PUNTOS CRÍTICOS: Se llaman así a aquellos puntos en que la derivada es cero o no está definida. En símbolos escribimos: f (x)=0 ó f (x) no existe

Transcripción

1 PUNTOS CRÍTICOS: Se llaman así a aquellos puntos en que la derivada es cero o no está definida. En símbolos escribimos: f (x)=0 ó f (x) no existe Así encontramos (las abscisas de) los puntos críticos. Ejemplos: Determinar los puntos críticos de la función a) f(x)= x 3-6x + 9x + 3 Esta función es polinómica, entonces su dominio son todos los números reales. Para hallar los puntos críticos tenemos que hallar la función derivada. Derivando se tiene: f ( x ) = 3x - 1x + 9 Como la función derivada también es un polinomio, el dominio serán todos los reales; es decir, la derivada está definida para todo x. Entonces, para buscar puntos críticos buscamos cuando la derivada se hace cero, ya que la otra condición nunca se dará (porque existe la derivada para todo valor de x). Luego hacemos f ( x ) = 0 3x - 1x + 9 = 0 Simplificando tenemos: x - 4x + 3 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: b b ac x 4 a 4 x 16 1 x 1 = 3 x = 1 por lo tanto f ( x ) se anula para x 1 = 3 y x =1, luego x 1 y x son las abscisas de los puntos críticos de la función f ( x ). Los puntos críticos serán entonces: Para x 1 = 3 ; f(3) =3; entonces el punto crítico es (3-,3) Para x =1 ; f(1) =7; entonces el punto crítico es(1;7) Graficando esta función, podemos observar estos puntos.

2 Cómo es la recta tangente a la curva en los puntos críticos? Cómo es la recta tangente a la curva en x=0? Y en x =? Y en x=4? x b) f ( x) x 1 El dominio de esta función son todos los números reales, salvo x =1. Lo escribimos: Para hallar los puntos críticos, debemos buscar la derivada de esta función. x( x 1) x f '( x) ( x 1) x x x x x ( x 1) ( x 1) La derivada no está definida en x = 1; es decir no existe para x=1. Entonces ahí estaría (la abscisa de) un punto crítico; pero como x=1 no pertenece a la función, no será punto crítico. La derivada se anula cuando el numerador es igual a cero, es decir: x - x = 0 x ( x- )= 0 x 1 = 0 x = Para x 1 = 0 ; f(0) =0; entonces el punto crítico es (0,0) Para x = ; f() =4; entonces el punto crítico es(;4) En un gráfico se observa así:

3 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Definición Sea f una función definida en un intervalo (a;b) y c un punto en (a;b). f (c) es el valor máximo absoluto de f en el intervalo si f (c) f (x) para todo x del intervalo. Decimos que la función alcanza un máximo en x=c f (c) es el valor mínimo absoluto de f en el intervalo si f (c) f (x) para todo x del intervalo. Decimos que la función alcanza un mínimo en x=c La función f(x) tiene un máximo relativo en c si f (c) f (x) para todo x de un intervalo abierto (por pequeño que sea) que contiene a x=c La función f(x) tiene un mínimo relativo en c si f (c) f (x) para todo x de un intervalo abierto (por pequeño que sea) que contiene a x=c

4 Definición Los términos creciente y decreciente permiten describir el comportamiento de una función cuando se la analiza de izquierda a derecha a lo largo de su gráfica. Una función f es creciente en un intervalo si para dos valores cualquiera x 1 y x del dominio, se verifica que: si x 1 < x entonces f(x 1 ) < f(x ) Una función f es decreciente en un intervalo si para dos valores cualquiera x 1 y x del dominio, se verifica que: si x 1 < x entonces f(x 1 ) > f(x ) F crece: (a;b) y (c;d) F decrece: (b;c) Nota: observamos la imagen de la función para saber si crece o decrece pero anotamos valores del dominio. Relación del crecimiento de la función con la derivada Sabemos que f (x) nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x; f(x)). Sabíamos de rectas, que si la pendiente es positiva, la función es creciente y que si la pendiente es negativa la función es decreciente. Entonces una derivada positiva en todo x del intervalo analizado implica que la pendiente de la recta tangente en cada punto de ese intervalo es positiva y una derivada negativa, que la pendiente es negativa. Podemos decir que si la derivada de una función es positiva entonces la función crece, si la derivada es negativa la función decrece. En el caso de la función a); por ejemplo, al calcular f (0), obtuvimos: f (0)=9. Esto lo interpretamos como la pendiente de la recta tangente a la curva

