Máximos y Mínimos de funciones de dos variables

Transcripción

1 Mámos Mímos de fucoes de dos varables Aplcacoes a Modelacó Matemátca AJUTE DE CURVA Regresó leal Lealzacó: epoecal, potecas razoes

2 Coceptos geerales f() Problema geeral: e tee u cojuto dscreto de valores (medcoes) de ua catdad, se requere coocer u valor termedo etre los valores dscretos. f 3 () f 4 () Opcoes. Obteer ua curva que represete la tedeca geeral de los datos. Veremos regresó por mímos cuadrados. f () f (). Ua curva que pase por cada uo de los putos e forma drecta. Iterpolacó (e cursos de Aálss Numérco). 07

3 Estadístca e tee u cojuto de datos ( medcoes de ua catdad, la cual es fucó de la varable ) Meda artmétca - grados de lbertad s Desvacó estádar dode t t ( s ) - grados de lbertad varaza t 3

4 07. Regresó leal Ajuste a ua líea recta: Nuestro modelo cosdera que el comportameto del sstema es leal Cuál es la mejor recta? a + a + 0 Iterseccó co eje pedete e Error o resduo: dfereca etre el modelo las observacoes Ajuste por mímos cuadrados: Mmzar la suma r de los cuadrados de los resduos etre la medda la calculada co el modelo leal, para ecotrar a 0 a. 4

5 uma de cuadrados de los resduos etre la medda la calculada co el modelo leal: fucó de a 0 a Medcó REIDUO e a 0 a θ a ta θ calculada a 0 r e (, medda,mod elo ) 07 ( a 0 a ) 5

6 a a a a Ya está corregdas 6 07

7 07 7

8 stema de ecuacoes Co esta omeclatura, escrbmos el sstema de ecuacoes como a + a 0 a + a 0 Resolvemos para a 0 a 07 8

9 olucó del sstema de ecuacoes (determates) Determate del sstema Δ ( ) Los coefcetes se calcula e térmos de sumatoras de los valores de,. a Δ a a

10 Bodad del ajuste Coefcete de correlacó r: cuatfca la mejora o reduccó del error al descrbr los datos medate ua líea recta e lugar de u valor promedo. Notar que está ormalzada r t r t t ( ) r 0 à r ajuste perfecto,la líea descrbe al 00% los datos. r t à r 0 el ajuste o represeta gua mejora respecto a cosderar meda. 0 07

11 Otras catdades Error estádar del estmado / cuatfca la dspersó de los datos alrededor de la líea de regresó / r 07

12 Ejemplo Ajuste a ua líea recta los valores de la tabla Compruebe que a a Estadístca r Por lo que el ajuste por mímos cuadrados es

13 07 4

14 Fucó epoecal e ep() e ep( ) empre postva 07 5

15 Lealzacó de la epoecal β α e Aplcamos logartmo a ambos membros Obteemos fucó leal l lα + β le l lα + β l a 0 a a α e 0 β a 07 6

16 Ejerccos Co los datos (),(), defr las uevas l ()log (()) Haga el ajuste co los arreglos,l Determe las costates a a0 α e Verfque sus resultados: Grafque los datos la curva ajustada a) e su archvo ecel, e ua ueva columa evalúe la fucó β 07 7

17 Ajuste los valores (7) Ejemplo Compruebe que a a α β r Por lo que el ajuste por mímos cuadrados es e

18 Gráfca Ajuste Datos 07 9

19 Gráfca lealzada (semlogarítmca) l 07 0

20 Lealzacó de potecas α Aplcamos logartmo a ambos membros Obteemos fucó leal β l lα + β l l lα + β l l a 0 a α e 0 a l β a 07

21 Ajuste los valores Ejemplo Compruebe que a.7574 a α β.7574 s E-3 r Por lo que el ajuste por mímos cuadrados es

22 Gráfca 07 3

23 Gráfca lealzada log-log 07 4

24 Lealzacó de razoes Ivertmos la ecuacó mplfcamos para obteer fucó leal Ua gráfca de / vs. / da ua líea recta α 3 β + 3 β α β 3 + α α 3 Para u ejemplo ver ec. 0. del Chapra a a 0 β a α a / a 3 α / a

25 Bblografía teve C. Chapra Ramod P. Caale 07 6