P (t) = a + donde P (t) es el número de individuos de la población (medida en miles) y t el tiempo (medido en meses) y a es una constante positiva.

Transcripción

1 Matemáticas Aplicadas a la Biología. 013/14 Primer examen parcial, 31 octubre 013 (V1) Apellidos y nombre del alumno/a Grupo: 1. En una cierta colonia de focas, cuyas hembras se han clasificado en 3 grupos de edad, se han observado las siguientes tasas de supervivencia: un 60 % de las hembras de edad 0 sobrevive hasta la edad 1, mientras que un 85 % de estas últimas lo hace hasta la edad. Ninguna sobrevive más allá de la edad. Por otra parte, se ha estimado que las hembras de edad 1 tienen una tasa de fecundidad del 80 % (es decir, tienen de media 80 cachorros por cada 100 hembras), mientras que las de edad tienen una tasa del 50 %. a) Escribir la matriz de Leslie asociada a estos datos. b) Partiendo de una población inicial de 100 focas de edad 0, de 60 de edad 1 y de 50 de edad, calcula el número de focas de edad que habrá tras períodos de observación. c) En una visita a la colonia se recuentan 85, 85 y 60 focas de edades respectivas 0, 1 y. Qué distribución por edades se puede suponer que hubo en el período anterior?. La población de una especie sigue la siguiente función P (t) = a + t e t/, t 0 donde P (t) es el número de individuos de la población (medida en miles) y t el tiempo (medido en meses) y a es una constante positiva. a) Calcular a sabiendo que inicialmente había 3000 individuos. b) En qué momento alcanza la población un máximo? Cuánto es el valor de dicho máximo? c) A qué tiende la población en el futuro? d) Si se sabe que una población está en peligro de extinción cuando el número de individuos es menor que 1000, tiene esta población peligro de extinción? 3. Representar gráficamente la siguiente función, estudiando previamente su dominio de definición, cortes con los ejes, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y convexidad y puntos de inflexión: f(x) = x 1 x. No olvides poner tu nombre, con letra clara, en la parte de arriba de todas las hojas que entregues. Duración: horas Puntuación: Pregunta 1 : 3 puntos Pregunta : 3 puntos Pregunta 3 : 4 puntos Dpto. EDAN Grado en Biología

2 Matemáticas Aplicadas a la Biología Primer examen parcial (31/10/013) Resolución versión 1 Prof. Pedro Marín Rubio 1. Llamando E 0 (t), E 1 (t) y E (t) a las hembras de edad 0, 1 y respectivamente en el tiempo t, las ecuaciones que relacionan su variación de una etapa a la siguiente es: E 0 (t + 1) = 0.8E 1 (t) + 0.5E (t), E 1 (t + 1) = 0.6E 0 (t), E (t + 1) = 0.85E 1 (t). Por tanto la escritura matricial del modelo de Leslie asociado es E 0(t + 1) E 1 (t + 1) = E (t + 1) E 0(t) E 1 (t) E (t). Si inicialmente tenemos 100 hembras de edad 0, 60 hembras de edad 1 y 50 hembras de edad, iterando el sistema dos veces obtenemos E 0(0) E 1 (0) = E 0(1) E 1 (1) = E 0() E 1 () = , E (0) 50 E (1) 51 E () 51 donde hay que tener precaución en la interpretación de los decimales obtenidos del modelo matemático. Una opción (dado que no estamos hablando de miles de individuos ni nada similar) es simplemente usar el redondeo de las cifras. La cantidad de hembras de edad tras dos periodos es de 51. Por último, dados los datos 85, 85 y 60 (respectivamente hembras de edad 0, 1 y ), debemos resolver el sistema 85 = 0.8E 1 (t) + 0.5E (t), 85 = 0.6E 0 (t), 60 = 0.85E 1 (t), que es inmediato de resolver despejando primero E 0 y E 1 y después E, sin necesidad de pasar por el algoritmo de Gauss. La solución matemática es E 0 = , E 1 = , E = , e igual que antes, de forma aproximada, redondeando, podemos presuponer que la estructura de la población en un periodo anterior era aproximadamente (E 0, E 1, E ) = (14, 71, 58).. La función P(t) = a+ t debe cumplir, por lo indicado en el apartado a), que P(0) = 3, de modo que a = 3. e t/ Por otro lado, se tiene que P (t) = et/ e t/ t/ = 1 t/. (e t/ ) e t/ Así que el signo de P es positivo en [0, ) y negativo en (, ). Esto indica que en t = la función P tiene un máximo local y absoluto. Concretamente, el valor máximo es P() = 3 + e Para el apartado c), observemos que lim t P(t) = a = 3 ya que por la Regla de L Hôpital, el segundo sumando de P tiene límite cero cuando t. Finalmente, el apartado d) se responde gracias a los anteriores: la función no llega a bajar al valor 1 (límite para señalarla en extinción) porque de hecho al principio crece más que el valor inicial, que era 3, y después del máximo vuelve a bajar hasta este valor 3 de nuevo. 3. El dominio de la función f(x) = x /(1 x) es dom(f) = R \ {1} = (, 1) (1, ). Es obvio que en x = 1 la función f tiene una discontinuidad de salto infinito, y que salvo ese punto, en todo su dominio f es continua y derivable. El signo de f (la multiplicidad de 0 es par, mientras que la de x = 1 es impar) es positivo en (, 0) (0, 1) y negativo en (1, ), lo que nos permite responder con facilidad cómo son las asíntotas verticales de f: lim x 1 f(x) =, lim x 1 + f(x) =. 1

