Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionalidad y porcentajes TEORÍA

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1 Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionalidad y porcentajes TEORÍA 1. INTRODUCCIÓN * El concepto de proporcionalidad nace a la vez que la actividad humana y aparece en los vestigios de todas las culturas: - Una oveja por cinco gallinas; dos ovejas por diez gallinas;... * En la antigua Grecia, los matemáticos reflexionaron sobre la proporcionalidad y empezaron a formalizar un cuerpo teórico independientes de situaciones concretas. Ejemplo: la proporción aurea * En el Renacimiento, el desarrollo del comercio dan un nuevo impulso a la proporcionalidad. Nace la matemática comercial: porcentajes, descuentos, deudas, plazos,... * En la actualidad, la proporcionalidad resulta imprescindible en el desarrollo de cualquier ciencia aplicada: física, química, biología, estadística, etc. Si te fijas, verás que la utilizas en multitud de situaciones cotidianas: comprar, distribuir, predecir, especular,... Varios ejemplos: Elaborar una receta de cocina es una actividad de magnitudes directamente proporcionales. La relación del tiempo que tarda un vehículo en recorrer una distancia y su velocidad son magnitudes inversamente proporcionales Planificar un trabajo para acabarlo a tiempo es una actividad de proporcionalidad compuesta Para medir el nivel de un pantano o de un depósito se utilizan porcentajes. Para calcular la subida de las pensiones se aplica un aumento porcentual según la variación del IPC Las rebajas en supermercados y comercios se calculan aplicando una disminución porcentual * Ejemplo: Continuamente vemos distintas ofertas en supermercados y comercios que intentan atraer la atención del consumidor: Llévese 3 y pague 2. La segunda unidad a mitad de precio. Cuatro por el precio de tres. 15% de descuento en todos los productos. Cuál es la oferta mejor si compras muchas unidades?. Ayuda: Considera, por ejemplo, que deseas comprar 12 unidades y que cada una cuesta 1 sin oferta. 1

2 Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionalidad y porcentajes TEORÍA 2. RAZONES Y PROPORCIONES * La razón es la división entre dos cantidades comparables b a y se lee "a es a b". Los números a y b pueden ser decimales Ejemplo: Si en la clase 2º ESO A hay 18 chicas y 12 chicos, la razón entre chicas y chicos es (por cada 3 chicas hay 2 chicos) y la razón entre chicos y chicas es (por cada 2 chicos hay 3 chicas) 18 3 a c * Una proporción numérica es la igualdad de dos razones y se lee " a es a b como c es a d". Esa razón constante b d se llama también constante de proporcionalidad Ejemplo: Si en 2º ESO B hay 15 chicas y 10 chicos, la razón entre chicas y chicos es igual que en 2º ESO A y 10 2 por tanto una proporción numérica entre el número de chicas y de chicos siendo la razón de proporcionalidad 3 1, 5. 2 * Para calcular el término desconocido de una proporción a b c d, se despeja el término desconocido de la sencilla ecuación. Es decir: x c c b a c a d a d Si x es desconocido x d c b x o bien a d c x x x b d d x d c c Ejemplo: Si en 2º ESO C se mantiene la razón de proporcionalidad entre chicas y chicos y hay 9 chicas, cuántos chicos hay? Solución: Si llamamos x al nº de chicos es x x x 2 3 x 6 chicos Ejemplos: ERV 1 y 2 2

3 Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionalidad y porcentajes TEORÍA 3. DOS MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES * Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número. Ejemplo 1: En la imagen de la derecha, las magnitudes son "tiempo transcurrido" y "litros que vierte la fuente". Son directamente proporcionales pues, por ejemplo, a doble tiempo, doble litros. * Si a un valor "a" de la magnitud A le corresponde un valor "b" de la magnitud B, se puede comprobar que el cociente o razón entre estos dos valores es siempre constante. A esta a cantidad se le llama constante o razón de proporcionalidad directa entre A y B, r. b Es (nº unidades magnitud A):(nº de unidades magnitud B) = nº de unidades magnitud A por cada unidad de magnitud B. 6 En el ejemplo 1, la razón entre el tiempo y los litros es r 1,5 L / min y la razón entre los litros y el 4 4 tiempo es r 0,6667 min/ L 40sg / L 6 Como las magnitudes son directamente proporcionales podríamos construir la tabla (hallaremos los valores de x más adelante): Magnitud A (minutos) 4 4 2=8 4 3=12 4:2=2 4:4=1 4:6=0, x Magnitud B (litros) 6 6 2=12 6 3=18 6:2=3 6:4=1,5 6:6=1 x 30 Ejemplo 2: Sea la magnitud A "nº de kilos de manzanas que compramos" y la magnitud B "coste de la compra de manzanas". A y B son magnitudes directamente proporcionales porque si, por ejemplo, duplicamos A (kilos de compra) se duplica B (coste de la compra). Observa que la razón de proporcionalidad directa entre coste y kilos nos daría lo que cuesta 1 kg de manzanas y la razón de proporcionalidad directa entre kilos y coste nos daría los kilos que compramos con 1. Por ejemplo si compramos 4 kg y nos cuestan 10, la razón de proporcionalidad directa entre coste y kilos es b 10 r 2,5 / Kg y la razón de proporcionalidad directa entre kilos y coste es a 4 r 0,4 Kg / a 4 b 10 * Si las magnitudes A y B son directamente proporcionales y tenemos dos parejas de datos a,b 1 1 y a, x 2 Magnitud A Magnitud B a 1 b 1 a 2 x donde "x" es desconocido. Podemos hallar "x" de dos formas: Utilizando el procedimiento llamado regla de tres directa o bien por reducción a la unidad. Regla de tres directa: Consiste en aprovechar la razón o constante de proporcionalidad directa para calcular la "x", es decir: x b1 a2 b1 Es r a1 x a2 b1 x a a 2 1 a1 En el ejemplo 1 de la imagen superior, podemos completar la tabla y hallar la "x" en los 2 casos, de la siguiente forma: Magnitud A Tiempo transcurrido 4min... 6L 10min... x L Magnitud B Litros vertidos x x 15L 4 4min... 6L x min L x x 20min 6 3

