La Integral de Henstock-Kurzweil

Transcripción

1 L tegrl de Hestoc-Kurzwel Jver E. Herrer C. RESUMEN. E este trjo se expoe, l teorí de tegrcó de Hestoc-Kurzwel coo u l geerlzcó de l tegrl de Re. Se dscute ls propeddes y coceptos fudetles de est tegrl, tles coo: El Teore Fudetl del Cálculo, l o exstec de tegrles props y los teores de covergec,. Por últo se cocluye co u dscusó cerc de l vldd de eseñr est teorí de tegrcó e los cursos de Cálculo o e los cursos de Aálss Mteátco de pregrdo pr los estudtes de geerí y Mteátc. Plrs Clves. Clves: tegrcó, covergec, tegrles props. NTRODUCCÓN Es coocdo que l tegrl de Re o es l ás decud pr los estudos e Mteátc vzd, y que exste uchs fucoes que o so Re tegrles y que o posee teores de covergec lo sufceteete fuertes. Ests defcecs fuero corregds por Leesgue qué desrrollo su teorí e los cos del sglo psdo y su tegrl se covrtó e l herret de l vestgcó teátc. S ergo, est teorí té preset lgus dfcultdes y se ecest u teorí de tegrcó superor l teorí de Leesgue. E sus estudos de ecucoes dferecles e 950, J. Kurzwel troduce u versó geerlzd de l tegrl de Re y e 960 Hestoc hce el prer estudo ssteátco de l uev tegrl l tegrl de Hestoc- Kurzwel (H-K tegrl), pero por lgu rzó est tegrl o h llegdo ser uy coocd, pesr de que es eseclete fácl de descrr coo l tegrl de Re. L de de desrrollr este trjo lográfco, ce de l ecesdd de dr coocer e uestro edo, est teorí e ecó y el so tee los sguetes ojetvos : Reseñr l evolucó de ls teorís de tegrcó, presetr los fudetos de l teorí de tegrcó segú Hestoc-Kurzwel, lzr coprtvete l teorí de tegrcó segú Hestoc-Kurzwel co l teorí de tegrcó de Leesgue, dscutr l coveec de clur l teorí de tegrcó de Hestoc-Kurzwel e los cursos de Aálss Mteátco y Cálculo que se ofrece e uestrs uversddes. L tegrl de Re. MATERALES Y MÉTODOS Pr poeros e perspectv veos l defcó de l tegrl de Re l cul es l ás decud pr uestro propósto. Defcó : Se,. Se dce que f : R es Re tegrle, deotdo por f (), s exste A R tl que pr todo >0, exste >0 tl que s t, ) es u prtcó de y t t <, D ( pr todo,2,3,...,, etoces S ( f, D) A, () y decos que A es l tegrl de f. L tegrl dehestoc-kurzwel troducos hor l defcó de l tegrl de Hestoc-Kurwel y té vereos su geerldd. L defcó es u lger vrcó de l clásc defcó de l tegrl de Re, pero el efecto es uy profudo pues se otee u tegrl ás geerl que l tegrl de Leesgue, s tegrles props y deás stsfce teores de covergec eos restrctvos. Defcó 2: U prtcó etquetd del tervlo, es u cojuto fto de pres ordedos = D ( t, ), dode es u prtcó de que est ford por sutervlos cerrdos o trslpdos, es decr, tervlos que tee terseccó vcí o cotee

2 lo ás u puto, el cul ecesrete es el puto fl y el puto fl de dos tervlos cosecutvos t es u puto que perteece y E este cso el puto t es lldo l etquet de. Oservcó: Es clro que dd u prtcó culquer de, est puede ser etquetd de fts fors. Defcó 3: Se f : R u plccó y D u prtcó etquetd de l su de Re de f co respecto D se defe por: s x, x Re to l for S( f, D) f ( t ) l( ), (2), pr =,2,...,, etoces est su de S( f, D) f ( t )( x x ) (3) Defcó 4: Se R,, y : R u fucó, es lld u fucó eddor sore s ( t) 0 pr todo t. Ejeplo : Supogos que y 2 so fucoes eddors sore y s defos t) ( t), ( ) pr todo t ( 2 t etoces es u fucó eddor sore. Es clro que tod prtcó de que es -f es -f y 2 -f, est costruccó se puede exteder culquer úero fto de fucoes