1ª Prueba de Evaluación Continua 20 de septiembre de 2011 Tipo I
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- Víctor Manuel Rodríguez Quiroga
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1 1ª Prueba de Evaluació Cotiua 0 de septiembre de 011 Tipo I 1.- La medida del radio de ua pieza circular ha dado 15cm co ua cota de error de 0,0cm. a. Aproximar, mediate difereciales, el porcetaje del error propagado (cota) al calcular el área. b. Estimar el máximo error porcetual admisible e la medida del radio para que el error cometido al calcular el área o supere el,5%. ( putos) a) El área de u circulo es A r e da rdr 15 0,0,87 cm p b) E porc <,5% da rdr dr dr 150, 05 0, 05 dr 0,1875 A r r 15.- Euciar la fórmula de Taylor de ua fució y=f(x). (1 puto) Sea f(x) ua fució derivable hasta el orde +1, co derivadas cotiuas hasta el orde e u etoro del puto a, etoces, existe c (a,x) tal que: f(a) f"(a) f (x) f (a) (x a) (x a) 1!! ) f (a)... (x a)! 1) f (c) (x a) ( 1)!.- a) Escribir la fórmula de Maclauri de grado de la fució f(x) 1 x b) Calcular el valor aproximado de co el poliomio de Maclauri de grado c) Acotar el error cometido e la aproximació aterior. ( putos) f '(0) f ''(0) f '''(0) f(x) f(0) x x x R (x) 1!!! a) x x x f(x) x c! b) f(1) 1 1, c) El error que se comete es co 0 c x, o bie x<c<0 15 x E(x) R (x) 7 16! 1 c Observado la gráfica de la fució derivada de cuarto orde e c se tiee: 1
2 c 16 7, por tato, 1 1 0, !.- Dada la fució f(x) =e -5x, se pide hallar el grado del poliomio de Maclauri que se ecesita utilizar para aproximar e -5 co u error meor que ( putos) El valor pedido e -5 correspode a x=1. (x a) (x a) (10) E(x) R x f (c) max f (c) max f (c) 0, ) 1) 1) 1! a,x 1! a0 0c1 (1)! x1 Para estimar el error utilizado la acotació del resto de Lagrage, hemos de hallar la expresió de la derivada -ésima. Para ello calculamos las primeras derivadas de e^(-5x) co objeto de obteer la ley de recurrecia d - 5 x #61: TABLE e,, 1, 5 dx - 5 x 1-5 e - 5 x 5 e - 5 x #6: - 5 e - 5 x 5 e 5-5 x 5-5 e luego d - 5 x - 5 x #6: e = (-1) 5 e dx La derivada de orde +1 es: x #6: (-1) 5 e El valor pedido e^-5 correspode a x=1. Por otro lado, e el itervalo
3 [0,1] la derivada +1, e valor absoluto, es decreciete por serlo e^(- x), luego el máximo se alcaza e x= #65: (-1) 5 e = #66: TABLE 5 < 0.001,, 1, 18 ( + 1)! 1 false 15 false #67: 16 false 17 true 18 true Luego, se ecesita u poliomio de grado 17
4 1ª Prueba de Evaluació Cotiua 0 de septiembre de 011 Tipo II 1.- La medida del lado de ua pieza cúbica ha dado 15cm co ua cota de error de 0,0cm. a. Aproximar, mediate difereciales, el porcetaje del error propagado (cota) al calcular el volume. b. Estimar el máximo error porcetual admisible e la medida del lado para que el error cometido al calcular el volume o supere el,5%. ( putos) a) El volume de u cubo es V a ep dv a da 15 0,0 0,5 cm b) E porc <,5% dv a da da da 150, 05 0, 05 da 0,15 V a a 15.- Euciar la fórmula de Maclauri de ua fució y=f(x). (1 puto) Sea f(x) ua fució derivable hasta el orde +1, co derivadas cotiuas hasta el orde e u etoro del puto a=0, etoces, existe c (0,x) tal que: ) 1) f (0) f "(0) f (0) f (c) 1 f (x) f (0) x x... x x co 0 c x, o bie x<c<0 1!!! ( 1)!.- a) Escribir la fórmula de Maclauri de grado de la fució f(x) l(1 x) b) Calcular el valor aproximado de l co el poliomio de Maclauri de grado c) Acotar el error cometido e la aproximació aterior. ( putos) f '(0) f ''(0) f '''(0) f(x) f(0) x x x R (x) 1!!! x x 6 x a) f(x) x 1 c! co 0 c x, o bie x<c<0 1 1 b) f(1) c) El error que se comete es 6 1 E(x) R (x) 1 c! Observado la gráfica de la fució derivada de cuarto orde e c se tiee:
