Variables aleatorias

Transcripción

1 Análisis de datos y gestión veterinaria Variables aleatorias discretas y distribuciones Departamento de Producción Animal Facultad de Veterinaria Universidad de Córdoba Córdoba, 3 de Noviembre de 2011 Variables aleatorias Una variable aleatoria es aquella que toma valores numéricos determinados por el resultado de un eperimento aleatorio. X, variable aleatoria lanzar dado, cada uno de sus valores Función de probabilidad: P(X) = P(X = ) = 1/6 para =1, 2, 3,, 6 1

2 Variables aleatorias Variable aleatoria continua. Entre dos valores dados la variable puede tomar infinitos valores. - Beneficio de una clínica veterinaria. - Producción anual de leche en una eplotación. Variable aleatoria discreta. Entre dos valores dados la variable no puede tomar infinitos valores. - Lanzamiento de un dado. - Clientes anuales de una clínica veterinaria. - Lactaciones de una vaca. Variables aleatorias P(X) 1/6 1/

3 Variables aleatorias P(X) 1/6 Función de probabilidad: P(X) = P(X = ) = 1/6 para =1, 2, 3,, 6 Sea una variable aleatoria discreta con función de probabilidad P(X). Entonces, P( X ) 0 para cada valor de 1/12 P( X ) = Esperanza de v. aleatorias discretas El 81% de las ovejas de una eplotación no han parido, el 17% han parido un borrego y el 2% han parido dos. X = número de borregos de una oveja elegida aleatoriamente X = 0, 1, 2 P(0)=0,81 P(1)=0,17 P()=0,02 cuál sería la medida de centralización más adecuada? Opción a. (0+1+2)/3 = 1 Opción b. 00, , ,02 = 0,21 3

4 Esperanza de v. aleatorias discretas El 81% de las ovejas de una eplotación no han parido, el 17% han parido un borrego y el 2% han parido dos. Valor esperado. E( X ) P( ) µ = = Varianza. σ = ( µ ) P( ) 2 2 Desviación típica. σ = σ 2 Esperanza de v. aleatorias discretas El 81% de las ovejas de una eplotación no han parido, el 17% han parido un borrego y el 2% han parido dos. X = número de borregos de una oveja elegida aleatoriamente X = 0, 1, 2 P(0)=0,81 P(1)=0,17 P()=0,02 Varianza. µ= 0, σ = (0 0,21) 0,81 + (1 0, 21) 0,17 + (2 0,21) 0,02= 0,205 σ = ( µ ) P( ) 2 2 4

5 Esperanza de v. aleatorias discretas Z, X, variables aleatorias a, b, constantes Z = a + bx µ = a+ bµ z σ = bσ z Esperanza de v. aleatorias discretas Un veterinario está interesado en el coste total de la preparación de un caballo PSI para una determinada carrera. El veterinario estima que los medicamentos y suministros costarán y el trabajo de su equipo 900 diarios. Hace una previsión del tiempo que tardará en preparar al caballo, entre días: Día Probabilidad finalización 0,1 0,3 0,3 0,2 0,1 5

6 CT = D µ = a+ bµ Esperanza de v. aleatorias discretas σ = b z σ z µ = µ = ,9 = CT D σ = 900 σ = , 29= CT D σ CT = = 1.022, 2 µ = P( ) = 10 0, , , , ,1= 11, 9 σ = ( µ ) P( ) = 1, Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución hipergeométrica Distribución de Poisson 6

7 Distribución de Bernoulli Un eperimento aleatorio tiene sólo 2 resultados posibles mutuamente ecluyentes y conjuntamente ehaustivos: 0 y 1, con p probabilidad de 1 y (1-p) probabilidad de 0. P(0) = (1 p) P(1) = p µ = P( ) = 0 (1 p) + 1 p= p σ = ( µ ) P( ) = (0 p) (1 p) + (1 p) p= p(1 p) Distribución de Bernoulli Un ganadero piensa que una vaca concreta tiene una probabilidad de preñez de 0,4. Si se define la variable aleatoria preñez, que toma valor 1=preñez y valor 0=no preñez, tiene una distribución de Bernoulli, donde: P(0)=0,6 P(1)=0,4 µ=p=0,4 σ 2 =p(1-p)=0,4*0,6=0,24 7