4 Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionalidad y porcentajes TEORÍA Reducción a la unidad: Consiste en calcular previamente el valor de la magnitud B correspondiente a una unidad de la magnitud A (es la constante proporcionalidad "r" entre B y A) y a partir de aquí es fácil hallar el valor de la magnitud B que hemos llamado "x" cuando la magnitud A es a 2, pues x a 2 r, es decir: Si conocemos a,b 1 1 es b 1 1, 1, r b1 a y entonces es a2, x a2, a2 r Observa como es x a2 r a2 1 a1 En el ejemplo 1 de la imagen superior, para completar la tabla y hallar la "x" en los 2 casos, haríamos: Magnitud A Magnitud B Magnitud A Magnitud B Tiempo transcurrido Litros vertidos Tiempo transcurrido Litros vertidos 4 min... 6 L : 4 : 4 1 min... 1,5 L x 10 x min... x= 15 L Solución: x=15 L 4 min... 6 L : 6 : 6 2/3 min... 1 L x 30 x 30 x=20 min L Solución: x=20 L Ejemplo 3: Si 8 kilos de manzanas valen 10,40 euros, cuánto costarán 13 kilos? Solución: La relación entre las dos magnitudes es directamente proporcional pues, por ejemplo, a doble kilos, doble coste. Realizamos el ejercicio con los dos procedimientos: x 13 Regla de tres directa directa Magnitud A Magnitud B Nº kilos euros 8 Kg ,40 13 Kg x 10, ,40 x 16,90 8 Solución: 16,90 Reducción a la unidad Magnitud A Magnitud B Nº kilos euros 8 Kg ,40 : 8 : 8 1 Kg ,30 x 13 x Kg x=16,90 Solución: 16,90 * Es preferible el procedimiento por reducción a la unidad cuando desconocemos el valor de la magnitud B para varios valores de la magnitud A. En el ejemplo 3 anterior, si queremos saber cuánto cuestan 12 Kg de manzanas, basta multiplicar por 12 lo que cuesta 1 kg, es decir 12 1,30 15,6. Si compramos 15 kg nos cuestan 15 1,30 19,5. En cambio con el procedimiento de la regla de tres directa tendríamos que utilizar la fórmula de la regla de tres en cada caso. Ejemplos: ERV 3 y 4 4

5 Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionalidad y porcentajes TEORÍA 4. DOS MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES * Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número. Ejemplo 1: En la imagen superior, las magnitudes que intervienen son "nº de trabajadores" y "tiempo de descarga (h)". Son inversamente proporcionales pues a doble nº de trabajadores, la mitad de tiempo. * Si a un valor "a" de la magnitud A le corresponde un valor "b" de la magnitud B, se puede comprobar que el producto de estos dos valores es siempre constante. A este producto m a b se le llama constante de proporcionalidad inversa. En la imagen superior, la constante de proporcionalidad inversa es 12 h y equivale al tiempo que tardaría un solo operario en descargar el camión. Podríamos construir la tabla siguiente (hallaremos los valores de x más adelante): Magnitud A (nº trabajadores) 2 2:2=1 2 1,5=3 2 6=12 4 x Magnitud B (tiempo descarga en horas) 6 6 2=12 6:1,5=4 6:6=1 x 1,5 * Si las magnitudes A y B son inversamente proporcionales y tenemos dos parejas de datos a,b 1 1 y a, x 2 Magnitud A Magnitud B a 1 b 1 a 2 x donde "x" es desconocido. Podemos hallar "x" de dos formas: Utilizando el procedimiento llamado regla de tres inversa o bien por reducción a la unidad. Regla de tres inversa: Consiste en aprovechar la constante de proporcionalidad inversa para calcular la "x", es decir: a1 b1 Es m a2 x a1 b1 x a 2 En el ejemplo 1 de la imagen superior, podemos completar la tabla y hallar la "x" en los 2 casos, de la siguiente forma: Magnitud A Magnitud B Nº trabajadores Tiempo descarga en horas 2trab... 6h 4trab... xh x 2 6 x 3h 4 2trab... 6h xtrab...1,5 h 2 6 1,5 x 2 6 x 8h 1,5 5

6 Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionalidad y porcentajes TEORÍA Reducción a la unidad: Consiste en calcular previamente el valor de la magnitud B correspondiente a una unidad de la magnitud A (es la constante proporcionalidad) y a partir de aquí es fácil hallar el valor de la magnitud B que hemos llamado "x" cuando la magnitud A m es a 2, pues x, es decir: Si conocemos a 2 1,b 1 a es 1, a b 1, m 1 1 y entonces es 2, x a2, a2 a m Observa como es x m a a b a2 En el ejemplo 1 de la imagen superior, podemos completar la tabla y hallar la "x" en los 2 casos, de la siguiente forma: Magnitud A Magnitud B Magnitud A Magnitud B Nº trabajadores Tiempo descarga (h) Nº trabajadores Tiempo descarga (h) 2 trab... 6 h 2 trab... 6 h : 2 x 2 x 6 : 6 1 trab h 12 trab... 1 h x 4 : 4 : 1,5 x 1,5 4 trab... x=3 h Solución: x=3 h x=8 trab... 1,5 h Solución: x=8 trab Ejemplo 2: 18 alumnos han pagado 6 euros cada uno para comprar un regalo a una compañera, cuánto tendrá que pagar cada uno si al final participan 24 alumnos? Solución: La relación entre las dos magnitudes es inversamente proporcional pues, por ejemplo, a doble alumnos, cada uno paga la mitad. Realizamos el ejercicio con los dos procedimientos: Regla de tres directa inversa Reducción a la unidad Magnitud A Magnitud B Nº personas euros por alumno 18 alum alum x x 18 6 x 4,50 24 Solución: 4,50 Magnitud A Magnitud B Nº personas euros por alumno 18 alum : 18 x 18 1 alum x 24 : alum x=4,50 Solución: 4,50 Es preferible el procedimiento por reducción a la unidad cuando desconocemos el valor de la magnitud B para varios valores de la magnitud A. En el ejemplo 2 anterior, si queremos saber cuánto pagan 15 alumnos, basta dividir 108 (lo que pagaría si solamente participa 1 alumno) por 15, es decir 108 :15 7,20. Si participan 30 alumnos pagarían 108 : 30 3,60. En cambio con el procedimiento de la regla de tres inversa tendríamos que utilizar la fórmula de la regla de tres en cada caso. Ejemplos: ERV 5, 6 y 7 6

7 Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionalidad y porcentajes TEORÍA 5. PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Un problema de proporcionalidad compuesta es cuando intervienen más de dos magnitudes ligadas por relaciones de proporcionalidad directa o inversa. Se resuelve de forma ordenada con el procedimiento de reducción a la unidad aunque también se puede automatizar el proceso. Veamos dos ejemplos: Ejemplo 1: Ejemplo 2: ERV del 8 al 11 7

