Matrices. Definiciones básicas de matrices. José de Jesús Angel Angel
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- Germán Acuña Rivero
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1 Matrices Definiciones básicas de matrices José de Jesús Angel Angel MathCon c
2 Contenido 1. Matrices Matrices cuadradas Matriz transpuesta Elementos de una matriz Matriz identidad Matriz nula Matriz diagonal Matriz triángular Matrices binarias Operaciones entre matrices Suma entre matrices Producto por un escalar Producto de matrices
3 1 Matrices Definición 1 Una matriz real es una función A de [1,..,n] [1,..,m], alconjuntodelosnúmeros reales R, ydecimosquea tiene orden n m Una matriz A se representa con todos sus valores de manera usual como un arreglo de n filas y m columnas: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A a n1 a n2 a nm También la podemos representar como A a ij,donde1 i n, 1 j m. Ejemplos de matrices:
4 1. Matrices 4 a11 a 1. Ejemplo de una matriz 2 2: A 12 a 21 a 22 Como función la matriz anterior se escribe A :[1,..,n] [1,..,m] R, donde: 2. Ejemplo de una matriz 3 3: A 1, 1 a 11 1, 2 a 12 2, 1 a 21 2, 2 a 22 a 21 a 22 a 23 Como función se escribe A :[1,..,3] [1,..,3], donde: 3. Ejemplo de una matriz 3 2: A 11 a a a a a a a a a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a11 a 4. Ejemplo de una matriz 2 3: A 12 a 13 a 21 a 22 a Ejemplo de una matriz 1 3: A 6. Ejemplo de una matriz 3 1: A a 11 a 21 a 31 Igualdad de matrices:
5 1.1. Matrices cuadradas 5 Definición 2 Dos matrices A, B del mismo orden n m son iguales si y sólo si, son iguales como funciones. Es decir si son iguales entrada por entrada: A B a ij b ij 1 i n, 1 j m 1.1. Matrices cuadradas Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas. Éste conjunto de matrices suele escribirse como M n.lasmatricescuadradastienenpropiedadesparticulares. A a 21 a 22 a Matriz transpuesta Dada una matriz A se define la matriz transpuesta A T la transpuesta, como aquella que cambia las filas por columnas, o las columnas por filas, es decir: Si A a ij,entoncesa T a ji Para una matriz en M 3 : Si A a 21 a 22 a 23,entoncesA T a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 Ejemplo: Si A , entoncesa T Propiedades de la matriz transpuesta: 1. A T T A, latranspuestadeunatranspuestaesigualalamatriz.
6 1.3. Elementos de una matriz 6 A AT AT T ra T ra T,latranspuestadeunproductoescalareselproductoescalardelatranspuesta. 3. Si A A T,lamatrizsellamasimétrica. 4. Si A T A,lamatrizsellamaantisimétrica Elementos de una matriz 1. Sea A M n una matriz cuadrada decimos que los elementos a 11,a 22,... conforman la diagonal principal de una matriz. Por ejemplo en M 3, N 3 a 21 a 22 a Sea A M n una matriz cuadrada definimos a la traza de la matriz A como tra a 11 + a A nn 1.4. Matriz identidad En M n existe la matriz identidad, que consiste en una matriz con unos en la diagonal es decir donde i j ycerosenotrolugaroseadondei j. Por ejemplo en M 3, I a ij { 1 si i j 0 si i j
7 1.5. Matriz nula Matriz nula En M n existe la matriz nula N,queconsisteenunamatrizdondetodossuselementosa ij son cero. Por ejemplo en M 3, 1.6. Matriz diagonal N La matriz es diagonal si tiene valores cero fuera de la diagonal. En la diagonal es posible tener ceros o no. Si a ij 0, con i j A a a a Matriz triángular Una matriz es triángular superior, si tiene valores cero abajo de la. Si a ij 0, con i>j A 0 a 22 a a 33 Una matriz es triángular inferior, si tiene valores cero arriba de la diagonal. Si a ij 0, con i<j A a a 21 a 22 0
