr Ejemplo 8 se 4 d 4 se d cos se d d cos cos d... complete el cálculo teedo presete que cos = ½ + cos 4. 4 Ejemplo 9 se d se d se se d cos cos C cos se d se d cos se d De l msm form se otee: se cos d se C Ejercco 47 L gráfc de l regó lmtd por: Clcule el volume del sóldo resultte. se ; ; gr lrededor del eje. Ejercco 48 Resuelv sec d tg d c tg d 5

57 Itegrl defd- Téccs de tegrcó d cos ec d Idccó: teg e cuet que sec = + tg Ejercco 49 Resuelv ls sguetes tegrles defds teedo e cuet que: se A cos B se A B se A B se A seb cos A B cos A B cos A cos B cos A B cos A B se cos d se 8 se d c cos 4 cos5 d d se 5 se5 d IV. Itegrles del tpo d d d Susttucoes trgoométrcs Ejemplo Cosderemos el prolem de hllr el áre de l regó lmtd por l elpse 6 9 Podemos oservr que dedo l smetrí que gurd co respecto los ejes podemos clculr el áre e u cudrte multplcr por

58 Itegrl defd- Téccs de tegrcó Despejdo teemos: 6 4 etoces: A d o e: 4 A 6 d Resolver est tegrl o es t secllo... requere de u susttucó decud. S hcemos = 4 se u d = 4 cos u du = = 4 se u u = = 4 4 = 4 se u = se u u = teemos: 4 6 d 4cos u 4cos u du 6 cos u du 6 6 se u 6 u cos u du u u cos u se 4 Les ecrgmos que complete el cálculo. Not: E este ejemplo vmos que l susttucó = 4 se u resultó decud pr trsformr el tegrdo e u fucó co prmtv cs medt. El prolem requró demás que se trt de u tegrl defd- l modfccó de los límtes de tegrcó. Auque o se mecoó l susttucó propuest es váld pr u que mplíctmete se está utlzdo l vers de l fucó seo. Teedo e cuet l detdd trgoométrc se u cos u e u tegrl del tpo d como l del ejemplo teror ce propoer l susttucó = se u o = cos u que de es mer cos u o se u d cos u du o d seu du resultdo más secll l tegrl e l vrle u 5

59 Itegrl defd- Téccs de tegrcó Cosderdo ls detddes trgoométrcs dds trte de ecotrr u susttucó decud segú se l form del tegrdo complete el sguete cudro: Form del tegrdo Idetdd trgoométrc se u cos u Susttucó decud = se u ó = cos u cosh u seh u cosh u seh u Ejercco 5 Hlle el áre de l regó lmtd por l elpse. Hlle el áre de l regó lmtd por l crcuferec c Clcule d 4 V. Itegrcó de fucoes rcoles medte frccoes prcles Ejemplo Supog que dee resolver 5 d Pr trtr de epresr el tegrdo e u form secll correspode pregutrse: Se puede dvdr esos polomos? L respuest es NO. Por qué? Se puede fctorer el polomo del deomdor? Cuáles so ls ríces? 5

60 Itegrl defd- Téccs de tegrcó de mer que 5 5 Veremos que ese cocete puede epresrse como sum de frccoes más smples frccoes prcles. Más precsmete: veremos que es posle hllr costtes A B tles que 5 A B * S se oper co el segudo memro de * oteemos: A B A B A A B B Est frccó tee cocdr co l orgl o se: A A B B 5 Pr que ls frccoes se gules dee serlo los umerdores dedo que los deomdores lo so. Iguldo los umerdores A + B + A B = + 5 por ede A + B = A B = 5 Por qué? Resolvedo el sstem de ecucoes A B A B 5 se otee A = B = - Reemplzdo e * l frccó dd se puede epresr como sum de frccoes 5 prcles: Ahor está e codcoes de resolver l tegrl. 54

61 Itegrl defd- Téccs de tegrcó El procedmeto segudo pr resolver l tegrl del ejemplo teror se llm método de frccoes prcles o método de frccoes smples. P Este método se us pr tegrr fucoes rcoles f dode P Q so Q polomos el grdo de P es meor que el grdo de Q s el grdo de P fuer mor o gul l de Q qué hrí ustedes? Sucede que tod fucó rcol P f e l que el grdo del umerdor es meor Q que el grdo del deomdor puede descompoerse como sum ft de frccoes A smples de l form o B C c m dode m so eteros postvos A B C c so costtes reles co l codcó 4c. Descrremos cotucó el método les mostrremos por medo de lguos ejemplos cómo se otee ls frccoes smples. Les recomedmos que tes de segur vzdo repse descomposcó fctorl de polomos. Descrpcó del método de frccoes smples Dd P d Q dode P Q so polomos el grdo de P es meor que el de Q º Fctorzmos el polomo Q como producto de fctores rreducles. º Segú se l fctorzcó de Q oted propoemos u descomposcó de P como sum de frccoes prcles. Por ejemplo: Q Q = Q es u producto de fctores leles dsttos Se propoe e este cso : P Q A B C 4 55

62 Itegrl defd- Téccs de tegrcó Q = - + Se propoe e este cso : el fctor lel + está repetdo P Q A B C Q = es u fctor cudrátco rreducle Se propoe e este cso : P A B C Q v Q = Se propoe e este cso : h u fctor cudrátco rreducle repetdo P Q A B C D E 4 4 º Determmos ls costtes A B C D E etc e l form sugerd e el prmer P ejemplo reemplzmos los vlores otedos pr oteer l epresó de como Q sum de frccoes smples. L tegrl tegrles. P d Q podrá sí resolverse como u sum de Not: S el grdo de P es mor o gul l de Q se puede dvdr esos polomos epresr P R f S sedo el grdo de R meor que el grdo de Q Q Q Ejercco 5 Resuelv: d 4 d d d e d c 4 d 4 f dt t 4 t 56

63 Uso de tls softwre mtemátco Itegrcó promd Hemos estuddo sólo lgus de ls muchs téccs de tegrcó que este. Hrá otdo que o st ser cómo utlzrls so que es precso demás ser cuádo. E el cálculo de u tegrl defd está presete u prolem de recoocmeto: h que recoocer qué regl o técc utlzr pr ecotrr u prmtv. Nos ocupremos e reve del empleo de tls de tegrles o Mple pero tes deemos clrr que No sempre se puede ecotrr l epresó de l tegrl defd de u fucó cotu e térmos de fucoes elemetles A qué os refermos co fucoes elemetles? A tods ls que ustedes cooce ls que se puede oteer prtr de ésts por medo de ls cco opercoes: sum rest multplccó dvsó composcó. Cosdere l fucó f e. Como est fucó es cotu pr todo este F= e t dt pr todo por el Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl F'= f e. Sucede que F o es u fucó elemetl. Esto sgfc que o mport cuáto lo tete uc podrá ecotrr l epresó de F e térmos de ls fucoes que cooce. Lo msmo se puede decr por ejemplo de ls fucoes tegrles de e g h se l cos e k = s = se t = l 57

64 Uso de tls softwre mtemátco Itegrcó promd Hcedo uso del Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl estuddo tervlos de crecmeto decrecmeto etremos locles solutos cocvdd es posle l meos ecotrr e form promd l gráfc de cd u de ls fucoes tegrles de ess fucoes. Es es l tre que les propoemos e el sguete ejercco. Ejercco 5 Estude grfque ls sguetes fucoes e ferr= t dt se t fucó error Is = dt t Itegrcó medte tls progrms de álger smólc PAS Ls tls de tegrles los PAS so e l práctc mu usdos pr resolver tegrles que tee certo grdo de dfcultd. Cudo usmos u tl de tegrles es frecuetemete ecesro relzr u cmo de vrles o lgu smplfccó lgerc e l tegrl dd pr poder resolverl usdo lgu de ls tegrles que prece e l tl. Ejemplo Hllemos d 4 usdo u tl de tegrles. E u tl de tegrles ecotrmos: du u - = t + C + u Teg e cuet que t u ctg u 58

65 Uso de tls softwre mtemátco Itegrcó promd Podemos escrr: luego: d 4 8 d 4 8 d 4 Ahor se puede usr l fórmul de l tl co = pr oteer: d 8 rctg 4rctg Resultdos otedos co Mple: Co los comdos sguetes se otee u prmtv l tegrl defd. >t^+/^+4; Rt: + 4 rct/ >t^+/^+4=..; Rt: + π Oserve que e l respuest que correspode l prmer comdo costte C. o prece l Ejemplo Hllemos u prmtv de f se.e u tl de tegrles ecotrmos: - u seu du = -u cosu + u cosu du Susttuedo e l fórmul u por por oteemos: se d cos cos d 59

66 Uso de tls softwre mtemátco Itegrcó promd Buscmos cotucó e l tl u fórmul decud pr cos d se d cos cos se se 6 se d se cos K cos se 6se 6 cos C Verfcmos usdo Mple: > t^ *s; Rt: cos se 6se 6 cos Ejemplo 4 Hllemos u prmtv de f E u tl de tegrles ecotrmos: du = l u + C u S susttumos + por u d por / du se tee: du d u C C l l u Co Mple: >t/*+; Rt: l Not: E el resultdo o prece ls rrs de vlor soluto. Est fórmul es váld s. S se está teresdo e otros vlores h que gregr ls rrs de vlor soluto. Los dsttos progrms de álger smólc vrí e su form de procesr ls tegrcoes. Aú cudo los PAS so mu potetes os puede udr resolver 6

67 Uso de tls softwre mtemátco Itegrcó promd prolems dfícles cd PAS tee sus props lmtcoes. Icluso h csos e los que u PAS puede complcr más el prolem por cuto proporco u respuest etremdmete dfícl de usr o terpretr. Ejercco 5 Resuelv usdo tl de tegrles Mple. Compre los resultdos otedos. 5 d d c se cos d 4 d d e e d e e 4 f tg d Ejercco 54 Resuelv ls tegrles usdo Mple l l l d d c d 4 Oserve los tegrdos los resultdos de c dg cuáles so ls smltudes etre ellos. Teedo e cuet lo oservdo trte de predecr u fórmul pr Avergüe s el resultdo es correcto usdo Mple. l Cuál es l fórmul pr d? l 5 d Itegrcó promd f es cotu e S F es u prmtv de f como semos es: f d d F F Regl de Brrow Cudo o es posle oteer F pesr de ser ecesro recurrr métodos de cálculo promdo. f cotu e result 6

68 Uso de tls softwre mtemátco Itegrcó promd Además s o se cooce l epresó lítc de f so u tl de vlores- que puede evetulmete prover de resultdos epermetles tmpoco es posle plcr l regl de Brrow. Pr oteer promdmete el vlor de l tegrl descrmos e el comezo motvdos por l úsqued del áre jo u curv u método de promcó por medo de sums de áres de rectágulos promtes costrudos prtr de l dvsó del tervlo. Supogmos hor que e vez de promr co rectágulos lo hcemos co trpecos mejor promcó?. Psmos descrr el procedmeto: Se f co. Supogmos coocdos los vlores de f... - e putos equdsttes =... - = sedo h = + - A - A A A Y Y - Y Y X X X X - X Al sumr ls áres de los trpecos scrptos se tee u promcó del áre de l regó jo l curv e cosecuec u promcó de l tegrl. Recordemos que el áre de u trpeco es A = ½ + B h B h E cosecuec: Áre A A ½ + h Áre A A ½ + h

69 Uso de tls softwre mtemátco Itegrcó promd Áre - A - A ½ - + h sumdo result: Áre ½ ½ h E f d P I h sedo: E = + sum de ordeds etrems P = sum de ordeds de suídce pr I = sum de ordeds de suídce mpr Not: Est form de promr el áre l tegrl por medo de trpecos es coocd como Fórmul de los Trpecos. Ejemplo 5 mu secllo Clculemos prtes gules. d h por l fórmul de los trpecos dvdedo el tervlo e oce Aplcdo l fórmul : d + + ½ 44. = ½ Ahor clcule ustedes el vlor ecto de l tegrl compre el resultdo otedo. Como semos s umetármos el úmero de putos de dvsó mejorrímos l promcó. Ejemplo 6 Hllemos el vlor promdo de I = e este cso h =.5 4 d tomdo = 4 6

70 Uso de tls softwre mtemátco Itegrcó promd Costrumos l tl de vlores: I ½ ½ Not: S = oteemos I 486 puede comprorlo Cosderremos e los sguetes ejerccos csos dode o se cooce l fucó pero s vlores de l msm otedos trvés de lecturs o dtos recogdos. Ejercco 55 El velocímetro de u uto se oservó cd muto ls lecturs de l velocdd V se otro e l tl sguete T m V km/h Estme l dstc recorrd por el vehículo: Co l sum derech l sum zquerd. Note que esto mplc supoer velocdd costte e cd tervlo U de tl vez mejor serí supoer que l velocdd vró lelmete e cd tervlo. Oteg u estmcó de l dstc recorrd formuldo est hpótess. c Compruee terpretdo geométrcmete que el proceso efectudo e cosste e cmr los rectágulos de promcó por trpecos. Ejercco 56 El preco de l mder se epres e $/m. Pr estmr el volume de u troco de cedro de m de lrgo se mdó su crcuferec tervlos de metro oteédose los sguetes vlores use regl del trpeco 64

71 Uso de tls softwre mtemátco Itegrcó promd m C cm Estme el vlor de vet del troco u preco de 78$ por metro cúco. Ejercco 57 Clcule 54 5 f d coocedo l sguete tl de vlores: f Oservcó: l tl de vlores correspode f= l cu prmtv es F = l -. Compre resultdos Ejercco 58 Compruee que l d 6947 Uso de Mple Le presetmos quí el cálculo promdo de lgus tegrles defds usdo l Fórmul de los trpecos. Oserve que de cuerdo l sld output = vlue sum plot o mto se otee el vlor l epresó de l sum el dujo o l mcó. Cudo l sld o está especfcd l respuest es el vlor. Co l opcó prtto = se puede modfcr el úmero de sutervlos cosderdos. S se dese promr usdo sums zquerd derech o l regl del puto medo h que cmr el método method = left rght o mdpot > wthstudet[clculus]: > AppromteIts =..5 method = trpezod; > evlf%; 65

72 Uso de tls softwre mtemátco Itegrcó promd > AppromteIts =..5 method = trpezod output=sum; > AppromteIt* - * - =..5method = trpezod output = plot; > AppromteItt - * =-.. method = trpezod output = plot prtto = 5; > AppromteItl =.. method = trpezod output = mto; Co el ojetvo de comprr el vlor de l promcó por los dsttos métodos clcule e form promd d usdo: zquerd derech l regl del puto medo. fórmul de los trpecos sums 66

73 Autoevlucoes Ls sguetes utoevlucoes l gul que ls que prece l fl de cd u de los cpítulos posterores se propoe como ctvddes pr relzr e form dvdul. Autoevlucó. Cuál es l terpretcó geométrc de. Cuál es l terpretcó geométrc de f d s f? postvos como egtvos? Ilustre su respuest co gráfcos. f d s f tom vlores tto. S rt es l velocdd l cul flue el gu hc u depósto qué represet t t r t dt? 4. Supog que u prtícul se mueve hc uo otro ldo lo lrgo de u rect co u velocdd v t medd e cm por seg. u celercó t Cuál es el sgfcdo de v t dt? Cuál es el sgfcdo de v t dt? c Cuál es el 6 6 sgfcdo de t dt? 6 5. d. t 6. Escr l epresó lítc de dt t 7. S h = dt etoces h=.. h5=. h- =. 8. S es f es cotu g= f pr todo etoces l fucó tegrl f t dt represet pr cd 9. Euce el teorem fudmetl del cálculo tegrl. 67

74 Autoevlucoes. d t dt d =... d t dt d =.... L fucó se s g es u fucó... por lo tto s e vrtud del Teorem fudmetl del cálculo tegrl d d g t dt...ecuetre u fucó f u vlor de l costte tles que f t dt se. S f es cotu demás f t dt cosπ etoces f 4 4.Grfque l fucó s f. Escr l epresó lítc de s 5 g f t dt 5.Determe s ls sguetes frmcoes so verdders o flss. Justfque sus respuests S f g so fucoes cotus e etoces f g d f d S f g so fucoes cotus e etoces c S f ' es cotu e f g d f d. g d g d etoces f v dv f f d S f g so fucoes cotus e g f etoces f d g d 68

75 Autoevlucoes 4 e e d 4 e f S f es cotu e dervle e etoces este c tl que f 'c = f f g S f es cotu e etoces este c tl que f c f d h S u fucó f es cotu e l meos u vez e el tervlo. El vlor promedo de f d 8 etoces f tom el vlor 6 e el tervlo es l j d represet el áre dejo de l curv desde hst. 6. Clcule el áre de l regó compredd etre ls curvs e e el tervlo 9 7. Se R l regó del plo lmtd por del sóldo de revolucó que geer R l rotr: lrededor del eje lrededor de l rect =. Clcule el volume 8.Pltee el cálculo de l logtud del rco de práol de etremos 4 69

76 Autoevlucoes Autoevlucó. Qué sgfc hllr u prmtv de cert fucó f?. Cuáts prmtvs dmte u fucó?. Se f cotu. S F es u prmtv de f etoces g F dfere e... f t dt 4. A qué se llm prmtv geerl de u fucó? 5. Cuál es el sgfcdo de f d? 6. Qué relcó h etre f d f d? 7 Cuáles de ls sguetes gulddes so verdders cuáles flss? f ' d f + C d f f d c d d f f d d g d f d f g d e g d f d f g d f. g d f d. f g d g f d g f d g d h [ f ' g f g' d f g C [ f ' g f g' f d C g g 8. Qué resultdo se tee pr u r du s r -? s r -? 7

77 Autoevlucoes 9. Descr revemete el método de susttucó pr tegrles defds propog u ejemplo.. Complete: f g g' d fu du. S f es u fucó cotu 4 f d = determe f d. S f es cotu 9 f d = 4 determe f d.. Usdo u susttucó decud clcule ls sguetes tegrles: rctg d d. Complete: u dv... - v du 4. cos d... d usdo detddes trgoométrcs 5. se d... d usdo detddes trgoométrcs 6. - A B sedo A=.. B =. por lo tto 5 d 7

78 Ecucoes dferecles - Itroduccó - Cpítulo II: Ecucoes dferecles Ls ecucoes dferecles se preset como modelos mtemátcos de fdd de feómeos e ls dstts rms del coocmeto e prtculr e l geerí. Qué es u modelo mtemátco? Es l trduccó l leguje mtemátco de lgo que sucede e l reldd. Es u descrpcó por medo de u fucó de u ecucó de u sstem de ecucoes de u feómeo del mudo rel que tee por fldd compreder dcho feómeo hcer predccoes cerc del comportmeto futuro del msmo. Presetremos más delte el modeldo de lguos prolems secllos de ologí químc físc que lustrrá el cometro teror. Ahor lcemos los sguetes prolems geométrcos: Prolem : Cuál es l ecucó de l curv que ps por el puto 4 es tl que e cd puto tee pedete gul? Y hemos dscutdo est stucó terormete. A est ltur terpretdo que l curv uscd es l gráfc de u fucó f ustedes tee e clro que tedrá que ser pues l pedete e cd puto es l pedete de l rect tgete e ese puto l msm es gul l dervd de l fucó co lo cul tegrdo respecto se otee: C dode C es l costte de tegrcó. L curv uscd perteece u fml de práols co eje cocdete co el eje. Como l curv dee psr por 4 dee ser 4 = + C luego C = - 5. L curv uscd es etoces: 5. 7

79 Ecucoes dferecles - Itroduccó - Prolem : Hllr l ecucó de l curv que ps por el puto es tl que e cd puto de l msm tee pedete gul +. De cuerdo co el sgfcdo geométrco cometdo es curv es l gráfc de cert fucó descoocd f tl que stsfcedo demás l codcó f E el prolem se coocí l dervd co respecto de l fucó e térmos de es úc vrle stó etoces co tegrr co respecto pr llegr l solucó uscd. E el prolem l dervd demás de depeder de depede de l fucó descoocd que su vez es depedete de lo que hce mposle resolver el prolem co el procedmeto teror... Ahor e s lgue dce l curv que tee ecucó e es u solucó pr el prolem podrá ustedes verfcr rápdmete que eso es certo: Sedo e dervdo co respecto se tee e demás de e por lo tto reemplzdo e comproádose tmé que l guldd e se verfc co = e =. 7

80 Ecucoes dferecles - Itroduccó - Podemos decr que l fucó f e = + stsfce f =. es solucó de l ecucó: Oervcoes: Los prolems so coceptulmete détcos pero opertvmete dsttos. E el prolem stó co tegrr co respecto e el prolem eso o fue posle pero por lgú método -que ú o hemos estuddo- puede oteerse l fucó e como solucó de = +. Atcpádoos lo que defremos cotucó dgmos que ls ecucoes = e = + so ecucoes dferecles ordrs pues relco u fucó descoocd que depede de l vrle l dervd prmer de co respecto. Como l dervd puede epresrse como cocete de dferecles dchs ecucoes tmé puede escrrse e l form respectvmete de hí l deomcó de ecucoes dferecles. d d d d U ecucó dferecl ordr de orde es u ecucó que vcul u fucó descoocd = co su vrle depedete co sus dervds sucesvs hst u orde puede epresrse e l form = f... - o tmé F... = Además de ls ecucoes dferecles ordrs este ls ecucoes dferecles prcles que so ls que volucr dervds co respecto más de u vrle depedete. Ve el sguete cudro los ejemplos que le sgue. 74

81 Ecucoes dferecles - Itroduccó - Ls ECUACIONES DIFERENCIALES se clsfc segú su TIPO so ordrs o prcles segú se trte de dervds co respecto u o más vrles depedetes GRADO es el epoete de l mám potec de l dervd de mor orde ORDEN es el de l dervd de mor orde que prece e l ecucó = = + so ecucoes dferecles ordrs de orde grdo + + = cos es u ecucó dferecl ordr de orde grdo + + = es u ecucó dferecl ordr de orde grdo + + = e es u ecucó dferecl ordr de orde grdo t 4 es u ecucó dferecl prcl de segudo orde grdo e l vrle como fucó de de t. d z d t 4 d z d t 5 set z grdo 4 e l vrle z como fucó de t es u ecucó dferecl ordr de orde U solucó de l ecucó dferecl F... = e u tervlo es u fucó que dmte dervds sucesvs hst u orde clusve e es tl que l hcer l susttucó e l ecucó dferecl se stsfce l guldd. Es decr: F... L gráfc de u solucó de l ecucó dferecl es u curv tegrl de l ecucó. 75

82 Ecucoes dferecles - Itroduccó - Ejemplo L fucó = se + cos es u solucó de + = e E efecto: = cos - se = - se - cos l reemplzr e l ecucó dferecl se otee : - se - cos + se + cos = Luego = se + cos es solucó de + =. Ejercco Verfque e cd uo de los sguetes csos s l fucó dd es solucó de l ecucó dferecl que l compñ. se ; cos Ce e ; e c d C ; ; e e t e dt Ce ; e f d C e ; e Segú vmos e el ejemplo = se + cos es solucó de + =. Oserve que = C se + C cos culesquer se C C tmé es solucó de es ecucó dferecl. Deemos clrr que = C se + C cos e reldd o es u fucó so u fml de fucoes que depede de dos prámetros rtrros C C. Pr cd pr de vlores que se sge esos prámetros se otee u solucó. Etoces cuáts solucoes se tee pr es ecucó dferecl? So fts ls solucoes posles se form como comcoes leles de ls fucoes: = se e = cos que puede compror so tmé solucoes. 76

83 Ecucoes dferecles - Itroduccó - Decmos: L fml = C se + C cos dode C C so dos prámetros rtrros es solucó geerl de l ecucó dferecl + =. Pr cd cd eleccó de esos prámetros se tee u solucó prtculr de dch ecucó dferecl. Ejemplo Oserve que = C + C es solucó de = culesquer se C C. Decmos: L fml = C + C dode C C so dos prámetros rtrros es solucó geerl de = Ejemplo = Ce es solucó de: = culquer se C. Pr verfcrlo st co dervr: = Ce luego: Ce - Ce = culquer se C L fml = Ce depedete de u prámetro rtrro es solucó geerl de = Como hrá otdo el úmero de prámetros presetes e l que llmmos solucó geerl gurd relcó co el orde de l ecucó dferecl S pr u vlor prtculr de C grfcmos e u sstem de coordeds crtess el cojuto de putos del plo cus coordeds stsfce C e oteemos u curv es u curv tegrl de l ecucó dferecl Dsttos vlores de C d dstts curvs tegrles. El cojuto de tods ess curvs pr todos los posles vlores de C es u fml de curvs fml de curvs tegrles de l ecucó dferecl. Pr grfcr es fml de curvs grfcmos e u sstem de coordeds lguos de sus memros C > C < 77

84 Ecucoes dferecles - Itroduccó - Se llm solucó geerl de u ecucó dferecl de orde tod fml de fucoes depedete de prámetros esecles C C... C tl que pr cd eleccó prtculr de esos prámetros se otee u solucó l que se dce es u solucó prtculr. Ls gráfcs de ls solucoes dds por u solucó geerl form u fml de curvs tegrles de l ecucó dferecl. Oservcoes Se etede por prámetros esecles quellos que o puede ser reducdos u úmero meor. L solucó geerl de u ecucó dferecl se preset veces defd e form mplíct. Es decr e l form C C... C. Ejemplo 4 es e prec u fml de fucoes C C. C C C C depedete de tres prámetros pero sólo tee u prámetro esecl puesto que l sum de tres costtes d por resultdo otr costte: C + C + C = C C C Ejemplo 5 C C C l C se ve como u fml de fucoes depedete de dos prámetros podrí ser solucó geerl de u ecucó dferecl de segudo orde? Pr respoder tl pregut deemos decdr s so o o prámetros esecles. Como: se tee: C l C C l C l C l C C otr costte C l E cosecuec los prámetros o so esecles o podrí ser solucó geerl de u ecucó de segudo orde. 78

85 Ecucoes dferecles - Itroduccó - Ejemplo 6 c 4 defe mplíctmete l solucó geerl de 4 E efecto: sedo c 4 se tee dervdo mplíctmete c de : 4 c c de : sumdo memro memro ls dos últms gulddes se tee 4 L fml de curvs tegrles es e este cso u fml de crcuferecs co cetro e C rdo. Oserve que C puede tomr vlores postvos egtvos Oservcó: E este últmo ejemplo -demás- se cumple que represet solucoes de 4 que. 4. Note que ls solucoes = e = - o provee de l solucó geerl o puede oteerse prtr de l solucó geerl reemplzdo C por lgú úmero Ls solucoes que o provee de l solucó geerl so llmds solucoes sgulres. 79

86 Ecucoes dferecles - Itroduccó - Ecucó dferecl socd u fml de curvs Dd C C... C o C C... C podemos oteer l que llmmos ecucó dferecl socd elmdo los prámetros C C...C etre ls + ecucoes formds por l epresó orgl sus dervds sucesvs hst el orde co respecto l vrle depedete. Ejemplo 7 Al dervr C e se otee C e elmdo C etre ms se tee = o e: - = como vmos. - = es l ecucó dferecl socd l fml C e Ejemplo 8 Dd C fml de práols l dervr se tee = C. Elmdo C etre ms ecucoes result: = que es l ecucó dferecl socd C Ejemplo 9 Se C cos C se dode supoemos fjo Dervdo dos veces: C se C cos Vemos que: C cos C se C cos C se es l ecucó dferecl socd l fml C cos C se Ejercco Oteg l ecucó dferecl socd l fml de curvs dd: A d Ae B e C fl de elpses A B e A B c A se f se A d C fl de hpérols e C fl de hpérols 8

87 Ecucoes ordrs de prmer orde- Métodos de resolucó Ecucoes dferecles de prmer orde U ecucó dferecl de prmer orde puede estr epresd de dferetes forms: Form mplíct: F = Ej: e + = Form eplíct: = f Ej: = cos Form dferecl: P d + Q d = Ej: d + d = Nos ocupremos de lguos tpos prtculres de ecucoes dferecles ordrs de prmer orde de los métodos de resolucó que permte resolverls. I. Ecucoes de vrles seprds o seprles U ecucó dferecl ordr de prmer orde es de vrles seprles s puede epresrse e l form p d + q d =. L solucó geerl de u ecucó de este tpo se otee tegrdo cd térmo co respecto l vrle correspodete: p d q d E efecto: de p d q d C dervdo respecto de se otee : p q de llí : p d q d Ejemplo d + d = es de vrles seprds. C Pr hllr l solucó geerl tegrmos cd térmo respecto l vrle correspodete: d d C C C C > defe mplíctmete l solucó geerl. Se trt de u fml de elpses cetrds e el orge 8

88 Ecucoes ordrs de prmer orde- Métodos de resolucó S queremos oteer l elpse que ps por el puto de coordeds 4 st co 4 reemplzr e e : C C 7 Se otee sí l solucó prtculr 7 que puede epresrse tmé e l form. 7 4 Ejemplo Cosderemos hor l ecucó dferecl d d Podemos escrrl e l form d d dvdedo mos memros por + + d d Ahor podemos tegrr pr oteer l solucó geerl: l l C Est solucó geerl puede escrrse de mer más compct empledo propeddes del logrtmo: l l C C l C plcdo l fucó epoecl e mos memros: C e C C Ejemplo Busquemos l solucó geerl de e tg d e sec d Supoedo e tg podemos dvdr mos memros de l ecucó por e sec e tg pr seprr ls vrles: d d e tg e tegrr mos térmos pr oteer l solucó geerl: l e l tg C 8

89 Ecucoes ordrs de prmer orde- Métodos de resolucó Tmé quí podemos plcr propeddes del logrtmo pr epresr dch solucó tg geerl e l form: l C e plcr epoecl e mos memros pr oteer: Flmete qutdo ls rrs de vlor soluto: o e: tg C e C tg e tg e e C C C C C C Oservmos demás que tg tmé defe solucoes de l ecucó verfíquelo. Ejemplo L ecucó e e puede escrrse e l form dferecl e d e d Dvdedo mos memros por e e que sempre es dferete de cero teemos: d d dode ls vrles está seprds e e Ahor tegrdo cd térmo puede oteerse l solucó geerl. Complete Ejercco Hlle l solucó geerl e los sguetes csos. d d d d c d l d d II. Ecucoes dferecles ects L ecucó dferecl de er orde P d Q d es u ecucó dferecl ect e certo domo D s este u fucó f e D tl f que P l ecucó dd. f Q. E tl cso f C es solucó geerl de 8

90 Ecucoes ordrs de prmer orde- Métodos de resolucó 84 E efecto s f P f Q dervdo e C f teemos: f f d d Q P d Q d P Cómo podemos recoocer u ecucó dferecl ect? S d Q d P es ect semos que este f tl que: f P f Q supoedo que P Q dmte dervds prcles cotus ecesrmete dee verfcrse: P Q pues f f lo recuerd? Así hemos estlecdo u codcó ecesr pr que d Q d P se u ecucó dferecl ect: S d Q d P es u ecucó dferecl ect e D ls dervds prcles de P Q so cotus e D etoces P Q Ejemplo 4 d d Aquí P Q tee dervds prcles cotus e todo. Q P sedo etoces P Q por lo que coclumos que l ecucó dferecl o es ect. Ejemplo 5 Dd d d oservmos que: Q P P Q Aordmos etoces l úsqued de f de mer que se verfque: f P f Q

91 Ecucoes ordrs de prmer orde- Métodos de resolucó 85 Por podemos segurr que f dee ser u prmtv de P co respecto dejdo costte o se que dee ser: g d f oserve que l costte de tegrcó es u fucó de l vrle Pr determr g teer l epresó complet de f tegmos e cuet que dee verfcrse por lo tto : Q g f De llí g etoces C g co lo cul se tee: C f co C culquer Resumedo: Dd d + d = f es u fucó que verfc Q f P f C es l solucó geerl de l ecucó dferecl dd. Verfccó: dervdo e C teemos d d d d Ejercco 4 Compruee que ls sguetes ecucoes dferecles so ects oteg su solucó geerl. 6 d + + d = + 6 d + + d =

92 Ecucoes ordrs de prmer orde- Métodos de resolucó Ejercco 5 Hlle verfque 4 solucó prtculr de 4 6d d que Hlle l solucó prtculr de cos d cos d que ps por III. Ecucoes dferecles leles de prmer orde Tod ecucó lel respecto de l fucó descoocd su dervd se llm ecucó lel de prmer orde. Ls ecucoes leles de prmer orde ecucó puede epresrse e l form: * P Q dode P Q so fucoes cotus de e certo domo D Ls sguetes ecucoes dferecles so leles de prmer orde: + = e P = Q = e = se P = Q = se + = e e este cso puede llevrse l ecucó l form de l geerl * dvdédol por ; de es mer supoedo e etoces e P ; Q se tee: e D Presetremos trvés de los sguetes ejemplos u método de resolucó pr ecucoes de este tpo. Ejemplo 6 Hllremos l solucó geerl de l ecucó dferecl + = e. Es ést u ecucó lel de prmer orde : tee l form P Q dode P = Q = e.. Vmos supoer que l solucó es de l form = u v tedremos que ecotrr u v 86

93 Ecucoes ordrs de prmer orde- Métodos de resolucó S = u v etoces = u v + u v reemplzdo e e l ecucó orgl se tee: u v + u v + u v = e. Scdo fctor comú u del segudo térmo del tercer térmo os qued u v + u [v + v ] = e Hgmos quí u lto refleoemos... S pudérmos ecotrr lgu fucó v pr l que se v v sólo fltrí luego ecotrr u que verfque u v e 4. Busquemos etoces v solucó de v v. v v es de vrles seprles dv podemos escrrl e l form v d dv vd dv d v sup v Itegrdo result: v l C l v C plcdo epoecl e cd memro v e C C e e k e k > v k e Dádole k culquer vlor dferete de se otee l fucó v uscd. Por ejemplo s k = v e solucó prtculr de v v 5. Hlld v hor deemos ecotrr u tl que u e se solucó de l ecucó orgl. Pr ello u dee stsfcer u e e etoces = u e e e hllmos u tegrdo: u e d 6. L solucó geerl de + = e es: u v e e d 87

94 Ecucoes ordrs de prmer orde- Métodos de resolucó Oservcó: l mposldd de epresr u prmtv de e e térmos de fucoes elemetles os h olgdo e el ejemplo teror dejr epresd l solucó co dch tegrl. Ejemplo 7 Hllr l solucó prtculr de que stsfce. Solucó geerl Supoemos que l solucó geerl tee l form u v u v u v u v Pr que sí se tedrá que ser u v u v v * o se Búsqued de v: Buscmos v que se u solucó prtculr de l ecucó de vrles seprles v v dv d v dv d v l v l C l v C l v e C l C C v C C C e S elegmos C v L solucó geerl será etoces u pero flt hllr u. Búsqued de u: Hcedo v e l guldd * oteemos: u de dode u = + e tegrdo oteemos: u C l solucó geerl es: o se: u v 4 C C 88