8 Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionalidad y porcentajes TEORÍA 6. PORCENTAJES Un porcentaje se puede interpretar como una razón o como un número decimal (tanto por uno) Tanto por ciento Razón Decimal o tanto por uno % 100 0,3 Reglas prácticas para calcular tantos por ciento: a) Cálculo del tanto por ciento. El tanto por ciento se calcula dividiendo la cantidad parcial entre la cantidad total. Ejemplo: En una clase de 30 alumnos hay 18 chicas, qué tanto por ciento de los alumnos de la clase son chicas? b) Cálculo de la cantidad parcial, conocidas la cantidad total y el tanto por ciento. La cantidad parcial se calcula multiplicando la cantidad total por el tanto por ciento expresado como decimal (tanto por uno). Ejemplo: En una clase de 20 alumnos, el 10 % suspende matemáticas, cuántos suspenden matemáticas? c) Cálculo de la cantidad total, conocidas la cantidad parcial y el tanto por ciento. Llamamos "x" a la cantidad total y planteamos y resolvemos la sencilla ecuación que resulta de utilizar lo explicado en b). Ejemplo: En una clase hay 21 chicas que representa el 28% del total de alumnos. Cuántos alumnos hay en clase? d) Problemas de aumentos porcentuales. Aumentar una cantidad "x" en un a% equivale a calcular el (100+a)% de dicha cantidad "x". Ejemplo: En una clase hay 20 alumnos, pero el curso siguiente aumenta un 15%, cuántos alumnos tendrá el curso siguiente? e) Problemas de disminuciones porcentuales. Disminuir una cantidad "x" en un a% equivale a calcular el (100 a)% de dicha cantidad "x". Ejemplo: En una clase de 25 alumnos, el 12% no asiste a clase por enfermedad. Cuántos alumnos asisten a clase ese día? f) Encadenamiento de variaciones porcentuales. Ejemplo: En una clase hay 24 alumnos. El curso que viene aumenta un 25%, y el siguiente disminuye un 10%. Cuántos alumnos habrá dentro de dos años?. A qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde? Ejemplos: ERV del 12 al 16 8

9 Bloque I. Números y medidas. Tema 6: Proporcionalidad y porcentajes TEORÍA 7. INTERÉS BANCARIO Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Se llama rédito o tipo de interés al tanto por ciento de beneficio anual. Por ejemplo, un rédito de un 4% significa que tenemos un beneficio anual de 4 por cada 100 prestados o de 0,04 por cada euro. El beneficio o interés es directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo y por tanto, si llamamos "r" al rédito en tanto por uno y no en tanto por ciento, "c" al capital inicial prestado y "t" a los años del préstamo, podemos hallar los intereses generados "I" utilizando una regla de tres compuesta. 1 1 r c t I I c r t No es necesario recurrir a la regla de tres compuesta para deducir la fórmula I c r t pues el producto c r nos da los intereses en un año y si el capital se presta "t" años, los intereses al cabo de "t" años son evidentemente I c r t (observa la imagen de la izquierda). Si llamamos "C final " al capital final después de haber prestado un capital de "c" euros a un rédito anual de 100 r % durante "t" años, será: c I c c r t C final * Si el tiempo "t" está expresado en meses, entonces la fórmula es * Si el tiempo "t" está expresado en días, entonces la fórmula es c r t I ya que "t" meses son " t " años c r t I ya que "t" días son " t " años Nota: El interés que hemos estudiado se llama interés simple porque los intereses no se acumulan al capital depositado para generar nuevos intereses. En cursos superiores estudiarás el interés compuesto donde los intereses sí se acumulan al capital para generar nuevos intereses. Ejemplos: ERV 17 ERV 18 al 128 9

10 TEORÍA Y EJERCICIOS BÁSICOS (del 1 al 16) La razón entre dos cantidades comparables. Proporciones. Reducción a la unidad (1º ESO) a) Qué es la razón entre dos cantidades? Calcula las razones entre las siguientes cantidades e interpreta el resultado: a1) Una botella contiene 1,5 L y otra 0,5 L a2) Una habitación mide 24,8 m 2, y otra, 12,4 m 2. a3) Juan pesa 66 kg, y María, 55 kg. a4) Un coche cuesta 13000, y otro, b) Calcula la cantidad de una magnitud correspondiente a una unidad de la otra magnitud. Interpreta el resultado: b1) 2,5 kg de pescado cuestan 10. b2) Un coche recorre 500 km en 5 horas. b3) 7,5 m de tela cuestan 15. b4) 2,5 kg de fruta se consumen en 2 días. b5) Un grifo vierte 15 L de agua cada 10 minutos. 2. a) Elige la respuesta correcta en cada caso: a1) La razón de 5 y 15 es: 1/2 ; 1/3 ; 2/3 ; 3 a2) La razón de 24 y 36 es: 2/3 ; 3/4 ; 3/2 ; 2/5 b) Escribe tres parejas de números cuya razón sea 2/5. c) Calcula el término desconocido en cada proporción: 1 5 x 35 c1) c2) 3 x c3) c4) 7 x x d) La razón de las edades de Rita y Manuel es 9/10. Si Rita tiene 18 años, cuántos tiene Manuel? Relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes 3. (1º ESO) a) Cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales? b) Di cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales: b1) El peso de una sandía y su precio. b2) La edad de una persona y su altura. b3) El tiempo que caminas a velocidad constante y la distancia que recorres. b4) La talla de un pantalón y su precio. b5) El tiempo que permanece abierto un grifo y la cantidad de agua que arroja. b6) El precio de un libro y su número de páginas. b7) El lado de cuadrado y su área. b8) El lado de un cuadrado y su perímetro. b9) Las horas dedicadas a estudiar matemáticas y la nota obtenida en esa asignatura. c) Si dos balones cuestan 10. c1) Cuánto cuestan 3 balones? c2) Cuantos balones puedo comprar con 25? (Resuelve ambas preguntas por el método de reducción a la unidad y por el método de la regla de tres directa) 4. a) Resuelve mentalmente: a1) Un grifo arroja 12 litros de agua en 3 minutos. Cuántos litros arroja en 5 minutos? a2) Tres cajas de chinchetas pesan 150 gramos. Cuánto pesan 10 cajas? b) Cuánto pagaré por 300 gramos de un salmón ahumado que se vende a 16 el kilo? c) Por dejar el coche en un aparcamiento durante 4 horas, ayer pagué 5. Cuánto pagaré hoy por 7 horas? Relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes 5. (1º ESO) a) Cuándo dos magnitudes son inversamente proporcionales? b) Di cuáles de los siguientes pares de magnitudes son inversamente proporcionales: b1) El número de operarios que descargan un camión y el tiempo que tardan en descargarlo. b2) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en cubrir la distancia entre dos ciudades. b3) El tiempo transcurrido desde la compra de un coche y el valor de dicho coche. b4) El precio de las manzanas y los kilos que puedo comprar con el dinero que llevo. b5) La estatura de una persona y el número de hermanos.