8 Distribución de Bernoulli µ=p σ 2 =p(1-p) Distribución binomial Distribución hipergeométrica Distribución de Poisson Distribución de Binomial Bernoulli Un eperimento aleatorio tiene sólo 2 resultados posibles mutuamente ecluyentes y conjuntamente ehaustivos: 0 y 1, con p probabilidad de 1 y (1-p) probabilidad de 0. Si se realizan n repeticiones independientes, la distribución del número de éitos, X, sigue una distribución binomial. n! P( ) = p (1 p)!( n )! µ = np np(1 p) 2 σ = n 8

9 Distribución de Binomial Bernoulli Un eperimento aleatorio tiene sólo 2 resultados posibles mutuamente ecluyentes p = y0,5 conjuntamente ehaustivos: 0 y 1, con p probabilidad de 1 y (1-p) probabilidad de 0. Si se realizan n repeticiones independientes, la distribución del número de0,1 éitos, X, sigue una distribución binomial. P() 0,25 0,2 0,15 0,05 n! n P( ) = p (1 p)!( n )! 0 0 µ 2= np np(1 p) 2 σ = Distribución de Binomial Bernoulli Un eperimento aleatorio tiene sólo 2 resultados posibles mutuamente ecluyentes y conjuntamente ehaustivos: 0 y 1, con p probabilidad de 1 y (1-p) probabilidad de 0. Si se realizan n repeticiones independientes, la distribución del número de éitos, X, sigue una distribución binomial. n! P( ) = p (1 p)!( n )! µ = np np(1 p) 2 σ = n 9

10 La probabilidad de un semental de inseminar con éito es de 0,4. Si realiza 5 cubriciones µ=np=50,4=2 σ 2 =np(1-p)=50,40,6=1,2 Distribución Un La probabilidad eperimento de Bernoulli de aleatorio un semental tiene sólo de inseminar 2 resultados con éito posibles mutuamente de 0,4. Si realiza ecluyentes 5 cubriciones, y conjuntamente cuál esehaustivos: la probabilidad 0 y 1, con de que p probabilidad inseminede con 1 y (1-p) éitoprobabilidad entre 2 y de 4 yeguas? 0. P(2 4)=P(=2)+P(=3)+P(=4)=P(2)+P(3)+P(4) P(2)=(5!/2!3!)(0,4) 2 (0,6) 3 =0,346 P(3)=(5!/3!2!)(0,4) 3 (0,6) 2 =0,230 P(4)=(5!/4!1!)(0,4) 4 (0,6) 1 =0,077 P(2 4)=0,653 n! P( ) = p (1 p)!( n )! n 10

11 Distribución Una fábrica de Bernoulli conservas quiere implantar un sistema de control de calidad a sus proveedores. Decide aceptar los envíos si en una muestra de 20 artículos no hay más de uno defectuoso. P(aceptar envío)=p(0)+p(1) Si la proporción de envíos defectuosos es p=0,1 (n=20): P(aceptar envío)=p(0)+p(1)=0,1216+0,2702=0,3918 Si la proporción de envíos defectuosos es p=0,2 (n=20): P(aceptar envío)=p(0)+p(1)=0,0115+0,0576=0,0691 Si la proporción de envíos defectuosos es p=0,3 (n=20): P(aceptar envío)=p(0)+p(1)=0,0008+0,0068=0,0076 Distribución de Bernoulli µ=p σ 2 =p(1-p) Distribución binomial P()=(n!/!(n-)!)p (1-p) n- µ=np σ 2 =np(1-p) Distribución hipergeométrica Distribución de Poisson 11

12 20% de patatas no aceptables para la industria Distribución hipergeométrica n=5 y si 2 son inaceptables, se rechaza el envío 1 elección: P(no aceptable)=0,2 2 elección: P(no aceptable)=0,2 3 elección = 4 elección = 5 elección 10 patatas, 3 no aceptables 20% de patatas no aceptables para la industria 1 elección: P(no aceptable)=3/10 2 elección: P(no aceptable)=3/10??? Si 1 elección=aceptable, P(no aceptable)=3/9 Si 1 elección=no aceptable, P(no aceptable)=2/9 La distribución hipergeométrica tiene en cuenta la dependencia entre sucesos. 12

