DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Matemáticas II EXAMEN FINAL Junio 2011 APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I.

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1 DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Matmáticas II EXAMEN FINAL Junio APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I. CUESTIONARIO DE RESPUESTA MÚLTIPLE % Las rspustas rrónas rstan puntos. Dbn rljars las opracions o raonamintos ctuados qu justiiqun las rspustas dadas. La cuación dl plano tangnt a la suprici n l punto s: a. b. c Ninguna d las antriors La unción tin: a Un único punto stacionario. b Ininitos mínimos. c Ninguna d las antriors.. La unción tin n P : a El único máimo local b Uno d sus ininitos máimos locals c Un punto d silla. La cuación din implícitamnt la unción n un ntorno dl punto. Entoncs la drivada val: a - b c Ninguna d las antriors. La drivada dirccional dl campo n l punto n la dircción dl vctor val: a / b c Ninguna d las antriors Dadas las uncions: ; / g ; a Las trs son homogénas b g son homogénas. c Ninguna d las antriors. / h : Dada la matri A la matri ortogonal U qu diagonalia a A s: / / a U / / b U c Ninguna d las antriors. El valor propio corrspondint al autovctor d la matri A s: a b c Ninguna d las antriors Sa l sistma linal n orma matricial A b A sindo las matrics: b. Est sistma nunca pud sr a Indtrminado b Dtrminado c Incompatibl La pndint d la curva d nivl dl campo n l punto val a Si b Si c Ninguna d las antriors.

2 PROBLEMAS % Problma : puntos Dado l sistma d cuacions linals dpndint dl parámtro ral s pid: a punto Dtrminar para qué valors d l sistma s: compatibl dtrminado compatibl indtrminado incompatibl. b puntos Obtnr las solucions n l caso d. Problma puntos Dado l campo a puntos Rprsnta gráicamnt la curva d nivl d valor dtrmina su pndint n l punto. b puntos Halla su polinomio d Talor d grado n l punto. Dsarrolla simpliica l rsultado.

3 SOLUCIONES EXAMEN JUNIO. La cuación dl plano tangnt a la suprici n l punto s: d.. Ninguna d las antriors n / n ½ Ec. dl plano: La unción tin: a Un único punto stacionario. b Ininitos mínimos. c Ninguna d las antriors. Sol: Para todos los puntos tals qu ha un mínimo val. 6 8 ; 6 8 ; /k; k. Puntos críticos: /k k 8 ; 6 6; 8 6 H. Es indinida. Lugo s punto d silla. 6 8k 6 H / k k. DtH. Dudoso. Mínimo por /k k. 6 / k La unción tin n P : d El único máimo local Uno d sus ininitos máimos locals. Un punto d silla. El único punto stacionario s H dinida ngativa s l único máimo. Dadas las uncions: ; / a Las trs son homogénas b g son homogénas c Ninguna d las antriors. g ; / h : La unción no s homogéna pus: t t t t t t t Dada la matri A la matri ortogonal U qu diagonalia a A s:

4 / / d U / / U Ninguna d las antriors. 6 ;. Para : v unitario / / Para : v unitario / / La drivada dirccional dl campo n l punto n la dircción dl vctor val: a / b c Ninguna d las antriors La drivada dirccional s: Grad / r v El valor propio corrspondint al autovctor d Ninguna d las antriors. Sol: d la matri A s: La cuación din implícitamnt la unción n un ntorno dl punto. Entoncs la drivada val a - b c Ninguna d las antriors - - A Sa l sistma linal n orma matricial A b sindo las matrics: pud sr b. Est sistma nunca a Indtrminado b Dtrminado c Incompatibl Al tnr incógnitas sr la matri A como máimo d rango nunca pud sr dtrminado

5 La pndint d la curva d nivl dl campo n l punto val a Si b Si c Ninguna d las antriors. ; d d Problma : puntos Dado l sistma d cuacions linals dpndint dl parámtro ral s pid: c punto Dtrminar para qué valors d l sistma s: compatibl dtrminado compatibl indtrminado incompatibl. d puntos Obtnr las solucions n l caso d. Solución: a Vamos a studiar los rangos d la matri d coicints A d la matri ampliada M. M A Hallamos l dtrminant d A: A. Est dtrminant val si o. Para s tin: M A. En st caso ra rm pus las columnas ª ª ª son proporcionals. Para s tin: M A. Como l mnor M l rango d M s mintras qu l rango d A s. En conscuncia: Si ra rm l sistma s compatibl dtrminado. Si ra rm l sistma s compatibl indtrminado. Si ra rm l sistma s incompatibl. b Para l sistma quda cua solución s: t t Problma puntos

6 Dado l campo a puntos Rprsnta gráicamnt la curva d nivl d valor dtrmina su pndint n l punto. b puntos Halla su polinomio d Talor d grado n l punto. Dsarrolla simpliica l rsultado. Solución: a ES LA PARÁBOLA d d b ; ; ; ; 6 P 6