95 Ecucoes ordrs de prmer orde- Métodos de resolucó Solucó prtculr que cumpl = Se reemplz por e por : C C L solucó prtculr uscd es: p Pregut: Este lgu solucó que stsfg:? o? Ejemplo 8 Desde cert ltur se rroj u cuerpo de ms m. F =kv F =mg Determremos l le segú l cul cm l velocdd de cíd v t supoedo que sore el cuerpo demás de l fuerz de grvedd ctú l fuerz de resstec del re que ést es promdmete proporcol l velocdd v t. E vrtud de l segud le de Newto: F = m.t dode dv t es l celercó dt del cuerpo e movmeto F es l fuerz et que ctú sore el cuerpo e l dreccó del movmeto. Est es resultte de dos fuerzs: l de grvedd F = m.g l de l resstec del re F = k. v t dode k es el fctor de proporcoldd. Etoces: F = F F F v co sgo egtvo dedo que se dopt u covecó de sgos postvo hc jo egtvo hc rr F > F <. Se otee sí l ecucó dferecl: que puede escrrse tmé Dvdedo por m qued orde e l fucó descoocd vt Compruee que l solucó geerl es: dv m dt m g k v mv t k v t m g k v t v t g ecucó dferecl lel de prmer m v t C e k t m m g k c S cosdermos hor que l rrojr el cuerpo le dmos u velocdd cl v que e prtculr puede ser gul cero cuál es l relcó etre v t?. 89

96 Ecucoes ordrs de prmer orde- Métodos de resolucó S t = prcpo del movmeto: v = v. Etoces: de dode: v C m g k m g C v qued sí determd l costte C k Por cosguete l depedec uscd etre v t es: v t v mg e k k t m m g k Oservcoes: S t es sufcetemete grde l velocdd v depede poco de v. S k = es decr l resstec del re o este o es t pequeñ que puede desprecrse l ecucó se reduce Al resolver tedrímos: dv m dt dv m g o e g. dt v t v g t ecucó e coocd de l físc que stsfce l codcó v = v pr t = Ejercco 6 Hlle l solucó geerl de ls sguetes ecucoes dferecles: e se Hlle l solucó prtculr e el sguete cso: tg sec ; c Hlle l ecucó de l curv que ps por el puto de tl form que e cd puto de l msm su pedete es l sum de scs orded. Cmpo dreccol o cmpo de pedetes Desfortudmete es mposle resolver l mor prte de ls ecucoes dferecles e el setdo de oteer u fórmul eplíct pr l solucó. A pesr de l flt de u solucó eplíct podemos oteer formcó grcs u procedmeto gráfco utlzdo el cocepto de cmpo de dreccoes. Supog que teemos u ecucó dferecl de prmer orde f. L ecucó dferecl epres que l pedete de l curv solucó e u puto de l curv es f. S trzmos segmetos rectlíeos cortos co pedete f e 9

97 Ecucoes ordrs de prmer orde- Métodos de resolucó vros putos ese cojuto de segmetos se le llm cmpo dreccol o cmpo de pedetes. Cd segmeto rectlíeo tee l msm pedete que l curv solucó e por tto es tgete l curv e ese puto. Recordemos que e l vecdd de s este l dervd l tgete prom e l curv o se que los pequeños segmetos so promdmete u porcó de l curv. Cutos más segmetos se trce más clrs se vuelve ls mágees de ls curvs solucó... Uso de MAPLE Co los sguetes comdos podrá vsulzr el cmpo dreccol de u ecucó dferecl hllr l epresó de l solucó geerl o u solucó prtculr que pse por u puto ddo > wthdetools: > dfeldplotdff=+ =-.. =.. color=lue rrows=slim;se grfc el cmpo dreccol de > ODE: = D = + : defcó de l ecucó dferecl > sol:= dsolveode ; se otee l solucó geerl >solp:=dsolve{d=+ =} ;se otee l epresó de l solucó prtculr que ps por A cotucó se muestr cómo puede grfcrse u solucó de tpo umérco pr que pse por e > wthplots: > p:= dsolve{d=ep^ =}tpe = umerc: > odeplotp[]-..; Co el comdo DEplot se grfc cotucó el cmpo de dreccoes lgus vrs trectors específcs pr l ecucó > restrt: wthdetools: > ec := dfftt = -t+t; t t t > DEplot[ec] [t] t=-6..6=-6..6thckess=sclg=costred rrows=slim; > DEplot[ec][t] t=-6..6 [[=][=4] [=] [4=]] =6..6 stepsze=.lecolor=luesclg=costred; 9

98 Prolem de vlor cl- Estec ucdd de ls solucoes Prolem de vlor cl Hemos dcho que ls ecucoes dferecles permte modelr fdd de stucoes de l vd rel. E muchos prolems teres ecotrr pr cert ecucó dferecl o l solucó geerl so u solucó que stsfg lo que se deom u codcó cl o se u codcó de l form. Geométrcmete cudo mpoemos u codcó cl queremos seleccor de l fml de curvs tegrles de l ecucó dferecl quell que pse por u puto ddo. E térmos físcos detfcdo co el tempo esto equvle especfcr el estdo cl del sstem físco e el stte usr l solucó del prolem co vlor cl pr hllr el estdo del sstem e u stte posteror es decr pr predecr el comportmeto futuro del prolem. Al prolem de hllr u solucó de u ecucó dferecl co cert codcó cl se le llm Prolem de vlor cl. Cosderdo ls dfcultdes que puede presetr l resolucó de u ecucó dferecl comprederá que es de mucho terés ddo u prolem de vlor cl poder decdr tes de ordr l úsqued de l solucó s dch solucó este s es úc. El sguete teorem trt sore es cuestó. Teorem de estec ucdd S l fucó f es cotu e lgú rectágulo del plo que cotee e su teror l puto etoces el prolem de vlor cl f ; tee l meos u solucó. S demás l dervd prcl f es cotu e ese rectágulo l solucó de f ; es úc e lgú tervlo que coteg. El teorem grtz jo ls hpótess mecods que e lgú tervlo l que perteece este u sólo u solucó = de l ecucó dferecl =f que stsfce l codcó cl = es decr que cerc de está 9

99 Prolem de vlor cl- Estec ucdd de ls solucoes defd u úc fucó = cu gráfc tee e cd puto pedete gul f ps demás por el puto P. P Atecó! El teorem d codcoes sufcetes pr l estec l ucdd de solucó del prolem de vlor cl f ; pero o ecesrs. Ejemplo 9 Cosderemos l ecucó dferecl e Como f e f e so cotus e todo de estec ucdd puede plcrse l PVI e ; culquer se el Teorem grtz l estec ucdd de l solucó e lgú tervlo que cotee. Geométrcmete esto sgfc que por cd puto P ps u úc curv gráfc de u solucó de l ecucó dd. Ejemplo Cuál es el cojuto de putos pr los que se podrí grtzr plcdo el teorem l estec ucdd de l solucó del prolem de vlor cl ;? f su dervd prcl f so ms cotus e / tmé e /. Así que el teorem puede plcrse grtz l estec ucdd de l solucó pr todo co. 9

100 Prolem de vlor cl- Estec ucdd de ls solucoes Qué sucede co los putos de l form? Y que f es u fucó cotu e todo el teorem grtz tmé l estec de solucó de ; pero como l dervd prcl f o es cotu cudo es gul el teorem o puede plcrse pr ser s h o o más de u solucó. Oservcó: e = so dos solucoes del PVI verfíquelo 8 Ejemplo es solucó geerl de verfíquelo C Oserve que culquer se el vlor de C de mer que h u úmero fto de solucoes ls que se otee reemplzdo e l solucó geerl C por culquer úmero rel que stsfce l codcó cl =. Además otr vez e este cso l fucó costte tmé result ser u solucó sgulr que o se otee prtr de l geerl de l ecucó dferecl. Se cotrdce ls frmcoes terores co el teorem de estec ucdd tes eucdo? NO! E este ejemplo es f. f o es cotu e por lo tto o se puede plcr el teorem pr lzr l estec ucdd de solucó del prolem de vlor cl ; = 94

101 Prolem de vlor cl- Estec ucdd de ls solucoes Ve que el teorem tmpoco permte decr d cerc de l estec ucdd de solucó pr ; s Lo que podemos segurr e vrtud del teorem de estec ucdd es que: s e es culquer úmero rel ; = f tee u úc solucó que f e D ; tmé e D ; so cotus Ejercco 7 E los sguetes csos señle el cojuto de putos pr los que podrí grtzr plcdo el teorem l estec ucdd de l solucó del prolem de vlor cl =f ; = c d e Ejercco 8 E los sguetes csos ve s puede tes de comezr resolver grtzr l estec ucdd de solucó cotucó hlle l solucó. e e ; =. se l ; e c Hllr u curv que ps por P - de modo que l pedete de l tgete e culquer de sus putos P se gul l orded del puto umetd e uddes. Modeldo de prolems de ologí físc químc I. Modelo de crecmeto de u célul Supog que u célul tee u ms m que su ms crece e u medo del. 95

102 Ecucoes dferecles- Aplccoes- Así su ms m se puede cosderr como u fucó del tempo m = mt. Además supog que los compuestos químcos trves rápdmete l pred de l célul o se que el crecmeto sólo está determdo por el metolsmo de l célul. Como el metolsmo depede de l ms de ls moléculs prtcptes es rzole supoer que l velocdd co que umet l ms de l célul es proporcol l ms e cd stte. Sedo t : tempo t m : ms estete e t = mt : ms estete e el stte t k : costte el modelo mtemátco que correspode l stucó descrpt es: m t k m t m m Esoce l gráfc de l fucó ms mt de l célul e fucó del tempo s resolver l ecucó dferecl. Resuelv compre co lo otedo e. c Supoedo k = / clcule el tempo t pr que l ms cl se duplque. d Dscut posles lmtcoes de este modelo por ejemplo les prece que podrí crecer lmtdmete? se reflej esto e l epresó oted pr mt? II. Modelo de crecmeto restrgdo de u polcó. Ls polcoes los orgsmos o crece defdmete. H lmtcoes como l escsez de lmeto vved espco codcoes físcs tolerles. Supog que este u límte superor fjo pr el tmño de u polcó de modo que l velocdd de crecmeto del úmero de dvduos tede cero cudo Nt tede ese límte superor. L hpótess más secll cosste e supoer que l velocdd de crecmeto de l polcó es proporcol B Nt Pltee el modelo mtemátco que correspode l stucó descrpt. Esoce l gráfc de Nt s resolver l ecucó dferecl. c Resuelv. Cuál es l solucó geerl? Cuál es el sgo de l costte? d Supoedo que el úmero de dvduos e u stte culquer es mu pequeño co respecto l límte superor e qué form crece el úmero de dvduos? 96

103 Ecucoes dferecles- Aplccoes- III. Modelo de efrmeto de Newto. Cosderemos u sustc cu tempertur es más lt que l del mete que l rode. L eperec dce que l tempertur de l sustc descederá hst gulr l del medo etero. A modo de ejemplo podemos pesr e u recpete co u líqudo tempertur mete que se coloc detro de l helder. L le de efrmeto de Newto estlece que jo determds codcoes l rzó de cmo de l tempertur o se l velocdd de efrmeto es proporcol l dferec etre l tempertur de l sustc l del medo más frío que l rode. Sedo t : el tempo T : l tempertur de l sustc e el stte cl t = Tt : l tempertur de l sustc e el stte t T : l tempertur costte del mete más frío. Eprese l le de Newto mtemátcmete. Esoce l gráfc de Tt s resolver l ecucó dferecl. c Resuelv l ecucó dferecl compre co lo otedo e el cso. d Dscut ls posles lmtcoes de este modelo. IV. Modelo de destegrcó rdctv. Detlle de terés geerl: Ls des que se preset e este ejemplo so l se de u método cetífco que h tedo u profud relevc e geologí e rqueologí. Eseclmete los elemetos rdctvos que se ecuetr e l turlez de semvds coocds puede utlzrse pr fechr sucesos que ocurrero co u tgüedd compredd etre uos mles mlloes de ños. El rdocroo u sótopo rdctvo del croo tee u semvd de uos 56 ños semvd es el tempo requerdo pr que l ctdd de sustc se reduzc l mtd. El rdocroo se produce e l lt tmósfer por l ccó de los ros cósmcos sore el trógeo. Este rdocroo ps por odcó dódo de croo que se mezcl por el veto co el dódo de croo o rdctvo presete. Como se está formdo rdocroo cotumete volvédose trsformr e trógeo su proporcó e el croo ordro de l tmósfer h lczdo hce tempo u estdo 97

104 Ecucoes dferecles- Aplccoes- de equlro. Tods ls plts corpor es proporcó de rdocroo e sus tejdos sí como los mles que come plts. Metrs el ml o l plt vve es proporcó se mtee costte pero l morr ces l sorcó de rdocroo el que hí e el mometo de su muerte sgue destegrádose. Así pues s u frgmeto de mder tgu tee l mtd de rdctvdd que u árol vvo vvó hce uos 56 ños s sólo tee l curt prte vvó hce uos ños. Stucó: El rdocroo se destegr e u stte culquer co u rpdez proporcol l ctdd estete e dcho stte tee u semvd de 56 ños. Pltee el modelo mtemátco que correspode l stucó descrpt cosderdo: t : tempo C : ctdd de rdocroo estete e t = Ct : ctdd de rdocroo estete e el stte t Resuelv. c Supoedo que se h ecotrdo u hueso foslzdo que cotee / de l ctdd cl de rdocroo determe l edd de dcho fósl. d S l mtd de cert ctdd de rdo se destegr e 6 ños qué porcetje de l ctdd orgl quedrá l co de 4 ños? de 8 ños? e S l semvd de u sustc rdctv es de vete dís cuáto trdrá e destegrrse el 9% de ell? V. Vrcoes Supogmos que u prtícul de ms m está ud u resorte olgd moverse lo lrgo de u trector rect. L segud le del movmeto de Newto dce que: A L celercó sore u prtícul será proporcol l Fuerz resultte ejercd sore l msm. Cuáles so ls fuerzs que ctú sore est prtícul? 98

105 Ecucoes dferecles- Aplccoes- Se se que u sstem elástco oedece l Le de Hooke: B Detro de certos límtes u resorte ejercerá u Fuerz proporcol l elogcó del msmo. Y flmete se puede supoer que este u C rozmeto promdmete proporcol l velocdd de l prtícul. L prete smplcdd de este modelo o es ostáculo pr su utlzcó e el estudo del mportte prolem de ls vrcoes e sstems elástcos e geerí. Como u prmer promcó tod estructur puede pesrse como u cojuto de prtículs uds etre sí por resortes que oedece lees smlres ls que quí se descre. d Epresemos l le A mtemátcmete: F m. m d t Qued ú por escrr F como sum de dos cotrucoes : F F H F. v Vemos l fuerz elástc: B F H k. dode es l elogcó k es u fctor de proporcoldd L fuerz resstete será: C d F v. v. d t dode v es l velocdd es u costte de proporcoldd FH v FV Poscó turl Resorte elogdo d d por lo tto: k. m. d t d t que costtue u ecucó dferecl de segudo orde que puede escrrse tmé e l form: m. ' '. ' k. 99

106 Ecucoes dferecles- Aplccoes- Ejercco 9 Eprese medte ecucoes dferecles ls sguetes stucoes: U prtícul se mueve lo lrgo de u rect de mer que su velocdd e el stte t es set. Ce grmos de zúcr de cñ que está e gu se coverte e detros u velocdd que es proporcol l ctdd que ú o se h covertdo. c Segú l le de Newto l velocdd de efrmeto de u cuerpo e el re es proporcol l dferec etre l tempertur T del cuerpo l tempertur T del re. d L polcó P de u cudd umet u velocdd proporcol l polcó l dferec etre. l polcó. e El rdo se destegr u velocdd proporcol l ctdd Q del rdo presete. f Pr cert sustc l velocdd de cmo de l presó de vpor P respecto de l tempertur T es proporcol l presó de vpor e versmete proporcol l cudrdo de l tempertur. Ejercco Aplque l le de Newto l sguete cso: l tempertur del re es de ºC el cuerpo se efrí e mutos desde ºC hst 6 ºC detro de cuáto tempo l tempertur del cuerpo descederá hst ºC? U rco pg sus motores cudo se desplz m/s. Cosdere que sore él ctú solmete l Fuerz de roce del gu. Ést es promdmete proporcol l velocdd del rco co respecto l gu. Luego de 5 segudos su velocdd será 8 m/s. Después de cuáto tempo l velocdd se hrá m/s? Curvs ortogoles fmls de curvs ortogoles Los pres de fmls de curvs mutumete ortogoles prece e plccoes físcs. E l teorí del electromgetsmo ls líes de fuerz socds u cmpo ddo so trectors ortogoles ls correspodetes curvs equpotecles.

107 Ecucoes dferecles- Aplccoes- Tmé e el estudo de l termodámc el flujo de clor trvés de u superfce pl es ortogol ls curvs soterms curvs de tempertur costte. Dos curvs C C se dce ortogoles e u puto comú P cudo ls respectvs rects tgetes e ese puto so perpedculres etre s. l C P C l Oservcó: S m es l pedete de l m es l pedete de l l l m. m Alítcmete podemos terpretr que s C es gráfc de C es gráfc de sedo dervles e scs de P ; etoces l ortogoldd de C C e P equvle. o se:. E el cso de ser ul u de ls pedetes l rect perpedculr dee ser vertcl formdo águlo recto co el eje. Dos fmls de curvs F F se dce mutumete ortogoles s cd curv de cd fml es ortogol co ls curvs de l otr fml. F F F

108 Ecucoes dferecles- Aplccoes- Oservcó: Se F F dos fmls de curvs depedetes de u prámetro: F : C F : C Semos que F F está socds co seds ecucoes dferecles de prmer orde: f e f oteds elmdo los prámetros de ls ecucoes orgles co ulo de ls respectvs dervds. E geerl l ecucó dferecl f está formdo cul es e cd puto del plo l pedete de l curv tegrl que ps por ese puto. Por eso podemos terpretr que l ortogoldd de ms fmls v drse cudo e cd puto comú de ls curvs de u otr fml ls tgetes se perpedculres e cosecuec: f f Ejemplo Se F l fml de hpérols C. So hpérols equláters co eje cocdete co el eje s C > co el eje s C < Se F l fml de hpérols. C. Ésts so hpérols co eje formdo u águlo de mpltud 4 co los ejes coordedos ucds e el prmer el tercer cudrte s C > e el segudo el curto cudrte s C <. Comproremos que ls fmls F F so mutumete ortogoles. Pr ello strá co oteer comprr ls ecucoes dferecles socds. Ecucó socd F : Dervmos co respecto l ecucó de F oteemos ' f s Ecucó socd F : Dervmos co respecto l ecucó de F oteemos. Como ' f s f ls fmls so mutumete ortogoles. f

109 Ecucoes dferecles- Aplccoes- S F F so fmls de curvs mooprmétrcs depedetes de u solo pármetro mutumete ortogoles ls curvs que compoe u otr fml se deom trectors ortogoles us de otrs. Pr oteer ls trectors ortogoles de u fml dd F se procede de l sguete mer: o Se usc l ecucó dferecl socd F : f o L ecucó dferecl socd l fml ortogol uscd F dee ser: f f o L solucó geerl de est ecucó represet l ecucó de l fml uscd F es decr ls trectors ortogoles F Ejemplo Otedremos ls trectors ortogoles l fml F : c. Oservemos que pr c c es u práol co vértce e el orge eje cocdete co el eje oretd hc rr s c > hc jo s c <. o c Elmdo c etre c ecucó dferecl socd F : oteemos l s

110 Ecucoes dferecles- Aplccoes- o L ecucó dferecl socd l fml ortogol F es etoces: s o Resolvemos est últm ecucó: d d d d k k solucó geerl Coclusó: F : k k es l fml de trectors ortogoles l fml F : fml de elpses co eje cocdete co el eje c. E el sguete gráfco está represetds lgus curvs de ms fmls: Ejercco Muestre que ls fmls de curvs F : F : so mutumete ortogoles. Ejercco Hlle ls trectors ortogoles pr ls sguetes fmls de curvs. Grfque ms fmls. C C c m d C e e C 4

111 Autoevlucó Autoevlucó. Qué es u ecucó dferecl? Qué es el orde de u ecucó dferecl? A qué se llm solucó geerl solucó prtculr solucó sgulr de u ecucó dferecl?. Cómo resuelve u ecucó dferecl de tpo seprle?. Descr u ecucó dferecl ect. Cómo puede resolverl? 4. Descr u ecucó dferecl lel de prmer orde. Cómo puede resolverl? 5. Resuelv: se d + cos d = d + + d = ds c cost s se t d. - = e ; = dt set 6. Verfque que l fucó t stsfce l codcó cl. dt es solucó de l ecucó 7. Cómo pes que podrí resolver l ecucó tegrl + t dt 8. Hlle l solucó de l ecucó cos que verfc pr. 9. Cuál es l curv tegrl de = e - que ps por?? se. Pr u prolem de vlor cl =f ; = cuáles so ls codcoes sufcetes pr poder frmr l estec de solucó úc?. Cuáts solucoes de l ecucó dferecl = + ps por el puto?. Hllr ls curvs que stsfce cd u de ls codcoes geométrcs sguetes: l porcó de l tgete lmtd por los ejes tee como puto cetrl l puto de tgec. l proeccó sore el eje de l prte de l orml etre el eje tee logtud. c l proeccó sore el eje de l prte de l tgete etre el eje tee logtud.. U curv rrc desde el orge por el prmer cudrte. El áre jo l curv desde hst es u terco del áre del rectágulo que tee esos putos como vértces opuestos. Hllr l ecucó de es curv. 4. Hllr l ecucó dferecl de cd u de ls sguetes fmls de curvs: tods ls crcuferecs que ps por - tods ls crcuferecs co cetros e l rect = que so tgetes mos ejes c tods ls práols co vértce e de eje. 5. Eplque cómo se otee l fml de curvs ortogoles u fml de curvs dd. 5

112 Itegrles doles Cpítulo III: Itegrles Múltples Itegrles doles Actvdd. Pese e u fucó f cotu defd sore u rectágulo c d c d R / tl que f Cómo mg su gráfc? L gráfc de u fucó cotu de dos vrles es u superfce. L superfce que es gráfc de f tee ecucó z = f recuerd lgu e prtculr?.. Sedo f co vlores o egtvos l gráfc está totlmete ucd por rr del plo. Cosderdo todos los putos del espco etre el plo l gráfc de f qued defdo u sucojuto de llmdo sóldo. L descrpcó lítc de ese sóldo es: V z / R z f Trte hor de grfcr el cojuto V e u sstem de coordeds crtess e el espco propog u procedmeto pr clculr el volume del msmo. Les dmos u pst: dpte co los cmos que se ecesros el procedmeto usdo pr oteer el áre de u regó pl; e ese procedmeto el áre de u regó pl se prom co l sum de ls áres de u úmero fto de rectágulos qué sóldos elemetles puede utlzrse pr promr el volume de V? Cotdo co l ctvdd teror co lo vsto e uestro recorrdo por ls tegrles de fucoes de u vrle psemos cosderr u fucó cotu f defd sore u regó R c d como l que muestr l fgur: d R c 6

113 Itegrles doles S se cosder + putos de dvsó e m+ putos e d prlels los ejes e por esos putos el rectágulo c d c se trz rects qued dvddo e m surectágulos R. Supogmos que totlmete cotedos e R. R... R R Rk so los surectágulos que está d El cojuto R R R... se dce que es u prtcó de R. R k Llmmos orm de deotmos l mor etre tods ls logtudes de ls dgoles de los R o se : má / logtud de l dgol de R k... * * * Sedo P u puto culquer de R R el áre del surectágulo R c llmemos J k k f P * R * f P R * f P R... f P R * k k L tegrl dole de f sore R se deot R f da es el límte de J k cudo tede cero límte que este o depede de ls prtcoes cosderds de los P * elegdos. R f da lím k f P R * 7

114 Itegrles doles Pr f cotu o egtv: * * f P R es el volume de u prlelepípedo co se e R ltur gul f P Sedo V z / R z f J k k f P* R volume del sóldo V lím k * f P R R f da volume del sóldo V Comete ustedes l terpretcó geométrc de - f R - f tom tto vlores postvos como egtvos sore R - f R R f da e los sguetes csos: Oservcó: E todo lo teror l codcó de cotudd sore R pr f podrí reemplzrse por l de cotcó cotudd slvo e u úmero fto de sucojutos de áre ul como so curvs putos. So tegrles sore R tto ls fucoes cotus sore R como quells que preset sltos ftos e u úmero fto de sucojutos de R co áre ul. 8

115 Itegrles doles Ejercco De u promcó del volume del sóldo que está por rr de R dejo del prolode z = 6 utlzdo u prtcó de R e cutro cudrdos gules tomdo como puto de muestr puto rtrro el vértce superor derecho de cd uo. Ejercco Se R /. Oteg u promcó de: da R por medo de u prtcó e R e cutro rectágulos gules tomdo el puto medo de cd uo como puto rtrro P *. Represet es tegrl el volume de u sóldo? teg e cuet el sgo de f sore R Ejercco Sedo f k costte e R c d muestre que f da áre R k R Ejercco 4 Sedo R Represete curvs de vel de f e R. Deduzc el resultdo de R da prtr del coocmeto de los vlores que tom el tegrdo e R. Represete curvs de vel de g e R. Deduzc el resultdo de R da prtr del coocmeto de los vlores que tom el tegrdo e R de l terpretcó geométrc de dch tegrl. Propeddes de l tegrl dole Propedd Leldd Pr f g tegrles sore R costtes f g da = f da g da R R R 9

116 Itegrles doles Propedd Adtvdd de l regó de tegrcó Pr f tegrle sore R sedo R R R co R R cojuto de áre ul R f da f da f da. R R Propedd L tegrl dole preserv desgulddes S f g R etoces f da g da R E prtculr s f R etoces f da. R R Propedd 4 Propedd de cotmeto S f M R etoces M áre R f da M áre R R Ejercco 5 S R muestre que se da. R Recuerd el Teorem del vlor medo pr tegrles defds? Ese teorem tee tmé u versó pr tegrles doles: Teorem del vlor medo pr tegrles doles S f es cotu e R etoces este P * R tl que R f da f P * áre R

117 Itegrles doles Oservcoes:. Se llm vlor promedo de f e R l cocete R f da áre R El Teorem del vlor medo frm que sedo f cotu e R el vlor promedo de f e R cocde co el vlor de f e lgú puto P* de R. S es f e R sgfc que el volume del sóldo lmtdo por l gráfc de f el * plo restrgdo R es equvlete l de u cldro de se R ltur f P. Cálculo de l tegrl dole Plteremos dos csos: A cudo l regó de tegrcó es u rectágulo. B cudo l regó de tegrcó es más geerl. A Supogmos f z cotu e u rectágulo R c d

118 Itegrles doles Se. Como f es cotu e R tmé lo es e el segmeto S / c d E cosecuec f restrgd S es tegrle co respecto este Qué sgfcdo tee A? d A f d c S supoemos que f e R A represet el áre de l seccó pl oted l tersecr el sóldo V z / R z f qué? co el plo Por z z =f Seccó trsversl de áre A c d R Esto que terpretmos pr certo fjo ocurre pr todo queddo sí defd l fucó d A f d. c Al vrr ls seccoes producds rre el sóldo e su totldd lo que os permte coclur que A d represet el volume del msmo. Etoces: d Vol V f d d c L epresó de l derech es llmd tegrl terd tegrdo prmero co respecto dejdo fjo l resultdo co respecto.

119 Itegrles doles Y s clculmos el volume formdo reds co plos perpedculres l eje? El áre de u seccó trsversl es: A f d Por tto el volume de todo el sóldo es: d Vol V f d d L epresó de l derech se llm tegrl terd tegrdo prmero co respecto l resultdo co respecto. c L terpretcó geométrc teror os permte compreder el sguete resultdo Teorem de Fu Pr tod fucó cotu e u rectágulo R c d d f da f d d = R c d c f d d Ejemplo Clculr R f da sedo: f 6 R / Aplcmos el teorem de Fu tegrdo prmero co respecto : f da 6 dd d d d R S vertmos el orde de tegrcó: f da 6 dd d d R 4 Pregut: Podrí frmr que el resultdo otedo represet el volume de u sóldo?

120 Itegrles doles Ejercco 6 Grfque l regó de tegrcó evlúe l tegrl. 4 d d d d se cos d d d d 4 c d e d d f e d d l l5 Ejercco 7 Itegre f e el cudrdo Ejercco 8 Itegre f cos e el rectágulo: Ejercco 9 Duje el sóldo cuo volume está ddo por l tegrl terd 4 d d d d B Supogmos hor z = f cotu e u regó R. Podemos mgr pr terpretr el cálculo- que f tom vlores o egtvos e R uque esto o es estrctmete ecesro que sólo pretedemos estlecer u procedmeto opertvo pr resolver l tegrl de u fucó cotu e u regó que o se u rectágulo. Vmos dstgur dos regoes especles: B Regó del tpo I: Se recooce cudo l trzr u rect vertcl por culquer puto teror de l msm l froter es cortd e dos putos ectmete. 4

121 Itegrles doles Alítcmete u regó tpo I se descre: R / f f dode f f so dos fucoes cotus defds e el tervlo El teorem de Fu se etede est stucó: Pr cd segmeto / f f s f es cotu e el f por lo tto este A f d Luego l vrr e tegrr A se tee: f da R f f f d d f L regó tpo I permte clculr l tegrl dole por medo de u tegrl terd prmero co respecto luego co respecto. Oservcó: L clve pr resolver co este procedmeto está e poder descrr l regó dd como regó de tpo I. H que teer e cuet que o tod regó respode es crcterístc. Ejemplo Itegrr f e l regó lmtd por. Es mprescdle hcer u croqus de l regó pr ser s se dpt l cso presetdo. 5

122 Itegrles doles 6 Podemos precr que l práol l rect lmt u regó tpo I: trzdo u rect vertcl por cd puto teror est cort l froter e dos putos ectmete. L rect como prte superor de l froter l práol lmtdo ferormete. Cuál es l vrcó de? Buscmos ls scss de los putos e que se cort ms líes: Cuál es l vrcó de? Etoces: R / l tegrl puede clculrse tegrdo prmero co respecto luego co respecto : d d I Resolvedo co respecto : d d I 4 4 Complete el cálculo Ordee el tegrdo resuelv co respecto B Regó del tpo II: Se recooce cudo l trzr u rect horzotl por cd puto teror de l msm l froter es cortd e dos putos ectmete.

123 Itegrles doles Alítcmete u regó tpo II se descre: R / g g c d dode g g so fucoes cotus e c d E este cso como c d f es tegrle e g A g g g defedo sí l fucó: f d Flmete: R f da d c g g f d d Ejemplo Clculr R da sedo R l regó lmtd por: Imprescdle grfcr:. 7

124 Itegrles doles Cuál es l vrcó de? Buscmos ls ordeds de los putos de terseccó etre ms práols: L vrcó de se otee oservdo que tod rect horzotl trzd por putos terores R cort por l zquerd l práol. Etoces / por l derech l práol R l tegrl se clcul tegrdo prmero co respecto luego co respecto : O se: I d I 4 d d d Complete el cálculo ordee el tegrdo resuelv co respecto de el resultdo Algus regoes como l que se preset e el sguete ejemplo so de tpo I de tpo II Ejemplo 4 Clculr 4 da sedo R l regó lmtd por R e. Al grfcr l regó de tegrcó precmos que R es de tpo I de tpo II. 8

125 Itegrles doles 9 Descredo R como regó de tpo I: R / l tegrl se clculrá tegrdo prmero respecto de luego respecto de : d d d da R d d Descredo R como regó de tpo II teemos: R 4 / l tegrl se clculrá tegrdo prmero respecto de luego respecto de : d d d d da R d El resultdo de l tegrl es el msmo se que descrmos R como regó de tpo I o de tpo II. El cmo e el orde de tegrcó es posle medte el cmo de descrpcó de l regó. Osevcó: Dee quedr e clro que o tod regó es ecesrmete de tpo I o de tpo II qué puede hcerse etoces pr poder tegrr?