11 b6) La capacidad de un vaso y el número de vasos necesarios para llenar una determinada jarra. b7) Las longitudes de los lados de un rectángulo de 20 cm 2 de área. c) Con una carga de heno tenemos alimento para alimentar dos caballos durante 30 días. c1) Cuántos días podré alimentar 6 caballos con esa carga de heno? c2) Cuántos caballos tengo si esa carga de heno se termina a los 15 días? (Resuelve ambas preguntas por el método de reducción a la unidad y por el método de la regla de tres inversa) 6. Un conducto de agua, con un caudal de 3 litros por segundo, tarda 20 minutos en llenar un depósito. a) Cuánto tardaría con un caudal de 2 litros por segundo? b) Y si fuera de 10 litros por segundo? c) Qué fracción de depósito se llena durante 10 minutos con el caudal inicial de 3 litros por segundo? 7. (1º ESO) a) Lola ha comprado 6 Kg de naranjas por 2 euros. Completa la tabla. Magnitud A: Kg de naranjas Magnitud B: Coste de las naranjas en euros b) Un grifo que aporta un caudal de 3 litros por minuto llena un depósito en 12 minutos. Completa la tabla Magnitud A: Caudal en L/min Magnitud B: Minutos que tarda en llenar el depósito Problemas de proporcionalidad compuesta a) Cuándo un problema se dice que es de proporcionalidad compuesta? b) Una cuadrilla de albañiles, trabajando 10 horas al día, han construido 600 m 2 de pared en 18 días. Cuántos metros cuadrados construirán en 15 días, trabajando 8 horas diarias? 9. Una excavadora, trabajando 10 horas al día, abre una zanja de metros en 8 días. Cuánto tardaría en abrir una zanja de 600 m, trabajando 12 horas al día? 10. Si se abren tres bocas de riego con un caudal de 1,5 litros por segundo cada una, un aljibe se vacía en 8 horas. Durante cuánto tiempo daría servicio el aljibe si se abrieran cuatro bocas de riego con un caudal de 0,9 litros por segundo cada una? 11. Un granjero ha necesitado 294 kilos de pienso para alimentar a 15 vacas durante 7 días. Durante cuántos días podría alimentar a 10 vacas si dispusiese de 840 kilos de pienso? Porcentajes 11

12 12. (1º ESO) a) Define el tanto por ciento b) Cálculo de la parte: Halla el 12% de 380. c) Cálculo del total: El 40% de una cantidad es 26. Cuál es esa cantidad? d) Cálculo del porcentaje: De los 22 alumnos de una clase, 12 votaron a la actual delegada. Qué porcentaje votó a la actual delegada? e) Disminuciones porcentuales: Un televisor costaba 900. Cuánto cuesta ahora si tiene un descuento del 15%? f) Aumentos porcentuales: Un billete de avión a París costaba, el verano pasado, 460, pero desde entonces ha subido un 20%. Cuál es el precio actual del billete?. g) Si una prenda te cuesta 21 tras una rebaja del 25%. Cuánto costaba antes de las rebajas? h) Si un litro de gasolina cuesta 1,275 tras una subida del 2%. Cuánto costaba antes de la subida? i) Si una prenda costaba 50 y te han cobrado 47,5. Cuál es el porcentaje de descuento? j) Si un artículo cuesta 23 sin IVA y 23,92 con IVA. Qué porcentaje de IVA están aplicando al artículo? 13. a) Cálculo del total, conocidos el tanto por ciento y la parte: De la nueva autopista en construcción, ya se han completado 63 km, lo que supone un 35% del total proyectado. Cuál será la longitud de la carretera, una vez finalizada? b) Cálculo del porcentaje, conocidos el total y la parte: De los 180 km proyectados para una autopista, ya se han completado 63 km. Qué porcentaje está ya construido? c) Disminuciones porcentuales: Cuál es el coste final de una bicicleta de 620 que está rebajada un 15%? d) Hemos pagado 527 por una bicicleta rebajada un 15%. Cuánto costaba antes de la rebaja? e) Una bicicleta que costaba 620 se ha vendido en las rebajas por 527. Qué porcentaje se ha rebajado? f) Aumentos porcentuales: Un viticultor recogió en la campaña pasada 180 toneladas de uva, pero este año espera un 20% más. Cuántas toneladas espera cosechar este año? g) Un viticultor ha recogido 216 t de uva, lo que representa un 20% más que el año pasado. Cuántas toneladas recogió el año pasado? h) Un viticultor recogió, el año pasado, 180 toneladas de uva, y este año, 216 toneladas. En qué porcentaje ha aumentado su producción? i) En un programa de televisión, la persona entrevistada comenta que el presupuesto en políticas de activación de empleo ha pasado de 140 millones de euros a 100 millones y por tanto ha habido una reducción del 40%. Es correcta la afirmación? j) Encadenamiento de variaciones porcentuales: Unas acciones que valían 1000 suben un 60%. Después vuelven a subir el 25%. Cuánto valen ahora?. Cuál es el porcentaje total de subida? 14. Copia y completa en tu cuaderno, asociando cada porcentaje con un número decimal: Porcentaje 35% 24% 8% 95% 120% 200% 2,45% Expresión decimal o tanto por uno 0,35 0,52 0,03 1,50 0, Un avión transporta 425 viajeros. El 52% son europeos; el 28%, americanos; el 12%, africanos, y el resto, asiáticos. Cuál es el porcentaje de asiáticos? Cuántos asiáticos viajan en el avión? 16. Una guitarra de 800 sube el 50%. Después, baja el 50%. Queda como estaba? Intereses bancarios 17. a) Define: interés, rédito o tipo de interés, capital inicial y capital final. Demuestra la fórmula I c r t Cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto? b) Calcula el interés producido por un capital de 900 al 4,5 % en 2 años. c) Qué interés debo pagar por un préstamo de 3000 euros al 8% que devuelvo al cabo de 5 años? d) Qué capital se debe depositar al 3% para que después de 5 años produzca 750? e) A qué rédito se debe depositar un capital de 5280 para que produzca un interés de 264 en 15 meses? f) Durante cuántos meses se deben dejar depositados 4800 al 5 % para obtener un capital total de 5160? Otros ejercicios del tema 18. (1º ESO) Lola ha comprado cinco cromos por cuarenta céntimos. Completa la tabla, sabiendo que todos los cromos de la colección tienen el mismo precio. N. DE CROMOS COSTE (EUROS) 0,40 12