5 6 1 c 6, por tato, 6 1 0,5! x.- Dada la fució f(x) = xe, hallar el grado del poliomio de Maclauri de la fució f(x) ecesario para aproximar e -1 co u error meor que Solució El valor pedido e -1 correspode a x=1. Hallamos la expresió del resto para el poliomio de grado, para lo cual ecesitamos la expresió de la derivada -ésima d -x #: TABLE (x e ),, 1, 5 dx -x 1 e (1 - x) -x e (x - ) -x #: e ( - x) -x e (x - ) -x 5 e (5 - x) La derivada -ésima es de la forma (-1)^()e^(-x) ( x-), luego la derivada (+1) ésima será + 1 -x #5: (-1) e (x - ( + 1)) El máximo e [0,1] del valor absoluto de dicha fució es (+1) pues para x=0 toma el máximo valor la expoecial e^(-x) y la diferecia abs(x - (+1)), luego
6 + 1 1 #6: = < ( + 1)!! 1 #7: TABLE < ,,, 10! false false 5 false 6 false #8: 7 false 8 true 9 true 10 true Luego 8
7 1ª Prueba de Evaluació Cotiua 0 de septiembre de 011 Tipo III 1.- La medida del radio de ua pieza esférica ha dado 15cm co ua cota de error de 0,0cm. a. Aproximar, mediate difereciales, el porcetaje del error propagado (cota) al calcular el volume. b. Estimar el máximo error porcetual admisible e la medida del radio para que el error cometido al calcular el volume o supere el,5%. ( putos) a) El volume de ua esfera es V r ep dv r dr 15 0,0 8,8 cm b) E porc <,5% dv r dr dr dr 150,05 0, 05 dr 0,15 V r r 15.- Escribir la expresió del resto de orde de f(x) e a segú aparece e la fórmula de Taylor. (1 puto) Sea f(x) ua fució para la cual existe el Poliomio de Taylor de orde e el puto a, se defie resto de orde de f (x) e a: R 1) f (c) = (x a) 1 ( 1)! f (x),a f (x) T f (x),a co a c x, o bie x<c<a.- a) Escribir la fórmula de Maclauri de grado de la fució f(x) artgx b) Calcular el valor aproximado de arctg 1 co el poliomio de Maclauri de grado c) Acotar el error cometido e la aproximació aterior. ( putos) f '(0) f ''(0) f '''(0) f(x) f(0) x x x R (x) 1!!! a) x f(x) x c(1 c ) x 1 c! b) 1 f(1) 1 c) El error que se comete es E(x) R (x) c(1 c ) 1 1 c! co 0 c x, o bie x<c<0 Observado la gráfica de la fució derivada de cuarto orde e c se tiee:
8 c(1 c ) 1 c 5, por tato, 5 0,08!.- Dada la fució f(x) =l(1+x), hallar el grado del poliomio de Maclauri que se ecesita utilizar para aproximar l1,5 co u error meor que ( putos) El valor pedido l(1.5) correspode a x=0.5. (x a) (x a) (0,50) E(x) R x f (c) max f (c) max f (c) 0, ) 1) 1) 1! a,x 1! a0 0c0.5 (1)! x0.5 Para estimar el error utilizado la acotació del resto de Lagrage, hemos de hallar la expresió de la derivada -ésima. Para ello calculamos las primeras derivadas de l(1+x) co objeto de obteer la ley de recurrecia d #: TABLE LN(1 + x),, 1, dx 1 1 x (x + 1) #5: (x + 1) 6 - (x + 1)
9 Luego d - 1 ( - 1)! LN(1 + x) = (-1) #6: dx (x + 1) La derivada de orde +1 es:! (-1) #7: + 1 (x + 1) El valor pedido l(1.5) correspode a x=0.5. Por otro lado, e el itervalo [0,0.5], la derivada +1, e valor absoluto, es decreciete por serlo 1/(x+1)^(+1), luego el máximo se alcaza e x=0 y vale! =! #8: + 1 (0 + 1) Calculamos para qué valor de el resto es <0.001 co la fució table #9: TABLE! < 0.001,, 5, 8 ( + 1)! 5 false 6 false #0: 7 true 8 true Luego, se ecesita u poliomio de grado =7 o superior. Publicació de calificacioes: martes 7 de septiembre.
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