126 Itegrles doles Trtr de sudvdr l regó e u úmero fto de suregoes que pued descrrse como tpo I o II plcr l propedd dtv. Hedo más de u posle descrpcó de l regó de tegrcó se elegrá por lo geerl l descrpcó más smple uque veces es l oservcó del tegrdo lo que os hce decdr el orde de tegrcó más fvorle por ede l descrpcó que h de hcerse de l regó. Ve el sguete ejemplo: Ejemplo 5 Supogmos que os propoe clculr lmtdo por el eje l rect R se l rect. da sedo R el trágulo e el plo Grfque l regó R oserve que es tto de tpo I como de tpo II. S descrmos R como tpo II R / l tegrl dole se clcul: R se da se d d Pero e este puto quedmos detedos pues como recordrá epresrse e térmos de fucoes elemetles. se d o puede E cmo s descrmos R como regó tpo I R / el cálculo de l tegrl dole puede efecturse s dfcultd lgu: R se da se d d se d se d cos cos 46 Ejercco Resuelv ls sguetes tegrles grfque l regó de tegrcó correspodete. c l8 e dd dd c se dd d l se dd

127 Itegrles doles d Ejercco E ls sguetes propuests detfque el orde de tegrcó ddo grfque l regó e vert el orde. 4 f dd f dd c d f dd e f dd f 4 f dd f dd Ejercco Duje l regó de tegrcó determe u orde de tegrcó coveete pr clculr l tegrl dole. se dd se dd c e dd Ejercco E los sguetes csos grfque l regó R descríl e l form que cosdere más coveete pr el cálculo de l tegrl dole de l fucó f e R. Evlúe dch tegrl. f R e el prmer cudrte lmtd por. f R es el trágulo co vértces. c f u v v u R regó trgulr e el prmer cudrte lmtd por l rect u + v = d f s t e l t R regó del prmer cudrte del plo s t por rr de l e f curv s l t etre t = t =. R es l regó detro del cudrdo + = f f R es l regó lmtd por ls rects = = + = Ejemplo 6 Clculmos R f da sguetes comdos: dode 5 R f usdo MAPLE co los

128 Itegrles doles > f:=^/^; >INT:=ttf=..5=..; Ejemplo 7 Clculmos R f da dode f = R es l regó del plo lmtd por l curv = ls rects = e = usdo MAPLE. Como l regó o es u rectágulo h que crcterzrl como de tpo I o II o como uó ft de regoes de tpo I o de tpo II segú correspod. - Pr ello covee represetrl: > :=/; > ecu:==; > :=; > fg:=plot =... =.. color=red: > fg:=mplctplot ecu =.. =..4 color=lue: > fg:=plot =...=..color=gree: > wthplots: > dspl{fg fg fg}; - Además h que ecotrr el puto de terseccó etre ls curvs e : > solve=; Ahor es clro que l regó de tegrcó puede descrrse como regó de tpo I : R / - Defmos l fucó que vmos tegrr e tegrmos: > f:= ^/^; > INT:=ttf=/..=..;

129 Aplccoes de l tegrl dole Aplccoes de l tegrl dole Ls plccoes más ovs so el cálculo de volume de u sóldo el cálculo del áre de u regó pl como hímos vsto e clses terores. I. Volume de u sóldo Stucó : Volume de u sóldo podo sore el plo E l presetcó del tem vmos que s se tee z f ; R regó es f e R qued defdo e u sucojuto llmdo sóldo que se descre lítcmete V z / R z f clcul por medo de l tegrl R cuo volume se f da Ce otr que el sóldo tee u tp que es l gráfc de f restrgd R u pso que es e el plo l regó R. El cálculo relzdo dee rrojr e este cso u resultdo postvo! El éto de l opercó resde e descrr e l regó de tegrcó teer e e clro cul es l tp del sóldo que su detfccó es l que os dc l fucó tegrr. Ejemplo 8 Clculr el volume del sóldo formdo jo el prolode z restrgdo l trágulo lmtdo por ls rects e el plo. Covee -uque o slg mu e- hcer u esquem del sóldo de l regó de tegrcó:

130 Aplccoes de l tegrl dole Podemos oservr que l tp es l porcó de prolode que se ecuetr sore l regó R /. Oserve que l descrpcó de R correspode u regó tpo I por qué o covee hcerl como tpo II? Vol V da R Complete el cálculo compruee que el resultdo es 4/ uddes cúcs. dd E lgus ocsoes como e el ejemplo sguete el sóldo se descre e térmos de ls superfces que form su froter rzó por l cul es mprescdle recoocer ls ecucoes dds pr luego determr l tp del sóldo como tmé l regó que se form e el plo prtr de ls trzs de ls superfces lmttes. Ejemplo 9 Supogmos que os pde clculr el volume del sóldo lmtdo por ls superfces Ls ecucoes z por rr del plo. e tee u crcterístc comú: flt u vrle. Podemos frmr etoces que represet cldros rectos co geertrces prlels l 4

131 Aplccoes de l tegrl dole eje de l vrle que flt co drectrces e los plos coordedos correspodetes ls vrles volucrds e esos plos ls curvs correspodetes determ l form de l regó R z = Ahor que hemos recoocdo ls superfces que costtue l froter vsulzdo el sóldo podrá cotestr ls sguetes preguts: Cuál es l superfce que hce de tp del sóldo? Cuál es l superfce que hce de pso del sóldo? Cómo puede descrr lítcmete l regó R? grfíquel prevmete Cómo se descre lítcmete el sóldo V? Cómo clcul el volume de V? Stucó : Volume de u sóldo que o se po sore el plo Supog que el sóldo o se po e el plo es decr que está lmtdo por dos superfces gráfcs de fucoes cotus f g defds e u msm regó R co f g R. E ese cso V z Vol V g f R / R f z g da certo? 5

132 Aplccoes de l tegrl dole z g f R Ejercco 4 Clcule el volume del sóldo lmtdo por z los plos coordedos e el prmer octte. z z=f R Ejercco 5 Clcule el volume del sóldo lmtdo por z los plos z e el prmer octte. z z=g R z = f 6

133 Aplccoes de l tegrl dole Ejercco 6 Clcule el volume del sóldo lmtdo por z los plos z z e el prmer octte. z R Ejercco 7 Clcule el volume del sóldo V z/ R z sedo R trágulo ecerrdo por ls rects ; e el plo. Ejercco 8 Clcule el volume del sóldo lmtdo por: z z 4 z los plos coordedos e el prmer octte. z 4 co z v + + z = = = z v z 4 = = z = + = v z 4 = = z e el prmer octte. II. Áre de u regó pl S z = f = e R regó cerrd cotd etoces áre de R R da Ejercco 9 Empledo tegrl dole clcule el áre de l regó lmtd por ls sguetes curvs: ; 8 ; ; 7

134 v ; 8 v Aplccoes de l tegrl dole ; v ; ; ; III. Vlor promedo de f e R S z = f cotu e l regó cerrd cotd R etoces vlor promedo de f e R R f da rer Ejercco Clcule el vlor promedo de f e l regó lmtd por 4 e. Ejercco L tempertur e el puto perteecete u regó R está dd por T 5. R está lmtd por promedo e R. e 8. Clcule l tempertur IV. Ms cetro de ms de u plc delgd Desde u cojuto dscreto u dstrucó cotu U sstem rígdo es todo cojuto de prtículs olgds permecer dstcs reltvs solutmete fjs. Por supuesto o este e l turlez sstems de est clse que los átomos que compoe u cuerpo está sempre sujetos movmetos reltvos. No ostte s estmos teresdos e u descrpcó mcroscópc del sstem tles efectos puede ser gordos. Por otr prte todo cuerpo sufre deformcoes o vrcó de su tmño pero e l morí de los cuerpos sóldos e codcoes ordrs tles cmos so sufcetemete pequeños puede ser desprecdos cudo se estud el movmeto del sóldo como u todo. El cálculo de mgtudes que crcterz u sstem rígdo del puede relzrse cosderdo l msmo como u cojuto dscreto de prtículs o como u dstrucó cotu de mter. Es htul comezr trjdo co sumtors etedds ls prtículs psr l segud descrpcó susttuedo tles sums por tegrcoes etedds dstrucoes máscs. 8

135 Aplccoes de l tegrl dole Supogmos que se quere ecotrr l ms el cetro de ms de u plc pl delgd. Por ejemplo u geero puede estr teresdo e coocer cul es l ms de u dsco hecho de u determd lecó determr dode dee poer u pvote pr equlrrlo. H que oservr que s l plc es reltvmete pequeñ puede mpulrl puede oteer est formcó relzdo lgus medcoes epermetles. Lmetlemete o sempre ls codcoes so t fvorles es ecesro gudzr el geo. S se cooce ls dmesoes de l plc u fucó que dé cuet de l desdd de ms de l msm el prolem puede ser orddo lítcmete. Es e coocdo que s se tee u sstem coplr formdo por prtículs de ms m ucds e ls poscoes... l ms del sstem está dd por M m ls coordeds del cetro de ms puede clculrse como m m m m m 6 m m 6 8 m 8 o m m 5 m m 7 Supogmos que l plc delgd e estudo tee u form cocdete co l regó R cu desdd superfcl de ms ms por udd de áre es dd por 9

136 Aplccoes de l tegrl dole l desdd o es costte es decr lgus prtes de l plc so más dess que otrs. Procedemos de l form htul: Sedo R cotd este u rectágulo d c que l cotee. Tommos putos de dvsó e m putos e d c de est mer trzdo rects prlels los ejes por esos putos de dvsó el rectágulo qued dvddo e m surectágulos R cus áres dcremos co R. Supogmos que k de esos surectágulos qued totlmete cotedos e R. R k R R R... es u prtcó de R cu orm es k R de dgol de l log má... / Elegmos rtrrmete u puto * * * P R supoemos que e R l desdd es costte que tom el vlor * *. Podemos mgr que e l poscó * P se ecuetr u prtícul putul cu ms m es gul l ms del rectágulo R es decr R m * * *. De est form hemos dscretzdo l plc k prtículs de ms m * loclzds e ls poscoes * * =... k podemos decr que: ms de l plc = * * * ΔR m M k k De form álog ls coordeds del cetro de ms de l plc puede promrse de l sguete mer: k * * * * * * * * k k k R R m m k * * * * * * * * k k k R R m m

137 Aplccoes de l tegrl dole Como supoemos que estmos frete u plc rel es turl supoer que es u fucó cotu o co dscotuddes de prmer espece e R co lo cul este los lmtes de ésts sums cudo l orm de l prtcó tede cero oteedo sí los vlores ectos de ests mgtudes M da R R R da da R R da da Resumedo: Pr u plc dmesol R que tee u desdd de ms vrle descrpt por u fucó l ms de l plc está dd por M da ls coordeds del cetro de ms so: R da M R M R da Ejercco Hlle el cetro de ms de u lám delgd co desdd de ms cu form cocde co l regó R lmtd por. Ejercco Hlle el cetro de ms de u lám delgd co desdd de ms 4 cu form cocde co l regó R lmtd por e. Oservcó: S l desdd es costte el cetro de ms es el cetrode. E este cso l poscó del cetro de ms depede de l form del ojeto o del mterl co que está frcdo. Ejercco 4 Clcule el vlor promedo de f sore l regó lmtd por e 4. Compre el vlor promedo de f clculdo e co l orded del cetro de ms de u lám co l msm form que l de desdd costte.

138 Cmo de vrles e l tegrl dole Cmo de vrles e l tegrl dole Recuerde que e l tegrl defd el cmo de vrle gu co gc gd os permte estlecer que f d f g u g u du. Note que el cmo de vrle troduce el fctor dcol g u e el tegrdo. Qué sucede e ls tegrles doles? Les tcpmos que el cmo de vrles e u tegrl dole troduce u fctor llmdo Jcoo que defremos luego. d c Actvdd Trte de clculr s puede l tegrl R da dode R es l regó lmtd por ls rects 4 4. Regó R Cuáles so ls dfcultdes que ecuetr? Segurmete respoderá: l form de l regó R l epresó del tegrdo. Oserve que s llm u + v l epresó del tegrdo qued más smple que l teror. u E efecto: hcedo v v v el tegrdo es u u E form smlr lo relzdo pr tegrles defds hrá que lzr: Cuál es l regó dode vrí u v? Cuál es l relcó etre el dferecl de áre e el dferecl de áre e uv? A prtr de este plteo comecemos formlzr lguos coceptos.

139 Cmo de vrles e l tegrl dole U cmo de vrles vee ddo por u trsformcó T de u regó S del plo uv e u regó R del plo de l form v u h v u g v u T dode cd puto de R es mge de u úco puto v u de S g h tee dervds prcles cotus e l regó S. T tee vers V U v u T Escrmos htulmete: S v u v u h v u g T R V v U u T Volvmos l ejemplo de l ctvdd : R v u T S v u v u v u T Cómo ecotrr l regó S? L regó R está lmtd por: L regó S está lmtd por: + = u = + = 4 u = 4 - = v = - = 4 v = 4 u S R T T - T -

140 Cmo de vrles e l tegrl dole Grfquemos ls regoes R S: v S T fucó uo uo que trsform l regó S e l regó R u T - R Note que los vértces de S se trsform e los vértces de R Cuál es l relcó etre el dferecl de áre del plo el dferecl de áre del plo uv? Cosderemos el cso e que S es u rectágulo del plo uv co vértces u v u u v u v v u u v v. Ls mágees de esos vértces e el plo so los putos M Q P N. S u v so pequeños hce que R se promdmete u prlelogrmo determdo por los vectores M N M Q El áre del prlelogrmo determdo por los vectores M N M Q es el módulo del producto cruz de esos vectores. Hremos u prétess pr referros est opercó. El producto cruz o producto vectorl de dos vectores es el vector Defdo de est mer que por certo prece mu etrñ el producto cruz tee vrs propeddes útles. Pr que l defcó se más fácl de recordr usmos l otcó de determtes: Determte de orde o determte c d d c Determte de orde o determte d g e h c f e h f d g f c d g e h 4

141 Cmo de vrles e l tegrl dole 5 Usdo determtes podemos escrr: = k j k j k j k j L fórmul smólc k j es l mer más secll de recordr clculr el producto cruz de. Clculemos mer de ejemplo sedo 4 4 k j k j 4 4 k j 4 4 k j k j Oservcó: S es el producto cruz de los vectores trdmesoles Oserve: h f e es el determte que se otee l suprmr e h g f e d c l fl l colum de g f d es el determte que se otee l suprmr e h g f e d c l fl l colum de h g e d es el determte que se otee l suprmr e h g f e d c l fl l colum de c Note tmé el sgo meos e el segudo térmo del desrrollo.

142 Cmo de vrles e l tegrl dole 6 Propeddes del producto cruz. E efecto sedo k j k j k j. es ortogol Verfíquelo clculdo oservdo que e mos csos el resultdo es. Complete luego los sguetes ejemplos: Cosdere los sguetes ejemplos: j k j... k j k j k j... k j j k j... k j L propedd. está dcedo que el vector es perpedculr l plo determdo por. El setdo e el que put puede determrse usdo l regl de l mo derech: s se coloc los dedos todos meos el pulgr putdo e l dreccó de los gr rredo el águlo gudo desde hst el pulgr putrá e l dreccó de.

143 Cmo de vrles e l tegrl dole. S es el águlo etre se Puede comprorlo clculdo:... Se tee etoces que cos cos que se pues se se teedo e cuet que se se se Ahor podemos frmr: El módulo del vector es gul l áre del prlelogrmo determdo por. se Además prtr de l guldd se Dos vectores o ulos so prlelos s sólo sí se deduce que: Ls propeddes vsts os permte dr u crcterzcó geométrc complet del vector : es el vector que es perpedculr cuo setdo está determd por l regl de l mo derech cuo módulo es gul l áre del prlelogrmo determdo por. 7

144 Cmo de vrles e l tegrl dole 8 El producto cruz o cumple co tods ls propeddes que ce esperr de u producto. Hrá oservdo que o es comuttvo k j j k demás o es soctvo pues e geerl c c como lo muestr el sguete ejemplo: j j metrs que j k j. S emrgo vle demás de ls vsts lgus propeddes que eucmos cotucó que puede demostrrse de mer más o meos secll escredo los vectores e térmos de sus compoetes usdo ls defcoes de ls opercoes correspodetes c c c c c c c c c c c c c Además El volume del prlelepípedo de l fgur es gul l áre de l se c por l ltur h Por otro ldo cos h dode es el águlo etre c Etoces: Volume del prlelepípedo = c cos = c Retommos hor el estudo del cmo de vrles e l tegrl dole. Nos pregutámos frete u cmo de vrles ddo por S v u v u h v u g T co R V v U u T cuál es l relcó etre u dferecl de áre del plo u dferecl de áre del plo uv djmos que: s S es u rectágulo del plo uv co vértces v u v u u v v u v v u u ls mágees de c h c

145 Cmo de vrles e l tegrl dole 9 esos vértces e el plo so los putos M Q P N sedo u v pequeños R es promdmete u prlelogrmo determdo por los vectores N M Q M. De modo que: R = áre de R Q M MN S u v so pequeños ls dervds prcles de g h co respecto u puede promrse por u v u g v u u g v u g u u v u h v u u h v u h u E cosecuec N M = [ v u g v u u g ] + [ v u h v u u h ] j [ v u g u u ] + [ v u h u u ] j = = j u u u u álogmete el vector Q M se puede promr por j v v v v por lo tto: v v v v u u u u k j MQ MN v v u u v v u u k = k u u v v v - v u u = = k v u u v v u = v v u u u v k Q M MN R v v u u u v plo plo uv uv u+uv u+uv+v uv+v M N Q P

146 Cmo de vrles e l tegrl dole 4 Defcó de Jcoo S v u g e v u h el Jcoo de respecto de u v es: v u v u v u v u v u El omre Jcoo se dee l mtemátco lemá Crl Gustv Jco coocdo por su cotrucó e dstts áres de l mtemátc. El terés de Jco por l tegrl comezó cudo pretedó clculr l logtud de l elpse. Usdo l defcó de Jcoo e se tee: S v u R Ahor estmos e codcoes de eucr: Cmo de vrles e tegrles doles Se R S regoes e los plos uv relcods por ls ecucoes v u g e v u h tles que cd puto e R es mge de u úco puto de S se f u fucó cotu e R. S g h tee dervds prcles cotus e S v u es dstto de cero e S etoces du dv v u v u h v u g f d d f S R Podemos por f completr el cálculo de l tegrl de l ctvdd : Sedo v u etoces v u v u el jcoo de respecto uv es e este cso : 9. v u

147 Cmo de vrles e l tegrl dole Por lo tto sedo R l regó lmtd por ls rects - = - = 4 + = + = 4 v da da = v u da u R S S dode S es l regó lmtd por ls rects u= u = 4 v = v = 4. Podrá ustedes completr el cálculo de l últm tegrl s dfcultd. Actvdd u v Clcule el jcoo de l trsformcó T R u v compárelo co el Jcoo de T u v u v S Qué oserv? L relcó que este etre los Jcoos que h comprdo se d tmé e otrs trsformcoes. Se puede demostrr que J T sempre que J T. J T Actvdd 4 u v Ls trsformcoes T u v u v S de l ctvdd so ejemplos de trsformcoes leles. U trsformcó lel respode l form geerl: dode c d so úmeros reles tles que d c. u v T R u v cu dv Verfque ls sguetes propeddes de ls trsformcoes leles: El jcoo es costte. Es u trsformcó uo uo de u regó S del plo uv e u regó R del plo. Se puede ecotrr l epresó de l trsformcó vers. S u v etoces coserv el tmño. E cso cotrro dlt o cotre l regó. 4

148 Cmo de vrles e l tegrl dole Ejercco 5 Clcule utlzdo u cmo de vrles decudo R /. 9 8 da sedo R Ejercco 6 Clcule el áre de l regó R usdo u cmo de vrles decudo pr los csos sguetes: R lmtd por R lmtd por e e e 5 e Actvdd 5 Plter l tegrl que permte clculr el volume del sóldo lmtdo por z 8 z. E prmer lugr trtemos de vsulzr el sóldo: ls superfces lmttes so prolodes crculres de eje z. Uo de ellos tee vértce e el orge está oretdo hc z +. El otro tee vértce e el puto 8 está oretdo hc z -. L regó de tegrcó R tee por froter l proeccó de l curv terseccó de ms superfces. Recordemos que l represetcó lítc de l curv terseccó de ms superfces dee drse por medo del sstem: z 8 z Elmdo z etre ms ecucoes se otee u ecucó e e que represet u 4

149 Cmo de vrles e l tegrl dole cldro recto que cotee l curv l proect como tl sore el plo : ² + ² = 4 E cosecuec l regó es el círculo R / 4 c Pr descrr el sóldo oservmos los vlores de cot que se otee l trzr por cd puto de R u rect prlel l eje z. E este cso l cot mím se otee l tersecr el prolode z = ² + ² l mám se logr e 8 - z = ² + ². V z / R z 8 8 da 8 vol V da R R Cosderdo R como tpo I tmé es de tpo II se tee: R / 4 4 etoces: vol V d d Les prece que podrí resolver es tegrl? Es certo que podrímos smplfcr l epresó del volume oservdo l smetrí del sóldo respecto los plos z z : vol V 4 8 d d pero l tegrl sgue presetdo certs dfcultdes dedo l presec de u ríz cudrd. Al uscr u prmtv co respecto l vrle plcr l regl de 4

150 Cmo de vrles e l tegrl dole Brrow qued térmos e 4 - que requere pr su tegrcó u cmo de vrles susttucó trgoométrc recuerd?. Podrí tetrse u cmo de vrles que volucre smultáemete e de form tl que l tegrl terd resulte más secll? Cuál es l regó más decud pr resolver u tegrl dole? Ovmete u rectágulo; pero l regó que teemos es u círculo puede u crculo verse como u rectágulo? L pregut prece descelld pero les respodemos que... SI! Sstem de coordeds polres e el plo Se defe prtr de u puto O llmdo polo u semrrect horzotl co orge e el polo llmd eje polr u udd de medd u que permtrá clculr dstcs e el plo. Culquer puto P del plo puede dvdulzrse e este sstem por medo de su dstc l polo logtud del segmeto OP l medd del águlo que este segmeto form co el eje polr. Es decr: De est mer el pr r descre l poscó de u úco puto del plo P O. Llmremos coordeds polres de P l pr r que lo detfc e ese sstem. Idcremos P r l puto de coordeds polres r. De cuerdo co l covecó doptd: - r > pr todo puto que o se el polo r eclusvmete pr el polo. - el águlo llmdo águlo polr vr e. - todos los pres de l form detfc l polo. 44

151 Coordeds polres Oservcó: E el sstem crteso l correspodec puto pr es uívoc: cd puto del plo qued detfcdo co u úco pr ordedo de úmeros reles recíprocmete E el sstem polr esto tmé es váldo slvo pr el polo. Ejercco 7 Grfque e u sstem polr los putos: A ; B ; C 4 ; D 4 4 Idccó : Covee trzr e º lugr el ldo terml del águlo dcdo pr l º compoete del pr meddo desde el eje polr co setdo thorro sore es semrrect trsportr tts uddes de medd como dque l º compoete. Ecucoes polres S C es u lugr geométrco del plo su ecucó referd l sstem de coordeds polres es u ecucó de dos vrles qué vrles? r Es decr C : f r P r θ C fr θ Vemos lguos ejemplos Crcuferec co cetro e el polo rdo. Semos que los putos de u crcuferec se ecuetr dstc costte del puto llmdo cetro es dstc medd es el rdo. Etoces: P r C r culquer se. Por lo tto r es l ecucó e coordeds polres de l crcuferec propuest. 45

152 Coordeds polres Semrrect que tee su orge e el polo que form u águlo co el eje polr Todo puto P r de l msm culquer se r dee ser tl que = por qué? L ecucó de es semrrect es etoces Cuál serí l ecucó de su prologcó prtr del polo? Serí co Podrí her sdo tmé θ θ π e qué cso? Como coclusó podemos estlecer que: s l es u rect que ps por el polo ls dos semrrects que l form quedr detfcds por ls ecucoes respectvmete e cosecuec l rect puede drse por l ecucó. Ejercco 8 Grfque ls curvs cus ecucoes polres so r ; r ; r 4. Ejercco 9 Grfque ls curvs cus ecucoes polres so 4 ; 7 6 ; ; escr ls ecucoes polres de sus respectvs prologcoes. 46

153 Coordeds polres Grfcs de curvs e el sstem polr Ejemplo Grfcr l ecucó r cos Asgdo vlores clculdo los correspodetes r por medo de l ecucó oteemos putos que l urse form l gráfc pedd. Tomdo pr vlores etre π podemos costrur l sguete tl: cos r Represetdo estos putos e el sstem polr se tee l sguete gráfc: Est curv es llmd crdode es u cso prtculr de u de ls sguetes ecucoes: co > : r r cos r se cos 4 r se Como vemos respode l form co =. Ests cutro ecucoes represet crdodes co gráfcs smlres pero oretds e form dferete. Ejercco Alce pr cd uo de los csos del ejemplo teror l gráfc correspodete. Cometro H muchs curvs del plo que ecesrmete dee drse por medo de u ecucó polr que su ecucó crtes result mu complcd. 47

154 Coordeds polres Uso de Mpple Co los comdos que se muestr cotucó podrá grfcr curvs dds coordeds polres usdo Mple. > wthplots: > r:= ; ecucó de u crcuferec de rdo > plot[r t t =..*P] coords=polr; > r:=*st; ecucó de u crcuferec de rdo > plot[ r t t=..*p] coords=polr; > r:= / - cost ; ecucó de u práol > plot[ r t t=..*p] coords=polr; Relcó etre coordeds polres coordeds crtess de u puto Ddo P e el plo co coordeds r e u sstem crteso u sstem polr respectvmete Qué relcó h etre ess coordeds? Supogmos que el sstem de coordeds crtess ortogoles el sstem polr se coloc e el plo de tl mer que el polo cocde co el orge del sstem crteso el eje polr co l prte postv del eje. r cos De medto se estlece que rse Este pr de ecucoes permte psr del sstem polr l sstem crteso. Ejemplo S 4 π so ls coordeds polres de A Cuáles so sus coordeds crtess? Bst co remplzr e : 4cos 4se 4. 4 so ls coordeds de ese puto e el sstem crteso. 48

155 Coordeds polres Y s coocemos ls coordeds crtess de u puto? cómo oteemos ls polres? Del sstem oteemos: Además r tg s π s e θ s e θ π Pr dee teerse e cuet que de cuerdo co l vrcó que covemos pr etre vmos teer dos águlos pr cd vlor de tg. Cómo decdmos cuál es el que correspode? Smplemete teedo e cuet los sgos que compñ e. Ejemplo S - so ls coordeds crtess del puto A hllr sus coordeds polres. r tg 4 4 H dos águlos etre cu tgete es : uo es el otro es π del segudo cudrte 5π del curto cudrte. Como A tee scs postv orded egtv es u puto del 4 to cudrte el correspodete vlor de es etoces coordeds polres de A so 4 5 π. 5π. Ls Así como podemos trsformr ls coordeds de u puto de uo otro sstem tmé podemos trsformr ecucoes de lugres geométrcos. 49

156 Coordeds polres A prtr de l ecucó crtes f de u curv oteemos l ecucó polr reemplzdo por r cos e por rse e es ecucó. Ecucó e coordeds crtess Ecucó e coordeds polres f f r cos rse Ejemplo Escrr l ecucó polr de l crcuferec r cos rse 4rse r cos se 4rse r 4rse r 4se r 4se es l ecucó polr de l crcuferec dd. Pr oteer l ecucó crtes coocedo l ecucó polr de u curv st co relcor los térmos de l msm co ls ecucoes. Ejemplo 4 Escrr l ecucó crtes de l curv cu ecucó polr es r 4cos r 4r cos 4 r 4 cos θ 4 Completdo cudrdos l ecucó oted puede escrrse tmé e l form 4 que vemos que correspode l crcuferec co cetro C rdo. Ejercco Hlle ls coordeds crtess de los sguetes putos ddos por sus coordeds polres: A4 ; B4 5 4 ; C5 4 ; D4 ; E5 4 ; F Ejercco Hlle ls coordeds polres de cd uo de los putos cus coordeds crtess se d: A- ; ; B-4;4 ; C; - ; D5;- 5 ; E- ; - Ejercco Grfque e u sstem de coordeds polres ls sguetes curvs de sus ecucoes crtess: r 5 c r 6se d r 8cos 5

157 Coordeds polres e rse 4 f r cos g r 9cos Ejercco 4 De l ecucó polr de cd u de ls sguetes curvs: 6 c 4 5 d Descrpcó de regoes e el sstem polr Supogmos teer u regó lmtd por ls crcuferecs cetrds e el polo co rdos 4 respectvmete: Pese e u puto culquer P r de l regó R coro crculr: podrá teer culquer vlor etre el vlor de r está etre 4. U descrpcó decud e el sstem polr ser: R r / r 4 Es decr que tedrímos tto pr r como pr u vrcó e tervlos co etremos fjos lo que os ducrí pesr que R e el sstem polr se comport como u rectágulo. es R u rectágulo? Clro que o pero s mgmos el sstem polr represetdo por u pr de ejes perpedculres tl como el sstem crteso represetdo e el eje horzotl los vlores de r e el vertcl los vlores de tedrímos u mge de R tl como s fuer u rectágulo: 5

158 Coordeds polres Les cometmos que l coro crculr R es l mge del rectágulo R* por medo de l trsformcó que se produce e el plo l plcr ls ecucoes r cos θ r se θ Podemos eftzr que l regó o cm pero l cmr el sstem de referec cmdo el sstem de coordeds l msm se ve de dferete mer e uo otro sstem. Ejemplo 5 Se R l regó lmtd por dos crcuferecs cetrds e el polo co rdos < respectvmete dos semrrects psdo por el polo: co Descrr l regó e el sstem polr e terpretr su form e el sstem crteso. R es u trpeco crculr tmé llmdo rectágulo polr. Su descrpcó e el sstem polr es R r / r ortogol r se ve como u rectágulo. e u sstem E geerl s se tee dos curvs co ecucoes polres r f r f co 5

159 Coordeds polres f f dos semrrects co l regó lmtd por ells e el sstem polr es: R r / f r f E el sstem ortogol r result: R* f f r R* se comport como u regó del tpo II e ese sstem. Ejercco 5 Grfque l regó R del plo lmtd por 4 ls semrrects = e = - co. Descr R e coordeds polres. Iterprete R e u sstem ortogol r. Ejercco 6 Grfque cd u de ls regoes R del plo que se d cotucó descríls luego e coordeds polres. R es l regó del plo lmtd por 4 4 ls semrrects e co. R es l regó del plo lmtd por 4 co. c R es círculo lmtdo por 4. d R es círculo lmtdo por 4. 5

160 Coordeds polres e R es l regó del plo lmtd por ls crcuferecs 4 4. f R es l regó del plo terseccó de ls regoes 4 4. Cálculo de l tegrl dole e coordeds polres Hemos estuddo: Ls ecucoes polres gráfc de curvs e sstem polr. L relcó etre ls coordeds polres ls crtess e u puto. c Cómo escrr e coordeds polres u ecucó dd e coordeds crtess d Cómo descrr u regó del plo e coordeds polres coocedo l regó e coordeds crtess. Veremos hor cómo clculr l tegrl dole sore R de u fucó f hcedo el cmo de vrles coordeds polres. Dd R f da f es u fucó cotu e R regó cerrd cotd del plo cosderemos l trsformcó rcos rse * co l que r R se trsform e R o se l regó R* del plo r se trsform e l regó R del plo. El Jcoo de est trsformcó es: r r r cos r se = r cos r se r se r cos se tee: f f da r cos rse da r r R R* S R r / f r f etoces R* f r cos rse r da r f da R f f f r r dr d 54

161 Coordeds polres Ejemplo 6 Se R l regó formd por putos terores l crdode r cos eterores l crcuferec r. Plter el cálculo de f da usdo coordeds polres. R Pr plter l tegrl hcedo u cmo de vrles coordeds polres es esecl poder descrr l regó e ess coordeds: Tomdo u puto geérco P r l urlo co el polo dee quedr e clro cul es pr cd el r mímo el r mámo. Asmsmo dee determrse l vrcó de. Los vlores mámo mímo de puede oteerse resolvedo el sstem r cos r Elmdo r etre ms ecucoes se otee cos. Est ecucó tee e el tervlo [ ] dos ríces:. Cd ro trzdo co águlo cort e prmer lugr l crcuferec luego l crdode. Luego r + cos cudo vrí etre - Aclrcó: Oservdo l regó vemos que pr ser coheretes co l vrcó de deerímos tegrr etre etre. Pero umércmete v dr el msmo resultdo que hcerlo etre Recuerde que es l medd tomd e setdo thorro del águlo de medd postv. Result etoces: f da R cos f r cos r se r dr d. 55

162 Coordeds polres Ejemplo 7 Retoremos el prolem pltedo como motvcó l estudo de coordeds polres: Hllr el volume del sóldo lmtdo por z 8 z Hímos logrdo estlecer que V 8 sedo / 4 vol da R círculo co cetro e O rdo R S cosdermos hor el sstem polr superpuesto co el crteso se puede ver que: r * R r / r u rectágulo que e el sstem ortogol r represet Completmos etoces el cálculo de l tegrl: 4 r vol V 8 da 8 r rdrd 4r d 8d 6 R 56

163 Coordeds polres Ejemplo 8 Clculr el volume del sóldo lmtdo por el prolode z el plo z =. Comezmos hcedo u esquem gráfco. Proectmos el sóldo sore el plo : Elmdo z etre ls ecucoes de ls dos superfces se otee Qué represet e el plo? Oservmos que el sóldo se proect e l regó R lmtd por l crcuferec e el plo que el sóldo se descre: V z / R z Por lo tto e coordeds crtess Vol V da L form de l regó de tegrcó el tegrdo hce que se propdo el cmo de vrles coordeds polres: R c El tegrdo dee epresrse e coordeds polres: rse r L regó de tegrcó tmé dee descrrse e coordeds polres. Pr ello hllmos l ecucó polr de l curv froter: r se oservmos que l vrcó de está etre. 57

164 Coordeds polres * R r / r se se Etoces Vol V r se r r dr d d Complete el cálculo de l tegrl. Ejemplo 9 Clculr el áre de l regó pl lmtd por: 4 9 e e el prmer cudrte. Grfcmos l regó e el sstem crteso. Hllmos ls ecucoes polres de ls curvs que coform l froter: 4 9 r r 6 58

165 Coordeds polres R * r / r 6 c Clculmos el áre: Áre R = R da = * R r dr d = 6 r dr d complete el cálculo Resummos cotucó el procedmeto pr relzr el cmo de vrles coordeds polres e u tegrl dole R f. Susttur por r cos e por rse e l fucó el elemeto dd empledo e l tegrcó terd e crtess por da r dr d.. Oteer los límtes polres de tegrcó pr l froter de R. Al descrr R e coordeds polres e terpretr luego el specto que preset e u sstem ortogol r dferete l que muestr como R e el sstem crteso podemos drle u deomcó R* pero remrcdo que l regó formlmete o cm cm el sstem de coordeds e cosecuec su descrpcó. Stetzdo: R e coordeds polres de l regó R. E prtculr: f da = f r cos rse r dr d dode R* es l descrpcó Áre R = R R* da = * R r dr d Ejercco 7 Grfque clcule el áre de ls regoes dcds cotucó. regó lmtd por ls semrrects ; 4 e teror r 4cos. regó eteror l crcuferec r 4 e teror r 8se. c regó teror r eteror l crdode r cos. d regó ecerrd por l curv de ecucó r 9cos lemsct. e regó lmtd por rse

166 Coordeds polres Ejercco 8 Clcule el volume de los sóldos que se descre cotucó E todos los csos hg u esquem gráfco Sóldo lmtdo por 4 etre z z 4. Esfer de rdo c Sóldo lmtdo por z 4 z Ejercco 9 Clcule l ms de l plc metálc lmtd por 4 ; = ; = - = 8 sedo l fucó desdd de ms. Ejercco 4 Clcule e R da sedo R l coro crculr lmtd por 9. Ejercco 4 Itegre l f e l regó e. Ejercco 4 Hlle el vlor promedo de z e el círculo. Ejercco 4 Hlle el vlor promedo de z e el círculo. Itegrles trples El proceso cotú: dvdr promr tegrr Qué elemetos tervee hor? - U sóldo V cotdo cu froter se uó ft de superfces suves uds lo lrgo de curvs suves o suves trozos. - U fucó w f z defd sore el sóldo V cotu o lo sumo co dscotuddes de tpo fto e u úmero fto de sucojutos de V de volume ulo putos curvs superfces 6