eddors. Ejeplos 2:. S 0 es u úero postvo, etoces podeos defr u fucó eddor : R de l sguete er: (t) ; pr todo t, tl fucó es coocd coo l fucó eddor costte.. Se <c< y se u fucó eddor sore,. S D es u prtcó -f de, c y s D es u prtcó -f de c,, etoces D D es u prtcó -f de,. c. Se <c< y se y dos fucoes eddor sore los tervlos, c y c, respectvete. Se defe de l sguete er ( t) s t, c ( t) ( c), ( t) s t c ( t) s t c, etoces es u fucó eddor sore,. Adeás, s D es u prtcó -f de, c y CCA D es u prtcó -f de c,, etoces D D es u prtcó de,. d. Se y coo e c y se defd de l sguete er sore, ( t), ( c t) s t, c 2 ( t) ( c), ( c) s t c ( t), ( t c) s t c, 2 Es clro que es u fucó eddor sore, y es fácl pror que tod prtcó D, -f de, dee teer c coo u etquet pr culquer sutervlo de D que coteg c, sí s recoodos l prtcó, tod prtcó D, -f drá lugr u prtcó de, c que es -f y u prtcó de c, que es -f. Defcó 5: Se, y se t, ) D ( u prtcó etquetd. S es u fucó eddor sore, etoces decos que D es u prtcó etquetd - f de, s t t ), t ( t ), ( S es culquer fucó eddor defd sore, etoces sepre exste u prtcó de que es -f. Este resultdo fue estlecdo y utlzdo e los espcos,, por Perre Cous ( ) []. Teore: (Le de Cous). Se u fucó eddor sore el tervlo =,. Etoces exste l eos u prtcó etquetd -f sore. Veos l deostrcó de este teore [2] Prue: Cosdereos el sucojuto E de, por E= t : u prtcó etquetd f de, t. Es clro que E, e efecto se x () tl que <x<, etoces (,, x es u prtcó etquetd -f, es decr E. Por otro ldo, coo E está cotdo superorete etoces tee u supreo, se y=sup E, ostrreos que y E. Escojos x E tl que x (y) y x<y, etoces exste u prtcó D -f de, x. El cojuto D y, x, y -f de, y, es decr y E. es u prtcó etquetd Mostreos hor que y =, pr ello supogos que y < y escojos w ( y) ( y, ). Se D u prtcó etquetd - f de, D D y, y, w es u y. Etoces

3 prtcó etquetd -f de, w, pero esto cotrdce l defcó de y, co lo cul y =. Exste otr for de pror este teore, l s se relz por cotrdccó []. Veos hor l sguete defcó l cul geerlz l clásc defcó de l tegrl de Re. Defcó 6: Se f:, R, se dce que f es H-K tegrle sore,, s exste A R tl que pr todo 0, tl que exste u fucó eddor sore S ( f, D) A, (4) sepre que D se u prtcó -f de,. Est defcó tee setdo grcs l vldez del Le de Cous Teore 2: El úero A e l defcó es úco. El úero A se cooce coo l H-K tegrl de f sore =, y es deotdo por f o f, cudo ecotros tegrles que depede de práetros es coveete escrr f ( t) dt o f ( t) dt. (5) Ejeplo 2: Supogos que f :, R, tee vlor costte c excepto e u úero cotles de putos E z : N. Etoces f es H-K tegrle sore, y f c( ). (6). S x D, Prue: Se 0 t x, prtcó etquetd de,, cosdere f (t ) c es u S(f,d) c( ) (. (7) ) S E f (t ) c) e (7) es cero, sí que podeos defr u fucó eddor coo ( t) s t E. S t z, pr lgú y s D es -f de,, pr lgu fucó eddor, etoces f t ) c ( ) f ( z ) c ( z ). (8) t, el téro S escogeos y z ( (9) 2 f ( z ) c 2, z, etoces cudo D es -f y t z, teeos f ( t ) c ( ). (0) 2 S D es -f, de (7) teeos que CCA S( f, D) c( ) 2 2 de llí que cd z puede ser l etquet de l eos dos sutervlos e D. E prtculr, l fucó 0, s t es rrcol f ( t) (3), s t es rcol es H-K tegrle sore, co f 0, est fucó fue defd por Peter G. L. Drchlet ( ), es de doo coú de que est fucó es dscotu y que o es Re tegrle [3]. Este ejeplo lustr l vetj de utlzr fucoes eddors co logtud vrle, pr u resultdo ás geerl ver [2]. Teore 3: