EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL

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1 Gestón Aeronáutca: Estadístca Teórca Facultad Cencas Económcas y Empresarales Departamento de Economía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL

2 Gestón Aeronáutca: Estadístca Teórca Facultad Cencas Económcas y Empresarales Departamento de Economía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL Ejercco.- Un epermento consste en lanzar tres veces una moneda. Sea la varable aleatora: ="número de caras que se obtenen". Se pde: a) Dstrbucón de probabldad de b) Funcón de dstrbucón de. Representacón gráfca c) Meda, varanza y desvacón típca de d) Probabldad de que salgan a lo sumo dos caras e) Probabldad de que salgan al menos dos caras Solucón: a) Espaco muestral: (c,c,c),(c,c,e),(c,e,c),(e,c,c),(c,e,e),(e,c,e),(e,e,c),(e,e,e) (c,c,c) P( ) 8 (c,c,e) (c,e,c) (e,c,c) P( ) 8 (c,e,e) (e,c,e) (e,e,c) P( ) 8 (e,e,e) P( ) 8 La dstrbucón de probabldad será: P( ) p.p. p ,5 8 b) La funcón de dstrbucón: F() P( ) P( ) p F() P( ) P( ) F() P( ) P( ) 8 F() P( ) P( ) P( ) P( ) F() P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) F() P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) F() P( ) P( )

3 P( ) F() P( ) F() 8 78 c) Meda, varanza y desvacón típca de Meda: E().P( ). p,5 8 E( ).P( ). p 8 E.P( ) Varanza:,5,75 Desvacón típca:,75,87 d) Probabldad de que salgan a lo sumo dos caras 7 P( ) P( ) P( ) P( ) o ben P( ) F() 8 e) Probabldad de que salgan al menos dos caras P( ) P( ) P( ) o ben P( ) F() 8

4 Ejercco.- La varable aleatora: ="número de hjos por famla de una cudad" tene la sguente dstrbucón de probabldad: 5 6 P( ),7,,,6,,, Se pde: a) Meda o esperanza matemátca. Sgnfcado b) Varanza y desvacón típca c) S el Ayuntamento de la cudad paga euros por hjo e., cuál es la dstrbucón de probabldad? d) Meda, varanza y desvacón típca de Solucón: a) P( ) p.p. p,7,,,,,,,6,8 9,5 5,,6 6,6 6 5,, 5,5 7 6,,6 6,6,7 Meda: 7 7 E().P( ). p S se toma al azar una famla de la cudad, el número de hjos que se espera que tenga por térmno medo es uno. b) Varanza y desvacón típca 7 E.P( ) Varanza: 7 7 E( ).P( ). p,7,7,7 Desvacón típca:, 7, c) Dstrbucón de probabldad de la varable.

5 P( y j) p j y j y,7 y., y., 6.,6 y5 8., y6., y7., d) Meda, varanza y desvacón típca de E(. ).E().. Var(. ).Var()., ,8 Ejercco.- Completar la ley de probabldad, conocendo que la esperanza matemátca es,8 P( ) p, a b, Solucón: p,ab, ab,5. p ab,9,8 ab,9 Resolvendo el sstema: a b,5 b, a b,9 a,

6 Ejercco.- Al lanzar cuatro monedas se consdera el número de escudos obtendos. De la varable aleatora así obtenda, se pde: a) Ley de probabldad. Representacón gráfca b) Funcón de dstrbucón. Representacón gráfca c) Esperanza matemátca y varanza d) Medana y moda de la dstrbucón e) Probabldad de obtener más de uno y menos de tres escudos Solucón: a) Sea ='número de escudos en la trada de cuatro monedas' (c,c,c,c),(c,c,c,e),(c,c,e,c),(c,c,e,e),(c,e,c,c),(c,e,c,e),(e,c,c,c),(e,c,c,e), (e,e,e,e),(e,e,e,c),(e,e,c,e),(e,e,c,c),(e,c,e,e),(e,c,e,c),(c,e,e,e),(c,e,e,c) (c,c,c,c) P( ) 6 (c,c,c,e) (c,c,e,c) (c,e,c,c) (e,c,c,c) P( ) 6 (c,c,e,e) (c,e,c,e) (e,c,e,c) (e,e,c,c) (e,c,e,c) (c,e,c,e) P( ) 6 6 (e,e,e,c) (e,e,c,e) (e,c,e,e) (c,e,e,e) P( ) 6 (e,e,e,e) P( ) 6 La ley de probabldad o funcón de cuantía: P( ) b) Funcón de dstrbucón: P( ) F() P( ) F()