167 Itegrles trples z z f w V Y o podemos dujr l gráfc de f. Supoedo f z e cd puto de V f podrí terpretrse como u dstrucó de ms por udd de volume o se f podrí ser l desdd volumétrc de ms sore V El sóldo cotdo puede cosderrse cotedo e u prlelepípedo rectágulo c de f de d prlelepípedos. Trzdo plos prlelos los plos coordedos por putos de c dee f ese prlelepípedo qued dvddo e u úmero fto de V co volúmees V. S k es el úmero de prlelepípedos V cotedos e V V V V... prtcó de V cu orm es l mám dgol de los V. es u V k * Elgedo u puto P e cd V clculmos f P V f z V * * * * summos: J k k f z V * * * V * *z * 6

168 Itegrles trples L tegrl trple de f sore V que se deot V f z dv es el límte de J k cudo tede cero límte que este o depede de ls prtcoes cosderds de los P * elegdos. V f z dv = lm k * f P V Oservcoes S supoemos que f z e V es l fucó desdd volumétrc de ms etoces f P * V represet e form promd l ms del prlelepípedo V e el límte se tee: msv msv = V k * * * f z V f z dv S f z e V etoces f z dv dv volume V V V Propeddes de l tegrl trple Ls propeddes de l tegrl trple so ls msms que se d pr ls tegrles que estudmos. Propedd Adtvdd respecto l sóldo de tegrcó S V V V sedo V V vcío o lo sumo gul u superfce como muestr l fgur sguete etoces f z dv f z dv V V V f z dv V V V = V V 6

169 Itegrles trples Propedd Leldd S costtes etoces f g dv f dv g V V V dv Propedd L tegrl trple preserv desgulddes: S f g e V etoces V f z dv V g z E prtculr: s f z e V etoces f z dv. V dv Propedd 4 Propedd de cotmeto: S f z M z V etoces M vol V f z dv M vol V V Teorem del vlor medo pr tegrles trples S f es cotu e V etoces este P * V tl que * f z dv f P vol V V Oservcó: Se llm vlor promedo de f e V l cocete V f z dv vol V El Teorem del vlor medo frm que sedo f cotu e V el vlor promedo de f e V cocde co el vlor de f e lgú puto P * V Cálculo de l tegrl trple El cálculo se reduce l geerlzcó del teorem de Fu tres vrles tee que ver co l descrpcó que pued hcerse de V. Sóldo proectle sore el plo. U sóldo V es proectle sore el plo s l trzr u rect perpedculr l plo por culquer puto teror V l froter del msmo es cortd e dos putos ectmete. Alítcmete sgfc que este u regó R e el plo dos fucoes cotus f f que verfc f f R tles que: 6

170 Itegrles trples V z / R f z f f z z S f es u fucó cotu e V cómo f se comport f restrgd l segmeto S z / f z f R co e fjos? S f es cotu e V tmé lo es e S z / f z f S f A f z dz tegrdo A e R oteemos el resultdo de l f tegrl trple de f e V: V f z dv R A da R f f f z dz da Este procedmeto dc que l tegrl trple se otee medte tegrles terds: e prmer lugr se tegr co respecto z luego se clcul l tegrl dole e que su vez de cuerdo co l descrpcó decud pr R se resuelve como semos empledo tegrles terds: S R se descre como regó tpo I etoces l tegrl result: V f z dv g g f f f z dz d d S R se descre como regó tpo II etoces. 64

171 Itegrles trples Ejercco 44 Clcule cd u de ls sguetes tegrles descr el sóldo e el que se tegr hg u esquem gráfco del msmo. 4 z dzdd dzdd c dzdd 4 4 Ejercco 45 Descr teedo e cuet lo eplcdo e que codcoes u sóldo es proectle sore el plo z. Grfque pltee l tegrl terd que d como resultdo l tegrl trple. Idem s V es proectle sore el plo z. Ejercco 46 z Compruee que d d dz Puede grfcr el sóldo? -z d dz d. Qué clcul co est tegrl? Ejercco 47 Clcule el vlor promedo de f z z e el cuo lmtdo por los plos coordedos los plos z e el prmer octte. Ejercco 48 Descr el sóldo lmtdo por ls superfces dds clcule su volume: z z 4 e el prmer octte. z = z = = = = - e =. c z e z e el prmer octte. d z e el prmer octte. e 4 z z. Ejercco 49 Hemos mecodo terormete que s z e V es l fucó desdd volumétrc de ms l ms del sóldo V es M z dv. V 65

172 Itegrles trples Agreguemos hor que ls coordeds del cetro de ms z se clcul e ese cso de l sguete mer: V z dv M V z dv M z V z z dv M Hlle el cetrode z costte del tetredro de vértces ; ; ;. Hlle l ms del sóldo lmtdo por z plos coordedos sedo l desdd z Cmo de vrles e l tegrl trple El cmo de vrles está como vmos vculdo co el cmo del sstem de coordeds. E el espco los sstems de coordeds más empledos prte del sstem crteso ortogol so: el sstem de coordeds clídrcs el sstem de coordeds esfércs. L descrpcó de lgus superfces e prtculr l de cldros como por ede l de lguos sóldos que ls tee como froter se smplfc otlemete utlzdo coordeds clídrcs. Ls coordeds esfércs por su prte permte smplfcr ecucoes de esfers coos descrr de mer secll los sóldos lmtdos por ellos. Necestmos geerlzr el teorem de cmo de vrles que eucmos pr tegrles doles. Aclremos prevo ello que: el Jcoo de l trsformcó z g uvt h uvt l uvt es z uvt u v t u v t z u z v z t u v t z v z t u v t z v z t z u v t v t. 66

173 Cmo de vrles e l Itegrles trple Cmo de vrles e tegrles trples Se V V* regoes del espco z uvt relcods por ls ecucoes g u v t h u v t z l u v t tles que cd puto e V es mge de u úco puto de V*. S f es cotu e V g h l tee dervds prcles cotus e V* z s es dstto de cero e V* etoces u v t V f z dddz z f g u v t h u v t l u v t dudvdt u v t * V. Coordeds clídrcs Se sg cd puto P z del espco l ter r z dode r so ls coordeds polres de l proeccó P del puto P z es l coorded orgl. r z so ls coordeds clídrcs del puto P verfc: r ; ; z L relcó etre ms ters est dd por: z r cos θ r s θ z r tg θ s 67

174 Cmo de vrles e l Itegrles trple Oservcó: Es posle tmé ucr el sstem polr e el plo z mteer l coorded orgl o ucr el sstem polr e el plo z mteer l coorded orgl. Ejercco 5 De cuerdo co lo vsto e el plo co el sstem de coordeds polres procededo de form álog oteg ls coordeds crtess de los putos cus coordeds clídrcs se d: 5 7 A 4 B C D E oteg ls coordeds clídrcs de los putos: A 4 B C 5 c hg u esquem promdo de ls sguetes superfces hlle sus ecucoes clídrcs c 4 c co c co c4 co c5 z c6 z c7 z c8 9 d detfque los cojutos represetdos por ls sguetes ecucoes e ecucoes clídrcs. Grfque promdmete. d r d z d d4 d5 r 4 z d6 r Descrpcó de sóldos e coordeds clídrcs S l froter de u sóldo V está dd por medo de ecucoes crtess l trsformr ls msms l sstem clídrco vmos poder descrrlo e térmos de ls vrles r z. A su vez como hcmos co ls coordeds polres podemos 68

175 Cmo de vrles e l Itegrles trple represetr e u sstem ortogol que s e o cm se ve dferete e el uevo sstem. r z e terpretr l form doptd por el sóldo Ejemplo Cosderemos el sóldo V lmtdo por 9 z z 5. L gráfc de V e el sstem z se muestr cotucó. Otegmos ls ecucoes clídrcs de l froter: r 9 r z z z 5 z 5 Oservemos que vrí etre. El sóldo descrto e coordeds clídrcs es: V * r z / r z 5 Podemos ver que e u sstem ortogol r z se tee u prlelepípedo rectágulo: 69

176 Cmo de vrles e l Itegrles trple So V V* el msmo sóldo? S! el sóldo o cmó lo que cmó es el sstem de referec que os hce verlo dferete como mágees dferetes de u msmo ojeto frete espejos deformtes Ejercco 5 Iterprete e el sstem de coordeds clídrcs el sóldo V defdo e el sstem crteso por: 9 6 z 4 co e o egtvos. Grfque e u sstem ortogol r z e el sstem crteso. Cálculo de l tegrl trple e coordeds clídrcs Nuestro ojetvo es clculr V f z dv utlzdo el cmo de vrles z r cos θ r s θ z Pr ello ecestremos coocer el Jcoo de l trsformcó: Etoces: del sóldo V : z r z r z r z z r cos se z = - r se r cos r cos rse r z z z r sí que s V * es l descrpcó e coordeds clídrcs r z f z dddz V * V f r cos rse z r drddz Ejemplo Se fz u fucó cotu e el sóldo V lmtdo por z ; z. Plteremos el cálculo de V clídrcs. f z dddz utlzdo coordeds Comezremos terpretdo el sóldo e el sstem ortogol z luego lo descrremos e el sstem clídrco. 7

177 Cmo de vrles e l Itegrles trple Proeccó del sóldo sore el plo Escrmos ls ecucoes clídrcs de ls superfces que form l froter del sóldo: z z z z r r se V * r z / r se z r f z dddz V se r f r cos rse z r dzdrd Ejemplo Hllr dv sedo V el sóldo lmtdo por 4 ; z V z L form del tegrdo ls crcterístcs del sóldo represetdo jo sugere el uso de coordeds clídrcs. 7

178 Cmo de vrles e l Itegrles trple 7 Hcedo z z s θ r θ cos r se tee: r z f ls ecucoes de ls superfces que costtue l froter se trsform de l sguete mer: 4 r r z z z z r z r z r V / * d r dr d r r dzdrd r dv r V Ejercco 5 Se V lmtdo por z 4 z. Descrílo e coordeds clídrcs clcule su volume su cetrode. Proeccó del sóldo sore el plo

179 Cmo de vrles e l Itegrles trple Ejercco 5 Se V lmtdo por z z. Descr V e coordeds clídrcs e este cso dee ucr el sstem polr e otro plo coordedo. Oteg su ms s l fucó de desdd es z z. Ejercco 54 Clcule el volume de: el sóldo lmtdo por z ; z z 9. el sóldo lmtdo por l esfer: z. Ejercco 55 Se V el sóldo e el er octte lmtdo por l esfer z 6 los plos coordedos. Clcule V Ejercco 56 z dv Clcule l ms del sóldo e el er octte teror l cldro 4 jo l esfer z 6 sedo z z l desdd de ms. Ejercco 57 Clcule el volume del sóldo lmtdo por z z Coordeds Esfércs Ls coordeds esfércs permte loclzr putos e el espco por medo de dos águlos u dstc. S P es u puto culquer del espco se cosder: = dstc de O P ; = águlo desde hst OP sedo P l proeccó de P sore el plo águlo de gro ; = águlo meddo desde z hst OP 7

180 Cmo de vrles e l Itegrles trple L ter represet ls coordeds esfércs de P dode ;. L relcó co ls coordeds crtess se d trvés de ls ecucoes: ρ s cos θ ρ s s θ z ρ cos Verfque l vldez de ess gulddes terpretdo ls proeccoes de OP sore los ejes coordedos. Compruee demás prtr de ells que: z tg s tg s z z Qué águlo correspode s =? Dóde se ecuetr el puto? Qué águlo correspode s z =? Dóde se ecuetr el puto? Ejercco 58 Hlle ls coordeds crtess de los putos cus coordeds esfércs se d: A ; B ; C 4 Hlle ls coordeds esfércs de los putos cus coordeds crtess se d: A ; B ; C ; D 4 c Iterprete ls sguetes ecucoes grfque : 4 ; d Descr e geerl ls superfces cus ecucoes esfércs so: ; 4 d d d so costtes S u superfce S tee ecucó F z e coordeds crtess l correspodete ecucó e coordeds esfércs es: F cos se se se cos Ejercco 59 Grfque hlle l ecucó e coordeds esfércs de ls sguetes superfces: z z c z 4 74

181 Cmo de vrles e l Itegrles trple d z 4 e f z Descrpcó de sóldos e el sstem esférco Ejemplo Se V el sóldo lmtdo por ls esfers: z z 9 el semcoo z. Grfquemos e u sstem de coordeds crtess pr eteder el sóldo pr cd puto del sóldo lcemos l vrcó de Ls ecucoes e coordeds esfércs de ls superfces que form l froter de V so: superfce esférc de rdo ; superfce esférc de rdo ; 4 semcoo. Oserve que s so ls coordeds esfércs de u puto de V el águlo de gro puede tomr culquer vlor etre ; culquer se el vlor mímo que puede tomr es el mámo 4 es gul 4 e l superfce del coo culesquer que se el vlor mímo de es el mámo es el sóldo se desrroll etre ls dos superfces esfércs. L descrpcó del sóldo e coordeds esfércs es: π V* {ρ θ / ρ θ π} 4 e u sstem ortogol se ve como muestr l fgur sguete: 75

182 Cmo de vrles e l Itegrles trple El sóldo V terpretdo e como V* result u prlelepípedo rectágulo. Pero eftzmos u vez más que el sóldo o cmó se lo ve dferete l cmr el sstem de referec como cosecuec cm su descrpcó. Pero qué vetjoso! o? El sóldo más fvorle pr resolver u tegrl trple es u prlelepípedo rectágulo culquer se el sstem de coordeds que lo hg ver como tl. Ejercco 6 Descr e térmos de desgulddes grfque s es que o se complc- e u sstem ortogol el sóldo V lmtdo por. z z 4. z 4 z. c z z ; z 4 d ; ; z 4; z 6 co e. e z ; z 4 ; z 4 Idccó: E todos los csos grfque e el sstem crteso pr cd puto del sóldo lce l vrcó de. Cálculo de l tegrl trple usdo coordeds esfércs Nuestro ojetvo es clculr V f z dv utlzdo como cmo de vrles ls coordeds esfércs. Pr ello ecestmos coocer el Jcoo de z respecto de sedo ρ s cos θ ρ s s θ z ρ cos 76

183 Cmo de vrles e l Itegrles trple z se cos se se cos z z - se se se cos z cos cos cos se se se se cos cos cos se cos cos se se cos se se se se se se cos se verfque Como π es se por lo tto: z se Así que s V * es l descrpcó e coordeds clídrcs del sóldo V : f z dv V * V f cos se se se cos se d d d Ejemplo 4 Clculr el volume del sóldo lmtdo por ls superfces z z. Hllemos ls ecucoes e coordeds esfércs de ls superfces que form l froter de V: z z Podemos ver que V e térmos de ls coordeds esfércs es: 77

184 Cmo de vrles e l Itegrles trple π V* {ρ θ / ρ θ π} vol V dv se d d d verfque! V Ejemplo 5 S se quere evlur dv sedo V el sóldo del ejemplo teror V cmmos ls vrles e l fucó f z : f cos se se se cos cos se se se se luego V dv = se se d d d complete el cálculo compruee que el resultdo es Ejercco 6 Evlúe ls sguetes tegrles: se 4 se d d d cos se d d d 4 se c cos se d d d Ejercco 6 Descr e coordeds esfércs clcule el volume del sóldo lmtdo por: z 4 ; z ; z co z. z ; z. c jo por l esfer cos rr por el semcoo. 4 Ejercco 6 Hlle el vlor promedo de: f e l regó esférc. f cos e el sóldo defdo por ; 78

185 Cmo de vrles e l Itegrles trple Stetzdo:. Pr clculr V f z dv e coordeds clídrcs: - Iterpretr el sóldo V grfcdo e u sstem de coordeds crtess. - Oteer V * descrpcó del sóldo e ls coordeds r z. - Trsformr l fucó tegrr reemplzdo por r cos e por r se z qued gul - Recordr multplcr el tegrdo por el Jcoo de l trsformcó r o se: dv dddz rdzdrd - f z dddz f r cos r se z r drd dz. Pr clculr V V * V f z dv e coordeds esfércs: - Iterpretr el sóldo V grfcdo e u sstem de coordeds crtess. - Oteer V * descrpcó del sóldo e ls coordeds - Trsformr l fucó tegrr reemplzdo por cos se por se se z por cos. - Recordr multplcr el tegrdo por el vlor soluto del Jcoo de l trsformcó se o se: dv dddz se d d d - f z dv f cos se se se cos se d d d V * V Ejercco 64 Empledo el sstem de coordeds que cosdere coveete clcule el volume del sóldo lmtdo por: z ; ; z = 4 ; z ; z = c z 6 ; 6z d z ; 6z ; z = e el prolode z 9 por rr el plo por dejo e el eteror del cldro. f z los plos z = z =. g z 4 el plo z = co z. 79

186 Cmo de vrles e l Itegrles trple Uso de MAPLE Pr dujr superfces e coordeds clídrcs se utlz el comdo clderplot : > wthplots: > clderplotthet=..*pz=-..; > clderplotz+ *cos*thetthet=..pz=..; Pr dujr superfces e coordeds esfércs se utlz el commdo sphereplot : > wthplots: > sphereplotthet=..*pph=..p; > sphereplot.^rho*sthet rho=..*p thet=..p stle=ptchcolor=z; Pr clculr el volume de u sóldo lmtdo por el prolode z = + el cldro z = 4 - se puede proceder de l sguete mer: > z:=^ + *^; > z:= 4 - * ^; > wthplots: > fg:= plotd{z} =-.. =-.. color= lue: > fg:= plotd{z} =-.. =-.. color= gree: > dspl{fgfg}; > solvez=z; > mplctplotz=z=-..=-..; > Vol:=tttz=^+^..4 - *^ =-/*-^+4^/../*-^+4^/=-..; > Vol= evlf9/*p; Resuelv usdo Mple los sguetes prolems: Clculr el volume del sóldo lmtdo por + = ; z = ; z = Hllr el volume resultte de tldrr u gujero clídrco de rdo r = de ldo ldo de u esfer de rdo R= 4 psdo por el cetro de l esfer lo lrgo del polo. Hllr el volume de l porcó etre grdos 6 grdos de pstel clídrco de ltur rdo 5. 8

187 Autoevlucoes Autoevlucó Itegrles doles coordeds polres. Iterprete geométrcmete f da pr el cso f sore R.. Justfque: áre R = da R R. S f es cotu f e el sóldo V qué terpretcó físc puede dr pr f da? R 4. Qué propeddes tee f da? 5. Justfque el sguete eucdo: R S f M R f es cotu e R etoces R f da M áre R 6. Cómo clcul el vlor promedo de u fucó cotu f e l regó R? Qué frm el teorem del vlor medo pr tegrles doles? 7. Eplque qué sgfc R es u regó tpo I R es u regó tpo II cómo se clcul f da e cd cso. Cómo clcul f da s R o es u regó tpo I tpo II? 8. Evlúe l sguete tegrl: R e 9. Complete ls sguetes tls d d R Coordeds polres /4 5/ 4 Coordeds crtess 4 - Coordeds polres r se = r = se Coordeds crtess = 5 = = +. Decd pr cd u de ls regoes sguetes s usrí coordeds polres o crtess pr clculr f da. R R regó eteror + = e teror + = R regó lmtd por = - ; = ; = c R regó lmtd por = ; + = 4 8

188 Autoevlucoes. Clcule: se da dode R es l regó ulr + 6 R da R dode R es l regó eteror r = e teror l crdode r = + se. Idque cómo ps coordeds polres l tegrl R f da.. Qué tee e cuet pr decdr s le covee usr coordeds crtess o coordeds polres e el cálculo de u tegrl dole? 4. Clcule el volume del sóldo lmtdo por + = ; + = 4 ; z = z = Idque cómo us l trsformcó T: = Xuv ; =Yuv uv S e el cálculo de f da. R Autoevlucó Itegrles trples coordeds clídrcs coordeds esfércs. Def: V f z dv. Justfque: vol V = V dv. S f es cotu f z e el sóldo V qué terpretcó físc puede dr pr f z dv? V 4. Qué propeddes tee f z dv? V 5. Justfque el sguete eucdo: S f z M z V sóldo de f es cotu e V etoces f z dv M vol V V 8

189 Autoevlucoes 6. Cómo clcul el vlor promedo de u fucó cotu f z e el sóldo V? Qué frm el teorem del vlor medo pr tegrles trples? 7. Qué sgfc que u sóldo V se proectle e el plo? Cómo se clcul V f z dv e ese cso? Dé u ejemplo. Idem pr el plo z c Idem pr el plo z 8. Descr el sóldo lmtdo por ls superfces dds clcule su volume: + + z = ; = e el prmer octte + + z = ; + + z = 6 e el prmer octte 9. Complete los espcos e lco dv = dz d d sume l form... e coordeds clídrcs l form... e coordeds esfércs. dz d d se coverte e...e coordeds esfércs. c S V es u esfer de rdo co cetro e el orge etoces el volume de V escrt como u tegrl terd e coordeds esfércs es su vlor es... d S el sóldo V está ddo e coordeds crtess etoces el volume de V se clcul medte l tegrl. e S el sóldo V está ddo e coordeds clídrcs etoces el volume de V se clcul medte. f S el sóldo V está ddo e coordeds esfércs etoces el volume de V se clcul medte.. Idque cómo ps coordeds esfércs coordeds clídrcs f z dv V Qué tee e cuet pr decdr s le covee usr coordeds crtess o coordeds clídrcs o esfércs e el cálculo de u tegrl trple? c Clcule el volume del sóldo lmtdo por + = ; + = 4 ; z = z = 5 8

190 Itegrles mprops Cpítulo IV: Itegrles mprops seres umércs E el cpítulo I trjmos co fucoes cotus defds e u tervlo cerrdo pr ells defmos f d. Tmé lo hcmos pr fucoes que tee u úmero fto de dscotuddes de prmer espece e el tervlo. E se lo estuddo terormete podremos dr lgú sgfcdo f d pr f cotu e el tervlo e el tervlo?? f d cudo f tee u dscotudd de tpo fto Actvdd Cómo reccorí te l epresó f d s les formmos que f es cotu o egtv e l semrrect? Segurmete respoderá que puede hllr u prmtv de f pero qué sgfcdo tedrí l Regl de Brrow? Nguo certmete dedo que el símolo o puede ser reemplzdo e gu epresó umérc. Es certo que: Sedo I = l tegrl f d s lm I I f d este su resultdo depede de. tee setdo sgr l símolo f d el vlor I decr que ese úmero represet el áre dejo de l curv f e el tervlo fto. Ejemplo Dd f l tegrl I = f d este pues f es cotu e el cerrdo es I = - = 84

191 Itegrles mprops Sedo f postv e I represet el áre jo l curv e Ovmete lím I Qué ocurre co I cudo?. El lmte otedo se sume como vlor de d. d sgmos el vlor l áre dejo de l curv e. Coclusó: Pudo clculrse turlmete l tegrl d? Pudo medrse l regó o cotd jo l curv? No de cuerdo co el procedmeto htul. S lzdo el comportmeto de I. Se dce etoces que l tegrl propuest es u tegrl mprop covergete. Defcó - Sedo f cotu e - Sedo f cotu e. f d = lm f d s ese límte este. f d = lm f d s ese límte este. E mos csos cudo esto sucede se dce que l tegrl propuest es u tegrl mprop covergete. Oservcoes S f o el límte e l defcó puede cosderrse como el áre dejo de l gráfc de f e ese tervlo. S el límte de I o este o es fto se dce que l tegrl dverge. Podemos eteder l defcó tod l rect: 85

192 Itegrles mprops Defcó Sedo f cotu e segudo memro coverge. f d f d f d s ls dos tegrles del Pr cerrr est presetcó tes de propoerles l ejerctcó correspodete queremos eftzr que ls tegrles smolzds d ; f d ; - f f d - dode f es cotu o puede ser clculds e térmos de l regl de Brrow. El vlor que puede ser sgdo cd u de ells provee de u límte. S ese límte es u º rel se dce que l tegrl coverge. E cso cotrro se dce que l tegrl dverge o pudedo sgrse gú vlor l msm. Ests propuests de tegrles so llmds tegrles mprops. Puede her lgu otr stucó que escp cáoes estlecdos pr resolver u tegrl? S! lo cometremos más delte. Ejemplo Supog que e u empres se estm que se estrá recuddo por lgú cocepto l co de sems de cd u opercó rzó de f=e - mlloes de pesos por sem. E qué mometo l fluec de dero será mám? Cuáto será lo recuddo e ls tres prmers sems? Cuáto se recudrí s el tempo fuese lmtdo? Pr determr cuádo l fluec de dero será mám usquemos los putos crítcos de f : f e Oserve que pr < < f crece pr > f decrece por lo tto e = l fucó tee u mámo locl e este cso tmé es mámo soluto. 86

193 Itegrles mprops L fluec de dero será mám e l prmer sem. Lo recuddo e ls tres prmers sems será: f d 4 e 686 mlloes de pesos E tempo lmtdo l recudcó será: f d s este I 4e e e e e d e lm I e 86 mlloes de pesos. Ejercco Decd l covergec ó dvergec d ls sguetes tegrles mprops: d - d c e d - d e d - g d e e d - h cos d se f d Ejercco Por qué o coverge cos d? Ejercco Hllr el áre de l regó jo l curv l derech de. 4 87

194 Itegrles mprops Ejercco 4 Se f ; Compruee que el volume geerdo l rotr l gráfc lrededor del eje es. Compruee que el áre de l regó jo l gráfc es ft. c Grfque ms stucoes. Prece u resultdo coherete? Ejercco 5 K Hllr K de form tl que d Cometro: l fucó K f se preset e l teorí de prolddes se llm fucó de desdd de Cuch. Grfíquel. Ejercco 6 Compruee que: d 4 - d c - e d > Actvdd S f es u fucó cotu e o s tee e u º fto de dscotuddes fts semos que este f d. Supogmos hor que f es cotu e que lím f o lím f. E ese cso sufcetemete pequeño este f d I. 88

195 Itegrles mprops S este f lím I e I ese vlor se dopt como resultdo de f d cudo puede terpretrse como áre dejo de l curv =f e el tervlo. -ε S f es cotu e lím f o lím f se clcul f d I se vestg el comportmeto de lím I De cuerdo co estos cometros podemos dr l sguete defcó: Defcó Sedo f cotu e +ε lím f o lím f Sedo f cotu e f d lím f d lím f s ese límte este. o lím f f d lím f d s ese límte este. Oservcó: Ests tegrles tmé so llmds tegrles mprops se dce que coverge s el límte este. Los límtes so llmdos vlores de ls tegrles mprops. S los límtes o este ls tegrles mprops se dce dvergetes. 89

196 Itegrles mprops Ejemplo Pr d - cotu e sedo lím es u tegrl mprop pues. f es Cosderdo ε> pequeño clculmos I d - que este pues f es cotu e el tervlo. I rcse rcse rcse rcse lím I lím rcse rcse l tegrl coverge d - Ejemplo 4 d Decdr el comportmeto de. L tegrl es mprop pues Pr f es cotu e I d co lím lím I lím pero este límte es fto e cosecuec l tegrl dverge. Defcó 4 Se f cotu e c c c c co lím f o lím f c lím f o lím f f d f d f d sempre que ls c c dos tegrles mprops del segudo memro se covergetes sedo sí decmos que f d es u tegrl mprop covergete. c 9

197 Itegrles mprops c Ejemplo 5 Alzr Oserve que d. - f es cotu e - que lím lím - -. Dee lzrse etoces dos tegrles: d - - d Se I d = = lm I d Se I d [ 9 - e - -] [ - -] lm I 6 d 6 Coclusó: d es u tegrl mprop covergete - d 6 9-9

198 Itegrles mprops Ejercco 7 d Alce l tegrl compruee que o coverge. d Oserve: s tetr correctmete resolver plcdo l regl de Brrow gordo l dscotudd de l fucó e tedrí qué resultdo? Ejercco 8 Verfque cd uo de resultdos los sguetes: 5 d 5 44 d 4 4 Crteros pr l covergec l dvergec Actvdd Estudr l covergec de e d. No os es posle e este cso resolver I e d clculr lím I pero oserve: I e d es u fucó crecete de por qué? Ddo que e e pr todo I e d e d e e e.6788 Por lo tto este lím I es u úmero rel meor que.6788 podemos frmr etoces que e d es u tegrl mprop covergete uque descoocemos qué vlor coverge. Supog hor que f g so dos fucoes culesquer cotus e 9

199 Itegrles mprops tles que f g pr todo. Supog tmé que g d coverge. Puede frmr que f d coverge? por qué? Crtero por comprcó drect. Se f g dos fucoes cotus e [+ co f g pr todo.. S g d coverge etoces f d coverge.. S f d dverge etoces g d dverge. Ejercco 9 Alce el comportmeto de ls sguetes tegrles mprops plcdo el crtero por comprcó drect. se d d. c d El sguete crtero dce que s dos fucoes postvs crece l msm rzó cudo etoces sus tegrles se comport e form smlr: ms dverge o ms coverge o ecesrmete l msmo vlor. Crtero de comprcó del límte. S f g so fucoes cotus postvs e úmero rel mor que cero etoces o ms dvergetes. f lm g este es u f d g d so ms covergetes 9

200 Itegrles mprops Ejercco Hcedo uso del crtero de comprcó del límte lce el comportmeto de ls tegrles d d d d Ejercco Alce s ls sguetes tegrles so covergetes o dvergetes. Háglo recurredo ls defcoes cudo ls tegrles límtes clculr se secllos e cso cotrro plque los crteros vstos usdo otrs tegrles cuo comportmeto cooce o puede coocer fáclmete. d d 5 c d 5 d d 4 Uso de MAPLE Pr clculr tegrles mprops se us los comdos que se muestr cotucó > lmtt / = ft; > lmtt / =..5 =; > lmtt /^ = ft; > lmtt /sqrt =..5 =; Cometro: Stucoes equvletes ls estudds hst quí e este cpítulo podrí presetrse e tegrles múltples. Por ejemplo R e da dode R da R R da dode R / co R / tegrles doles mprops. Ls dos prmers tegrles so mprops que el domo de tegrcó o es cotdo. E el tercer cso el domo de tegrcó es cotdo pero l tegrl es mprop ddo que el tegrdo es u fucó que o está defd e / R tom vlores t grdes como se quer cosderdo. Les propoemos que refleoe sore cómo podrí dptrse ests tegrles ls des presetds pr tegrles mprops e u vrle. so 94

201 Sucesoes Sucesoes umércs U sucesó umérc puede pesrse como u lst ft o ft de úmeros escrtos e u orde determdo: 4... Oserve que es el prmer térmo de l sucesó el segudo térmo e geerl es el -ésmo térmo que tedrá como sucesor e l lst. Podemos decr etoces que es el lugr que el úmero lst e form de tl ocup e l lst. Puest l lugr vlor 4 5 os hce pesr l sucesó como u fucó f cuo domo es el cojuto de los eteros postvos. O se f L sucesó 4... se dc veces o tmé { } cudo se soreetede l vrcó del ídce es el térmo -ésmo o térmo geerl de l sucesó Ejemplos:. co = c es u sucesó costte todos sus térmos so gules c. dode es l sucesó de los úmeros turles. L sucesó cost de los térmos El térmo geerl de l sucesó es 7. Se co Est sucesó cost de los térmos Pr etero mor o gul cero se llm fctorl de se deot! l úmero defdo de l sguete mer: s!.! s 95

202 Sucesoes de mer que :!!!!!!! 6 4! 4!... Se co =! ve que o ecesrmete el vlor cl del ídce dee ser Los prmeros térmos de est sucesó so: Verfíquelo!. L sucesó tee prmer térmo gul luego cd térmo se otee sumdo el úmero 4 l térmo teror. Podrímos epresrl de l sguete mer: co 4 pr Es est u progresó rtmétc de prmer térmo dferec 4. E geerl se llm progresó rtmétc de prmer térmo dferec h tod sucesó que pued defrse de l sguete mer: ; h s. L sucesó tee prmer térmo gul luego cd térmo se otee multplcdo por - 4 l térmo teror. Podrímos epresrl de l sguete mer: co. 4 pr Es est u progresó geométrc de prmer térmo rzó gul - 4. E geerl se llm progresó geométrc de prmer térmo rzó r tod sucesó que pued defrse de l sguete mer = ; = -. r s Los prmeros térmos de u progresó geométrc de prmer térmo rzó r so:.r.r.r..r - 96

203 Sucesoes. Ls sucesoes cuos térmos se defe e fucó de los terores como sucede e ls progresoes rtmétcs geométrcs rece el omre de sucesoes recurretes. U ejemplo mu ctdo de sucesó de sucesó recurrete es l sucesó de Focc: ; pr. Los prmeros térmos de l sucesó de Focc so: Est sucesó de úmeros prece e l Nturlez e forms cuross. Ls escms de u pñ está dspuests e esprl lrededor del vértce. S cotmos el úmero de esprs de u pñ ecotrremos que sempre es gul uo de los úmeros de l sucesó de Focc. L msm sucesó prece tmé e el estudo de ls lees medels de l herec e l dvergec folr e l formcó de l coch de lguos moluscos... U mer práctc de dujr u esprl cosste e dspoer sucesvos cudrdos cuos ldos tee logtudes que cocde co los úmeros de Focc ur co u rco de crcuferec los vértces opuestos de cd uevo cudrdo que se ñde. Actvdd pr relzr fuer del horro de clse: E todo colmer h u tpo especl de ejs llmds "re". H otro tpo tmé hemrs que se llm "trjdors" que dferec de ls res o produce huevos. H ejs "mchos" que o trj que so egedrdos por los huevos o fertlzdos de ls res por lo tto tee mdre pero o pdre. Tods ls hemrs so egedrds por l uó de l re co u mcho de mer que ls hemrs tee pdre mdre. 97

204 Sucesoes De cuerdo l relto teror les pedmos que: Costru el dgrm de árol geelógco de u ej mcho colocdo l mcho e l se del dgrm. Cuátos pdres tee? c Cuátos uelos? d Cuátos suelos? ttruelos? chozos? e Escr u sucesó co los vlores otedos de ls respuests terores. Oserv lgu prtculrdd? f Costru hor el árol geelógco de u ej hemr respod ls msms preguts terores h lgu smltud? g Costru su propo árol geelógco. Se mtee ls msms relcoes terores? Por qué? h Escr el térmo geerl de cd u de ls sucesoes oteds. Hgmos u poco de hstor Qué fue Focc? Leordo de Ps mejor coocdo por su podo Focc que sgfc hjo de Bocc có e l cudd tl de Ps vvó de 7 5. Su pdre trj como represette de l cs comercl tl más mportte de l époc e el orte de Áfrc. Este lo mó estudr mtemátcs. Leordo recó este tpo de eseñz de mestros áres. Se covrtó e u especlst e Artmétc e los dsttos sstems de umercó que se us etoces. Covecdo de que el sstem do-rágo er superor culquer de los que est e uso decdó llevr este sstem Itl tod Europ e dode ú se us los umerles romos el áco. Escró gr ctdd de lros tetos de mtemátcs: Ler Ac escrto e Prctc Geometre e Flos e 5 Ler Qudrtorum e 7. Es mportte destcr que e es époc o estí l mpret por lo tto los lros sus cops er escrtos mo. Fue s dud el mtemátco más orgl de l époc medevl crst. Ejercco Escr los cutro prmeros térmos de ls sucesoes defds cotucó. 4 c c d d ; d d 98

205 Sucesoes Ejercco Escr u fórmul pr el térmo geerl de ls sguetes sucesoes c d Ejercco 4 Pr l sucesó defd por: s Determe s s 8 s Escr u fórmul que def l msm sucesó tomdo como ídce cl. Covergec de sucesoes Actvdd 4 Cosdere ls sucesoes: Se prom lgú vlor los térmos de cd u de ls sucesoes cudo se hce mu grde? E el cso los térmos de l sucesó so t cercos cero como se quer cosderdo vlores de sufcetemete grdes. Decmos: tede cero cudo tede escrmos: lím E el cso los térmos de l sucesó so Clrmete o se cerc gú vlor o este lím E el cso los térmos de l sucesó o se prom gú vlor medd que se hce cd vez más grde : so t grdes como se quer cosderdo vlores de sufcetemete grdes lím Decmos que es u sucesó covergete que coverge L cudo lím L L lo que sgfc que los térmos se cerc tto como se quer L cosderdo vlores de sufcetemete grdes. S esto o sucede se dce que l sucesó es dvergete. 99

206 Sucesoes L sucesó es u sucesó covergete coverge. Los csos so ejemplos de sucesoes dvergetes. Actvdd 5 Los gregos e tempos remotos dero u respuest geométrc l prolem del cálculo del áre de u círculo cosstete e promr l regó por medo de u sucesó de polígoos scrptos cus áres l umetr sufcetemete el º de ldos represet práctcmete el áre uscd. Pr u círculo de rdo cosdere polígoos regulres scrptos P de 4 ldos P de 8 ldos P de 6 ldos... etc. Escr l sucesó de ls áres de estos polígoos. Cómo se puede pesr el áre del círculo? Actvdd 6 Oserve ls fgurs sguetes que lustr vrs mers e ls que u sucesó { } puede ser covergete u úmero L.