3 Es claro que f no posee asíntotas horizontales, ya que lim x ± f(x) =. No obstante, al tener grado el polinomio del numerador uno más que el del denominador, la función tiene asíntotas oblícuas. En efecto, lim x ± f(x)/x = 1 = m, con lo que ahora calculamos lim x ± (f(x) + x) = 1 = n. Así, la recta y = x 1 es asíntota oblícua para f tanto por la izquierda como por la derecha. Analizamos el crecimiento y decrecimiento de f viendo el signo de su derivada: f (x) = x(1 x) + x (1 x) = x x x( x) = (1 x) (1 x). El signo de f es negativo en (, 0), positivo en (0,1), positivo en (1,), y negativo en (, ); donde el signo de f es positivo, f es estrictamente creciente, y donde el signo de f es negativo, f es estrictamente decreciente. Esto significa que f posee un mínimo local en x = 0 y un máximo local en x =. Sin embargo esos extremos locales no son absolutos, ya que como hemos visto en el estudio de las asíntotas (verticales y oblícuas) la función f no está acotada ni superior ni inferiormente. Para el estudio de la concavidad y convexidad, vemos el signo de la derivada segunda de f, que al tratarse de una función racional, admitirá simplificaciones varias en los cálculos: f (x) = ( x)(1 x) + (1 x)(x x ) (1 x) 4 = ( x)(1 x) + (x x ) = x x + x + 4x x =. El signo de f es positivo en (, 1), donde f es por tanto convexa. Y el signo de f es negativo en (1, ), donde f es cóncava. Al no haber ningún cambio de forma continua en el signo de f (sólo en el punto de discontinuidad de la función f), no hay puntos de inflexión. Un esbozo de la representación gráfica de la función f es el siguiente: x /(1 x) x

4 Matemáticas Aplicadas a la Biología. 013/14 Primer examen parcial, 31 octubre 013 (V) Apellidos y nombre del alumno/a Grupo: 1. En una cierta colonia de focas, cuyas hembras se han clasificado en 3 grupos de edad, se han observado las siguientes tasas de supervivencia: un 50 % de las hembras de edad 0 sobrevive hasta la edad 1, mientras que un 70 % de estas últimas lo hace hasta la edad. Ninguna sobrevive más allá de la edad. Por otra parte, se ha estimado que las hembras de edad 1 tienen una tasa de fecundidad del 90 % (es decir, tienen de media 90 cachorros por cada 100 hembras), mientras que las de edad tienen una tasa del 70 %. a) Escribir la matriz de Leslie asociada a estos datos. b) Partiendo de una población inicial de 100 focas de edad 0, de 60 de edad 1 y de 50 de edad, calcula el número de focas de edad 1 que habrá tras períodos de observación. c) En una visita a la colonia se recuentan 85, 85 y 60 focas de edades respectivas 0, 1 y. Qué distribución por edades se puede suponer que hubo en el período anterior?. La población de una especie sigue la siguiente función P (t) = a + t e t/3, t 0 donde P (t) es el número de individuos de la población (medida en miles) y t el tiempo (medido en meses) y a es una constante positiva. a) Calcular a sabiendo que inicialmente había 000 individuos. b) En qué momento alcanza la población un máximo? Cuánto es el valor de dicho máximo? c) A qué tiende la población en el futuro? d) Si se sabe que una población está en peligro de extinción cuando el número de individuos es menor que 1000, tiene esta población peligro de extinción? 3. Representar gráficamente la siguiente función, estudiando previamente su dominio de definición, cortes con los ejes, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y convexidad y puntos de inflexión: f(x) = x x No olvides poner tu nombre, con letra clara, en la parte de arriba de todas las hojas que entregues. Duración: horas Puntuación: Pregunta 1 : 3 puntos Pregunta : 3 puntos Pregunta 3 : 4 puntos Dpto. EDAN Grado en Biología