Teore de cosstec) Se, R u tervlo copcto y se f : R. S f es Re tegrle sore, etoces f té es H-K tegrle[]. Ates de estlecer el Teore Fudetl del Cálculo es coveete troducr lgu terologí que os yudrá e l exposcó del so []. Defcó 7: Se, R y se F : R.. Decos que F es u prtv ( o tdervd) de f sore s l dervd de F exste y F ( x) f ( x) pr todo x.. Decos que F es u -prtv de f sore s F es cotu sore y s exste u cojuto ulo E de putos de x dode F (x) o exste o o es gul f. c. Decos que F es u c-prtv de f sore s F es cotu sore y s exste u cojuto cotle E de putos de x dode F (x) o exste o o es gul f. d. Decos que F es u f-prtv de f sore s F es cotu sore y s exste u cojuto fto E de putos de x dode F (x) o exste o o es gul f. Oservcó 2: E todos los csos decos que E es el cojuto excepcol. Le (Strddle le):. Se f:, R, dferecle y se z,. Etoces pr cd 0, exste u 0 tl que sepre que y f ( v) f ( u) f ( z)( v u) ( v u), (4) u z v (5) u v, z, z,. (6) Pr el lector teresdo e l prue de este le cosultr [] o[2] Nos dspoeos hor estlecer l prer de vrs de ls versoes del Teore Fudetl del Cálculo, que grtz que l dervd de culquer fucó sore u

4 tervlo sepre es H-K tegrle, s l poscó de hpótess dcoles sore est dervd. Teore 4: Se f:, R co prtv F sore,, etoces f es H-K tegrle y f F( ) F( ) (7) Podeos rescrr el teore de l sguete er: S F,,,. R es dferecle e todo puto de etoces F es H-K tegrle y deás F F( ) F( ) (8) Teore 5: S f :, R, tee u c-prtv F sore,, etoces f es H-K tegrle y f F( ) F( ). (9) E cotrste co l tegrl de Re y l tegrl de Leesgue, el teore Fudetl del Cálculo grtz que l dervd de culquer fucó sore u tervlo, sepre es H-K tegrle, s l poscó de hpótess dcoles sore est dervd. L prcpl herret utlzd pr estlecer los teores de covergec es u resultdo coocdo coo el Le de Hestoc, resultdo que presetos después de l terologí ecesr pr este f.,, u prtcó prcl etquetd de es Se u coleccó ft de prejs ( t, J ) :, (20) dode los J so sutervlos cerrdos o trslpdos de y t J ( o se requere que J ). S es u fucó eddor sore y es u prtcó prcl etquetd de, etoces es -f, s t t t J t, t, pr =,2,...,. S es u prtcó prcl etquetd de y f : R, escros S( f, ) f ( t ) ( J ) (2) pr l su de Re de f co respecto, y s escros J J, (22) J f f (23) cudo f es tegrle. E el cso que D se u prtcó etquetd -f de este resultdo cocde co uestr defcó prev. CCA Le :(Hestoc). Se f : R tegrle sore. Pr 0, supogos que es u fucó eddor sore tl que s D es u prtcó etquetd -f de, etoces S( f, D) f. (24) S ( t, J ) : es u prtcó prcl etquetd (culquer) de tl que es -f, etoces Dode J J, y S( f, ) f,. (25) J f ( t ) ( ) f 2 (26) J El le de Hestoc fr que s es u fucó eddor sore tl que ls prtcoes etquetds - fs de duce u su de Re ls cules d u ue proxcó del vlor de l tegrl sore, etoces culquer prtcó prcl etquetd -f duce sus de Re ls cules d ues proxcoes l vlor de l tegrl sore l uó de los tervlos e l prtcó etquetd f :, R, H- Teore 6: ( Teore de He): Se K tegrle sore, H-K tegrle sore, s y sólo s exste. E este cso c pr todo <c<. Etoces f es l c c c f c (27) f l f. (28) De este resultdo podeos coclur que l HK-tegrl o posee tegrles props sore tervlos cotdos. Est stucó es slr pr tervlos o cotdos[]. Est prtculrdd de l HK-tegrl etr e u cotrste uy gudo co l tegrl de Leesgue y l tegrl de Re puesto que pr s tegrles exste tegrles props. Ahor vereos u ejeplo de u plccó de teore de He dode se to el líte e el líte superor. p Ejeplo3: Pr p R, se f ( t) t, 0 t. Pr 0 c y p, p ( c ) f. (29) c ( p ) Est expresó tee líte fto cudo c tede 0 sí y sólo sí p+>0 y e este cso teeos p t dt (3) 0 p por el le de Hestoc. Pr p=-, teeos