207 Sucesoes Oservcó mportte! S { } coverge etoces pr ε> culquer todos los térmos ecepto evetulmete u úmero fto de ellos que correspode está e el tervlo L L. N Ejercco 5 Determe lím s es que este e los sguetes csos. Idccó: proced tl como lo hce e l evlucó del límte pr tededo fto de u fucó f. e se f c l g d cos h e Ejercco 6 Alce s ls sguetes sucesoes so progresoes geométrcs. S lo so cuál es l rzó? So sucesoes covergetes? e c A prtr de este ejercco qué puede coclur pr l sucesó r cosdere los csos e que r r r.? Le sugermos que Uso de MAPLE Pr geerr sucesoes umércs o o podemos utlzr el comdo seq como se muestr e el sguete ejemplo: > pres:=seq *=..; E pres se gurd los prmeros dez úmeros pres Podemos luego cceder l sucesó complet escredo smplemete > pres; O lgú elemeto e prtculr escredo: > pres[]; El comdo For...do se emple pr repetr u certo úmero de veces u sere de struccoes se puede utlzr pr geerr sucesoes elemeto por elemeto.

208 Sucesoes Geeremos los úmeros pres del l : > for k from to do; *k; od; Asgemos u omre cd elemeto: > for k from to do; [k]:=*k; od; Defedo l sucesó de este modo podemos recuperr los úmeros geerdos. Por ejemplo el quto pr es: > [5]; El comdo Plot se utlz pr grfcr fucoes o lsts de putos. Vmos usr esto últmo pr dujr lguos putos e el plo > plot [[..8][][-]]stle=potcolor=red; > plot [[..8][][-]]stle=le; Grfquemos l sucesó > :=seq[/]=..4; e el plo: > grf:=plot[]stle=potcolor=lue: > grf; Pr vsulzr l propedd que se cooce como Lem del sádwch grfquemos e u msmo sstem de coordeds l sucesó teror ls sucesoes que tee térmo geerl se 5 c Pr grfcr ls tres sucesoes juts se utlz el comdo dspl. Este comdo se ecuetr e el pquete plots el cul tes deerá ser "jdo" co el comdo wth: > :=seq[s5*/]=..4: >grf:=plot[]stle=potcolor=red: >c:=seq[-/]=..4: >grfc:=plot[c]stle=potcolor=gree: > wthplots: >dspl[grfgrfgrfc]es=ormlttle="lem del sdwch." tckmrks=smol=crcle; Grfque ustedes hor l sucesó.

209 Sucesoes Algo más sore sucesoes U sucesó está cotd superormete s este lgú úmero K tl que K pr todo está cotd ferormete s este lgú úmero k tl que k pr todo. Se dce que está cotd s lo está superor e ferormete. Esto equvle que est u úmero M > tl que pr todo M. Verfque que: N N está cotd superormete por e ferormete por está cotd superormete por e ferormete por - está cotd superormete por e ferormete por N 4 está cotd ferormete por N Sucesoes moótos Ls defcoes sore mootoí de sucesoes se otee prtculrzdo sucesoes ls que estudro sore mootoí de fucoes. Esto equvle lo sguete: U sucesó { } es moóto crecete s sólo s pr todo es +. U sucesó { } es moóto decrecete s sólo s pr todo es +. c U sucesó { } es estrctmete crecete s sólo s pr todo es < +. d U sucesó { } es estrctmete decrecete s sólo s pr todo es > +. e U sucesó se dce que es moóto s es de lguo de los tpos terores.

210 Sucesoes Resultdos útles:.tod sucesó moóto crecete cotd superormete es covergete.tod sucesó moóto decrecete cotd ferormete es covergete.tod sucesó covergete está cotd. Tre: Ejemplfque ls stucoes plteds e Resultdos útles compruee l vldez de cd u de ls frmcoes. Ejemplo 6 Puede demostrrse que l sucesó de térmo -ésmo = es u sucesó estrctmete crecete cotd superormete por clcule lguos térmos de l sucesó por lo tto es u sucesó covergete. El límte de est sucesó es el úmero e se de los logrtmos eperos o turles de l fucó epoecl. Ejemplo 7 L sucesó es moóto decrecete cotd s es s. S = es u sucesó costte. Cudo es estrctmete crecete o cotd. Verfíquelo!! l sucesó ; su límte Seres umércs Iformlmete u sere es u sum de ftos sumdos? que se deot o tmé Sums de ese tpo usmos mplíctmete l cosderr desrrollos decmles de úmeros. Por ejemplo: l guldd sgfc cómo se etede es sum co ftos sumdos de l form? 4

211 Seres umércs Refleoe sore ls stucoes que plte los sguetes prolems: Prolem : Se dej cer u pelot desde u ltur cl de 5 m sore u los de cocreto. Cd vez que reot lcz u ltur que es / de l ltur teror. Iterprete gráfcmete. Determe l ltur que lcz e su tercer reote hlle l epresó de l ltur e su -ésmo reote. S l pelot reotr defdmete cuál serí l sum de ls lturs vertcles recorrds? Prolem : Cosdere l epresó Qué úmero le sgrí l sum? Puede que lgue pese e smplfcr e form cosecutv los térmos respod pero tl vez otro estudte sepre el prmer térmo por qué o? smplfcdo los sguetes respod... Qué pes l respecto? E geerl dd u sucesó culquer qué setdo hrá que drle l epresó tee que ser el sucesó de sumdos dode S? L respuest se mpoe de modo turl: el vlor que sgemos lím cudo ese límte est o se que prtr de l formremos u uev sucesó de sums prcles S... estudremos el límte de l sucesós Ejemplo 8 Pr l sucesó l sucesó de sums prcles es: S Ve: S S S S S Restdo memro memro ess gulddes oteemos: S S S 5

212 Seres umércs podemos sí e este cso epresr e form stétc l sum prcl -ésm S : S evlur el límte: lím S lím 9 L sucesó S es etoces e este cso u sucesó covergete que coverge Sedo sí decmos que l sere coverge. 7 o equvletemete que 7 es u sere covergete su sum es escrmos: 7 7 Ejemplo 9 Pr l sucesó co l correspodete sucesó de sums prcles será: S S S S 4... O se: S s es mpr s es pr. Clrmete l sucesó de ls sums prcles dverge. Sedo sí o es posle sgr u vlor decmos e este cso que: l sere es dvergete. Resumedo: S es u sucesó ft de úmeros reles etoces el símolo represet u sere ft o smplemete u sere. es el térmo geerl de l sere S = S es l sucesó de sums prcles es l -ésm sum prcl S lím S S dremos que l sere coverge S. Además llmremos S sum de l sere escrremos S. S l sucesó S dverge dremos que l sere es dvergete. 6

213 Seres umércs Alguos ejemplos de seres que tee u form especl E geerl o so muchs ls seres que puede ser estudds usdo drectmete l defcó esto es clculdo el límte de l sucesó de sums prcles. U ecepcó so ls seres geométrcs ls telescópcs cu covergec es fácl de estudr cudo result covergetes hst se puede ecotrr el vlor de l sum. Seres geométrcs r es u sere geométrc de prmer térmo rzó r r so ùmeros reles fjos dferetes de cero S r l sere coverge su sum es S r l sere dverge. r E efecto l sum prcl -ésm es e este cso: S r r... r etoces r S r r r... r de dode se otee s r S r r Por otro ldo s r... Evlúe el lím S S de cuerdo los posles vlores de r r r r r pr justfcr l vldez de ls frmcoes. Oservcó: Escrmos por lo geerl pr referros u sere pero teg e cuet que l vrcó del ídce puede comezr prtr de u turl culquer o desde cero. Ejercco 7 Muestre que sedo r k r r r k 7

214 Seres umércs 8 Ejercco 8 Estude l covergec de ls sguetes seres e cso de ser posle oteg su sum: 7 c 4 - Ejercco 9 Muestre que = Seres telescópcs: es u sere telescópc L peculr form de su térmo geerl os permte epresr l sum prcl S e form stétc: 4... S Ejemplo Oserve que el térmo geerl de l sere 5 4 puede epresrse usdo frccoes prcles e l form: 5 4 verfque. Se trt etoces de u sere telescópc S S lím Por lo tto: 5 4 = 5 4 = 5

215 Seres umércs Ejercco Hlle l sucesó de sums prcles S pr ls sguetes seres lce s coverge e cso de ser posle ecuetre l sum. 4 c Propeddes de ls seres A prtr de ls propeddes de ls sums:. c c.. ls de los límtes:. S lím A L etoces lím ca c. L. S lím A L lím B L etoces lím A B L L se deduce que: S A B c es u úmero rel etoces c c A A B o se: s ls seres so seres covergetes etoces so tmé covergetes c Podemos frmr etoces tmé que: S S S so dos seres c es u úmero rel etoces dverge c dverge dverge coverge dverge. 9

216 Seres umércs Al depeder l covergec de u sere de l estec del límte de ls sums prcles es evdete que los prmeros térmos culquer ctdd ft por grde que ést se de u sere o fect l covergec o dvergec de dch sere uque su sum e cso de estr se ve evetulmete modfcd. Qued clro etoces que s se suprme los N prmeros térmos de u sere o se modfc su comportmeto. Podemos eucr lo teror de l sguete mer: Pr todo N ls seres dvergetes. S N S N etoces so ms covergetes o ms =... N S. Ejercco Estude l covergec de ls sguetes seres e cso de ser posle oteg su sum: 7 6 c Ejercco Hlle l sum de l sere: Oservcó: Al r estuddo este tem vemos que h dos cuestoes áscs cerc de ls seres: coverge? s coverge cuál es su sum? No sempre so fácles de cotestr sore todo l segud. Comezremos uestr úsqued de respuests co u secllo teorem coocdo como el crtero de codcó ecesr: Teorem Codcó ecesr pr l covergec de u sere: S l sere es covergete etoces lím

217 Seres umércs Oservcoes: L demostrcó es medt escredo S S Atecó! El teorem d frm sore el comportmeto de l sere e cso de que lím pero provee u potete crtero pr l dvergec: Crtero pr l dvergec: S lím etoces l sere dverge. Así por ejemplo como lím podemos frmr usdo el crtero pr l dvergec que l sere dverge. Pero ese crtero o rd formcó lgu sore el comportmeto de seres como o como porque e mos csos lím. De hecho es u sere covergete ustedes lo se que es u sere geométrc de rzó ½ metrs que sere delte. Coclusó: Sedo lím llmd sere rmóc dverge como veremos más l sere puede ser covergete o dvergete. Ejercco Estude l covergec de l sere Seres de térmos postvos E este prtdo vmos ver lguos resultdos crteros que os v permtr determr l covergec o dvergec de seres que teg todos sus térmos postvos. Teedo e cuet que el comportmeto de u sere o se modfc s suprmmos los N prmeros térmos de l msm lo que dgmos se plcrá seres dode N s mportr el sgo de los N prmeros térmos.

218 Seres umércs El prmer crtero que estudremos relco los coceptos de covergec dvergec de u tegrl mprop co l covergec dvergec de u sere. Supogmos que u fucó f es cotu postv decrecete e el tervlo como muestr ls fgurs sguetes se =f S.... Cosderdo ls áres de los rectágulos resltdos result... f d... o se S f d S A prtr de es dole desguldd teedo e cuet que moótos crecetes se desprede que s lím lím S f d S so este etoces tmé este f d que recíprocmete s lím f d este tmé este lím S. Esto os coduce coclur que l sere f d coverge. coverge s sólo s l tegrl mprop Se tee etoces:

219 Seres umércs Crtero de l tegrl Se u sere de térmos postvos supogmos que f es u fucó tl que: Etoces:. f pr. f es cotu postv decrecete pr coverge d f coverge. El crtero de l tegrl puede plcrse por ejemplo pr estudr el comportmeto de l sere rmóc sedo como que le hímos presetdo terormete: f cotu postv decrecete pr tl que f f d d dverge de cuerdo? tmé dverge l sere Co el msmo crtero puede estudrse tmé ls que llmmos p-seres: Seres p o p-seres: Llmmos p-sere co p > l sere de l form S p = teemos l sere rmóc. Este tpo de sere coverge s p > dverge s < p p Ejemplo Cosderemos l sere l. l Sedo lím el crtero pr l dvergec o ofrece formcó lgu sore el comportmeto de l sere. Como se trt de u sere de térmos postvos podemos pesr e plcr el crtero

220 Seres umércs de l tegrl: oserve que l fucó pr l e ve que f l f es cotu postv decrecete etoces como l d dverge compruéelo por el crtero de l tegrl podemos coclur que dvergete de cuerdo? por lo tto tmé dverge l l es Ejercco 4 Utlce el crtero de l tegrl pr estudr l covergec de ls p-seres. Ejercco 5 So covergetes o dvergetes ls sguetes seres? 5 c 4/ Crtero de comprcó Se dos seres tles que < N. Etoces: S coverge coverge S dverge dverge Oservcoes: Isstmos: Auque e el eucdo hemos egdo que < como l covergec de u sere o qued fectd por sus prmeros térmos st co que es desguldd se verfque prtr de lgú turl e delte. El crtero dej de ser váldo pr seres de térmos culesquer. Hemos omtdo l demostrcó del crtero de comprcó se l propoemos como ejercco. Recuerde: S u sucesó de úmeros reles es moóto crecete cotd superormete etoces es covergete. 4

221 Seres umércs Ejemplo Estudemos el comportmeto de l sere cos/ cos/ Oservemos que lím sí pues cos por otro ldo tede fto cudo tede fto de mer que el crtero pr l dvergec o os d formcó. Además l sere es de térmos postvos e efecto: etoces es cos/ cos por lo tto De modo que podemos pesr e plcr el crtero de comprcó. L cuestó es co qué sere comprmos? A veces l respuest o es ov. Bueo l úsqued tedrá que ecmrse hc quells seres cuo comportmeto coocemos por ejemplo seres geométrcs o p-seres. E este cso es fácl ver que cos/ como es u sere covergete verdd? est comprcó srve: e vrtud del crtero de comprcó podemos coclur que cos/ es covergete. Ejercco 6 Estude l covergec de ls sguetes seres: c Otros crteros de covergec pr seres de térmos postvos se deduce del crtero de comprcó: Crtero de l ríz: Se Etoces: u sere tl que pr sufcetemete grde se lm L S L < l sere coverge. S L > l sere dverge. c S L = o se otee formcó. 5

222 Seres umércs Ejercco 7 Estude l covergec de ls sguetes seres: 5 e Co frecuec u sere dd se prece u p-sere o u sere geométrc pero o result fácl estlecer comprcoes térmo térmo. Etoces es útl recurrr u segudo crtero de comprcó: Crtero de comprcó e el límte: Se dos seres de térmos o egtvos tles que sufcetemete grde supogmos que lm L. Etoces coverge o ms dverge. Ejemplo Estudemos l sere. 5 El térmo geerl tede cero. Se trt de u sere de térmos postvos. E ell dode el prétess tede cudo tede fto. De mer que s lm lím 5 5 teemos: como comprcó e el límte coclumos que Ejercco 8 dverge e vrtud del crtero de 5 Estude l covergec de ls sguetes seres: es tmé dvergete

223 Seres umércs Crtero del cocete o de l rzó: Se Etoces: u sere de térmos postvos supogmos que lm L. S L< l sere coverge. S L> l sere dverge. c S L= o se otee formcó. Oservcó: Como sucede co el crtero de l ríz el crtero del cocete o os dá formcó lgu sore el comportmeto de l sere cudo el límte e cuestó es gul. H que usr s ese es el cso otro crtero. Ejemplo 4 El comportmeto de l sere cocete. puede estudrse usdo el crtero del lm lm lím por lo tto l sere es covergete. Cuál es su sum? No lo semos. U sum prcl S es u vlor promdo de l sum. Es certo que cuto más grde se mejor será es promcó pero serí mportte poder estmr el error que cometemos l cosderr S S Ejercco 9 Estude l covergec de ls sguetes seres:! Seres de térmos culesquer postvos egtvos - Seres lterds E el prtdo teror hemos vsto vros crteros de covergec pr seres dtérmos postvos uque tmé so plcles quells seres que tee 7

224 Seres umércs lo sumo u úmero fto de térmos egtvos. Esos crteros puede plcrse tmé l álss de seres que tee todos los térmos egtvos slvo quzás u úmero fto pues e ese cso estudmos l sere. S emrgo cudo e u sere prece ftos térmos egtvos postvos los crteros terores o so plcles. Seres lterds: U sere es lterd s puede epresrse e l form co Ls sguetes seres so ejemplos de seres lterds: l 4 l 9 l 6... l 4 l 5...! Crtero de Lez Se co. S l sucesó es decrecete lm etoces l sere es covergete. Ejemplo5 L sere rmóc lterte stsfce:

225 Seres umércs es u sucesó decrecete pues lm etoces por el crtero de Lez es u sere covergete. Ejemplo 6 L sere es lterte pero lm codcó del crtero de Lez por lo tto o stsfce l Oserve que el límte del térmo geerl de l sere o se lm 4 Luego por el crtero de l dvergec coclumos que l sere dverge. o este. Oservcó: S u sere está e ls codcoes del crtero de Lez prtr de u certo turl N etoces es u sere covergete sstmos: s se suprme los prmeros N térmos de u sere su comportmeto o cm Ejercco Determe l covergec de ls sguetes seres: l Estmcó del error que se comete l promr u sere lterd por u sum prcl. S u sere co stsfce ls codcoes del crtero de Lez su sum es S etoces el resto R mplcdo l promr l sum por l sum prcl S es e vlor soluto meor que el vlor soluto del prmer térmo desprecdo. Esto es: S S R. Es decr el error cometdo l usr l -ésm sum prcl de l sere como promcó de S es lo sumo l mgtud del prmer térmo o sumdo. 9

226 Seres umércs Ejemplo 7 Mostrremos que l sere! dos lugres decmles. es covergete clculremos su sum promd Alcemos ls codcoes del crtero de Lez: L sere! es u sere lterd se verfc: etoces es decrecete!!!! etoces lm!! Luego por el crtero de Lez l sere coverge. Y semos que l sere tee sum. Llmemos S l sum de l sere. Podemos promr S por u sum prcl cuál? cuátos térmos deemos sumr s queremos promr S co dos decmles ectos? Aplcdo el teorem teror teemos: S S R! de mer que pr que S S R se meor que. grtzr sí u promcó co dos decmles ectos strá co que se tl que.! Promos vlores de hst ecotrr el decudo que verfque l desguldd. Vemos que: 5! 6! 7! 6! 54 7 Luego el prmer turl que verfc l desguldd es = 6. L sum prcl S es l promcó decud pr S. 6

227 Seres umércs S S Ejercco Pruee que l sere u error meor que.. es covergete de u estmcó de su sum co Covergec solut covergec codcol de u sere de térmos postvos egtvos U sere puede teer ftos térmos postvos egtvos s ser lterd como ocurre co se U form de oteer formcó sore su covergec es vestgr l de l sere se que por comprcó drect co l sere result ser covergete. Pero l cuestó es: coverge l sere orgl o o?. El prómo resultdo respode est pregut. Ates de eucrlo les propoemos que complete el rzometo que sgue hcedo uso del crtero de comprcó de lgus propeddes de ls seres. Dd u sere culquer cosderemos l sere dode. Oserve que es u sere de térmos o egtvos que que certo?. Por lo tto s es covergete...

228 Seres umércs Teorem Covergec solut: S l sere coverge l sere coverge Oservcoes: L recíproc es Fls! Por ejemplo l sere rmóc lterd es covergete por Lez s emrgo l sere rmóc es dvergete. Decmos por ello que coverge codcolmete S l sere qué? pero s dverge o se puede coclur d sore l sere dverge etoces coclumos que dverge. por Dremos que... es solutmete covergete s es codcolmete covergete s coverge. coverge pero dverge. Ejemplo 8 Estudemos l covergec de ls sguetes seres! Podemos lzr el comportmeto de l sere de l rzó. -!! co el crtero

229 Seres umércs Como lm lm!! l sere Coclumos etoces que! es solutmete covergete. -! es covergete. E este cso co el crtero de l rzó o podemos decdr el comportmeto de que se tee: lm lm lm Como pr todo > plcdo el crtero de comprcó coclumos que l sere es dvergete p dverge s? p lo recuerd? Pero... es covergete l sere Oservemos que: º lm lm lm º L sucesó es decrecete derve f pr mostrrlo Etoces por el crtero de Lez es covergete. Como hemos vsto que l sere dverge coclumos que es codcolmete covergete. Ejercco Determe s coverge ls sguetes seres e cso frmtvo s lo hce solut o codcolmete: / l

230 Seres umércs Ejercco Estude l covergec de ls sguetes seres e cso de ser posle clcule su sum. c! d se/ e f g h!! j k 4 5 l m 4 ñ o p 4. 5 se/ q Ejercco 4 Determe s coverge ls sguetes seres e cso frmtvo s lo hce solut o codcolmete. E cso de ser posle clcule su sum co u error meor que. l 4 c - d 5 4 e cos f - Uso de MAPLE Dd l sucesó de térmo geerl prcles cuo térmo geerl es pr = : S costrumos l sucesó de sums usdo el comdo for...do... od 4

231 Seres umércs > S[]:=.5; > for from to do; S[]:=.5^+S[-]; od; Tee límte l sucesó de sums prcles? Pr clculr el vlor de l SUMA de u sere que coverge podemos usr l setec sum que es mu secll: > sum/^=..ft; Clculemos lguos vlores de l sucesó de sums prcles de l SERIE ARMÓNICA > A[]:=; > for from to 5 do; A[]:=./ + A[-]; od; 4 Clculemos los prmeros vlores de l sucesó de sums prcles de l SERIE ARMONICA ALTERNADA su sum. > B[]:=; > for from to do; B[]:=-^+./+B[-]: od; > log.; > sum-^+/=..ft; Algo más cerc de ls seres solutmete covergetes Ls seres solutmete covergetes tee u tereste propedd: S es solutmete covergete etoces los térmos de l sere puede ser recomoddos o regrupdos de culquer mer l sere resultte es covergete l msmo úmero que l sere orgl. Por el cotrro s los térmos de u sere codcolmete covergete se escre e u orde dstto l uev sere puede ser dvergete o covergete u úmero dferete... 5

232 Seres umércs Ve el sguete ejemplo: S S es l sum de l sere rmóc lterd S S S S S Etoces l sere reorded... coverge S Autoevlucó Seres umércs. Cuál es l dferec etre u sucesó u sere? Qué es u sere covergete? Qué es u sere dvergete?. Eplque el sgfcdo de l epresó 5.. Se. es covergete? es covergete? 4. Alce s los sguetes eucdos so verdderos o flsos: - S es covergete es dvergete - S - S 5. S es covergete es dvergete so dvergetes es dvergete. es dvergete. es u sere de térmos postvos l sucesó S es cotd por eplque por qué dee ser covergete. 6

233 Seres umércs 6. Supog que s f es u fucó cotu postv decrecete pr f. Medte u gráfc clsfque ls sguetes ctddes e orde crecete: f d 7. Pr qué vlores de p coverge l sere sguete l 8. Supog que so seres de térmos postvos que coverge. S pr todo Qué puede decr de? Por qué? S pr todo Qué puede decr de? Por qué? 9. Supog que so seres de térmos postvos que S pr todo Qué puede decr de? Por qué? S pr todo Qué puede decr de? Por qué?. S p? dverge. es u sere covergete de térmos postvos es covergete l sere se?. Qué es u sere lterte? qué codcoes grtz su covergec? S ess codcoes se stsfce qué puede decr cerc del error que se comete l promr l sum co l sum prcl -ésm?. S es covergete es covergete l sere?. Qué sgfc l epresó: l sere coverge solutmete? 4. Qué sgfc l epresó: l sere coverge codcolmete? 7

234 Prmetrzcó represetcó vectorl de curvs Cpítulo V: Itegrles de líe Nuestro prómo pso será el estudo de l tegrl de líe. El domo de tegrcó psrá ser u curv del plo o del espco el tegrdo u cmpo esclr fucó vlores reles o u cmpo vectorl defdos sore l curv. Pr poder ordr l defcó el cálculo ls propeddes de este uevo tpo de tegrles os ocupremos prevmete de ls curvs de su represetcó vectorl prmétrc de los cmpos vectorles. Curvs e el plo e el espco - Prmetrzcó Tod curv pl puede drse por medo de u pr de ecucoes prmétrcs: t t I t dode I es u tervlo de úmeros reles llmdo tervlo prmétrco t e t so fucoes vlores reles. Ejemplo Pr cos t set co t so ls ecucoes prmétrcs de l crcuferec cetrd e el orge de rdo. Oservemos que l cosderr vlores crecetes de t recorremos l curv e el setdo dcdo e el dujo por l flech. Ls ecucoes prmétrcs defe u oretcó e este cso thorr Actvdd set Compruee que ls ecucoes prmétrcs cos t l msm crcuferec recorrd hor e setdo horro. t correspode 8

235 Prmetrzcó represetcó vectorl de curvs Cosdere hor ls ecucoes prmétrcs cost set t Oserve que l vrr t desde hst os ecotrmos co l msm crcuferec recorrd e setdo thorro pero... dos veces. Grfque comete: c C: cost set t d C set cos t : t Actvdd Se C cos t 4 set : t Despejdo cos t se t de ls ecucoes dds hcedo uso de l detdd trgoométrc se t cos t elmmos el prámetro oteemos l ecucó 9 6 De qué curv del plo se trt? Grfque e detfque l oretcó defd por ls ecucoes prmétrcs dds. Actvdd Elme el prámetro t pr hllr l ecucó e e. Grfque e dque l oretcó e los sguetes csos. cos t : se t 4 cos t c C : set C t C t d C 4 cos t set : t set cos t : t Actvdd 4 Se C t t : t Verfque que ests ecucoes prmétrcs correspode l segmeto de rect desde el puto hst el puto 5. 9

236 Prmetrzcó represetcó vectorl de curvs Cosdere hor: t t t t 5 t t t c t Correspode l msmo segmeto? Cuál es l oretcó e cd cso? t Actvdd 5 Se C l curv del plo de ecucó Hcedo t teemos l prmetrzcó trvl: t C : t t Grfque e dque l oretcó defd por est prmetrzcó. Cosdere hor ls sguetes ecucoes prmétrcs descr ls curvs que defe o olvde oservr l oretcó t t t t t t c u 4u u d t t t e t t t Ejercco Escr ecucoes prmétrcs pr ls sguetes curvs. El segmeto de rect desde hst 4-. El segmeto de rect desde 5 hst -. c L crcuferec co cetro e rdo recorrd e setdo thorro. d L elpse recorrd e setdo horro. 4 e L porcó de elpse 4 9 e el prmer cudrte desde hst. f L porcó de práol = desde hst 7. g L porcó de práol = desde 7 hst. Actvdd 6 t Se C: t t t No prece ue de epresrl e ls vrles e pr dujrl!

237 Prmetrzcó represetcó vectorl de curvs Algus cosdercoes cerc de ls fucoes t t e t t t preset mámos o mímos? so fucoes pres o mpres? l elorcó de u tl e l que se clcule ls coordeds e pr lguos vlores de t os permtrá trzr e form promd l curv. Les propoemos que lo hg que utlce luego Mple pr costtr su dujo. Cosderemos hor u curv e el espco... Se C : C es l terseccó de u cldro co u plo z L proeccó de C e el plo es l crcuferec sí que podemos escrr : cos t ; se t t De l ecucó del plo z se t Teemos etoces u descrpcó prmétrc de l curv: cos t C : set t z set Cuál es l oretcó que determ est prmetrzcó? Veremos más delte otros ejemplos de curvs e el espco. Itroducremos prevmete otr mer de descrr curvs: l descrpcó vectorl Fucoes vectorles U fucó vectorl r es u fucó cuo domo es u cojuto de úmeros reles cu mge es u cojuto de vectores.

238 Prmetrzcó represetcó vectorl de curvs Pr cd t e el domo de r es: r t t t j s l mge de r es u cojuto de vectores del plo o e: r t t t j z t k s l mge de r es u cojuto de vectores del espco Ls fucoes t t z t so ls compoetes de r so fucoes reles vlores reles. Escrmos veces pr smplfcr l otcó r t t t o r t t t z t U curv del plo o del espco puede descrrse co u fucó vectorl: C: r rt t t j e dos dmesoes o C: r rt t t j zt k e tres dmesoes El etremo de cd vector r t correspode u puto de l curv. C r t O Ejemplo Hemos vsto que l curv C : puede descrrse por medo de ls z cost ecucoes prmétrcs set t z set r rt cost set j set k t es u descrpcó vectorl de dch curv decmos u ecucó vectorl de l curv Ejemplo L ecucó vectorl r rt cost set j t correspode l crcuferec de rdo cetrd e el orge e el plo.