13 19. (1º ESO) Dos paquetes de galletas pesan 0,5 kg. Completa la tabla que relaciona el número de paquetes con su peso. N DE PAQUETES peso (kg) 0, (1º ESO) Una cuadrilla de cinco operarios municipales limpia el polideportivo en 6 horas. Completa la tabla siguiente con los tiempos que tardarían en hacer el mismo trabajo otras cuadrillas con distinto número de trabajadores: Qué relación existe entre las dos magnitudes consideradas? Justifica tu respuesta. N. DE OPERARIOS TIEMPO (HORAS) (1º ESO) Resuelve por reducción a la unidad. a) Dos kilos de patatas cuestan 0,80. Cuánto cuestan cinco kilos? b) Un canguro avanza 12 metros en cuatro saltos. Cuánto avanza en 10 saltos? c) Tres barras de pan pesan 600 gramos. Cuánto pesan dos barras? d) Por el alquiler de una bicicleta durante dos horas pago 3. Cuánto pagaré si la alquilo durante siete horas? e) Un grifo abierto durante cinco minutos hace que el nivel de un depósito suba 20 centímetros. Cuánto subirá el nivel en siete minutos? f) Por un gasto de 20 te dan 3 cupones-descuento. Cuántos cupones te darán por un gasto de 140? 22. (1º ESO) Juan y Carmela dejan sus coches en un aparcamiento a las 8 de la mañana. Juan lo retira a las 12 h y paga 3,4. Cuánto pagará Carmela si lo retira a las 17 h? 23. (1º ESO) Calcula mentalmente: a) 12% de 400 b) 50% de 324 c) 25% de 300 d) 6% de 800 e) 75% de 200 f) 10% de (1º ESO) Calcula mentalmente: a) 20% de es 80 b) 8% de es 24 c) 50% de es 241 d) 25% de es 75 e) 10% de es 40 f) 40% de es 80 g) 6% de es 30 h) 75% de es (1º ESO) Calcula mentalmente: a) El % de 200 es 60 b) El % de 200 es 24 c) El % de 300 es 15 d) El % de 6 es (1º ESO) El 35% de una población de habitantes vive en casas de alquiler. Cuántas personas viven en casa propia? 27. (1º ESO) En el estante de los zumos de un supermercado hay 900 botellas. Un 25% son de zumo de tomate; un 45%, de naranja; un 20%, de pera, y el resto, de melocotón. Cuántas botellas hay de cada sabor? 28. (1º ESO) En un teatro de 540 localidades se han vendido el 65% de las entradas para la sesión de la noche. Si cada entrada cuesta 25, cuál ha sido la recaudación de la noche? 29. (1º ESO) Una familia compra un frigorífico que cuesta 840 pagando el 30% al contado y el resto en 6 plazos mensuales sin recargo. Cuál es el importe de cada plazo? 30. (1º ESO) El 65% de los vecinos de un pueblo costero viven de la pesca. Cuántos vecinos tiene el pueblo, sabiendo que hay 975 pescadores? 31. (1º ESO) En un pueblo costero de 1500 habitantes, el 65% viven de la pesca. Cuántas personas viven de la pesca? 32. (1º ESO) Un pueblo tiene 1500 vecinos de los que 975 viven de la pesca. Qué tanto por ciento son pescadores? 33. En mi clase somos 25 alumnos y hay tres que han sacado sobresaliente en Matemáticas. Cuál es el porcentaje de sobresalientes? 34. (1º ESO) Resuelve mentalmente. a) Dos cajas de galletas cuestan 4. Cuánto costarán tres cajas? b) Doscientos gramos de mortadela cuestan 1,80. Cuánto cuestan 300 gramos? c) Dos jardineros siegan un parque en 3 horas. Cuánto tardaría uno solo? Y tres jardineros? d) Un ciclista, a 20 km/h, tarda 30 minutos en cubrir cierto recorrido. Cuánto tardará una moto a 60 km/h? 13

14 35. (1º ESO) En una bodega con dos máquinas embotelladoras se envasa la cosecha de vino en 15 días. Cuánto se tardaría teniendo una máquina más? 36. (1º ESO) Un jardinero necesita 20 macetas para sembrar los bulbos que tiene si coloca 3 de ellos en cada maceta. Cuántas necesitaría si colocase 4 bulbos en cada una? 37. (1º ESO) Un besugo de un kilo y doscientos gramos ha costado 14,40. Cuánto costará otro besugo de ochocientos gramos? 38. (1º ESO) En el plano de una casa, el salón mide 10 cm de largo por 7 cm de ancho. Si en la realidad el largo es de 5 m, cuál es la anchura del salón? 39. (1º ESO) Dos socios montan un negocio aportando y 15000, respectivamente. Para compensar la diferencia, cada uno se compromete a trabajar un número de horas inversamente proporcional a la cantidad aportada. Si el primero dedica al negocio 3 horas al día, cuántas horas al día debe dedicar el segundo? 40. (1º ESO) Un empresario premia a tres empleados con un incentivo económico directamente proporcional a los años de antigüedad en la empresa. El mayor, que lleva 20 años, recibe 500 euros. Cuánto recibirán los otros dos, que llevan en la empresa 15 años y 8 años, respectivamente? 41. (1º ESO) En un comedor escolar de 75 comensales, se han consumido 230 kilos de pescado en dos meses a) Cuántos kilos de pescado consumirán 75 comensales en un mes? b) Cuántos kilos consumirán 150 comensales en un mes? c) Cuántos kilos consumirán 150 comensales en tres mes? 42. (1º ESO) El banco me hace esta oferta: si deposito euros durante un año, me dan un 4,5% de intereses. Qué beneficio obtendría en la operación? 43. (1º ESO) Un embalse tenía, al finalizar el verano, 2,4 hectómetros cúbicos de agua. En otoño las reservas han aumentado en un 25%. Cuánta agua tiene al comenzar el invierno? 44. (1º ESO) Por un videojuego que costaba 60 he pagado 48. Qué porcentaje me han rebajado? 45. (1º ESO) He pagado 34 por una camisa que estaba rebajada un 15%. Cuánto costaba la camisa sin rebaja? 46. (1º ESO) Una parcela en forma de romboide tiene 20 m de largo y 9 de ancho. Cuánto medirá de ancho otra parcela que tiene igual área y 15 m de largo? 47. (1º ESO) En un paquete de galletas de 250 g se afirma que 50 g son gratis. Cuál es el porcentaje del peso que no pagamos? 48. (1º ESO) En un supermercado ofrecen un paquete de botellas de refresco por 9, con la siguiente oferta: "2 x 3", que significa que pagas dos paquetes y te llevas tres. Una persona se lleva 18 paquetes. Cuánto tuvo que pagar? 49. (1º ESO) Un comerciante añade un 50% al precio de compra de sus artículos al mayorista. En periodo de rebajas decide aplicar un descuento del 50% al precio que marca la etiqueta de cada artículo. a) Un artículo que le costó al comerciante 400, cuánto cuesta en periodo de rebajas?. b) Por qué pierde dinero si el porcentaje de incremento y de rebaja es el mismo? c) Qué porcentaje pierde del dinero invertido en cada artículo vendido en rebajas? 50. Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora. Cuánto tardará en llenar botellas? 51. En un taller de confección se han necesitado siete metros y medio de tela para confeccionar 6 camisas. Cuántos metros de tela se necesitarán para cubrir un pedido de ochenta camisas? Resuélvelo utilizando la constante de proporcionalidad. 52. Un granjero ha gastado 260 en 325 dosis de vacuna para su ganado. Cuánto debe gastar aún si necesita adquirir 180 dosis más? 53. En un colegio que tiene 480 alumnos, tres de cada diez han tenido gripe. Cuántos alumnos han padecido esa enfermedad? Resuélvelo utilizando la constante de proporcionalidad. 54. De la vendimia de las 10 primeras parras de una viña se han obtenido 125 kilos de uva. Qué cosecha cabe esperar de toda la viña, que tiene 362 parras? 14