13 Distribución binomial Un eperimento aleatorio tiene sólo 2 resultados posibles mutuamente ecluyentes y conjuntamente ehaustivos: 0 y 1, con p probabilidad de 1 y (1-p) probabilidad de 0. Se realizan n repeticiones. Distribución hipergeométrica Un eperimento aleatorio tiene sólo 2 resultados posibles mutuamente ecluyentes y conjuntamente ehaustivos: 0 y 1, con p probabilidad de 1 y (1-p) probabilidad de 0. Se realizan n repeticiones. Los sucesos no son independientes. Distribución hipergeométrica Se elige una muestra aleatoria n de un conjunto de elementos N, S de los cuales son éitos. S! ( N S)! SC SN SCn!( S )! ( n )!( N S n+ )! P( ) = = N! NCn n!( N _ n)! µ = np 2 N n σ = np (1 p ) N 1 13

14 Distribución hipergeométrica Se elige una muestra aleatoria n de un conjunto de elementos N, S de los cuales son éitos. p = 0,5 P() 0,25 S! ( N S)! SC SN SCn!( S )! ( n )!( N S n+ )! P( ) = = 0,2 N! NCn n!( N _ n)! 0,15 0,1 µ = np 0,05 2 N n σ = np (1 p ) 0 N Una fábrica de conservas recibe 20 rollos de aluminio para hacer las latas. Se inspeccionan 6 rollos, aceptando el envío si no hay más de 1 defectuoso. Cuál es la probabilidad de aceptar un envío con 5 rollos defectuosos? 14

15 S! ( N S)! C C!( S )! ( n )!( N S n+ )! N! NCn n!( N _ n)! S SN S n Distribuciones P( de ) = v. aleatorias = discretas Una fábrica de conservas recibe 20 rollos de aluminio para hacer las latas. Se inspeccionan 6 rollos, aceptando el envío si no hay más de 1 defectuoso. Cuál es la probabilidad de aceptar un envío con 5 rollos defectuosos? N=20 P(aceptar)=P(0)+P(1) S=5 5C 15C6 n=6 P( ) = C P C C (0) = = = 0,129 C ! 15! 0!5! 6!9! 20! 6!14! P C C C (1) = = = 0, ! 15! 1!4! 5!10! 20! 6!14! Distribución de Bernoulli µ=p σ 2 =p(1-p) Distribución binomial P()=(n!/!(n-)!)p (1-p) n- µ=np σ 2 =np(1-p) Distribución hipergeométrica µ = np Distribución de Poisson 2 N n σ = np (1 p ) N 1 15

16 La probabilidad de ocurrencia de un suceso es proporcional a la amplitud del intervalo (0 a t) Hay independencia entre el número de ocurrencias en intervalos no solapados La probabilidad de ocurrencia de dos o más sucesos en el intervalo es despreciable en comparación con la probabilidad de una ocurrencia 0 t Distribución de Poisson Número de accidentes mortales en Córdoba en el mes de Enero Número de huelgas anuales en una industria Número de consultas diarias en una clínica, 60 minutos antes del medio día 0 t Distribución de Poisson 16

17 La probabilidad de ocurrencias en el intervalo 0 a t: e P( ) = λ λ! µ = λ σ = λ 2 0 t Distribución de Poisson Un estudio indica el número de huelgas anuales en una fábrica Distribuciones típica con 2.000de empleados, v. aleatorias se puede discretas representar con una distribución de Poisson con media=0,4. La probabilidad de ocurrencias en el intervalo 0 a t: e P( ) = λ λ! µ = λ 0 t Distribución P(2 huelga)=0,67030,16/2=0,053 de Poisson σ = λ P(0 huelgas)=0,67031/1=0,6703 P(1 huelga)=0,67030,4/1=0,

18 Distribución de Bernoulli µ=p σ 2 =p(1-p) Distribución binomial P()=(n!/!(n-)!)p (1-p) n- µ=np σ 2 =np(1-p) Distribución hipergeométrica µ = np Distribución de Poisson 2 N n σ = np (1 p ) N 1 e λ λ P( ) = 2! σ = λ µ = λ 18