239 Prmetrzcó represetcó vectorl de curvs Ejemplo 4 U curv mu mportte del espco es l hélce crculr que puede descrrse co l ecucó vectorl r rt cost set j t k co o ulos t. L curv se hll sore u cldro crculr de rdo de form tl que Pz de l msm: = cos t = se t. L restte ecucó z = t "hce mover" los putos de l curv co movmeto uforme e dreccó del eje z. Cudo t crece e e vuelve sus vlores cles metrs que z crece s > o decrece s < e que es llmdo pso de l hélce. S t se restrge l tervlo se tee u "espr" de l hélce. Hélce co > Ejemplo 5 L terseccó de u elpsode co u plo que cotee l eje es u elpse e el espco. Se por ejemplo 4 C : z z 6 Elmdo z etre ms ecucoes se otee l proeccó de C sore el plo : o se 6 que podemos prmetrzr e l form 4 cos t set co t Además z z set. Por lo tto todo puto Pz C qued epresdo e fucó de t co ls sguetes ecucoes:

240 Prmetrzcó represetcó vectorl de curvs 4 cos t set z se t t Teemos etoces l sguete represetcó vectorl de C: C : r r t 4cos t se t j se t k t Ejemplo 6 z Se z C : 4 4 C vee dd como terseccó de dos superfces de qué superfces se trt? Hcedo = t result: t z t 4 6 t de dode que z 4 4 t t z deedo ser t 6 Teemos etoces ls ecucoes prmétrcs de C t t C : z 4 4t 6 t 4 t l correspodete ecucó vectorl prmétrc: 4 4 4t t C : r rt t t j k t 6 4

241 Prmetrzcó represetcó vectorl de curvs Idetfque los putos de l curv que correspode t = - t = t = determe l oretcó defd por l prmetrzcó dd. Ejercco Prmetrce ls sguetes curvs del espco + + z = 4 z = + z = + c z = z 4 z= d 5 + +z = 5 = z + + z = 5 + = e f = + + z = + = + = 4 + = z g h + z = z = = Oservcó: Pr curvs cerrds el prámetro decudo es el águlo de gro. Pr otro tpo de curvs puede tomrse u de ls vrles como prámetro despejr ls otrs dos e fucó del msmo. Opercoes co fucoes vectorles Dervd de u fucó vectorl Pr ls fucoes vectorles - como vectores que so - so válds tods ls opercoes que pr vectores se h defdo: sum producto por u esclr producto esclr ó teror producto vectorl. L opercó producto por esclr se etede l producto por u fucó rel defd e el msmo domo de l fucó vectorl. Es decr s r r t t t j z t k co t f : I R etoces f. r t f t t f t t j f t z t k Recordemos que los coceptos vculdos l cálculo co fucoes reles se etede ls fucoes vectorles trvés de sus compoetes pudedo sí defrse l dervd de u fucó vectorl: 5

242 Prmetrzcó represetcó vectorl de curvs S r r t t t j z t k sedo t t z t dervles e t etoces este r t ' t ' t j z' t k que defe e P etremo de r t l dreccó ' tgete l curv que descre r rt supoedo r t r t rt lím t t rt t ' rt t rt r t P rt t P rt C C O rt O Recordemos tmé que prtr de ese resultdo puede trzrse e P l rect tgete que es l rect que ps por P drgd por r t. ' Ejemplo 7 S queremos escrr l ecucó de l rect tgete l hélce crculr C : r r t 4cos t 4se t j t k e el puto correspodete ls coordeds del puto de tgec: r 4cos 4se j k = 4 4 j k t uscmos 4 Etoces el puto correspodete t es P 4 4 L dreccó tgete r' t 4 set 4cos t j k evlud e t 4 es: r' 4 L rect tgete qued defd por: z j k h 4 6

243 Prmetrzcó represetcó vectorl de curvs o se: h h z h 4 h S r t se defe como vector tgete l curv C : r rt e el puto ' correspodete t l vector utro co l dreccó de r ' t r ' t T t r' t Oservcoes: L dreccó de u curv es l que defe los vlores crecetes del prámetro es est dreccó l que e cd puto tee r ' t por cosguete T t. Se dce etoces que el vector tgete defe l dreccó de l curv e cd puto. T Desde hor e más vmos cosderr fucoes vectorles r rt dervles co cotudd r ' t fucó cotu de t sedo demás r' t. Tles fucoes so llmds suves. S u rco C está defdo por u fucó vectorl suve se dce que es u rco suve. Geométrcmete esto sgfc que e cd puto dmte vector tgete que vrí co cotudd lo lrgo del msmo. Actvdd 7 Ates de cotur les propoemos que euce justfque ls sguetes propeddes de l dervd de u fucó vectorl co respecto ls opercoes etre vectores. r t r t r t.. 7

244 Prmetrzcó represetcó vectorl de curvs r t r t r t r t.. f r t.. s f es u fucó rel Otr opercó o mecod hst hor es l composcó de fucó vectorl co fucó esclr: S r rt co t h : está dd por h h se defe * r r h r h se dce que es l composcó de h co r h A r C B r * r h t O Refleoemos sore est composcó: Supogmos que h es dervle e h > h es por lo tto u fucó estrctmete crecete. Supogmos demás que Imgeh=[] e ese cso r h r * descre l msm curv C coservdo demás l oretcó defd por r t teemos etoces l msm curv C prmetrzd co el prámetro Ahor respod: Cómo deerí ser l fucó h pr oteer u prmetrzcó de l msm curv C pero recorrd hor e dreccó cotrr? Dervd de l fucó compuest Sedo r * r h r t deduzc l dervd de relco co l dervd de r co respecto t co h? Idccó: Sedo r t t t j z t k ; * r co respecto cómo se * d r r h h j z h k *... d d r dr Aplque regl de l cde e cd compoete compruee que * h' d dt 8

245 Logtud de rco 9 Logtud de u rco de curv Hemos vsto e l prmer prte del curso que s f f so cotus e l logtud del rco de curv f e ese tervlo vee dd por: d f Cosderemos hor u curv suve C : t z t t t r r co t cómo clculmos l logtud de C? Dvdmos el tervlo e sutervlos de logtud medte + putos A = t < t <... < t = B. Uedo co líes rects los sucesvos pres de putos t z t t P t z t t P oteemos u promcó polgol de C. El segmeto rectlíeo P P tee logtud t z t z t t t t P P l logtud de l polgol es: P P S. Por el teorem del vlor medo plcdo ls fucoes t z t t e t t recuerde que supoemos que t r es suve este t t e d c tles que: t t c t t t t d t t t t e z t z t z co lo cul: t t e z d c S t r A B C r r r t

246 Logtud de rco Cosderdo que cudo tede fto l polgol se prom cd vez más l curv. B. LA logtud de C lím S e vrtud de l cotudd de z podemos segurr que dcho límte este es : o se: L t t z t dt B A B LA Oservemos que pr cd t r t dt A z t t z t l logtud de l porcó de curv etre los putos P estrá dd por: t s t r u du Oservcoes: Est fucó st se llm fucó logtud de rco os ocupremos de ell más delte S C es u curv de t : t C L t t dt B A t S C : r r t t t z t t t t t result = r t dt co t represet l trector de u prtícul o se e el stte t l prtícul se ecuetr e el puto t t z t puto fl del vector r t... P t que es el v t r t t s t r u du vector velocdd dstc recorrd por l prtícul lo lrgo de l curv C e el tervlo de tempo t v t s t r t rpdez r ' t = v t v t r t vector celercó C rt O 4

247 Logtud de rco Ejercco t S r rt t j t k descre l poscó de u prtícul e fucó del tempo clcule l dstc recorrd lo lrgo de l trector e el tervlo 4 Ejercco 4 Hlle l logtud de u espr de hélce crculr. t t t Clcule l logtud del rco defdo por r rt e cost e set j e k desde A hst B e e c Idem pr r rt cosht seht j 6t k pr t Fucó logtud de rco Se C u rco suve defdo por r rt t supogmos que A r ; B r. Y hemos dcho que pr cd t s t r' d l logtud de l porcó de curv etre los putos A z P t t z t que es fucó s se llm fucó logtud de rco. t es A rt P B O Qué podemos decr de l fucó s? B. Puede oservrse que s s logtud totl del rco B. L mge de s es el tervlo. s t es u fucó tegrl e cosecuec es dervle s t r' t L A 4. Como s t puede eplcr por qué? s t es estrctmete crecete B podemos frmr etoces que s L A : dmte vers. L A 4

248 Logtud de rco 5. Cuál es l vers? Es u fucó que podemos llmr h que sg cd logtud de rco s u vlor de t. B B : h: L s L A A t s t s s h s t B L fucó h es dervle e sedo Etoces h' s s' t dt ds L A h' s eplque por qué s' t > h es crecete r' t B por lo tto r r h s r * s co s L A descre l msm curv que r rt co t coservdo l oretcó. Coclusó: C r rt t r r * s B s L A Teemos sí l curv prmetrzd e fucó de l logtud de rco. Esto sgfc que l poscó de cd puto P lo lrgo de l msm qued fjd por l dstc recorrd desde el puto cl A hst P medd sore l trector. s P A B r * s O L prmetrzcó de u curv e fucó de l logtud de rco es llmd prmetrzcó turl qué más turl que descrr l poscó e térmos del cmo recorrdo? por ejemplo decr que certo puto es el que está cm del puto cl sí sucesvmete. 4

249 Logtud de rco Serí coveete poder epresr tod curv e fucó de su prámetro turl por lo que veremos más delte pero o sempre es posle. Ejemplo 8 Se r r t cos t set j t crcuferec co cetro e el orge rdo Vmos oteer su prmetrzcó turl: s : s s t r' d r' t se t cos t j r ' t t s s t t d t De s = t despejmos s t reemplzmos e r t r s r r * s s s cos se oteedo: s j d r s s Oservcó: * r ' s se cos j ds * s s es decr r * ' s se cos j pudédose compror por cálculo drecto que r * ' s lo cul es váldo e geerl que sedo r * s = r h s d r ds * dr dt dt d s r t r t o se que r * ' s es el vector tgete utro T. Ejercco 5 Oteg l prmetrzcó turl pr u espr de l hélce crculr. Clcule el vector tgete utro. Ejercco 6 Oteg l prmetrzcó turl de l curv Clcule el vector tgete utro. t t r t e cos t e setj t. 4

250 Logtud de rco Uso de MAPLE Pr grfcr curvs e el espco se puede proceder de l sguete mer: > wthplots: > spcecurve[costst*t]t=-p..*p color = lue thckess=; se otee sí l gráfc de l hélce cu ecucó vectorl prmétrc es rt cost set j t k t Pr grfcr l hélce el cldro que l cotee hcemos: > wthplots: > fg:=spcecurve[costst*t]t=..*p color = lck thckess=: > fg:=mplctplotd^ + ^ = = -.. =-..z=..8: > dspldfgfg; Pr grfcr curvs e el plo podemos proceder como e el sguete ejemplo > mplctplot^/4+^/9==-..=-..; se trt de u elpse cu ecucó está dd e form mplíct S l ecucó de l elpse est dd e form prmétrc: > plot[*st*costt=..*p]; Cmpos vectorles Ddo D ó u cmpo esclr f co domo e D es u fucó que sg cd puto P D u úco úmero rel dcdo f P. L tempertur e u htcó es u cmpo esclr supoedo que l tempertur o vrí co el tempo cd puto z tee u tempertur dgmos Tz que es u úmero rel meddo por ejemplo e grdos cetígrdos. L presó tmosférc sore l terr es tmé u cmpo esclr cd puto geográfco detfcdo co su logtud lttud lttud le correspode u vlor umérco de l presó epresdo por ejemplo e Pscles. Ecotrrá fáclmete muchos otros ejemplos de cmpos esclres pero tmé se que frecuetemete es ecesro recurrr l empleo de vectores pr descrr certos comportmetos /o resultdos. Vemos: Hemos dcho que l dreccó de u curv qued e cd puto defd por el vector tgete que l vrcó del msmo os permte estudr su form. Recordemos tmé que - jo certs codcoes - podemos coocer e qué dreccó se produce l mor rpdez de cmo de u fucó de dos ó tres vrles e u puto ddo. Tl dreccó es l del grdete e ese puto prtculr el módulo del msmo mde l mgtud de ese cmo. E cd 44

251 Cmpos vectorles puto e que el grdete esté defdo teemos l posldd de coocer el comportmeto de tl fucó. Semos que sore todo cuerpo de ms m ctú u fuerz: l fuerz de l grvedd que se represet por medo de u vector de dreccó vertcl hc jo. Tmé l velocdd de u prtícul móvl requere de u vector pr su descrpcó. Podrímos mecor l velocdd del veto e cd puto de l terr l cul se epres o solo co su vlor so co l dreccó e l que sopl el veto o l velocdd de u prtícul de u fludo - líqudo o gs - e movmeto.. Ddo D ó D u cmpo vectorl F co domo e D es u fucó que sg cd puto P D u úco vector dcdo F P. U fucó de tl turlez o puede grfcrse pero podemos terpretr: P D FP E cd puto P D el vector F P es úco. F P dreccó puto puto s o es costte. v cmdo e módulo FP P F P P P FP FP P P 4 FP 4 45

252 Cmpos vectorles 46 Los cmpos vectorles rece deomcoes especles segú l terpretcó físc de los vectores que lo costtue: sí se tee cmpos de fuerzs cmpos de velocddes cmpos eléctrcos etc. Compoetes de u cmpo vectorl S F es u cmpo vectorl defdo e u sucojuto de ó qued detfcdo por medo de tres dos compoetes reles fucoes de tres dos vrles: k z R j z Q z P z F o e j Q P F Slvo dccó eplíct etederemos que el domo D de u cmpo vectorl F es el mor domo posle esto es el mor sucojuto de o e el que está defds tods ls compoetes del cmpo. Ejemplo 9 Cuál es el domo de los sguetes cmpos vectorles? k z j z z z F d j F k z j se se z F cos e j F c k z j z F f j F Pr los cmpos de los csos el mor domo posle es D E c oserve que ls compoetes o está defds e los putos z e los que ==. El mor domo posle es etoces el cojuto / z D es decr todos los putos de meos los que se ecuetr e el eje z. El cmpo vectorl del cso d está defdo los putos de D. Oserve que es éste u cmpo costte cd puto del plo le correspode el msmo vector E e ls compoetes o está defds e los putos e los que ==. El mor domo posle es etoces el cojuto D.

253 Cmpos vectorles E f ls compoetes o está defds e los putos e los que = o =. El mor domo posle es etoces el cojuto D todos los putos de / es decr meos los que se ecuetr e ls rects = e =. Gráfcos de cmpos vectorles No es posle dujr por completo u cmpo vectorl que cost de ftos vectores. E lugr de eso lo que se hce es u esquem gráfco dujdo uos cutos vectores represettvos F plcdos e el puto correspodete. Ejemplo Se F j qué vectores correspode los putos - - -? F j F j F j F j F j F j Los represetmos: Cutos más vectores represetemos mejor será l de que tedremos del cmpo vectorl. Este cmpo es llmdo rdl los vectores se lej del orge e cremet el módulo medd que l dstc l orge es mor. 47

254 Cmpos vectorles F j Ejercco 7 Duje lguos vectores de los sguetes cmpos vectorles. Clcule F comete los resultdos otedos. F j F j c F j d F se j e F z j k f F z z k Corroore sus gráfcs del ejercco teror usdo MAPLE: > wthplots: > feldplot[]=-..=-..color=lue; el comdo feldplot se us pr cmpos e de e poedo etre corchetes ls compoetes del cmpo luego l vrcó >feldplotd[]=-..=-..z=-..color=lue; el comdo feldplotd se us pr cmpos e vrcó de z. poedo etre corchetes ls compoetes del cmpo luego l Cometros: Los cmpos vectorles que descre certos feómeos físcos puede depeder demás de l poscó tmé del tempo. Por ejemplo u cmpo de velocddes de u 48

255 Cmpos vectorles fludo e movmeto descre l velocdd de u prtícul e fucó de ls coordeds del puto por dode ps pero s demás es velocdd se modfc de cuerdo co el stte e que eso ocurre el vector result depedete de t tempo. Los cmpos vectorles depedetes del tempo so llmdos cmpos vectorles estcoros. Ls líes que e cd puto so tgetes l vector cmpo que ps por el msmo puto so llmds líes de cmpo tmé e certos csos prtculres líes de flujo o líes de correte. Ce clrr que el omre de líes de correte es más decudo pr ls trectors descrpts por ls prtículs de u fludo e movmeto dode h depedec del tempo cmpo o estcoro. Pr cmpos estcoros es comú decr líes de cmpo ess trectors pero e tl cso ls líes cocde. Ejercco 8 S F j es el cmpo de velocddes de u prtícul de u fludo e movmeto ecuetre ls trectors seguds por ell líes de cmpo sguedo los psos: Use MAPLE pr grfcr el cmpo vectorl. Teedo e cuet l gráfc puede dcr l form de ls trectors? c S ls ecucoes prmétrcs de u líe de cmpo so = Xt = Yt eplque por qué ests fucoes stsfce ls ecucoes dferecles d d dt dt. d Resuelv ls ecucoes dferecles pr hllr l líe de cmpo que ps por el puto. e Ecuetre l líe de cmpo que ps por el. 49

256 Cmpos vectorles Cmpo grdete Recordemos que s f es u fucó defd e D que dmte dervds prcles e u etoro de P D qued defdo el vector: f f f z P P P j P k f llmdo grdete de f e P. S demás ess dervds so cotus el grdete permte clculr l dervd dreccol e tod dreccó posle. E cd puto P D f P dc l dreccó de mámo crecmeto de f f P ts o rzó de ese mámo crecmeto. Idétc stucó qued defd e. l Ejemplo Se w f z z el vector utro u L dervd dreccol de f z e P - e l dreccó del vector utro u es: D u f f h h f lím h h D u f P u puede clculrse de l sguete mer: por lo tto: D u f f z 6 z f P 6 7 j 8k f P f j 6z k Actvdd 8 E u msmo sstem de coordeds grfque el cmpo grdete de f ls curvs de vel de f. Oserve comete lo otedo. Idccó: Puede usr MAPLE co los comdos que se ecuetr cotucó. > wthllg: > wthplots: > f:=^+^+^/: > g:=grdplot ^+^+^/=-..=-..color=red: > h:=cotourplotf=-..=-..color=lue : > dspl{gh}; 5

257 Cmpos vectorles Propedd: El cmpo f es orml ls curvs de vel de f. Dcho de otr mer: Ls líes de flujo de f so perpedculres ls curvs de vel de f. Fucó potecl Decmos que u cmpo vectorl F es u cmpo grdete e D D ó D s este u cmpo esclr f tl que f P F pr todo puto de D. S eso sucede l fucó f se dce que es u fucó potecl de F e D. Semos cómo costrur el cmpo grdete de u fucó f dd pero ddo u cmpo vectorl F cómo podemos decdr s es u cmpo grdete? Por hor smplemete trtdo de hllr u fucó potecl: S F P Q j se usc f tl que: f f P Q Ejemplo Es F j u cmpo grdete e? f Busquemos f tl que f f Itegrdo co respecto se tee: f d ote que l costte de tegrcó puede depeder de!. f Por lo tto: ' sí que ' de dode f C. Luego F es u cmpo grdete. Puede verfcr que f P F. 5

258 Cmpos vectorles 5 Ejemplo Pr decdr s j F es u cmpo grdete uscmos f tl que f f Al tegrr f co respecto se tee e form smlr l ejemplo teror / d f f Oserve l últm guldd que escrmos: l dervd co respecto de u fucó de result depedete de! Esto ovmete o es posle os permte coclur que o este gu fucó que cumpl f f smultáemete por lo tto el cmpo o es u cmpo grdete. Actvdd 9 U cmpo vectorl k z R j z Q z P z F es u cmpo grdete e D s este u cmpo esclr f tl que e todo D z es: z R z z f z Q z f z P z f U cmpo esclr f que cumpl co ello se dce que es u fucó potecl de F. Pr decdr s k j z F es o o u grdete procederemos como lo hemos hecho e los ejemplos terores: A prtr de z P z f tegrdo co respecto se otee: z d z f

259 Cmpos vectorles f Luego pr que z Q z dee ser f por lo tto lo que sgfc que depede e este cso sólo de z o se: z z f z z f Flmete pr que se cumpl que z R z z f z z z zc podemos coclur que: z f z z es u fucó potecl de F e luego F es u cmpo grdete e - Verfque ustedes que efectvmete sedo f z z result f z j k z. - Decd cotucó procededo como e los ejemplos cuáles de los sguetes cmpos so cmpos grdetes e o F z z cos z z cos z j cos z k F z e cos z e cos z j e sez k c F j d F z z z j k Puede verfcr los resultdos otedos usdo MAPLE como se dc cotucó > g := [* * *z]; > potetlg [z] 'G'; > G; Actvdd De cuerdo co lo formuldo por Isc Newto l mgtud de l fuerz de trccó etre ojetos de ms m m respectvmete está ddo por: F m g d. m dode d es l dstc etre los ojetos g es l costte grvtcol. Est es l fmos le grvtcol costtue u mportte ejemplo de cmpo de fuerzs. 5

260 Cmpos vectorles Supogmos que u ojeto esférco de ms M por ejemplo l Terr tee su cetro e el orge. Se F z l fuerz ejercd por est ms sore u ojeto de ms m studo e u puto P z del espco. Podemos supoer que el ojeto de ms M puede mejrse como u puto ms studo e el orge. M. m S r j z k etoces: F g r F está drgd hc el orge tee l dreccó del vector utro z u r r Pz z O M r m F E cosecuec: M. m F F. u g r r F g. M. m. r r r Les propoemos hor lo sguete: S llmmos c = g.m.m el cmpo vectorl F resultdo de l le del verso del cudrdo puede ser epresdo como: r î ĵ z kˆ F z c. c. r z / Compruee que F es u cmpo grdete hlldo su fucó potecl. Estudo de l vrcó de u cmpo Semos que l vrcó de u fucó se estud por medo de ls dervds prcles /o totles de l msm. Cudo se trt de u cmpo vectorl ls 54

261 Cmpos vectorles 55 dervds prcles de sus compoetes cudo este comds de determds mers está volucrds e el estudo de su comportmeto. Supogmos que ls compoetes de k z R j z Q z P z F ˆ ˆ ˆ dmte dervds prcles co respecto cd u de ls vrles: z R R R z Q Q Q z P P P Se defe u mgtud vectorl u uevo cmpo u mgtud esclr fucó rel de tres vrles de l sguete mer: Se llm dvergec del cmpo R PQ F l fucó esclr: z R Q P F dv sum de ls dervds de P Q R co respecto ls vrles socds ls respectvs dreccoes Se llm rotor ó rotcol de F l cmpo vectorl: kˆ P Q ĵ R z P î z Q R F rot que com pr cd compoete ls vrles compoetes de F socds co el plo perpedculr l versor correspodete. Oservcó: Ests defcoes uque prezc rtrrs o lo so. Iremos descuredo sus mplccs lo lrgo de lo que rest del curso dscutremos terpretcoes físcs cocrets de ells cudo estudemos el Teorem de Stokes el Teorem de Guss. Por hor hremos - e form mu elemetl - lguos cometros relcodos co el estudo de fludos e movmeto que os cercrá estos coceptos.

262 Cmpos vectorles Co respecto l dvergec: Cosderemos u tuo trvés del cul flue gu. V Podemos mgr detro del tuo u superfce cerrd dcd por ls líes de puto. El gu ps trvés de est superfce. El gu etr por u ldo sle por el otro. El líqudo puede crculr e culquer form rregulr; l ctdd que etr dee ser gul l que sle. Se prorá más delte que esto equvle decr que el gu que es compresle que crcul de tl mer que s represetmos su velocdd por el cmpo V l dvergec de V dee ser détcmete ul. Este es el orge de l deomcó dvergec: el gu o puede dvergr de u puto pues dejrí u vcío tmpoco puede covergr u puto pues es compresle. El movmeto del re es dferete. Supogmos u tuo de re comprmdo co cerre e u etremo. U cerre smlr c de ser removdo del otro etremo el re sle hc fuer. V Cosderemos l superfce cerrd señld co líe de putos. Como el re se epde es más el re que sle por u ldo de l superfce que el que etr por el otro. E cosecuec h u dvergec de re. H dvergec dstt de cero e todos los putos e que el re se epde. S l velocdd del re está represetd por el cmpo vectorl V l dvergec del vector V es dstt de cero. Podemos tmé e form reve dr u terpretcó de l dvergec e térmos de su defcó: 56

263 Cmpos vectorles Se V z V z î V z ĵ V z kˆ cmpo de velocddes de u fludo dode supoemos dervles sus compoetes V V V. Cosderemos el puto Pz u prlelepípedo elemetl que prtr de P tee ls rsts prlels los versores fudmetles j k co logtudes z respectvmete. k z P j L ctdd de fludo que etrrá e el prlelepípedo por l cr orml por udd de tempo será: V z.. z es el producto de l compoete e de V por el áre de l seccó de etrd: desplzmeto áre volúme por udd de tempo tempo l ctdd que sldrá por l cr opuest será: V z.. z Etoces V z V z... z represet l vrcó de l ctdd de fludo slete etrte e es dreccó. V Al tomr límte pr se tee... z etre fludo slete etrte. que represet l dferec et 57

264 Cmpos vectorles De gul mer ls dferecs álogs pr ls otrs crs so: V... z V... z z E cosecuec l ctdd de fludo que se h credo e el prlelepípedo elemetl cosderdo es V V V.. z dvv... z z De quí result que: l dvergec de V e el puto P es el cocete etre l ctdd de fludo que se cre por udd de tempo e el volume elemetl correspodete P este volume cudo el msmo tede reducrse l puto P. Nturlmete s dv V es egtv e vez de crerse fludo e P h que eteder que se cosume fludo e ese puto. Se dce que e P h u fuete o u desgüe ó sumdero segú se dv V postv o egtv respectvmete. Qué podemos formrles coloqulmete cerc del rotor? Imge u gr tque crculr coteedo gu l cul h sdo movd co u pl. Los vectores represet l velocdd V. Tque vsto de rr rued de prue Al ldo del tque se muestr u pequeñ rued co plets. S est rued motd sore u mecsmo lre de frccó se sumerge e el cetro del tque grrá e setdo cotrro ls gujs del reloj. E culquer puto que se coloque l ruedt grrá pues uque o esté e el cetro el gu corre ms rápdmete por u ldo de l ruedt que por el otro. El movmeto de l rued está dcdo que el cmpo de velocddes tee u rotor o ulo. El omre rotor está vculdo co el movmeto e líes curvs. S emrgo u movmeto rectlíeo de u fludo puede teer tmé u rotor o ulo. 58

265 Cmpos vectorles Supogmos que el gu flue e u cl e tl form que su velocdd se mor cerc de l superfce que e el fodo. Tod prtícul se mueve sore u rect. Recurredo l ruedt eplordor podemos oservr que grrá e setdo de ls gujs del reloj pues l correte es ms rápd e ls cps superores. Esto sgfc que el rotor o es ulo. Tmé puede drse movmeto curvlíeo co rotor ulo. Supogmos el cl de l fgur dode e l prte rect el gu crcul co velocdd uforme. Es evdete que llí l rued eplordor o grrá. Es posle tmé que e l prte curv el gu crcule co rotor ulo. Cómo es esto? Bueo pr ello es ecesro que el gu crcule co mor velocdd e l mrge ter del cl e l proporcó just. Por cus de l curvtur de ls líes de correte más de l mtd de ls plets de l ruedt eplordor so drgds e el setdo de ls gujs del reloj. L velocdd s emrgo es mor segú supusmos e l orll teror uque se empujds meos e el setdo opuesto rece u mpulso mor. Se puede cocer que l curvtur l vrcó de velocdd esté relcods de tl mer que l ruedt quede s grr. Es posle etoces l estec de movmetos de fludos curvos cuos cmpos de velocddes se de rotor ulo. 59

266 Cmpos vectorles Podemos completr est presetcó eftzdo que l dvergec de u cmpo vectorl es u fucó esclr. H dvergec de u puto o hc u puto postv o egtv pero o h socd este cocepto de lgu de dreccó. El rotor de u cmpo vectorl es u vector. S mgmos el rotor como u torello es evdete que este gr lrededor de u eje que puede ser vertcl horzotl o co culquer clcó. L dreccó de tl eje es por defcó l dreccó del vector que represet l rotor. Refrédoos l ruedt eplordor dremos que cudo está e l poscó e que se mueve más rápdmete su eje está e l dreccó del rotor. Ls compoetes del rotor se ecuetr colocdo el eje de l ruedt prlelo cd uo de los ejes coordedos. El setdo del rotor está determdo por el setdo de rotcó de l ruedt. Se determ de cuerdo co l regl de l mo derech - o torllo derecho -. rot F rot F Pr oteer l dvergec el rotor de u cmpo c solo teemos que plcr l defcó. Ejemplo 4 Se P F ˆ ˆj z kˆ Q dvf z z R z rotf z ˆ ˆj kˆ rotf z ˆ kˆ Uso de MAPLE Los comdos curl dverge devuelve el rotor l dvergec de u cmpo vectorl > wth llg: > c:=curl[****z*+][z]; > d:=dverge[****z*+][z]; 6

267 Cmpos vectorles Operdor l î ĵ kˆ z Es u vector smólco que permte stetzr ls fórmuls del álss vectorl recordr más fáclmete ls msms. Este símolo o tee gú sgfcdo slvo cudo se lo plc u fucó esclr o cmpo vectorl:. Aplcádo u fucó esclr f se otee el grdete: f. El producto esclr etre u cmpo F d l dvergec de F : F dv F. El producto vectorl etre F d el rotor de F : F rot F Ejercco 9 Aplcdo el operdor clcule dvergec rotor de F. F z î ĵ z kˆ F z z î z ĵ kˆ c F z cos î se ĵ kˆ F z e.cos î e.se e F z zî z ĵ kˆ d kˆ ĵ z Ejercco Se f cmpo esclr F cmpo vectorl. Idque cuáles de los sguetes cmpos so esclres vectorles o s sgfcdo. dv f grd f c grd F d dv grd f e rot grd f rot rot F dv dv F h dv rot grd f f g Ejercco Supoedo que ls dervds prcles requerds est se cotus demuestre que: dv F G dv F dv G rot F G rot F rot G c dv f.f f.dv F grd f. F d rot f.f f.rot F grd f F e dv rot F f rot grd f Ejercco L fucó esclr: grd f dv =. f escrt tmé como f se llm 6

268 Cmpos vectorles lplco de f u fucó f que stsfce f se dce que es rmóc. Estos so coceptos mporttes e físc. Pruee que: Ecuetre f rmócs. f f f z f f z pr cd u de ls sguetes fucoes decd cules so z f z z f z z v f z z / Ejercco Grfque el cmpo F î ĵ Es posle el resultdo? Se F î decd que se otee co. Grfque F clcule dv F prevsles? pese e l ruedt de prue. dv F rot F. rot F. So resultdos c Se el cmpo utro F î ĵ ; co dreccó rdl. Grfque compruee que: r ot F.. F dvf / sedo r î ĵ r Oservcó: L presec de u dvergec está socd co l ecesdd de gregr uevs líes f de mteer costte l tesdd del cmpo. Es evdete e este ejemplo que s ls líes prte de cert regó hrá ms líes sledo de es regó que etrdo. Esto sgfc que l dvergec o es ul e es regó. Vemos e este ejemplo que l dvergec umet medd que os cercmos l orge pues es hí dode se org más líes de correte. L ecucó * os dce cutttvmete que l dvergec es versmete proporcol r umet defdmete l cercros l orge. e S F P î Q ĵ f Se F î ĵ cmpo e el plo. Qué resultdo rroj rot F? hg u esquem clcule dv F rot F. 6

269 Itegrl de líe Itegrl de líe El cocepto de tegrl de líe es u geerlzcó turl de l tegrl defd. El proceso que coduce su formulcó se utre de ls tres etps mecods: dvdr promr tegrr. U fucó de dos o tres vrles defd e u curv reemplz l fucó de u vrle defd e u tervlo. Se etoces: - C rco de curv suve de etremos A B que co vlores crecetes del prámetro se recorre desde A hc B. - f P fucó rel defd cotd e cd puto de C. B P = fp f C A R Qué puede represetr u fucó de este tpo? S f P e C f podrí ser l fucó desdd lel de ms que dstrue lo lrgo de u hlo metálco represetdo por C ms por udd de logtud. Se cosder u prtcó del rco C por medo de u úmero fto de putos. A Po P P...P pudedo sí formrse su-rcos: P...P B P P co logtudes S... S P - P B A 6

270 Itegrl de líe Se deom orm de l prtcó se smolz l mámo de los S... má S /.. * * Se elge rtrrmete P P P se clcul f P. S se sum los resultdos J f P. S * P * P S P - L tegrl de líe o tegrl curvlíe de f lo lrgo de l curv C es el límte de J pr sempre que ese límte est o deped de ls prtcoes * cosderds de l eleccó de los putos P. B A C f P ds lím J s lím J I depedetemete de ls prtcoes defds de l eleccó de los putos * P Notcó: B f ds e A C B A C f z ds e B o smplemete A C f ds Pregut: S f P supoemos que represet desdd lel de ms qué B sgfcdo tee f ds? A C Cálculo de l tegrl de líe E fucó del prámetro logtud de rco Supogmos que l curv suve está dd por su represetcó turl : es decr e B fucó del prámetro logtud de rco: C : r rs s L A que f es cotu e C. 64

271 Itegrl de líe f A O B B Tomr + putos de dvsó e el rco AB equvle tomr u prtcó e : s s... s s s... s formádose sí sutervlos s s de logtud S cd sutervlo s represet el rco P P rectfcdo. Cd puto P C es etremo de u vector r s etoces los P * elegdos e cd P P provee de certo s * s s. L B A L A s E cosecuec: J f P *. S f r s *. S o e: J f r s *. S g f r es l composcó de l fucó vectorl r co l fucó cotu f es B decr es u fucó tmé cotu por qué? defd e vlores reles L A se tee luego lím f J P B A C L B A L B A r s ds = f s s z s ds f r s f z ds L B A ds Esto sgfc que pr oteer el resultdo de l tegrl de líe dee tegrrse co B respecto l rco -como vrle- e el tervlo l fucó evlud e cd puto de C. L A 65

272 Itegrl de líe Cálculo e fucó de u prámetro t Ahor e e geerl tod curv está dd e fucó de u prámetro t. S e semos - recuerd?- cmr l prámetro logtud de rco esto sgfcrí u dole tre. Cómo podemos clculr l tegrl e fucó de t? Smplemete hcedo u cmo de vrle e l tegrl. B h L A B r r * s r h s ; s S C: r r t t etoces: C: : es l fucó cmo de prámetro por lo tto: L A B B L A h L A f f r t. r' t r h s ds f r t. s' t dt h dt Coclusó: B f P ds A C f r t.r' t dt Ejemplo 5 Evlur C ds sedo C el segmeto de rect = e el plo compreddo etre los putos A- - B. Psos segur: Recoocer l fucó como f Prmetrzr el segmeto: C t t C : r r t t t j co t c Evlur f e C: 4 f rt t. t 8t : co t d Hllr r ' t : r' t î ĵ r' t 5 e Armr l tegrl clculr: I 4 8t. 5 dt 8 5 t 4 dt 8 5 t

273 Itegrl de líe Propeddes de c f ds : dedo que el cálculo de est tegrl se reduce clculr u tegrl defd de vrle t so válds tods ls propeddes coocds: k f ds k f ds C f gds f ds g ds C c f ds f ds f ds C C C C C C C C Oservcoes: Tod trector C se supodrá suve o suve trozos uó ft de rcos suves. S l trector de tegrcó es u curv cerrd l otcó usul es C f ds. Ejercco 4 Evlue C ds Sore l trector: = desde hst. Sore l trector: = desde hst 6. c Sore el eje desde hst cotucó prlelo l eje desde hst. d Sore el eje desde hst cotucó prlelo l eje desde hst. e A lo lrgo de l crcuferec desde hst e setdo thorro. f A lo lrgo de l crcuferec desde hst co setdo horro. g A lo lrgo de l crcuferec 4 desde hst e setdo thorro. 67

274 Itegrl de líe Ejercco 5 Evlúe.e ds sedo C segmeto de rect desde -. C t 9zds sedo C : t ; t C z t 4cos t c z ds sedo C : 4se t ; t C z t Ejercco 6 Se f = Se C : rco de práol B desde A hst B4. Clcule: C B Se C el segmeto que ue esos dos putos. Clcule: ds A C c Se C el rco de práol ds A desde B4 hst A. Clcule: A ds B C Oserve! º Segú los resultdos de puede ferr que l tegrl depede de l trector segud ú cudo los putos etremos cocd. º De cuerdo co los resultdos otedos e c crí decr que el resultdo de l tegrl o depede de l oretcó dd l curv. Clro que podrí trtrse de u csuldd pero o es sí. L tegrl se resuelve co respecto l logtud de rco e cosecuec o teres desde que puto etremo del rco comez medrse ls logtudes sempre que se de co vlores crecetes de prámetro. Dos oretcoes uque opuests etre s oteds co prámetros crecetes produce rcos crecetes s mportr cuál es el puto cl. 68

275 Itegrl de líe Est coclusó que podrí descrrse como vrc de l tegrl de líe te u cmo de prámetro puede justfcrse lo hremos cotucó. Le recomedmos su lectur. Se C : r rt t curv suve co r A Se h : fucó cmo de prámetro * * C : r r r h r B C C* dfere lo sumo e l oretcó segú se h' o h' coserv o se verte respectvmete l oretcó se A h r r t = r B O t r * S f es u fucó cotu se tee: Como r * r h r * r' h.h' C * f z ds * * f r r ' d Etoces: C* f z ds f r h r h h d * Sedo h t se tee h' d dt correspode lzr dos csos: S h' h crecete por lo tto h ; h l oretcó de C C * es l msm. E ese cso h' h result: * f rt r t dt f z ds C 69