15 55. Cuánto costará un trozo de queso de 465 gramos si el queso se vende a 13,5 euros el kilo? (Redondea el resultado a los céntimos). 56. Obtén la constante de proporcionalidad y los valores de x e y en esta tabla de proporcionalidad directa: Magnitud A y Magnitud B 1,2 1,6 x El trabajo de recolección de la aceituna de una finca puede ser realizado por 70 obreros durante 45 días. Si el plazo que se tiene es de 30 días, cuántos obreros más deberán contratarse? 58. En una planta envasadora, 5 máquinas envasan un pedido de botes trabajando 6 horas diarias. Si se averían dos máquinas, cuántas horas diarias deben trabajar las máquinas restantes para envasar un pedido de botes? 59. Un reloj se adelanta 4 minutos cada 28 h. Cuánto tiempo se adelantará cada semana? 60. Un grifo vierte 30 litros por minuto y tarda 3 h en llenar un depósito. Cuánto tiempo necesitará para llenar el mismo depósito otro grifo que vierte 45 litros por minuto? 61. Una pieza de tela de 42 m vale 210. Cuánto costará una pieza de 64 m de la misma tela? 62. El tablero de una mesa tiene 120 cm de largo por 80 cm de ancho. Si se desea una mesa de 150 cm de largo y con la misma superficie, cuánto debe medir de ancho? 63. En una mezcla de azúcar, el 20 % es azúcar moreno. Si hay 150 g de azúcar moreno en la mezcla, cuánto pesa el total de la misma? 64. En una fiesta de cumpleaños hay 60 botellas de refresco. Si hay 9 botellas de limón, cuál es el tanto por ciento de este tipo de refresco? 65. Un comerciante paga 12 por unas figuras de cristal. Si se desea ganar el 64 % del precio de costo, a qué precio se debe vender cada figura? 66. Hoy han faltado al ensayo de la banda 6 músicos, lo que supone un 20% del total. Cuántos músicos componen la banda? 67. A Marta le han subido el sueldo un 10% y ahora gana 1760 al mes. Cuál era su sueldo antes de la subida? 68. Una falda, rebajada un 15%, ha costado 36,55. Cuánto costaba sin rebaja? 69. En cierta ciudad, el número de usuarios de internet ha llegado a 21000, lo que supone un aumento de un 20% respecto del año anterior. Cuántos usuarios de internet había hace un año? 70. El precio del kilo de tomates subió un 20% y después baja un 25%. Si antes costaba 1,80, cuál es el precio actual? 71. Adriano tenía ahorrados 200 y ha gastado 50 en un reproductor MP3. Qué tanto por ciento de sus ahorros ha gastado? 72. De las 24 solicitudes de trabajo que ha recibido una empresa, ha aceptado 21. Qué porcentaje ha sido rechazado? 73. Una vivienda que costó hace tres años se ha vendido ahora por Qué tanto por ciento ha subido en este periodo? 74. Un obrero gana 540 por trabajar 15 días a razón de 6 h diarias. Cuánto ganará por 8 días de trabajo a razón de 9 h diarias? 75. En unas vacaciones, 7 personas gastan 63 diarios en alimentación. Calcula cuántas personas podrán alimentarse durante 30 días con Un trabajo se ha realizado con 50 obreros que emplearon 15 días trabajando 10 h diarias. Si el trabajo se hiciese con 75 obreros durante 20 días, cuántas horas diarias tendrían que trabajar? 77. El precio por transportar 800 kg de mercancía a una distancia de 120 km es de 80. Qué precio se pagará por transportar 1200 kg a 450 km? 78. Una obra se hace con 24 obreros durante 18 días a razón de 8 h diarias. Con cuántos obreros se haría la misma obra en 12 días a razón de 9 h diarias? 15

16 79. Cinco grifos abiertos 15 h diarias han vertido agua por valor de 25. Qué coste de agua se tendrá con 12 grifos abiertos 6 h diarias durante el mismo período de tiempo? 80. Un libro tiene 630 páginas, y cada una de ellas tiene 60 líneas de 80 caracteres. Si se escribe el mismo libro con 70 líneas en cada página, y cada línea tiene 90 caracteres, cuántas páginas tendrá el libro? 81. a) Qué interés generará un capital de 5400 durante 6 meses al 3,5 % anual? b) Durante cuántos meses se deben depositar 3000 al 5 % de rédito para obtener 112,5 de interés? c) A qué rédito se deben depositar 9000 durante 180 días para obtener 270? 82. a) Qué interés produce un capital de 7800 al 4,5% durante 3 años? b) Calcula el capital que hay que depositar al 3 % durante 20 meses para que genere un interés de 225 c) Cuántos días debe estar un capital de 3600 al 4 % de interés para obtener 72? 83. En una granja hay pienso para 2400 gallinas durante 120 días. Si se venden 600 gallinas, durante cuántos días se tendrá alimento para las gallinas que quedan, sin variar la ración? 84. Para hacer una obra en 120 días hacen falta 20 obreros trabajando 8 h diarias. Cuántos días duraría la misma obra si hubiese 16 obreros trabajando 6 h diarias? 85. Transportar 250 cajas a 400 km de distancia cuesta 320. Cuántas cajas pueden transportarse a una distancia de 300 km por 720? 86. Cuatro grifos llenan a la vez un depósito de 8000 litros en 15 h. Cuánto tiempo tardarán cinco grifos iguales a los anteriores en llenar a la vez un depósito de litros? 87. Si el 15 % de una masa de bollo es leche, cuánta leche contiene un bollo de 250 g? 88. En una mezcla de pienso para conejos hay un 15 % de fibra. Qué cantidad de pienso se le debe dar a un conejo si se quiere que ingiera 27 g de fibra? 89. Jaime ha pagado 27 por una camisa que costaba 36. Cuál es el descuento que se ha aplicado? 90. En un pueblo ha disminuido la población un 8 % en los últimos cinco años. Si aún quedan 782 habitantes, cuántos había en el pueblo? 91. La razón de dos números es 2/5. Sabiendo que el mayor de ellos es 35, calcula el otro. 92. Un transportista cobra 810 por trasladar una carga a 45 km de distancia. Cuánto cobrará por trasladar la misma carga a 150 km? 93. Un trabajo mecanografiado tiene 70 páginas, y cada una de ellas tiene 36 líneas. Cuántas páginas tendría el mismo trabajo si cada página tuviese 30 líneas? 94. En una asociación de vecinos preparan un viaje y contratan un autocar. Al principio se apuntan 45 personas, que deben pagar 8 cada una. Si anulan su viaje 9 personas, cuánto debería pagar cada una? 95. Para hacer 90 kg de masa de bizcocho se necesitan 54 kg de harina. Cuántos kilos de harina se necesitarán para hacer 160 kg de masa? 96. Veinte obreros asfaltan un tramo de carretera en 60 días. Cuántos obreros harán falta para asfaltar el mismo tramo en 25 días? 97. Un grifo abierto 9 h diarias durante 8 días ha vertido 5400 litros de agua. Si permanece abierto 6 h diarias durante 18 días, cuántos litros habrá vertido? 98. Un grupo de 8 obreros han canalizado 400 m de tubería en 20 días. En cuánto tiempo se canalizarán 800 m si trabajan 10 obreros? 99. Una persona lee un libro en 8 días dedicando 3 h diarias a razón de 15 páginas por hora. Cuántas horas diarias debe leer para acabar el libro en 20 días a razón de 9 páginas por hora? 100. a) Qué interés generará un capital de 4800 durante 18 meses al 6 % anual? b) Durante cuántos meses se deben depositar al 3 % de rédito para obtener 600 de interés? c) A qué rédito se deben depositar 9000 durante 200 días para obtener 250? Se prepara para una fiesta una limonada con 15 litros de agua y 10 litros de zumo de limón. Qué porcentaje de zumo de limón tiene la limonada?