5 f l c, (32) c t o es HK-tegrle sore por lo tto 0, por el p teore de He. Así, t es tegrle sore 0, sí y sólo sí p>-. L covergec ufore es u restrccó uy fuerte pero sgue sedo u odo de covergec portte. Recordeos que s u sucesó de fucoes Re tegrles sore u tervlo copcto coverge uforeete sore u fucó f etoces f es Re tegrle sore y f l f (33) veos hor l geerlzcó de este resultdo. Teore 7: (Teore de covergec ufore). S f es u sucesó de fucoes H-K tegrles que coverge uforeete f sore,, etoces f es H-K tegrle y f l f. (34) Teore 8: (Teore de covergec oóto). Se f u sucesó oóto ( sucesó que es crecete o decrecete ) H-K tegrle y se f ( x) l f ( x) pr tod x, y sólo s l sucesó. Etoces f es H-K tegrle s f es cotd e R. E este cso f l f. (35). RESULTADOS Y DSCUSONES Trdcolete l eseñz del Cálculo, e u vrle, se cetr e el cálculo de dervds y tdervds y coo utlzrls e lgus plccoes. A pesr de que se opt por cr el estudo de l tegrcó presetdo el cocepto de tegrl de Re, se ote ls prues o deostrcoes de l yorí de los resultdos teórcos.a er de ejeplo ctos los sguetes resultdos: S u fucó es cotu es Re tegrle [4] S u fucó, defd sore u tervlo copcto, es oóto etoces es Re tegrle [4] L osó de ests prues es evtle y que ls deostrcoes plc el uso de l coplettud de l rect, l cotudd ufore e tervlos copctos y otrs ocoes que v ás llá del lcce de los estudtes de prer ño. No ostte, cosderos que es prescdle que el estudte se ducdo, prtr del prer curso de Cálculo, l trteto de resultdos teórcos y o dedcrse exclusvete l doo de téccs y lgortos, ddo que este tpo de forcó puede covertrse e u ostáculo pr los estudtes que ecest tor cursos de Aálss Mteátco y dqurr coocetos sore Teorí de l Medd e tegrcó. CCA E cotrste co est reldd, exste u tedec, proovd por : Roert Brtle (Estdos Udos de Norteérc), Rlph Hestoc (rld), Jroslv Kurzwel (Repúlc Chec) Rudolf Výrorý (Austrl), Erc Schechter (Estdos Udos de Norteérc ), Stef Schwc (Repúlc Chec ),que og por l clusó e los lros de Cálculo de l tegrl de Hestoc- Kurzwel [5], estos teátcos cosgrdos rguet que lgus prtes de los lros serí ás legles por el hecho de que lgus defcoes y teores se puede dcr de er ás sple (y ás fuertes) s se utlz l H-K tegrl e lugr de l tegrl de Re, esto es prtculrete certo pr el segudo teore fudetl del Cálculo y que deás l preprcó pr los estudtes que v segur cursos ás vzdos de Mteátc serí ás decud, y que pr ellos l H-K tegrl represet u puete ás decud hc l copresó del Aálss. Pr Erc Schechter ( Estdos Udos de Norteérc) [6] pesr de que recoed l clusó de l H-K tegrl e los lros de Cálculo, uestr lgus reservs pues segú su opó o exste uchos putos fvor pr que se eseñe e los cursos de Cálculo y que los estudtes e este vel etede poco o d de prues y que se cocetr e fóruls y cálculos, por ejeplo, pr ellos el segudo teore fudetl del Cálculo es u sple ecucó y culquer frcó sore cotudd o dferecldd o exstec de tegrles ps despercdo pr l yorí. Por otro ldo, fr que el curso de Aálss serí el vel propdo pr l eseñz forl de est tegrl puesto que el estudte se cocetr e el uso de herrets tles coo épslo y delts, sucesoes covergetes, etc., y estás so ls ss