5 f(x)= x 3-6x + 9x + 3 en x=0. Si queremos hallar la recta tangente a la curva en este punto, usamos la pendiente que es 9 y el punto por el que pasa la recta, que comparte con la función (0;3). La recta será: y= 9x+3. Por lo que sabemos de rectas, esta es creciente, ya que la pendiente es positiva. Un poco más formal, lo enunciamos así: Dada una función f(x) continua en el intervalo [a;b] y derivable en (a;b): Si f (x) > 0 para todo x en (a;b) entonces f(x) es creciente en el intervalo. Si f (x) < 0 para todo x en (a;b) entonces f(x) es decreciente en el intervalo. Ahora nos preguntamos si el recíproco se cumple: - Si se sabe que una función es creciente en (a;b) podemos asegurar que su derivada es positiva para toda x del intervalo? - Si se sabe que una función es decreciente en (a;b), podemos asegurar que su derivada es negativa para todos x del intervalo? En el ejemplo a) f(x)= x 3-6x + 9x + 3 f ( x ) = 3x - 1x + 9 Los puntos críticos están en x=1 y en x=3 Entonces Intervalo del dominio Signo de la derivada Comportamiento de la función ( ; 1) + Crece (1; 3) - Decrece (3; + ) + Crece Para el intervalo ( ; 1); podemos elegir x=0 y ya vimos que f (0) es 9. Nos interesa saber que es positiva. Para el intervalo (1; 3); podemos elegir x= y reemplazando en f (x) vemos que vale -3. Nos interesa saber que es negativa. Para el intervalo (3; + ) ; podemos elegir x=4 y calculando f (4) nos da 1. Nos interesa saber que es positivo.

6 Criterio de la derivada primera para máximos y mínimos Si a la izquierda de un punto crítico la derivada es positiva y a la derecha del mismo es negativa, en ese punto existe un máximo relativo. y x 0 x Si a la izquierda del punto crítico la derivada es negativa y a la derecha es positiva, en ese punto existe un mínimo relativo. y tg x 0 x Si en el punto en que la función tiene un máximo o un mínimo relativo existe derivada, ésta debe ser cero; es decir, la tangente en dicho punto es horizontal. y m = 0 x m = 0

7 CONCAVIDAD EL signo de la derivada segunda está asociado con la concavidad de la gráfica de la función; así como el signo de la derivada primera está relacionado con el crecimiento y decrecimiento de la función. Sea f(x) una función cuya derivada segunda existe en el intervalo (a;b): Si f (x) >0 para todo x en (a;b) entonces la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba en (a;b) Si Si f (x) <0 para todo x en (a;b) entonces la gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo en (a;b) PUNTO DE INFLEXIÓN f(x) es una función continua en un punto x=c. El punto c es un punto de inflexión si existen dos intervalos (a;c) y (c;b) tales que la gráfica de f sea cóncava hacia arriba en uno de ellos y cóncava hacia abajo en el otro. Los posibles puntos de inflexión se encuentran en los puntos del dominio donde la derivada segunda es cero o donde no existe. Para hallar los puntos de inflexión analizamos el signo de la derivada segunda de la función a ambos lados de los puntos donde esta derivada es cero o no existe. SI el signo de la derivada segunda cambia de positiva a negativa, o viceversa, eso implica que existe un punto de inflexión. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA LA DETERMINACIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS

8 Los máximos relativos de una función pertenecen a un intervalo del dominio donde la concavidad de la función es hacia abajo y los mínimos relativos a un intervalo donde la concavidad es hacia arriba. Al mirar el signo de la derivada segunda se obtiene un criterio muy simple para encontrar máximos o mínimos relativos. Si f(x) es una función tal que f (c) = 0 y tal que la derivada segunda de f existe en un intervalo abierto que contiene a c: Si f (c )<0 entonces en x=c hay un máximo relativo Si f (c )>0 entonces en x=c hay un mínimo relativo Podemos usar el siguiente ejemplo, donde se graficó la función f y simultáneamente, en correspondencia con la misma, las gráficas que describen aproximadamente el comportamiento de las funciones derivadas primera y segunda, respetando únicamente el significado geométrico de las mismas. Sea la función : f(x) : x k1 si x k si 3 x k si 3 x ]a, c[ x ]c, e[ x ]e, g[ y B F G f(x) A C E D a b c d e f g y f (x) a b c d e f g y f (x) a ( - ) b c ( + ) ( + ) d e ( - ) f g

9 Observamos que si f (b) < 0 entonces la función derivada primera es decreciente en b y siendo f (b) = 0 la derivada primera pasa de positiva a negativa y entonces f (x) pasa de creciente a decreciente en el punto B, luego en f (b) existe un máximo relativo. Análogamente si f (d) > 0 entonces f (x) es creciente en d y siendo f (d) =0 la derivada primera pasa de negativa a positiva y entonces f (x) pasa de decreciente a acreciente en el punto D, luego en f (d) existe un mínimo relativo. Si la derivada segunda se anula conjuntamente con la derivada primera nada podemos afirmar. Luego para hallar un máximo o un mínimo relativo se procede de la siguiente forma: 1) Se halla f (x). ) Se hace f (x) = 0 y se obtienen los puntos críticos. 3) Se halla f (x). 4) Se evalúa f (x) en los puntos críticos. Si en ellos f (x) es mayor que cero existe mínimo relativo, si es menor que cero existe máximo relativo. Ejemplo: Determinar los máximos y los mínimos relativos de la función f (x) = x 3 + 7x - 5x f (x) = 3x + 14x - 5 f (x) = 0 3x + 14x - 5 = 0 x f (x) = 6x + 14 x 1 = 1/3 x = -5 puntos críticos f (1/3)> 0 mínimo en x 1 = 1/3 f (-5) < 0 máximo en x = -5