276 Itegrl de líe S h' h decrecete por lo tto h ; h C * C tee oretcoes opuests. E ese cso h' h result: * - f rt r' t dt f rt r' t dt fz ds C Vmos estlecer u covecó: Sedo C l curv que está represetd por u ecucó r rt t su oretcó l defd por los vlores crecetes de t llmremos - C l msm curv sucete que co vlores crecetes del prámetro e u represetcó r r * tee u oretcó opuest l dd por t. De cuerdo lo epuesto terormete: C f ds -C f ds Coclumos l presetcó de l tegrl de líe de u fucó esclr rel f co l sguete pregut: S f es fucó de dos vrles z = f C curv e el plo qué sgfcdo geométrco puede teer C f ds? z gráfc de f C curv Pst: terprete f r t e el gráfco. 7

277 Itegrl de líe Ejercco 7 Clcule el áre de l superfce que se etede desde l curv dd hst l superfce dd: Sore el segmeto de rect que v de - hst l superfce z 4. Sore l elpse 4 4 hst el plo z 4 sólo pltee l tegrl c Sore el segmeto de rect que v desde - hst l superfce z. Itegrl de líe de u cmpo vectorl Se C rco suve oretdo co vlores crecetes del prámetro desde A hc B F cmpo vectorl defdo e cd puto de C co compoetes cotus. F T B A L que llmremos tegrl de líe del cmpo vectorl F lo lrgo de l curv C es l tegrl de l compoete tgecl del cmpo lo lrgo de C o se l tegrl: B F Tds A C F T es u fucó esclr rel defd e cd puto de C es l proeccó de F e l dreccó de T vector tgete. Como T defe l dreccó de l curv se suele decr que F T es l proeccó de F e dreccó de C e cosecuec l tegrl de líe de es fucó lo lrgo de l trector C se dce -por uso de leguje- tegrl de F lo lrgo de C. 7

278 Itegrl de líe Sgfcdo de F Tds C S F es u cmpo de fuerzs f F T l tomr u puto rtrro P * e cd * * su-rco P P clculr f P. S F T P S se tee el trjo relzdo por l compoete tgecl de F lo lrgo del rco de logtud S. F T P * P P - F T P. S * w * Etoces l sumr: w F T P. S se tee u promcó del trjo que relz el cmpo l mover u ojeto desde A hst B lo lrgo de l trector C. B Luego e el límte: w F Tds A C Trjo totl Oservcó: S l curv es cerrd A B l tegrl se dce crculcó se deot F Tds C A B T F Est deomcó tee más setdo cudo el cmpo es u cmpo de velocddes de u fludo. 7

279 Itegrl de líe B Cálculo de F Tds A C S C: r rt t F B A C dode: rt F Tds F F T rt r' t dt Frt Trt r' t dt r' t r' t r t r' t dt : es el cmpo evludo e cd puto de C. F r t r' t dt r ' t : es el vector que defe l dreccó tgete C e cd puto de cuerdo co l dreccó elegd e C co los vlores crecetes de t. Ejemplo 6 Clculremos el trjo relzdo por F z ˆ z ˆj z kˆ pr trsportr u prtícul lo lrgo de C : r r t t ˆ t ˆj t kˆ ; t desde A r hst B r. F 4 rt t.t î t t ĵ t t kˆ t î t 4 t 5 ĵ z se reemplzro por t t zt compoetes del vector r t r' t î t ĵ kˆ F rt.r' t t t.t t t Luego: t. t t t t 4t t 4t kˆ 4t 6 t 5 t 4t t 6 5 Por lo tto: w 4t t t 4t tdt 4 4 t t 7 6 t 6 4 t 4 t Notcoes ltertvs B El cálculo de F Tds por medo de Frt.r' t dt sugere: A C 7

280 Itegrl de líe Llmr dr r' t dt doptr como otcó posle: F dr. C Sedo F PQ R r' t t t zt Se tee que Frt r' t Prt' t Qrt ' t Rrtz' t sedo ' t dt d ' t dt d z' t dt dz el cálculo de l tegrl sugere l otcó: C F Tds C P d Q d R dz Como T es u vector utro sus compoetes so sus coseos drectores: T cos cos cos recuerd por qué es sí? Etoces e vrtud del resultdo del producto esclr F T otr otcó sugerd es: C F Tds P cos Q cos R cos ds C Pero dee teer e cuet que culquer se l otcó empled el cálculo efectvo requere coocer el cmpo l curv los putos etremos pr poder tegrr el resultdo que se otee del producto esclr etre el cmpo evludo sore l curv co el vector que d l dreccó tgete l curv etre los lmtes que correspode los vlores del prámetro que detfc los putos etremos del rco. Oservcó mportte! Hemos vsto que f F T ds C C F T ds C ds C f ds. Nos pregutmos hor qué relcó h etre E prcpo podrímos decr que sedo F T u fucó esclr su tegrl lo lrgo de C o cm culquer se l oretcó de C sempre que se oteg co vlores crecetes del prámetro culquer se l represetcó dd. 74

281 Itegrl de líe Pero ocurre lo sguete: los vectores tgetes correspodetes C -C so... OPUESTOS! por cosguete el sgo del producto esclr F T cm F T * C -C T B A es decr ls fucoes que se tegr co u otr represetcó so opuests etre s resultdo: -C F Tds C F Tds Este resultdo o cotrdce l propedd de vrc de l tegrl de líe frete cmos de prámetro lo que ocurre es que l compoete de F e l dreccó tgete cm de sgo l tomr dreccoes opuests sore l msm trector ls fucoes tegrr sedo opuests etre s rroj resultdos opuestos. Ordedo resultdos covecoes hechs terormete podemos estlecer: C : recorrd co vlores crecetes de u prámetro t. C curv - C : recorrd co vlores crecetes de u prámetro pero co oretcó opuest l dd por t. Etoces s f es u cmpo esclr F es u cmpo vectorl: f ds f ds F Tds C -C C -C F Tds 75

282 Itegrl de líe B Pregut: Supog que tee que clculr F Tds A C.El cálculo sempre requere u prmetrzcó que co vlores crecetes del prámetro v desde A hc B pero les result más fácl oteer u prmetrzcó que co vlores crecetes del prámetro v de B hc A qué hce etoces? Ejercco 8 Clcule el trjo relzdo por F lo lrgo de C: F C segmeto de rect desde A hst B54. F C segmeto de rect desde A4 hst B4. c F C es el cudrdo que v de. d F z z C segmeto que v desde A hst B4. F z z e hst. C es el curto de elpse rt cos t se t que v desde Ejercco 9 Clcule C d d z dz lo lrgo de: el eje desde - hst. l práol c l práol cúc ; z = desde hst. z e el plo = desde hst. Ejercco Clcule cos cos z cos ds lo lrgo de u espr de hélce: C rt cos t î se t ĵ 4t kˆ. Cuál es el trjo efectudo por l fuerz F z î z ĵ kˆ e el desplzmeto lo lrgo de l trector cerrd C formd por los segmetos C : desde hst ; C : desde hst C : desde hst?. Compruee que: w 76

283 Teorem de Gree Teorem de Gree George Gree: Seto 79- d. 84 Mtemátco rtáco. Llevó co dversos trjos sore dámc de fludos sore ls fuerzs de trccó e prtculr sore l plccó del álss mtemátco l estudo del electromgetsmo. Brevemete les cometmos que el teorem que estudremos relco u tegrl de líe de l compoete tgecl de u cmpo sore u trector cerrd crculcó del cmpo lo lrgo de l trector co u tegrl dole. Teorem de Gree S C es u curv e el plo cerrd smple suve trozos co oretcó thorr R es l regó del plo cu froter es l curv C F M N j es u cmpo vectorl cus compoetes tee dervds prcles cotus e u domo erto D que cotee C R etoces C F. dr R N M da * Revsemos ls hpótess del teorem:. Recordemos que u curv del plo C : r t t t j ; t es cerrd s sus putos cl fl cocde es decr r r es smple s o r t r t t t t t. se cort sí msm o se. Además C es suve trozos s slvo pr u úmero fto de vlores de t r t cotu t ecepto e u úmero fto de putos dmte vector tgete r éste vrí co cotudd.. Como C está oretd e setdo thorro l regó R lmtd por C qued l recorrer l curv l zquerd de l msm. es D R C 77

284 Teorem de Gree. Oservemos que s ls compoetes M N del cmpo vectorl F tee dervds prcles cotus e el erto D que cotee R l curv C M N cotus e D por lo tto ls dos tegrles de * tee setdo. so Aplccoes del Teorem de Gree. Cálculo de l crculcó de u cmpo por medo de u tegrl dole. L guldd de Gree e prcpo srve pr clculr l crculcó de u cmpo por medo de u tegrl dole co l vetj de o teer que prmetrzr l trector cerrd propuest. Ejemplo 7 Usr el teorem de Gree pr reescrr evlur d d dode C está formd por el segmeto de rect que v desde hst segudo del segmeto de rect que v desde hst 4 segudo por l porcó de práol que v desde 4 hst. C Grfque C oserve que es u curv cerrd smple suve trozos que está oretd e setdo thorro. Por otr prte M N dmte prmers dervds prcles cotus e todo. Se verfc etoces e este cso ls hpótess del teorem de Gree por lo tto podemos frmr que sedo R l regó ecerrd por C es: C d d R N M da da R Ejemplo 8 Usr el teorem de Gree pr reescrr evlur C e d 7 se d dode C es l crcuferec de rdo cetrd e 5 oretd e setdo horro. 78

285 Teorem de Gree Oserve que s - C es l msm crcuferec pero recorrd e setdo thorro - C F e 7 se está e ls codcoes del teorem de Gree. E efecto - C es cerrd smple suve co oretcó thorr ls compoetes de F tee dervds prcles cotus e. Por lo tto sedo R l regó ecerrd por - C M N 7 se se cumple que: e C e d 7 se d R N M da R 7 da 4 R da 4 áre R Así coclumos que C e d 7 se d 6. Cálculo del áre de u regó pl por medo de u tegrl de líe L guldd de Gree tee u plccó geométrc mportte: clculr el áre de u regó pl por medo de u tegrl de líe. Oservemos que e l guldd del teorem de Gree R N M da C Md Nd l tegrl dole represet el áre de R sempre que N M Cuádo puede ocurrr eso? H múltples poslddes pr M N u podrí ser: M N M N sí defds tee dervds prcles cotus e se verfc N M Por lo tto s l curv C que costtue l froter de l regó R está e ls codcoes del teorem de Gree se tee: áre R C d d 79

286 Teorem de Gree Ejemplo 9 Hllr el áre de l regó ecerrd por l elpse C : r t cos t set ; t represetcó vectorl de l elpse Se C es cerrd smple suve co oretcó thorr. Se tee etoces que sedo R l regó lmtd por l elpse áre R d d set cos t set cos t dt dt C Demostrcó del teorem de Gree pr el cso prtculr e que R puede cosderrse como regó del tpo I como regó del tpo II Supoemos que R / g g que tmé R / c d h h Como F d r M dr N C guldd * strá co compror M d da C C dr = C Md Nd pr demostrr l M N N d da C R C C R Pr compror cosderemos C C C dode t : g t C t t : g C t t C =g C =g C M d C M d C M d Mtg t dt Mtg t dt 8

287 Teorem de Gree Por otro ldo R M da g g M d d M t g M g M g d M t g t dt t dt Co lo que qued demostrd l vldez de. L guldd se demuestr de mer smlr cosderdo hor C C C ~ ~ dode ~ h t C : t t c d C h t : t ~ t d c ~ C = h = h ~ C Notcó vectorl del teorem de Gree Sedo F M N j N M se tee que rot F k N M rot F k compoete e k de Etoces l guldd del Teorem de Gree puede escrrse: C F dr R rot F k da rot F Ates de comezr resolver los ejerccos les propoemos que le complete lo sguete: El Teorem de Gree dce que jo determds codcoes sucede que F dr rot F k da * C R 8

288 Teorem de Gree Ess codcoes so ls hpótess del teorem Cuáles so?. C es u curv co oretcó.... R es l regó.... Ls compoetes del cmpo vectorl F so e u sucojuto D de que cotee R C Evlur u tegrl del tpo F dr C plcdo el Teorem de Gree sgfc hllr su vlor resolvedo l tegrl dole del memro derecho de l guldd *. Pero tecó! Pr poder hcerlo hrá que mostrr que ls codcoes... se cumple e el cso prtculr que estemos trtdo verfcádols u por u. Oserve que pr hcer es verfccó tedrá que: revsr ls crcterístcs de l curv C dd ; dcr qué regó del plo represet l letr R ehr s es que este u cojuto D de putos del plo que coteg R C e el cul ls compoetes del cmpo vectorl F se dervles co cotudd. Les cosejmos que comece sempre determdo el mor domo e el que ls compoetes del cmpo vectorl dmte dervds prcles cotus grfcdo l curv C S lgu de ls codcoes mecods o se cumple o se puede segurr que l guldd se verdder s F es tegrle lo lrgo de C queremos hllr el vlor de F dr hrá que resolver l tegrl de líe e form drect como C semos hcerlo prmetrzr l curv C etc etc. Ejercco Sempre que se posle evlúe plcdo el teorem de Gree ls sguetes tegrles: d d ; C : e setdo cotrro ls gujs del reloj. C 8

289 Teorem de Gree d d ; C : 4 co setdo horro. C c d d ; C es el cudrdo que v de C hst. d F. dr ; F C oretcó thorr. e F. dr ; F e e C oretcó thorr. f F. dr ; F sec tg 4 C oretcó thorr. C formd por e co C formd por e 4 co ; C formd por ; co Ejercco Ve s ls hpótess del teorem de Gree se verfc sedo F 4tg C el rco de que v desde - segudo por el rco de que v de -. Ejercco Por medo de u tegrl de líe clcule el áre de l regó lmtd por: l elpse 4 6 e 4 c e d l curv prmetrzdo co cos t ; se t Ejercco 4 Se C l froter de u regó e l que el Teorem de Gree es váldo. Use dcho teorem pr clculr f d g d k d h d co h k costtes. C C Ejercco 5 Demuestre que el vlor de d d lrededor de culquer cudrdo 8

290 Teorem de Gree sólo depede del áre del cudrdo o de su loclzcó e el plo. Ejercco 6 Evlúe plcdo plcdo el Teorem de Gree d d sedo C l froter de l regó R / se C Ejercco 7 Sedo C: 4 evlúe 6 d d plcdo el Teorem de Gree. C Ejercco 8 S f stsfce l ecucó de Lplce supoedo tods ls dervds que se f f ecesrs cotus compruee que d d pr tod curv cerrd C pr l que se váldo el teorem de Gree. C Ejercco 9 Clcule el trjo relzdo por F 4 pr mover u prtícul e setdo thorro u vez lrededor de l curv C froter de l regó e el prmer cudrte lmtd por el eje l rect l curv. Ejercco Clcule el trjo relzdo por F 4 4 pr mover u prtícul e setdo thorro u vez lrededor de l curv C: 4 Ejercco Puede plcrse el Teorem de Gree pr clculr C d d sedo C: co oretcó thorr? s C: Justfque sus respuests. Evlúe l tegrl e mos csos.? 84

291 Teorem de Gree Geerlzcó del teorem de Gree Cosderemos u regó ulr R lmtd por dos curvs cerrds C C Supog que ls compoetes del cmpo F tee dervds prcles cotus e u domo erto D que cotee R C C R C C froter de R = C C Oretds C C como dc l fgur sguete cosderdo ls curvs ulres l regó R puede verse como l regó lmtd por C = C C R C C Aplcdo el Teorem de Gree se tee: N M da. F dr R C F. dr C F. dr F. dr de llí R N M da F.dr C C F.dr N M E el cso prtculr de ser rot F o se se tee como corolro de lo teror que: F. dr F. dr C C F. dr - C C F. dr oserve que C - C tee l msm oretcó C F. dr 85

292 Teorem de Gree A prtr de lo teror Supog que ls compoetes de certo cpo F tee dervds prcles cotus e D P sedo P u puto de dscotudd que rot F e todo puto de D cosdere curvs C C como ls de l fgur sguete: C P C C F. dr o puede clculrse plcdo el teorem de Gree por qué?. Por l msm rzó el teorem de Gree o puede plcrse pr clculr F. dr. S emrgo de cuerdo lo que hemos vsto h lgo que podemos frmr cerc de ess dos tegrles: ms tee el msmo resultdo sempre que ls curvs esté oretds e el msmo setdo. Así que puestos clculr podrímos elegr hcerlo sore l curv pr l cul l tegrcó resulte más secll. C Ejercco El teorem de Gree tmé se geerlz regoes co tres curvs froter como l que muestr el dujo resultdo e ese cso s F M N R N M da C F. dr C F. dr C F. dr R C C C Cuáles so ls hpótess que se requere e este cso pr que dch guldd se cumpl? qué dee cumplr el cmpo vectorl F? cómo dee estr oretds ls curvs? 86

293 Teorem de Gree Ejercco Se F M N j M N co dervds prcles cotus e D rot F Qué puede decr de F. dr pr cd curv C que prece e el sguete dujo? Orete ls curvs decudmete Justfque sus frmcoes. C Ejercco 4 Sedo C l curv suve que muestr l fgur sguete evlúe: d d d d C C C - - Cmpos coservtvos e depedec del cmo Y hemos cometdo que el grdete de u cmpo esclr f defe u cmpo vectorl. S F es u cmpo grdete esto es s coservtvo que f es u fucó potecl de F. F f decmos que F es u cmpo 87

294 Cmpos coservtvos e depedec del cmo Ejemplos de cmpos coservtvos o cmpos grdetes so el cmpo grvttoro el cmpo eléctrco. L prmer pregut que surge es: ddo u cmpo vectorl F este u cmpo esclr f tl que se cumple F f? L respuest es "o sempre". Pr ser s u cmpo F es u cmpo coservtvo hemos usdo u procedmeto de úsqued costruccó de l fucó potecl f lo recuerd? pero... se puede ecotrr lgú crtero que permt determr rápdmete s el cmpo es coservtvo o o? Les deltmos que s. Sedo D u sucojuto erto de oservemos e prcpo que I. S F es coservtvo e D F M N co M N dervles co cotudd e D se tee: Este f fucó esclr tl que f M ; f N rotf f j f k z f f k Como M N so dervles co cotudd etoces rot F e D f f lo dcho es váldo tmé pr cmpos vectorles e Se tee sí jo certs hpótess u codcó ecesr pr que u cmpo vectorl se coservtvo: S F es coservtvo e D ls compoetes de F tee dervds prcles cotus e D etoces rot F e D. 88

295 Cmpos coservtvos e depedec del cmo Actvdd Clcule d d sedo C el segmeto de rect desde hst C Clcule l tegrl de líe del msmo cmpo vectorl lo lrgo del segmeto de rect desde hst segudo del segmeto de rect desde hst. c Clcule l tegrl de líe del msmo cmpo vectorl lo lrgo de lgu otr curv propógl Ud. que v desde hst.... Hrá oservdo que los resultdos terores so todos gules. No es csuldd! d d es u ejemplo de tegrl cuo resultdo depede sólo de los putos C etremos de C o de l curv C s A B so dos putos de C C so dos curvs que v desde A hst B etoces C d d C d d. Decmos que d d es depedete del cmo. C Compruee que el cmpo vectorl F cu tegrl lo lrgo de dferetes curvs clculó es u cmpo grdete f es u fucó potecl Tedrá esto lgo que ver co el hecho de que depedete del cmo? Vemos: d d se C II. Supogmos que F M N este u fucó esclr f tl que es coservtvo e D. Esto sgfc que f F e todo puto de D. O se: M f f N. Supogmos tmé que M N so cotus e D. Se C u curv suve co puto cl A puto fl B. S r rt t es u prmetrzcó de C I F. dr F r t. r ' t dt dode por hpótess f F. C 89

296 Cmpos coservtvos e depedec del cmo I f r t. r' t dt Oservemos que s gt = f r t f r t. r' t es l epresó vectorl de l dervd de g respecto de t. O se: g t = f r t. r' t. Pr recordr... S w = f s = t; = t sedo f dferecle t tdervles etoces l fucó compuest g t f t t f r t es dervle co respecto t se verfc : f g' t t t ' t f tt ' t lo que puede revrse como producto esclr: g t f r t r' t De modo que result: I g' t dt g t g g f r f r f B f A f f Por lo tto: S F co compoetes cotus es coservtvo e D etoces el resultdo de l B tegrl Fdr A C depede sólo del vlor de l fucó potecl del cmpo e los putos etremos de l curv o de l curv msm. Oservcó: El resultdo teror que es váldo tmé e es summete mportte pues d u codcó sufcete pr l depedec del cmo que el cálculo se reduce prescdedo de l curv evlur l fucó potecl e el etremo B restrle el vlor que tom e A. Se lo cooce como Teorem fudmetl pr tegrles de líe Qué les recuerd? Segurmete está pesdo e l Regl de Brrow l fucó potecl f podrí terpretrse como u espece de prmtv del cmpo F. 9

297 Cmpos coservtvos e depedec del cmo U terpretcó físc: S F es u cmpo de fuerzs coservtvo etoces el trjo relzdo pr desplzr u prtícul etre dos putos es depedete de l trector sólo depede del puto cl del puto fl. E los sguetes ejemplos veremos cómo podemos hcer uso del Teorem fudmetl pr tegrles de líe. Ejemplo Pror que d d es depedete del cmo e C D clculr el vlor de l tegrl lo lrgo de culquer curv desde hst. F es u cmpo vectorl cotuo e. Vemos que es coservtvo. f f Pr ello uscmos u fucó f tl que. f Pr que dee ser f d h f Buscmos hor h de mer que se verfque que. Pr que eso suced d h dee ser h por lo tto d F h C es coservtvo f es u fucó potecl de dcho cmpo. S C es culquer curv suve trozos que v desde hst e vrtud del teorem es: C d d f f Ejemplo Pr pror que el cmpo F z 4 e z cos e z es coservtvo e usquemos f z tl que f f f F z f z z z z z 9

298 Cmpos coservtvos e depedec del cmo Pr ello dee ser: f 4 f g z z cos z e z z de dode f z 4 e d e g z por lo tto g z cos d se h z z f f z e se h z como z dee ser gul z se tee que z e h z e z z e Por lo tto h z etoces h z es u costte. f z e z se es u fucó potecl pr F F z 4 e z cos e z es u cmpo coservtvo. Ejercco 5 Demuestre que l tegrl de líe es depedete de l trector e evlúe l tegrl. d d ; C desde C D d 4 d ; C desde - C 4 c e d e d 4 d z d d zdz e cos z d z d se z dz III. Ce pregutrse e este mometo s sólo pr u cmpo coservtvo F l tegrl B F d r es depedete del cmo. L respuest es s. A C 9

299 Cmpos coservtvos e depedec del cmo Supoedo que F d r C es depedete del cmo e u domo coeo D que D se coeo sgfc que pr todo pr de putos e D este u curv suve C D que u esos putos que ls compoetes de F se cotus e D puede prorse o lo hremos que f F d r co D es u fucó potecl de F e D o se f M f N coeo o coeo coeo Se tee etoces: S ls compoetes de F so cotus e el cojuto coeo D F d r C es depedete del cmo e D sí sólo sí F es coservtvo e D. H todví más pr decr sore cmpos coservtvos e depedec del cmo. IV. Supogmos hor que F es coservtvo e D que C es cerrd suve trozos coted e D. S f es u fucó potecl de F etoces F d r f B f A dode A es el puto cl de C B es el puto fl de C. C Pero sedo C cerrd es A = B co lo cul se tee que F d r. Recíprocmete s F d r C ms co puto cl A puto fl B se tee: pr tod curv cerrd C dds dos curvs C C C 9

300 Cmpos coservtvos e depedec del cmo F dr F dr F d r C C C C F d r porque C - C es cerrd de dode se deduce que F d r C C F d r o se que l tegrl F dr C es depedete del cmo. D C B A C Segumos est ltur s cotr co u crtero que os permt decdr de mer rápd s u cmpo vectorl es coservtvo. Es certo que podemos clculr el rotor del cmpo s vemos que o es ulo estremos e codcoes de frmr que el cmpo o es coservtvo s el rotor del cmpo es ulo? V. Recuerd l guldd C F.dr = R rot F k da? Es l guldd del teorem de Gree. Qué codcoes dee cumplr F C D pr que podmos plcrl? Bueo supoedo que ls compoetes de F teg prmers dervds prcles cotus e D que D se u cojuto coeo tl que tod curv cerrd C D ecerr sólo putos que está e D cudo eso se cumple decmos: D es u cojuto smplemete coeo que rot F e D plcdo l guldd de Gree teemos C F dr. rot F k da R o se que pr tod curv cerrd C D es F.dr F dr es depedete del cmo el cmpo F es coservtvo. C C por lo tto l tegrl 94

301 Cmpos coservtvos e depedec del cmo smplemete coeo o smplemete coeo Coclusó mportte!!!! Sedo F u cmpo vectorl cus compoetes tee prmers dervds prcles cotus e u cojuto D smplemete coeo s gujeros cotedo e rot F B e D s sólo s A F dr. es depedete del cmo e D B Relcodo co los resultdos terores F. dr f B f A fucó potecl de F A dode f es u Oservcó: Veremos más delte que u resultdo smlr es váldo e Eucmos cotucó u Teorem dode se resume los resultdos vstos: Teorem Se F M N M N co dervds prcles cotus e u cojuto erto frmcoes: smplemete coeo D. Etoces so equvletes ls sguetes F es coservtvo e D B F d r A es depedete del cmo que ue A co B e D B sedo F.dr f B f A A dode f es u fucó potecl de F F d r pr tod curv C cerrd suve trozos coted e D. C 4 rotf e D 95

302 Cmpos coservtvos e depedec del cmo S F represet u cmpo de fuerzs.... F es coservtvo s sólo s el trjo relzdo pr desplzr u prtícul etre dos putos es depedete de l trector sólo depede del puto cl del puto fl C F. dr C F. dr s C C tee los msmos etremos. F es coservtvo s sólo s el trjo que relz el cmpo sguedo u trector cerrd es cero C F dr. F es coservtvo s sólo s el rotcol de ese cmpo vectorl e todos los putos es ulo rot F F.Y más mportte ú!! ; F es coservtvo s sólo s podemos ecotrr u fucó esclr llmd de eergí potecl cuo grdete se F. tl que el trjo que relz F sore u móvl etre dos putos culesquer es gul l vrcó de es fucó esclr etre esos dos putos. F = B f ; F dr. = fb fa A Actvdd Verfque que sedo C : co oretcó thorr F j result C F dr Es F u cmpo coservtvo e? c Clcule rot F qué oserv? se cotrdce esto co los resultdos vstos? 96

303 Cmpos coservtvos e depedec del cmo Ejercco 6 Evlúe ls tegrles C váldo. F F. dr Ates de clculr trte de plcr lgú resultdo teórco dode C es u semcrcuferec que v desde F z z z dode C es u curv que v de 5 c F dode C : d F dode C : 4 e F dode C : 4 f Compre los resultdos otedos e c d e. Qué oserv? Ejercco 7 Cosdere el cmpo vectorl F j. Grfíquelo Ecuetre tres trectors C C C dstts de P Q- tles que F. dr F. dr F. dr C c F es u cmpo grdete? C C Ejercco 8 Supog que u prtícul sometd u fuerz F j se mueve e el setdo de ls gujs del reloj lo lrgo de l práol de - lo lrgo de l rect de -. Ecuetre el trjo relzdo. Ejercco 9 Supog que C es el trágulo co vértces e 4 4 F j Cuáto vle F. dr? El cmpo es coservtvo? C 97

304 Autoevlucoes Autoevlucó Curvs. Cómo descre u curv e el plo e fucó de u prámetro? e el espco?. Este u úc form de prmetrzr u curv? Justfque.. Qué descre l fucó vectorl prmétrc r t t t j z t k ; t 4. Cuál es el prámetro decudo pr curvs cerrds? pr otro tpo de curvs? 5. Alce s ls sguetes ecucoes represet l msm curv: r t cos t set j cos tk ; t z cos t se t t z cos t 6. Pr l curv C represetd por r t cos t set j k oteg ls ecucoes prmétrcs ls crtess. t 7. Cómo cm l oretcó de u curv C represetd por r t co t? 8. Def el vector tgete utro T e u puto P de u curv C. Cuál es l dreccó que tee T? Cuádo se dce que u curv C es suve?? 9. Cómo clcul l logtud de u curv?. A qué se llm fucó logtud de rco?. Qué se etede por prmetrzcó turl de u curv? Cómo se otee?. Use l fucó celercó t j k v r pr ecotrr ls fucoes velocdd poscó. Clculr l poscó e t =.. Hlle el vector velocdd l velocdd sttáe co que se mueve u prtícul sore u crcuferec de rdo descrt por r t cos wt se wt j dode w es l velocdd gulr costte. Compruee que el vector velocdd es ortogol l vector poscó. Hlle el vector celercó verfque que put hc el cetro de l crcuferec. Clcule l mgtud del vector celercó. 98

305 Autoevlucoes Autoevlucó Cmpos vectorles. Qué quere decrse co cmpo vectorl?. Qué quere decrse co cmpo vectorl co compoetes co dervds prcles cotus?. Supog que j k es u vector costte que r z j z k Cuáles de los sguetes so cmpos vectorles cuáles so cmpos esclres? Eplque. r r. j z k v 4. S r F ecuetre ls sguetes ctddes: F r z F r c U vector utro prlelo F que put e l msm dreccó. 5. Duje cmpos vectorles e que cumpl: Todos los vectores so prlelos l eje tee logtud costte. Todos los vectores so de logtud utr perpedculres l vector poscó e ese puto c Todos los vectores put hc el orge tee logtud costte. 6. E l pág 97 relcoe ls gráfcs de cd uo de los cmpos grdetes co ls gráfcs de ls curvs de vel de l fucó potecl correspodete. 7. Cd cmpo vectorl de ls fgurs de l pág 98 represet l fuerz sore u prtícul e dferetes putos e el espco como resultdo de otr prtícul e el orge. Relcoe los cmpos vectorles co ls descrpcoes sguetes. U fuerz de repulsó cu mgtud dsmue coforme umet l dstc etre ls dos prtículs. U fuerz de repulsó cu mgtud umet coforme umet l dstc etre ls dos prtículs. c U fuerz de trccó cu mgtud dsmue coforme dsmue l dstc etre ls dos prtículs. d U fuerz de trccó cu mgtud umet coforme dsmue l dstc etre ls dos prtículs 99

306 Autoevlucoes Gráfcos correspodetes l ejercco 6 de l utoevlucó sore Cmpos vectorles: f = f = f = - f = - Curvs de vel de l fucó z=f g=7 g=5 g= g= Curvs de vel de l fucó z = g h= h = h = - Curvs de vel de l fucó z = h

307 Autoevlucoes Gráfcos correspodetes l ejercco 7 de l utoevlucó sore Cmpos vectorles: Autoevlucó Itegrl de líe. Cómo defe C curv suve? f z ds dode f es u fucó cotu sore C C es u. L tegrl del ej. geerlz el cocepto de. complete. Idque como clcul l tegrl defd e el ejercco s C está prme- trzd e fucó del prámetro logtud de rco. Idque como clcul l tegrl defd e el ejercco s C está prmetrzd e fucó de u prámetro culquer. 4. Qué resultdo le d ds? Justfque. C 5. Qué resultdo le d C cotrro? Justfque. f z ds dode -C deot l curv C recorrd e setdo

308 Autoevlucoes 6. S z= f es u fucó cotu postv C u curv e qué Iterpretcó geométrc tee C f ds? 7. Supog que cuet co u lmre de espesor desprecle Cómo puede clculr l ms el cetro de ms del lmre? Descr demás los elemetos que ecest pr respoder. 8. Euce propeddes de l tegrl del ej.. 9. Eplque cuál es el sgfcdo mtemátco de F.Tds dode F es u cmpo C vectorl defdo sore C C curv suve oretd postvmete.. Cómo clcul l tegrl del ej 9 s C está prmetrzd e fucó de u prámetro culquer?. Eplque cuál es el sgfcdo físco de F.Tds dode F es u cmpo de C fuerzs que mueve u prtícul desde A B e l trector C.. Qué relcó h etre F.Tds F.Tds C C e setdo cotrro?. Idque otcoes equvletes de C 4. S C C C dode C 5. Cómo se llm C F.T ds? F.Tds. dode -C deot l curv C recorrd C so curvs suves Cómo clcul C F.Tds? Autoevlucó Teorem de Gree - Idepedec del cmo. Euce el teorem de Gree descredo los elemetos volucrdos.. Euce l form vectorl del teorem de Gree descredo los elemetos volucrdos.. Use el teorem de Gree pr ecotrr u epresó pr clculr el áre de u regó pl usdo l froter descredo los elemetos volucrdos. 4. Justfque l etesó del Teorem de Gree cudo l regó R es u coro co froters C C curvs cerrds suves.

309 Autoevlucoes 5. Utlce el ej 4 pr relcor l tegrl F. dr co F. dr pr el cso e que F es u cmpo vectorl co rot F e R. Justfque lo que frme. 6. Clcule usdo fucó potecl s es posle d d sedo A B. 7. Euce el teorem de Gree justfque su geerlzcó cudo l regó R es l de l fgur co froters C C C curvs cerrds suves. C B A C C C C 8. Utlce el ej 7 pr relcor l tegrl F. dr co F. dr F. dr sedo F u cmpo vectorl co 9. Muestre que s rotv rot F C C e R. Justfque lo que frme. C B e D regó smplemete coe etoces A depedete del cmo sedo A B dos putos de D. V. Tds es. Muestre que s V B es coservtvo e D regó coe etoces V. Tds es A depedete del cmo sedo A B dos putos de D.. Muestre que s F tee compoetes co dervds prcles cotus rot F e D smplemete coeo etoces l tegrl de F sore culquer curv C cerrd es cero.. Alce s F j D= D cumple ls hpótess del ej... Clcule l tegrl de F del ej. sore C sedo C l crcuferec cetrd e el orge de rdo Clcule l tegrl de F del ej. sore C sedo C l crcuferec cetrd e de rdo. 5. Clcule l tegrl de F del ej. sore C sedo C l crcuferec cetrd e 7 de rdo 6. S F z e D justfque que l crculcó de F lo lrgo de culquer trector cerrd C es ul.