17 102. El precio de un bono de 10 viajes de autobús ha pasado de 8,4 a 8,82. Qué porcentaje de subida ha tenido el bono? 103. En un cultivo de bacterias, se ha producido un aumento del 15%. Cuántas bacterias se encuentran en el cultivo? 104. En un ayuntamiento organizan todos los años una campaña para recoger dinero para las familias necesitadas. Este año han recogido un 12 % más que el año pasado. Si el año anterior recogieron 13500, cuánto han recogido este año? 105. Una rueda de 25 dientes está engranada a otra rueda de 50 dientes. Si aquella gira a 120 revoluciones por minuto, a cuántas revoluciones por minuto girará la segunda? 106. En una granja se tiene alimento para 150 conejos durante 80 días. Si al cabo de 20 días se venden 100 conejos, durante cuántos días se tendrá alimento para los conejos que quedan, sin variar la ración? 107. En una factura de 250, hemos pagado 290 por un recargo de demora. Qué porcentaje han incrementado en la factura? 108. En la imagen puedes ver el número de reproducciones de un canal en youtube este mes (desde el 30/10/2012 al 28/11/2012). a) Qué porcentaje de las reproducciones se han hecho desde España? b) Qué porcentaje se han hecho desde Argentina? c) Cuál es la razón entre el nº de visitas desde España y las de México?. Interpreta ese número. d) Cuál es el promedio estimado de minutos en cada reproducción?. e) Cuál es el promedio de reproducciones al día?. f) Para los próximos 30 días se espera un aumento de reproducciones del 15%. Cuántas reproducciones se esperan?. Cambiará el número obtenido en el apartado c)?, por qué? g) El mes anterior hubo 5937 reproducciones, cuál es el porcentaje de aumento éste mes? 109. En la compra de unos pantalones, nos aplican un descuento del 20 %. Calcula el precio de los pantalones si hemos pagado 57, Dos poblaciones separadas 5 cm en un mapa están a 35 km de distancia en la realidad. Cuál es la distancia real entre dos poblaciones que en el mapa distan 13 cm? 111. Una empresa de confección, para cumplir con un pedido que ha de entregar en 12 días, debe fabricar 2000 prendas cada día. Si por una avería en las máquinas se retrasa el inicio del trabajo en dos días, cuántas prendas diarias debe fabricar para cumplir a tiempo con el pedido? 112. Cincuenta terneros consumen 4200 kilos de alfalfa a la semana. a) Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día? b) Cuántos kilos de alfalfa se necesitan para alimentar a 20 terneros durante 15 días? c) Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de 600 kilos de alfalfa? 113. En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado 600 chaquetas en 10 días. a) Cuántas prendas se fabricarían con 5 máquinas en 15 días? b) Cuántas máquinas habría que poner en producción para fabricar 750 prendas en 15 días? c) Si se trabajara solamente con 5 máquinas, cuántos días se tardaría en fabricar 750 prendas? 114. Una alfombra sintética, de 1,80 m de largo por 90 cm de ancho, ha costado 72. Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene 3 m de largo y 1,20 m de ancho? 115. Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datos para un estudio de mercado en 27 días. Cuánto tardarían en hacer el mismo trabajo 9 encuestadores trabajando 10 horas cada día? 116. El gráfico representa la relación entre la población autóctona y la inmigrante en un pueblo agrícola del sur de España a) Qué fracción de la población es inmigrante? 17

18 b) Cuántas de cada personas son inmigrantes? c) Cuántas de cada 100 personas son inmigrantes? d) Cuál es el porcentaje de inmigrantes? 117. Luisa tiene de tarea resolver 18 problemas de matemáticas de los que ya ha solucionado más del 65%, pero menos del 70%. Cuántos problemas le quedan por resolver? 118. De 5475 hombres encuestados, solamente 76 declaran saber planchar. Qué tanto por ciento de los hombres reconoce saber planchar? 119. Una tarta que pesa un kilo y ochocientos gramos lleva un 10% de agua, un 8% de proteínas, el doble de grasa que de proteínas y el resto de hidratos de carbono. Cuántos gramos de hidratos de carbono hay en la tarta? 120. Un depósito de agua está al 93% de su capacidad. Si se añaden litros, quedará completo. Cuál es la capacidad del depósito? 121. Este mes ha habido en Elche 120 accidentes de tráfico, lo que mejora la cifra del año pasado, que fue de 160 accidentes. En qué tanto por ciento han disminuido este tipo de accidentes? 122. Un hortelano tiene un campo de 3500 metros cuadrados y desea plantar un 45% de ellos de pimientos. Cuántas plantas pimenteras debe adquirir si coloca 9 plantas por metro cuadrado y siempre compra un 10% más, para reponer las que se estropean? 123. Raúl tiene 13 años y ha ingresado en el banco sus ahorros a un interés simple. a) Si el capital actual es de 1200, qué capital tendrá cuando cumpla 20 años si el tipo de interés es del 6%? b) Si el capital actual es de 1200, qué tipo de interés debería ofrecerle el banco para duplicar su capital cuando cumpla 20 años?. c) Si el capital actual es de 1200, cuándo duplicará su capital si el tipo de interés es del 6%? y si el capital hubiera sido de 100? Por qué no cambia el tiempo transcurrido? d) Cuál debería ser el capital inicial de Raúl, para que cuando cumpla 20 años tenga 2400, si el banco le ofrece el 6% de tipo de interés? 124. Qué interés producen 800 euros al 6% durante un año? Y durante un mes? Y durante 7 meses? Y durante 5 días? 125. En unos grandes almacenes, rebajan un abrigo un 20% en las primeras rebajas y, sobre ese precio, vuelven a hacer otro 20% de descuento en las segundas rebajas. Qué porcentaje del precio original se ha rebajado el abrigo? Ayuda: Supón, por ejemplo, que el abrigo costaba inicialmente 100 euros El 1 de marzo de 2002 desaparece la peseta después de 133 años de historia dejando paso al euro. El cambio se establece de la siguiente forma: 1 euro equivale a 166,38621 ptas. a) Si el déficit de la Comunidad Valenciana en 2011 fue de 1543 millones de euros, cuál es el déficit previsto para 2012 si se espera que aumente un 1,2%? Expresa el resultado en euros y en pesetas. b) A cuántos euros equivalen 1000 pesetas?. c) El precio de la entrada de cine en 1978 era de 25 ptas. A cuántos euros equivalen?. Si ahora la entrada cuesta 8, cuál ha sido el porcentaje de subida? Dado un cuadrado de lado 3 cm, sabemos que su perímetro es 12 cm y su área es 9 cm 2. a) Cuál es el perímetro y el área de un cuadrado de lado 6 cm? y si el lado es 9 cm? b) La relación entre la magnitud A: "longitud del lado de un cuadrado" y la magnitud B: "perímetro del cuadrado" es directamente proporcional o inversamente proporcional? Razona la respuesta. c) La relación entre la magnitud A: "longitud del lado de un cuadrado" y la magnitud B: "área del cuadrado" es directamente proporcional o inversamente proporcional? Razona la respuesta El Gobierno español anunció el 31 de noviembre de 2012 que no compensará a los pensionistas por el desvío de la inflación en 2012, del 2,9 % en noviembre, y que en 2013 subirá las pensiones inferiores a euros un 2 por ciento, frente al 1 por ciento de incremento general. a) Un pensionista que cobra 628 mensuales en 2012, cuánto cobrará en 2013? b) Un pensionista que cobra 1540 mensuales en 2012, cuánto cobrará en 2013? c) Para qué pensionista la subida ha sido mayor? Por qué la pregunta está mal formulada? d) Cuál ha sido el porcentaje de pérdida de poder adquisitivo para cada pensionista? Interpreta el resultado. 18