herrets usds e l HK tegrl por lo que ls odfccoes e el curso serí leves. Exste otros teátcos que fudet l eseñz de l H-K tegrl e los cursos de Cálculo [7], e el hecho de que est tegrl preserv l s for tutv co que se preset l defcó de l tegrl de Re, pero que tee l fortlez de l teorí de Leesgue y og por su uso posle e todos los veles, cluso sostee que el terés de trtr l Teorí de tegrcó e todos los veles er té prte de l otvcó pr R. Hestoc pr desrrollr l teorí. L de de eseñr l H-K tegrl los estudtes de prer ño de ls uversddes fue proovd por ejeplo e rtículo The techg of the tegrl por Bulle y Výorý pulcd e 990 [8] Es certo que l HK tegrl posee ls ss vrtudes pedgógcs que l tegrl de Re, pero té es certo que l geerldd de est tegrl tre coo cosecuec el o poder presetr t fáclete fucoes que o se HK tegrles, por lo que el estudte del Cálculo, podrí pesr que tods ls fucoes so HK tegrles cos que o es sí, coo es el cso de los estudtes de geerí que por ás de 5 ños de trjr co ellos, he poddo otr lo dfícl que h sdo el tetr troducr lguos coceptos teórcos, e los dferetes cursos que he dctdo por lo que pr los

6 propóstos de ls plccoes e estos veles l tegrl de Re stsfce ls ecesddes. Por otro ldo, coo se h deostrdo los teores de covergec de est tegrl [] exge eos codcoes que los teores de covergec que l tegrl de Re de llí su geerldd, pero los estudtes de Cálculo o ecest del doo de este tpo de teorí t strct, por ests rzoes cosdero que l eseñz de est uev teorí dee crse e los cursos de Aálss de pregrdo dode l durez teátc de los estudtes o l yorí de los estudtes es l decud pr troducr dch teorí y luego cotur co los resultdos ás fuertes ( teores de covergec ) e los cursos de Aálss de postgrdo, deás est tegrl es ás cocret y o requere de l qur coplcd de sg álgers, edd etc., sus cálculos produce uch tucó y peetrcó e edds, prtculrete e los tervlos y coclur co l eseñz de l tegrl de Leesgue. V CONCLUSONES L tegrl de Hestoc-Kurzwel, represet u ltertv ddáctc, e l geerlzcó de l tegrl de Re. tegrl de Leesgue tegrl de Re tegrl prop de Re tegrl H-K Fgur. L tegrl de Hestoc Kurzwel, coo geerlzcó de l tegrl de Re y l tegrl de Leesgue CCA E cotrste co l tegrl de Re y l tegrl de Leesgue, el teore Fudetl del Cálculo grtz que l dervd de culquer fucó sore u tervlo, sepre es H-K tegrle, s l poscó de hpótess dcoles sore est dervd. L tegrl de Hestoc-Kurzwel, o posee tegrles props y se sore tervlos cotdos o o. L eseñz de ls propeddes y coceptos fudetles de est teorí de tegrcó dee clurse, e los cursos de álss de postgrdo y o e los cursos vel de lcectur o geerí. V. REFERENCAS BBLOGRÁFCAS. Roert Brtle, A Moder Theory of tegrto, Grdute studes thetcs; v. 32, Chrles Swrtz, troducto to guge tegrls, World Scetfc, Roert Brtle d Dold Sherert, troducto to rel Alyss, Thrd edto, Wlter Rud, Prcpos de Aálss Mteátco, tercer Edcó, A ope letter to uthors of clculus oos / 6. Guge (or KH or geerlzed-re) tegrls 7. Jver Herrer, Tess L tegrl de Hestoc Kurzwel, Jourl of Mthetcl Educto Scece d Tecology, vol. 2. Ls regls desrrollds pr clculr tegrles usdo tdervds, té so válds pr l tegrl de Hestoc-Kurzwel. Jver E. Herrer C., sttucó dode loro Uversdd Tecológc de Pá, correo electróco Jver.herrer2@utp.c.p, estudos relzdos: Lcecdo e Mteátc, Uversdd de Pá, 992, Especlst e forátc Eductv, Uversdd Tecológc de Pá 999, Mgíster e Mteátc, Uversdd de Pá, 2005