8 1.8. Matrices binarias 8 Una matriz es no negativa si todas sus entradas no son negativas. Si a ij 0, i, j Una matriz simétrica si a ij a ji,esdecirsia A T Si a ij a ji, i, j Ejemplo: A Matrices binarias Una matriz es binaria, si sus entradas toman sólo dos valores diferentes, podemos tomar los valores de 0, 1. A Las matrices binarias tienen varias aplicaciones, los valores 0, 1 representan elementos de un campo finito de dos elementos, esto quiere decir que los elementos 0, 1 se pueden multiplicar y sumar, y en ambos casos forman un grupo Abeliano. Es decir: +:{0, 1} {0, 1} {0, 1}, Para esta suma: 1. La suma es conmutativa. 2. La suma es asociativa
9 1.8. Matrices binarias 9 3. Existe el neutro aditivo, Existe el inverso aditivo, a. : {0, 1} {0, 1} {0, 1}, Para este producto: 1. El producto es conmutativo. 2. El producto es asociativo. 3. Existe el neutro multiplicativo, Existe el inverso multiplicativo, a
10 2 Operaciones entre matrices 2.1. Suma entre matrices La suma esta definida sólo para matrices del mismo orden, es decir, sólo se puede sumar una matriz de orden n m con otra de orden n m.lasumaserealizaentradaporentrada,esdecir: Si A a ij,yb b ij, entonces A + B a ij + b ij Ejemplos de suma de matrices: 1. Una matriz de orden 2 2 más otra del mismo orden
11 2.2. Producto por un escalar Una matriz de orden 3 2 más otra del mismo orden Una matriz de orden 1 3 más otra del mismo orden Una matriz de orden 3 1 más otra del mismo orden Una matriz 3 3 sumada con otra del mismo orden a 21 a 22 a 23 + b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 31 + b 31 a 32 + b 32 a 33 + b 33 Las matrices con la suma forman un grupo Abeliano, es decir: 1. La suma de matrices es conmutativa, A + B B + A. 2. La suma de matrices es asociativa, A +B + C A + B+C. 3. Existe la matriz neutro aditivo cero, tal que A +00+A A. 4. Para toda matriz A,existeinversoaditivolamatriz A Producto por un escalar El producto de un escalar número real r por una matriz ra, sedefinedelaformanatural,esdecir, multiplicar cada entrada de A por el número r.elordendea puede ser cualquiera.
12 2.3. Producto de matrices 12 Si A a ij, entonces ra ra ij Ejemplos 1. Una matriz 2 2 por r Una matriz 3 2 por r Una matriz 3 3 por r. r a 21 a 22 a ra 11 ra 12 ra 13 ra 21 ra 22 ra 23 ra 31 ra 32 ra Producto de matrices El producto de matrices esta definido, entre A, matrizdeordenn p, porb de orden p m. Dando como resultado C de orden n m Si A a ij,yb b ij,entoncesc c ij donde c ij p k1 a ikb kj. Ejemplos de producto de matrices: 1. Una matriz 2 2 por otra de orden El proceso es el siguiente: a Semultiplica laprimerafila delaprimera matrizpor laprimera columna de la segunda.
13 2.3. Producto de matrices _ b Seavanzadefilaysemultiplicalasegundafiladelaprimeramatriz por la primera columna de la segunda _ _ c Demanerasimilarsemultiplicalaprimerafiladelaprimeramatriz por la segunda columna de la segunda _ d Avanzandodefilafinalmente,semultiplicalasegundafiladela primera matriz por la segunda columna de la segunda Una matriz 2 2 por otra de orden Una matriz 2 2 por otra de orden / / / /2 3 7/2 4. Una matriz 2 3 por otra de orden / / / /2 16 8
14 2.3. Producto de matrices Una matriz A, 3 3 por otra B de orden 3 3. A AB a 21 a 22 a 23 B b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 21 b 13 + a 22 b 23 + a 23 b 33 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 32 b 23 + a 33 b 33, Resumiendo: 1. La suma de matrices forma un grupo Abeliano, es decir, es conmutativa, es asociativa, existe la matriz cero 0, yparatodamatriza, existelamatrizinversaaditiva A. 2. Para el producto de matrices: éste NO es conmutativo, si es asociativo, existe la matriz neutra I para matrices cuadradas, y NO para toda matriz A,existesumatrizinversamultiplicativaA 1. Propiedades de la matriz transpuesta y operación entre matrices: 1. A + B T A T + B T,latranspuestadeunasuma,eslasumadelastranspuestas A+B 3 7 A+B A, B T A, AT B, B T A T + B T AB T B T A T,latranspuestadeunproductoeselproductoconmutadodelastranspuestas. 2 6 A A AT 6 5 B T A T 1 1, B 2 3 AB T , B BT AB
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