19 129. Cuál es la razón entre el ancho y el alto de una pantalla de televisión panorámica 16:9?, y en una pantalla 4:3?. Interpreta el resultado A cuántos mmhg de presión está sometido un gas a una temperatura de 578 ºK que ocupa kl, sabiendo que a una temperatura de 17 ºK y 1500,5 mmhg ocupa 5 kl? Ayuda: La presión y el volumen son dos magnitudes inversamente proporcionales (Ley de Boyle-Mariotte). Ayuda: El volumen y la temperatura (en grados Kelvin ºK) son dos magnitudes directamente proporcionales (Ley de Charles-Gay Lussac). Ayuda: La presión y la temperatura (en grados Kelvin ºK) son dos magnitudes directamente proporcionales (Ley de Charles-Gay Lussac). Ayuda sobre las unidades de la magnitud temperatura: ºK=ºC+273. Ayuda sobre las unidades de la magnitud presión: 1 atm.=760 mmhg. (atm. es atmósfera, mmhg son milímetros de mercurio) Busca información en internet sobre el barómetro de Torricelli para saber qué es una atmósfera. Solución: 12,75 mmhg 19

20 SOLUCIONES: 1. (Ver vídeo) 2. c1) x=15; c2) x=15; c3) x=15; c4) x=32,5; d) 20 años (Ver vídeo) 3. c1) 15 ; c2) 5 balones (Ver vídeo) 4. a1) 20 L; a2) 500 g; b) 4,8 ; c) 8,75 (Ver vídeo) 5. c1) 10 días; c2) 4 caballos (Ver vídeo) 6. a) 30 min; b) 6 min; c) 1/2 (Ver vídeo) 7. (Ver vídeo) 8. b) 400 m 2 (Ver vídeo) 9. 4 días (Ver vídeo) h (Ver vídeo) días (Ver vídeo) 12. b) 45,6; c) 65; d) 55%; e) 750 ; f) 552 ; g) 28%; h) 1,25 ; i) 5%; j) IVA: 4% (Ver vídeo) 13. a) 180 Km; b) 35%; c) 527 ; d) 620 ; e) 15%; f) 216 t; g) 180 t; h) 20%; i) 29%; i) Un 100% (Ver vídeo) 14. (Ver vídeo) 15. 8%; 34 asiáticos (Ver vídeo) 16. No, Cuesta 600, un 25% menos (Ver vídeo) 17. b) 81 ; c) 1200 ; 5000 ; e) 4%; f) 18 meses. (Ver vídeo) 18. (Ver vídeo) 19. (Ver vídeo) 20. (Ver vídeo) 21. a) 2 ; b) 30 m; c) 400 g; d) 10,5 m; e) 28 cm; f) 21 cupones (Ver vídeo) 22. 7,65 (Ver vídeo) 23. (Ver vídeo) 24. (Ver vídeo) 25. (Ver vídeo) personas (Ver vídeo) de tomate, 405 de naranja, 180 de pera, 90 de melocotón (Ver vídeo) (Ver vídeo) (Ver vídeo) habitantes (Ver vídeo) personas (Ver vídeo) 32. El 65% (Ver vídeo) % 34. a) 6 ; b) 2,70 ; c) 6h, 2h; 10 min. (Ver vídeo) días. (Ver vídeo) macetas. (Ver vídeo) 37. 9,6 (Ver vídeo) 38. 3,5 m (Ver vídeo) h (Ver vídeo) , 200 (Ver vídeo) 41. a) 115 Kh; b) 230 Kg; c) 690 Kg (Ver vídeo) (Ver vídeo) hm 3 (Ver vídeo) 44. Un 20% (Ver vídeo) (Ver vídeo) m (Ver vídeo) 47. El 20% (Ver vídeo) (Ver vídeo) 49. a) 300 ; c) El 25% (Ver vídeo) minutos m de tela (Ver vídeo) alumnos (Ver vídeo) Kg , x= 2; y=15 (Ver vídeo) obreros (Ver vídeo) h/día (Ver vídeo) min. (Ver vídeo) h cm (Ver vídeo) g % ,68 (Ver vídeo) músicos

21 El 40% (Ver vídeo) El 5% (Ver vídeo) usuarios bacterias 70. 1,62 (Ver vídeo) El 25% RPM (Ver vídeo) 72. El 12,5% días (Ver vídeo) 73. El 25% (Ver vídeo) 107. Un 16% (Ver vídeo) personas (Ver vídeo) h (Ver vídeo) Km (Ver vídeo) obreros prendas por día páginas (Ver vídeo) 81. a) 94,5 ; b) 9 meses; c) 6,08% (Ver vídeo) 82. a) 1053 ; b) 4500 ; c) 182,5 días (Ver vídeo) días días cajas horas ,5 g de leche g (Ver vídeo) % de descuento habitantes (Ver vídeo) páginas (Ver vídeo) Kg de harina obreros litros días h/día (Ver vídeo) 100. a) 432 ; b) 20 meses; c) el 5,07% (Ver vídeo) 108. a) 65,7%; b) 5,2%; c) 703%; d) 2,63 min; 201,2 rep/día; f) 6941,4 repr; g) 1,6% (Ver vídeo) 112. a) 12 Kb; b) 3600 Kg; c) 5 días (Ver vídeo) 113. a) 750 chaquetas; b) 5 máquinas; c) 15 días (Ver vídeo) días 116. a)1/8; b) 125 personas; c) 12,5 inmigrantes; 12,5% (Ver vídeo) problemas (Ver vídeo) ,88% g de hidratos de carbono (Ver vídeo) L (Ver vídeo) 121. Un 25% plantas (Ver vídeo) 123. a) 1704 ; b) 14,3%; c) 16 años 8 meses; d) 1690,14 (Ver vídeo) ; 4 ; 28 ; 0,66 (Ver vídeo) 125. Descuento del 36% (Ver vídeo) 126. a) 1561,516 millones euros; ,7291 millones pesetas; b) 6,01 ; c) 0,15 ; Incremento del 5233% (Ver vídeo) 127. (Ver vídeo) ,56 /mes; b) 1555,40 ; (Ver vídeo) 21