310 Autoevlucoes 7. S F j Puede decr cuáto vle l tegrl de F sore u curv cerrd que o ecerre l puto? Y s lo ecerr? 8. Alce s F j j está e ls hpótess del ej.6 e clcule l tegrl de F sedo C l crcuferec cetrd e el orge de rdo. 9. S F es el cmpo vectorl del ej. 8 Cuáto vle l tegrl lo lrgo de culquer curv cerrd?. Por qué es mportte coocer s u tegrl es depedete del cmo?. Por qué es mportte ser s u cmpo vectorl es u grdete? Qué codcó le permte segurr que u cmpo es coservtvo?. Use Mple pr grfcr los sguetes cmpos vectorles: [ ] [-] [**z ^ *cos] v [***z^-*^*z] v [**z**z*+] v [/^+^-/^+^] Cuáles so coservtvos? 4

311 Superfces Cpítulo VI: Itegrles de superfce Así como l tegrl de líe etede el cocepto de tegrl defd l cso e el que el domo de tegrcó es u curv l tegrl de superfce que estudremos e este últmo cpítulo etede el cocepto de tegrl dole l cso e el que el domo de tegrcó es u superfce de. Pr poder ordr l defcó el cálculo ls propeddes de este uevo tpo de tegrles estudremos prmermete ls superfces su represetcó vectorl prmétrc. Superfces Descrpcó mplíct: Recordemos que tod superfce S puede detfcrse por medo de u ecucó de l form F z. Sempre podemos supoer que S es l superfce de vel k = de l fucó w F z. S F dmte dervds prcles cotus o uls l vez e cd puto de S el vector grdete de F es ortogol cd u de ls dreccoes tgetes ls curvs coteds e S psdo por ese puto. P o P o C S Oservcó: este resultdo es u cosecuec de l regl de l cde dervd de fucó compuest plcd e form vectorl. U revd demostrcó por s o lo recuerd!: S C es curv suve coted e S superfce de vel de F psdo por r rt t I su ecucó vectorl l evlur F e cd puto de C se tee l composcó gt Frt que result ser fucó costte por qué?. Al dervr gt co respecto t evlur e t se tee: g' t o FPo r' t o Luego F es ortogol r ' P o t o culquer se l curv que ps por P. o P o 5

312 Superfces E ests codcoes se dce que F psdo por P co orml N F o P o P o es el vector orml S e P o el plo es el plo tgete S e P. o Al supoer que esto ocurre e cd puto de S se dce que S es u superfce suve: N vrí co cotudd sore S. Ejemplo E l esfer z el vector orml e cd puto es: N F z. S queremos el plo tgete e o P st co reemplzr: N F Etoces el plo tgete es : z o se : z P o Descrpcó eplíct: S S es gráfc de u fucó z f co R preset como crcterístc que tod rect prlel l eje z trzd por putos de ectmete. Se dce etoces que S es superfce smple. R cort S e u puto L ecucó z f descre S e form eplíct. Supogmos que e el etoro de P R o f dmte dervds prcles cotus f dferecle e P o etoces e el putoq o S correspodete de P o puede hllrse el vector orml supoedo pr S l ecucó mplíct: F z z f f f N FPo P o z P o Q o S P o R 6

313 N N Superfces Oservcoes: S l ecucó mplíct se d como f z - N f f - se tedrí S l tercer compoete es ; N tee dreccó orml hc rr tercer águlo drector meor que /. E cso de teer tercer compoete se tee el vector opuesto. Culquer se el cso N co compoete cotus. S esto ocurre e cd puto Q S P R se dce que l superfce es suve dmte plo tgete. Ejemplo Se z f El vector orml e cd puto result: N o su opuesto oretdo hc el teror del prolode hc fuer. z - O Actvdd Cosdere hor superfces que se gráfcs de fucoes de z de z respectvmete estlezc ls codcoes pr ser cosderds superfces suves. Idetfque los respectvos vectores ormles hg u esquem gráfco. Propog ejemplos de tles superfces. c Descrpcó vectorl: Otr form de dvdulzr putos de u superfce es por medo del vector OP plcdo e el orge co etremo vrle e P S. 7

314 Superfces Al vrr OP teemos los putos de S. P S Cómo vrí OP? Teedo presete -peldo l tucó- que los putos e u superfce tee dos grdos de lertd es turl pesr que l vrcó de OP v depeder de dos vrles depedetes u v que llmremos prámetros tles que el pr u v represete ls coordeds de u puto de certo domo R que ucremos e u sstem ortogol uv. Al vrr u v e R v producr l vrcó de cosecuec de l uccó de P e S. O OP e Podemos estlecer etoces que este u correspodec r que sg cd puto u v R u úco vector r u v OP sedo P S. Formlmete teemos u fucó vectorl de dos vrles cuo recorrdo o mge es l superfce S. v uv R r P ruv S u O L ecucó r r uv uv R es llmd ecucó vectorl prmétrc de S R es u domo prmétrco que e cso de ser cotdo cerrdo se dce regó prmétrc e ese cso S es cotd. 8

315 Superfces Podemos oservr -tl como ocurrí co ls curvs- que el vector r u v qued detfcdo por medo de tres compoetes reles fucoes de ls vrles u v: ruv X uvî Yuv ĵ Zuv kˆ como etoces OP î ĵ z kˆ X uv Y uv z Z uv uv R defedo sí u sstem de ecucoes prmétrcs de S. El proceso de úsqued de u represetcó vectorl pr u superfce es llmdo prmetrzcó. Ls prmetrzcoes más comues so ls que se spr e los cmos del sstem de coordeds: Ejemplo Prmetrzcó de u cldro crculr de rdo Se S: Teedo e cuet ls coordeds clídrcs de u puto del espco todo puto P S qued dvdulzdo por el águlo de gro e l proeccó l cot que r = pr cd puto. E cosecuec: cos u se u z v desgdo u l águlo de gro v l cot. z P z O u v P' 9

316 Superfces Cómo vrí u v? u ; v Etoces: S : r r uv cosu î se u ĵ v kˆ ; u v R R uv / u ; v Podemos terpretr que R se coverte e S medte r. v z R r u Ejercco Prmetrce los sguetes cldros cotdos eplctdo l regó prmétrc. 4 etre z = z = 4 5 etre z = + z = 6 c 4 etre + z = 4 - z = 4 d etre z = + + z = 4 e z etre = - = Ejemplo 4 Prmetrzcó de u esfer co cetro e el orge rdo Tomdo como referec el sstem de coordeds esfércs cd puto de S tedrí = culesquer se. S llmmos u = águlo de gro v = águlo meddo desde el eje z+ hst OP se tee: cos u se v se u se v z cos v co u v

317 Superfces z O u v P z Etoces: S : r r uv cosu se v î se u se v ĵ cos v kˆ ; uv R R uv / u ; v Puede terpretrse que el rectágulo R se trsform e S medte r : v z r R u Pregut: E que se trsform los putos del ldo v =? los del ldo v =?; qué ocurre co los putos dode v? Ejemplo 5 Prmetrzcó trvl Se S : z Hcedo = u = v se tee: S : r r uv u î v ĵ u v co uv kˆ

318 Superfces Ejercco Prmetrce el coo: z. Ídem porcó del msmo coo etre z = z = 4. c Ídem porcó de prolode z lmtdo por + z = 4. d Cómo puede prmetrzrse u plo? e Prmetrce l porcó de coo z e el teror del cldro 4. f Prmetrce l porcó de esfer z 6 e el teror del coo z. Dreccó orml u superfce dd por u represetcó vectorl Se S: r r uv ; uv R. Supogmos que P S o provee de u v R o o medte r. Cosderemos e R l rect v v. o Su mge e S será u curv que ps por P o que detfcremos como u-curv. Aálogmete l mge de u u o será l curv - por P - o que llmremos v-curv. L rzó de ests deomcoes es porque dejdo fj u vrle l curv mge correspodete se geer sólo por vrcó de l otr que tom el rol de prámetro. v u v o o r N r v P o v-curv r u u-curv S u r r uo v ; prámetro Se tee sí: u-curv : r ru vo ; prámetro u v-curv : v Supogmos hor que r uv dmte e u etoro de u dervds prcles o uls cotus. S demás supoemos que r u r u o so coleles u o v o o v o v o v o

319 Superfces r r uo vo uo vo teemos e P o dos vectores que defe l dreccó u v tgete l u-curv v-curv respectvmete. Sedo estos vectores o ulos o r r coleles determ e P o u plo co orml N llmdo plo u v tgete. El vector N que es o ulo co compoetes cotus por qué? es llmdo vector orml S e P. o u v Oservcoes: Aceptmos N como vector orml S e P o porque lo es! pero e reldd deerí comprorse tmé que tod curv coted e S psdo por dreccó tgete ortogol co N. r r Sedo N vector orml S e u v r r N v u u v u v P o tee P o tmé lo es su opuesto Coclusó: Dd S: r r uv ; uv R s e cd puto u v r r R este o uls u v o coleles co compoetes cotus etoces e cd puto P de S puede r r hllrse el vector orml N o ulo vrdo co cotudd el u v correspodete plo tgete S e P. Se dce cudo esto sucede que l superfce S es u superfce suve. Ejercco Hlle el vector orml pr cd cso e dcr s es vector teror o eteror de ls sguetes superfces: cldro recto esfer cetrd e O rdo. Hlle el vector orml pr ls superfces : z 4 lmtd por z = sore el plo. z jo z = 4.

320 Superfces Áre de u superfce Supogmos que S es u superfce suve cotd dd por r r uv co uv R Cómo podemos clculr el áre de S? Defmos u prtcó e R por medo de rects de l form u = cte v = cte. Ests rects producrá e S u cojuto de u-curvs v-curvs geerdo u sudvsó de l superfce e porcoes S. Trtremos de relcor ls áres de ls dchs porcoes S co ls áres de los rectágulos v R e que se h dvddo R. v v R u r P S u u S Supogmos S mge de R sedo P ru v Se: S = áre de S R = áre de R u. v S T * S = áre de u prlelogrmo porcó del plo tgete S e P de ldos r r u v u T u v v u v T S * v-curv r v r u T S P S O se: * S T T r r u v S u-curv u v N uv P R r r u v u v R 4

321 Superfces Omtedo ls formlddes podemos decrle que: como Nuv r u áre S r v S N P. R es u fucó cotu este el límte de ests sums resultdo l tegrl de l fucó N represetdo e cosecuec el áre de S. áre S R r r u v da uv Ejemplo 6 Se S porcó del cldro 4 lmtdo por z = e + z = 4. Clculr el áre de S. z S Semos que: S: ruv cos u î se u ĵ v kˆ dode: Hllmos el vector orml: r se u î cos u ĵ kˆ ; r î ĵ kˆ u v u v 4 se u r r j k Nuv - se u cos u cos u î se u ĵ kˆ u v Etoces: N áre S 4 seu dv du 6π uddes de superfce. Cómo podemos proceder s l superfce es gráfc de fucó? Supogmos S suve S : z f R. 5

322 Superfces 6 Djmos que puede cosderrse e como prámetros sedo R l regó prmétrc : S: kˆ f ĵ î r kˆ f ĵ î r ; kˆ f ĵ î r Etoces: f f kˆ ĵ f î f f f k j r r N R da f f S áre Complete ls fórmuls que se tedrí pr clculr el áre cudo S es gráfc de u fucó = gz cudo es gráfc de = hz. Ejemplo 7 Clculr el áre del prolode z lmtdo por z = 4. z S R z = 4 S z R

323 Superfces E este cso S es grfc de fucó. S: dode R / 4 círculo N áre S R z f co R 4 N 4 L tegrl dole que teemos que clculr es pt pr ser trjd e coordeds da polres: áre S 4r r dr dθ complete! Propuest pr medtr mportte!: Se S l porcó de plo 4z que se proect e el rectágulo el áre de S? R z / ;. Cómo clculr S Por lo que vmos dee tegrrse el módulo del vector orml e l regó de proeccó. Como se trt de u plo lgue podrí -e form presurd- decr que su vector orml es: N 4. Clro que s es certo eso es sdo por geometrí pero su módulo es etoces N 9 de est mer el áre clculd serí: R 9 da 6 9 Algue -más cuddoso- tedrí e cuet l fórmul que correspode l cálculo del áre de u superfce dd e u form eplíct z = f. 7

324 Superfces E el cso propuesto se dee despejr etoces z: z 4 f e cosecuec: N 4 4 N áre S da R!!!! Qué ocurró etoces? S e es certo que lo que dee tegrrse es el módulo del vector orml éste dee ser el que relco ls áres de ls rectágulos R ese es el vector otedo como f f S co ls de los -ó su opuesto-. Coclusó: o culquer vector orml u superfce srve pr el cálculo del áre. S e todos defe l msm dreccó el áre solo se otee co quel de módulo decudo. Ejercco 4 Clcule el áre de ls sguetes superfces. V E R Slvo que se dque otr cos trte de resolver e los csos e los que ello es posle usdo u represetcó eplíct de l superfce que por lo geerl result ser ésto lo más secllo. U esfer de rdo. prmetrzdo co coordeds esfércs. U esfer de rdo. Clculdo el áre de u hemsfero ddo e form eplct. Porcó del plo = teror l prolode z lmtdo por z = 4. 4 Porcó del coo z cortd por los plos z = z = 6. 8

325 Superfces 5 Porcó de l esfer z teror co z. 6 Porcó de prolode z cortd por los plos z = z = 6. 7 Porcó del plo z 5 lmtdo por los cldros. 8 Porcó de cldro 4 ; lmtdo por z = e el prmer octte. 9 S porcó de plo z detro del cldro. Csquete de prolode z cortdo por el coo z. Uso de MAPLE: Podemos grfcr u superfce dd e form prmétrc utlzdo los sguetes comdos > wthplots: > plotd[coss]=..*p=..; Itegrl de superfce Se S u superfce cotd suve u fucó rel defd cotd e los putos de S. Qué sgfcdo puede drse?. S z e S podrí represetr l desdd superfcl de ms es decr u fucó que dstrue ms por udd de superfce El procedmeto que coduce l defcó de l tegrl de sore S es el msmo que se h presetdo terormete: cosste e dvdr promr... P * S 9

326 Itegrl de superfce E est ocsó se dvde S por medo de u úmero fto de pequeñs porcoes S co áres ls semos clculr S ; =... * * Se elge P S puto rtrro se clcul P S se sum los resultdos: J P *. S Sedo md P Q ; P S Q S má /... S lím J I depedetemete de ls prtcoes defds de l eleccó de los putos * P se dce que es tegrle sore S l tegrl de superfce de sore S que se deot zds es ese úmero I. S Pregut: S represet l desdd superfcl de ms e cd puto z z e S qué terpretcó le d est tegrl? Cálculo de l tegrl de superfce S S es cotd suve es u fucó cotu e los putos de S etoces es tegrle sore S. Vmos dr u de -o demsdo rguros- de cómo se clcul zds. Supogmos S: r ruv ; uv R Cosderemos e R u prtcó por medo de rects prlels los ejes que determ u úmero fto de rectágulos esos rectágulos está totlmete cotedos e R. R co áres S R. Supogmos que de r S R R S

327 Itegrl de superfce Es prtcó de R se correspode co u dvsó de S por medo de porcoes de superfce S co áre Semos que S S. N. R r r es decr : S R u v Cd puto P S es etremo de u vector r uv. U puto rtrro de certo r u * v *. Etoces: J r u * v * r r u v R * * r r r r r u v es l fucó guv ruv u v u v * P S provee * * evlud e u v Como g es cotu por qué? el límte que os coduce l tegrl de superfce es el msmo que os permte clculr l tegrl dole de g e R: S z ds ruv R r r da u v uv Oservcoes: El tegrdo resolver es l fucó evlud e cd puto de S multplcd por el módulo del vector dsttvo orml de l superfce que logí se tee co el cálculo de l tegrl de líe de u fucó esclr? S cotmos co u represetcó eplíct de S o se s por ejemplo es S : z f R vmos que: N f f por lo tto N f f Además: evludo e S f Así que result: I z ds f f f S R Pltee Ustedes los cálculos correspodetes e los csos S: f z z Rz S: f z z R. z da

328 Itegrl de superfce Dedo que z ds se clcul por medo de u tegrl dole se verfc S tods ls propeddes válds pr ese tpo de tegrl. 4 ds áre S S 5 L superfce S puede ser uó ft de superfces suves. S S = S S dode S S tee e comú lo sumo u líe; dode o puede trzrse plo tgete S se dce suve trozos. S es tegrle sore S S es tegrle sore S se tee: S z ds z ds z ds S S S S Ejemplo 8 Clculremos z = z = 4. S ds sedo S: porcó de cldro 4 lmtdo por z S Como teemos u superfce que o es gráfc de fucó usmos u prmetrzcó decud: ruv cos u î se u ĵ v kˆ co u v 4

329 Itegrl de superfce z evludo e S 4 cos u 4 se u r r r r N cos u î se u ĵ kˆ N u v u v I 4. dv du π Ejemplo 9 Clculremos d z S sedo S porcó del coo z ; lmtdo por z = 4. S z z = 4 E este cso: S : z f R sedo / R 6 el vector orml es etoces: N N Oservemos que e el orge o está defdo N. L superfce es suve e todos sus putos slvo e el orge. Esto o modfc el cálculo u puto tee áre ul. Notemos tmé que el vector orml vrí puto puto pero que su módulo es costte. Completmos el cálculo de l tegrl: z z evludo e S S z ds R da 4 r r dr d r 4 8

330 Itegrl de superfce Aplccoes de l tegrl de superfce: Cetro de ms S z e S suve sedo l desdd superfcl de ms etoces: Ms: ms z ds S Cetro de ms: z defdo por: M z ; m M z ; m M z m dode M z ds ; M z ds ; M z z ds z S z so mometos de prmer orde co respecto los plos coordedos. S S Oservcó: S z k cte l cetro de ms se le dce cetrode. Ejercco 5 Itegre: z sore el cldro z z sore z 4 z. z 4. c z z sore el hemsfero z z. d z 5 4z sore z z. e z z z sore l porcó de esfer z 4 por rr del coo. f z z sore S: z. Ejercco 6 Hlle el cetrode de: l porcó de esfer z que se hll sore el prmer octte. l porcó de coo z etre los plos z = z =. 4

331 Itegrl de superfce Flujo de u cmpo vectorl trvés de u superfce Pr defr este cocepto ecestmos que l superfce e cuestó reú certos requstos: S tedrá que ser cotd suve. Recordemos que s S: r r uv ; uv R esto sgfc que: R es u regó cerrd cotd del plo uv r e cd puto u v R este r u v o uls o coleles co compoetes cotus que determ e el correspodete puto de S el vector orml N r r r r N o N cuo módulo tervee e u v v u el cálculo de u tegrl de superfce sore S De hor e más deotrá u vector orml utro e u puto de S r r r r u v o v u r r r r u v v u S tedrá tmé que ser u superfce e l que se dstg dos crs detfcds cd u de ells co u de ls dos eleccoes posles pr. Ls superfces que cumple es codcó se llm oretles se dce que se h oretdo l superfce cudo se h elegdo u de ls dos poslddes pr. Ejemplo Cosderemos l superfce clídrc 4 z 5

332 u u Itegrl de superfce Prdos e u puto P de l superfce S tee setdo hlr de u dreccó orml hc el eteror: etedemos que se está cosderdo putdo hc fuer más ú elegdo ese vector podrímos desplzrlo cotumete lo lrgo de culquer trector sore S regresr P putdo sempre hc fuer. z S : ru v cos u î se u ˆj v kˆ co u v j k r r r r seu cos u cos useu u v u v cos u seu vector poscó orml eteror compre ls compoetes co ls del cos u se u v S se elger l dreccó orml teror cosderrímos cos u seu Oservcóes: Tmé so oretles ls superfces suves trozos S S S suele decrse tmé seccolmete suves queddo oretd S cudo se elge e S S vectores respectvmete que duce e l curv terseccó de cuerdo l regl de l mo derech oretcoes cotrrs. C S S 6

333 Itegrl de superfce Ls superfces co ls que estmos trjdo so tods oretles. E reldd tod porcó sufcetemete pequeñ de u superfce suve sempre es oretle. Pero... este superfces que o so oretles como l llmd ct de Moëus Oserve l fgur eplque cuáts crs tee l ct sguedo el recorrdo de ls hormgs. Curosddes L ct de Möus fue descuert e 858 por el mtemátco stróomo lemá August Ferdd Möus Se trt de u superfce t secll como sorpredete. S tommos u ct de vértces ABCD umos A co D C co B dádole med vuelt oteemos u superfce que cotr tod prec tee u sol cr u solo orde o es oretle. S prtmos de u puto de su superfce comezmos colorerl cremos ptdo tod l ct s her resdo el orde. Por cosguete sólo tee u cr. S resegumos co el dedo uo de los ordes llegmos l puto de prtd hedo recorrdo los dos ordes pretes. Y lo más sorpredete: s cosdermos u vector perpedculr l plo de l ct e culquer puto P este cmrá su oretcó medd que recorremos l ct por su líe cetrl llegdo covertrse e l llegr l msmo puto. L ct de Möus tee plccoes práctcs: como ct trsportdor de desgste uforme por "ms crs" o e como ct rsv. Dcho todo esto... 7

334 u u Itegrl de superfce Se S oretle F cmpo vectorl co compoetes cotus defdo e cd puto de S. Se el orml utro elegdo e S. Llmmos tegrl de flujo o smplemete flujo del cmpo vectorl F trvés de S e l dreccó de l tegrl de superfce de l compoete orml de F sore S. F S F ds S = Flujo de F trvés de S e l dreccó de Qué sgfcdo podrímos drle est tegrl? Cosderemos u fludo e movmeto. Supogmos que l velocdd e cd puto z por dode ps u determd prtícul o depede del tempo hlmos de u correte estcor. L velocdd es etoces u cmpo vectorl V z. Supogmos que z es l desdd de fludo e z ms por udd de volume. Aclremos que es u cmpo esclr socdo l correte. Puede ser costte e ese cso el fludo se dce compresle o vrr puto puto fludo compresle tl como u gs. Etoces el cmpo F z z V. z es llmdo desdd de flujo de l correte ve que el vector F tee l msm dreccó que l velocdd. S cosdermos u pequeñ superfce S co orml e l correte flud. F S áre de S P S 8

335 u u Itegrl de superfce Etoces F e P represet: ms ds t c ms udd de volume udd de tempo udd de sup erfce. udd de tempo F P. S represet l ms de fludo que ps trvés de S e l dreccó orml por udd de tempo. Imge etoces pr u superfce S que puede dvdrse e pequeñs porcoes S el sgfcdo de F ds. S Cálculo de l tegrl de flujo Supogmos S: r r uv uv R regó S F ds R F R F ruv r u r v da r u r v r u r v r u r v r uv uv da uv R F r uv r r u v da uv r r Este resultdo es otedo pr el vector orml N. S l dreccó orml u v elegd es l de N el resultdo será opuesto. S o se especfc l cr sore l que se trj e S se dc: S F ds R r r F r uv da u v uv Ejemplo Se F î ĵ z kˆ S: porcó de cldro 4 lmtdo por z = z = 4. Clculremos el flujo de F trvés S co dreccó orml eteror. z F S 9

336 u u u u Itegrl de superfce Como S o es gráfc de fucó se recurre l represetcó prmétrc: ruv cos u ˆ se u ˆj v kˆ co R uv uv / u ; v 4 r r Etoces: N cos u î se u ĵ kˆ N es el orml eteror u v Fevlud e S cos u î se u ĵ v kˆ r r Fruv 4 cos u 4 se u 4 u v F ds da 4 áre R S 4 Ruv como R.4 8 uv áre uv F ds S uv S se elge l cr teror del cldro el resultdo es el vlor opuesto. Así puede terpretrse el llmdo flujo slete flujo etrte. Cálculo del flujo co represetcó eplíct de l superfce S S: z f ; R Fz PzQzRz Fevlud e S F f f f R S F ds R N F f N da f f P f Q f R f da Propog ls tegrles pr clculr el flujo de u cmpo cudo S es gráfc de u fucó = gz o = h z Ejemplo Clculr F ds sedo S lmtdo por z = co dreccó orml eteror. F ˆ ˆj z kˆ S: porcó de prolode 4 z k

337 Itegrl de superfce S : z 4 ; R F N dode / 4 evlud e S ˆ ˆ j 4 kˆ R por qué es este el vector? S F ds R 4 da R 4 da Como / 4 R covee pr completr el cálculo de l tegrl psr coordeds polres: F ds 4 r. r dr d 4 S Oservcó: L otcó ltertv P cos Q cos Rcos ds pr dcr l tegrl de flujo F ds sedo F P ˆ Q ˆj R kˆ cos ˆ cos ˆj cos kˆ S S suele utlzrse Ejercco 7 Clcule z z cos cos eteror. S cos ds sedo S: z co orml Ejercco 8 Se S porcó de plo lmtdo por u trgulo de vértces ; ; co orml que tee tercer compoete o egtv. S F ˆ ˆj z kˆ clcule F ds utlzdo l represetcó ruv u vˆ u v ˆj u kˆ. S u represetcó eplíct de l form z = f Ejercco 9 F z ˆ ˆj z kˆ Se el vector desdd de flujo de u fludo. S S es el hemsfero z co z orml eteror l esfer clcule l ms de fludo que trves S e l udd de tempo e l dreccó sólo plteo

338 Itegrl de superfce Ejercco Co los dtos ddos e el ejercco teror tommos S como superfce cerrd corpordo l se e el plo z= co orml k. Clcule l ms de fludo trvés de l superfce cerrd sólo plteo. Ejercco Clcule ls sguetes tegrles de flujo: F S porcó de z jo z = 4 co hc jo. F z S porcó de z jo z = co hc jo. c F S porcó de z e el teror de 4 hc jo. d F z S superfce cerrd formd por ls crs del cuo: ; ; z co hc el eteror. e F S es l porcó de z sore el cudrdo: ; ; co hc rr. f F S es l froter de l regó lmtd rr por z 8 jo por z co hc el eteror. Ejercco Se F z z ˆ ˆj kˆ S l porcó de plo z e el prmer octte co orml lejádose del orge. Compruee que rot F ds F dr sedo C l froter del trágulo que form el S C plo co el prmer octte co l oretcó ducd por l orml elegd. S V es el sóldo lmtdo por es porcó de plo los plos coordedos lmtdo etoces por u superfce cerrd S compruee que S F ds V dv F dv

339 u u u Teorem de Stokes Teorem de Stokes George Grel Stokes 89-9 fue u mtemátco físco rldés que relzó mporttes cotrucoes l físc teórc l teorí de seres. El teorem de Stokes permte relcor u tegrl de superfce co u tegrl de líe. Es u geerlzcó del teorem de Gree que relco u tegrl dole co u tegrl de líe. E mos csos l tegrl de líe es u crculcó. Teorem de Stokes Se S u superfce oretle e l que se h elegdo u dreccó orml. C curv froter de S oretd de cuerdo l oretcó ducd por. S F es u cmpo vectorl cus compoetes dmte dervds prcles cotus e u domo erto D que cotee S C etoces: rot F F S rot F ds C F dr * S C U cosecuec medt del Teorem de Stokes es l sguete: Supogmos que S S se dos superfces oretles co l msm froter C que ms superfces esté oretds de cuerdo co l oretcó elegd pr C regl de l mo derech... S S C

340 u Teorem de Stokes s F es u cmpo vectorl cus compoetes dmte dervds prcles cotus e u domo erto D que cotee S S C etoces rot F ds rot F d. S S S E efecto: de cuerdo l Teorem de Stokes mos memros de es guldd so gules F dr C Podemos frmr etoces que: El flujo de u cmpo rotor o depede de l superfce que trves so de su froter Aplccoes del Teorem de Stokes. Cálculo de l crculcó de u cmpo F lo lrgo de u curv C por medo de u tegrl de superfce del cmpo rot F. Ejemplo Clculr z d zd zdz plcdo el Teorem de Stokes sedo C C : z co oretcó thorr mrdo desde rr. z C Oservemos que l curv es pl coted e el plo = z. Cosderemos etoces l porcó de ese plo que tee como froter l curv C : S : z = =f co R dode R / por qué o N -? N 4

341 u Teorem de Stokes L superfce S l curv C el cmpo F z ˆ z ˆj z kˆ está e ls codcoes del Teorem de Stokes verfíquelo! por lo tto: C d zd zdz z = rot F S ds rot F z j z k z z vector costte S rot F ds rot F da f N da R R R da áre de R Cometro: h otrs superfces que tee l curv C como froter por qué hemos elegdo l porcó de plo S? L respuest es: porque cosdermos que er lo más smple!. Cálculo del flujo de u cmpo rotor por medo de u crculcó. Ejemplo 4 Clculr rot F ds por medo de u tegrl de líe sedo F S ˆ ˆj z kˆ S el hemsfero z z co orml utr co tercer compoete o egtv. z S C E este cso teemos que tegrr lo lrgo de l curv froter que es... l crcuferec e el plo co oretcó thorr de cuerdo co l oretcó ducd por l orml de S. 5

342 Teorem de Stokes C: r t cos t se t j k t r' se t ˆ cos t se t ˆj kˆ se t ˆ cos t ˆj kˆ r t t F F r t r' t se t cos t.se t rot F ds F dr se t cos t.se t S Al resolver vemos que su resultdo es. El flujo es ulo. C dt Ejercco Aplcdo el teorem de Stokes s es posle evlúe F dr oretcó. C : z 4 z F e z C elj e cd cso l C : z z 4 4 F z. se c C : z z 8 F 4 e 8 z d C : z F cos se tg z e C es el trágulo que v de 4 ; F z z f C es el cudrdo que v de F z Ejercco 4 Demuestre que f. f dr seguds cotus. C pr culquer curv cerrd C f co dervds 6

343 Teorem de Stokes Demuestre que f. g g. f dr dervds seguds cotus. C pr culquer curv cerrd C f g co Ejercco 5 Aplque el teorem de Stokes pr evlur rot F ds. S porcó de z 4 sore el plo S F z z oretdo hc rr. S porcó de hc rr. z 4 sore el plo F - z z oretdo c S es l porcó de z F z z e. d S porcó de z co - sore el plo co hc rr z hc l zquerd F 4e z. e S porcó de cuo utro ; ; z co z > hc rr F z 4 z 8cos z. f S porcó de coo F z z z. jo l esfer z hc jo Aplccó del teorem de Stokes l cso de u l superfce que tee como froter dos curvs cerrds. Ejemplo 5 Supog que S es l porcó de coo z ; etre los plos z = z = co orml eteror F z-. Podemos plcr el teorem de Stokes pr clculr rot F ds? S 7

344 u u u u u Teorem de Stokes z z = z = S tee por froter dos crcuferecs C C. Pr cosegur u úc froter se hce u corte e l superfce se desrroll. C C C C Se recorre l froter C: C C co l oretcó ducd por teedo sí: rot F ds F. dr F. dr F. dr F. dr S C C pero etoces F. dr F. dr resultdo: S rot F ds F dr C C F dr dode C C tee oretcó opuest. E este cso C thorro C horro mrdos desde rr. Prmetrce C C clcule ls crculcoes correspodetes sume los resultdos. 8

345 u u u u Teorem de Stokes Aplccó del teorem de Stokes l cso e que l superfce es cerrd. Supog hor que tee u superfce cerrd S tee que clculr rot F ds co F defdo e cd puto de S orml eteror por ejemplo. S Puede plcr Stokes?. E prcpo o que ecest u curv froter l superfce es cerrd pero...sempre h u recurso!: Se dvde S e dos prtes S S por medo de u corte trvés de u curv C... S C S C S C S S S Se C l curv C oretd de cuerdo co l oretcó ducd por l oretcó de S C l msm curv pero hor co l oretcó opuest de cuerdo co l oretcó de S. pero rot F ds S C rot F ds S C F. dr F. dr C C F dr F dr Al sumr se tee etoces: rot F ds S S rot F ds S rot F ds C F.dr C F.dr 9

346 Teorem de Stokes Esto puede descrrse dcedo que: El flujo de todo cmpo rotor trvés de u superfce cerrd es ulo Cometro: Hemos vsto -e ls codcoes del teorem de Stokes- que s u cmpo G es u cmpo rotor esto es G rot F el flujo de G o depede de l superfce so de l curv froter demás que el flujo de G trvés de culquer superfce cerrd es ulo. Puede etoces estlecerse cert logí co respecto lo que sucedí co u cmpo grdete e l tegrl de líe. Péselo!. Podemos tmé e se de l guldd de Stokes dr u terpretcó del rotor co respecto su dreccó módulo. Supogmos V z cmpo de velocddes de u fludo e ls codcoes del teorem de Stokes rot V?. P o P o u puto e l correte flud qué sgfcdo tee V u rot V Po Po C r S r Tomdo u pequeñ superfce pequeñ porcó de plo co S r rodedo l puto Cr como froter. S perder geerldd cosdermos que C r l crcuferec que lo cot. P o podemos supoer u S r es u círculo cetrdo e P o co rdo r Aplcdo llí l guldd de Stokes: V dr C r S r rotv ds por teorem del vlor medo -plcdo l tegrl de flujo- este rotv ds rotv P*.áre S Sr r P* S r tl que: 4

347 u u Teorem de Stokes etoces: V dr C r rot V P* áres r rotv S r P o P* C r El prmer memro de ést últm guldd represet u promedo etre crculcó de cmpo lo lrgo de C r el áre de l superfce lmtd por C r. Ovmete estos promedos v cmdo l vrr r. Ese promedo está relcodo co l compoete orml del rotor pero e u puto P *. S hor se lz el comportmeto de estos promedos cudo r e ese cso P* P o el vlor límte es llmdo desdd de crculcó permte estmr l crculcó por udd de áre e P o pero por otro ldo se tee l compoete orml de rot V V dr Cr e P o etoces: rot V P lm r áres r Sgfc etoces que: l compoete orml de rot V l medr l desdd de crculcó e P o permte estlecer e ese puto que tl desdd será mám cudo rot V cocd e dreccó umércmete es mám desdd de P o crculcó está dd por rot V pues: P o rot V P rotv P cosθ rotv P cos θ o o P o o rotv Po P o Podemos coclur dcedo que: rot V P o dc l dreccó orml l plo e que se regstr l mám desdd de crculcó e P o su módulo represet es mám desdd 4

348 Teorem de Stokes Cmpos coservtvos el teorem de Stokes Recordrá que plcdo el Teorem de Gree hemos mostrdo que s ls compoetes de F tee prmers dervds prcles cotus e u cojuto smplemete coeo D rot F e D etoces pr tod curv cerrd C D es F. dr por lo tto l tegrl F dr es depedete del cmo C el cmpo F es coservtvo C Actvdd Refleoe sore l geerlzcó de este resultdo pr cmpos defdos e utlzdo el teorem de Stokes. Les clrmos que u regó D R es smplemete coe s tod trector cerrd e D puede cotrerse cotumete u puto e D s slr de D. R Curosdd! L superfce que prece cotucó se le llm toro Es el toro u superfce smplemete coe? Cosdere el cmpo vectorl F z j z k Verfque que rot F. Clcule C F. dr sedo C Es F coservtvo e z Qué cometro puede hcer cerc de lo vsto e? R? 4

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