5 Matemáticas Aplicadas a la Biología Primer examen parcial (31/10/013) Resolución versión Prof. Pedro Marín Rubio 1. Llamando E 0 (t), E 1 (t) y E (t) a las hembras de edad 0, 1 y respectivamente en el tiempo t, las ecuaciones que relacionan su variación de una etapa a la siguiente es: E 0 (t + 1) = 0.9E 1 (t) + 0.7E (t), E 1 (t + 1) = 0.5E 0 (t), E (t + 1) = 0.7E 1 (t). Por tanto la escritura matricial del modelo de Leslie asociado es E 0(t + 1) E 1 (t + 1) = E 0(t) E 1 (t) E (t + 1) E (t) Si inicialmente tenemos 100 hembras de edad 0, 60 hembras de edad 1 y 50 hembras de edad, iterando el sistema dos veces obtenemos E 0(0) E 1 (0) = E 0(1) E 1 (1) = E 0() E 1 () = , E (0) 50 E (1) 4 E () 35 donde hay que tener precaución en la interpretación de los decimales obtenidos del modelo matemático. Una opción (dado que no estamos hablando de miles de individuos ni nada similar) es simplemente usar el redondeo de las cifras. La cantidad de hembras de edad 1 tras dos periodos es de 45. Por último, dados los datos 85, 85 y 60 (respectivamente hembras de edad 0, 1 y ), debemos resolver el sistema 85 = 0.9E 1 (t) + 0.7E (t), 85 = 0.5E 0 (t), 60 = 0.7E 1 (t), que es inmediato de resolver despejando primero E 0 y E 1 y después E, sin necesidad de pasar por el algoritmo de Gauss. La solución matemática es E 0 = 170, E 1 = 85.71, E = , e igual que antes, de forma aproximada, redondeando, podemos presuponer que la estructura de la población en un periodo anterior era aproximadamente (E 0, E 1, E ) = (170, 86, 1).. La función P(t) = a+ t debe cumplir, por lo indicado en el apartado a), que P(0) =, de modo que a =. e t/3 Por otro lado, se tiene que P (t) = et/3 e t/3 t/3 = t/3. (e t/3 ) e t/3 Así que el signo de P es positivo en [0, 3) y negativo en (3, ). Esto indica que en t = 3 la función P tiene un máximo local y absoluto. Concretamente, el valor máximo es P(3) = + 6e Para el apartado c), observemos que lim t P(t) = a = ya que por la Regla de L Hôpital, el segundo sumando de P tiene límite cero cuando t. Finalmente, el apartado d) se responde gracias a los anteriores: la función no llega a bajar al valor 1 (límite para señalarla en extinción) porque de hecho al principio crece más que el valor inicial, que era, y después del máximo vuelve a bajar hasta este valor de nuevo. 3. El dominio de la función f(x) = (x + 3)/(1 x) es dom(f) = R \ {1} = (, 1) (1, ). Es obvio que en x = 1 la función f tiene una discontinuidad de salto infinito, y que salvo ese punto, en todo su dominio f es continua y derivable. El signo de f (la multiplicidad de x = 1 es impar; y el numerador nunca se anula) es positivo en (, 1) y negativo en (1, ), lo que nos permite responder con facilidad cómo son las asíntotas verticales de f: lim x 1 f(x) =, lim x 1 + f(x) =.. 1

6 Es claro que f no posee asíntotas horizontales, ya que lim x ± f(x) =. No obstante, al tener grado el polinomio del numerador uno más que el del denominador, la función tiene asíntotas oblícuas. En efecto, lim x ± f(x)/x = 1 = m, con lo que ahora calculamos lim x ± (f(x) + x) = 1 = n. Así, la recta y = x 1 es asíntota oblícua para f tanto por la izquierda como por la derecha. Analizamos el crecimiento y decrecimiento de f viendo el signo de su derivada: f (x) = x(1 x) + x + 3 (1 x) = x x + 3 (x + 1)(3 x) (1 x) = (1 x). El signo de f es negativo en (, 1), positivo en (-1,1), positivo en (1,3), y negativo en (3, ); donde el signo de f es positivo, f es estrictamente creciente, y donde el signo de f es negativo, f es estrictamente decreciente. Esto significa que f posee un mínimo local en x = 1 y un máximo local en x = 3. Sin embargo esos extremos locales no son absolutos, ya que como hemos visto en el estudio de las asíntotas (verticales y oblícuas) la función f no está acotada ni superior ni inferiormente. Para el estudio de la concavidad y convexidad, vemos el signo de la derivada segunda de f, que al tratarse de una función racional, admitirá simplificaciones varias en los cálculos: f (x) = ( x)(1 x) + (1 x)(x x + 3) (1 x) 4 = ( x)(1 x) + (x x + 3) = x x + x + 4x x =. El signo de f es positivo en (, 1), donde f es por tanto convexa. Y el signo de f es negativo en (1, ), donde f es cóncava. Al no haber ningún cambio de forma continua en el signo de f (sólo en el punto de discontinuidad de la función f), no hay puntos de inflexión. Un esbozo de la representación gráfica de la función f es el siguiente: 10 (x +3)/(1 x) x