7 Ley de Probabldad Funcón de dstrbucón c) Cálculo de la esperanza matemátca y varanza P( ) P( ) P( ) P( ).P( ) 5 Meda: 5 E().P( ) 5 E( ).P( ) 5 Varanza: Var() 5 d) Observando la ley de probabldad la moda Md Observando la funcón de dstrbucón la medana prmer valor que guala o deja por debajo a,5 Me por ser F( ) 6 el e) 6 P( ) P( ),75 o ben P( ) F() F()

8 Ejercco 5.- Calcular la meda, varanza y coefcente de varacón de la varable aleatora que tene como funcón de dstrbucón: Solucón:, F(),55 6, La ley de probabldad o funcón de cuantía: 6 8 P( ),,5,,5 Advértase que la funcón de dstrbucón F() es una funcón acumulatva, por tanto: P( ) F() F(), P( ) F() F(),55,,5 P( 6) F(6) F(),85,55, P( 8) F(8) F(6),85,5 Cálculo de la esperanza matemátca y varanza 6 8 P( ),,5,,5.P( ),,,8,.P( ), 8 5,6,8 9,6.P( ),8.P( ) 6,8 Meda: E().P( ),8 E( ).P( ) 6,8 Varanza: Var() 6,8,8,76 Desvacón típca:,76,9 Coefcente varacón:, 9,8 CV, 7

9 Ejercco 6.- La varable dscreta tene como dstrbucón de probabldad P( ),,5,,5 Se realza un cambo de orgen haca la zquerda de dos undades y un cambo de escala de undades. Se pde: a) Meda y varanza de la b) Meda, varanza y coefcente de varacón de la varable transformada por el cambo de orgen c) Meda, varanza y coefcente de varacón de la varable transformada por el cambo de escala d) Meda, varanza y coefcente de varacón de la varable transformada por el cambo de orgen y escala Solucón: a) P( ) p.p. p,,,,5,5,,, 9,9,5, 6 5,6,5 7,8 Meda: E().P( ). p,5 E( ).P( ). p 7,8 Varanza: 7,8,5,55 Desvacón típca:, 55, 5 Coefcente de varacón:, 5 CV, 98,5 b) Sea la varable transformada, al realzar un cambo de orgen haca la zquerda de dos undades hay que restar, quedando: ' ( ). Meda: E() E E( ) E() E(),5,5 8

10 Varanza: Var Var() Var(),55 Desvacón típca:, 55, 5, 5 Coefcente de varacón: CV,8 CV,5 En consecuenca, el cambo de orgen afecta a la meda y, en consecuenca, al coefcente de varacón. c) Al realzar un cambo de escala de undades, la varable transformada es,5 Meda: E() E. E(). Varanza:,55 Var.Var().., Desvacón típca:, 55.,55. 9 Coefcente de varacón:.. CV CV, 98 El cambo de escala afecta a la meda y a la desvacón típca de la msma forma, en consecuenca deja nvarante al coefcente de varacón. Resultados que se observan en la tabla, donde y j P( y j) p j y.p j j y j y. p,, 9, 9,5,5 9 9,,,,5, 6 9 5,6 9,5 7,8 9 j j Meda:,5 E() y.p( y ) y. p. j j j j j j Varanza: 7,8 E( ) y.p( y ) y. p. E( ) j j j j j j ,8,5,

11 Desvacón típca:, 55.,55. 9 Coefcente de varacón:.. CV CV, 98 d) Al realzar smultáneamente un cambo de orgen de undades a la zquerda y un cambo de escala de undades, la varable transformada es Meda: E() E. E( ). E(),5 con lo que, E(). E().,5,5 Varanza: Var() Var. Var( ). Var() Desvacón típca:, 55.,55. 9 Coefcente de varacón:., 5 CV,8 CV.,5 El cambo de orgen y de escala afecta a la meda y desvacón típca de dstnta forma, en consecuenca tambén queda afectado el coefcente de varacón. Resultados que se observan en la tabla, donde y j P( y j) p j y.p j j y j y j. pj,,,, ,,5 5 9,5 9,5,7,,5,8 9 Meda:,5 E() y.p( y ) y. p,5 j j j j j j E( ) y j.p( y j) y j. p j j j,8 9

12 Varanza:.,8,5, Desvacón típca:, 55.,55. 9 Coefcente de varacón:., 5 CV,8 CV,5,5.,5 Ejercco 7.- En un cne de verano hay nstaladas 8 sllas, sabendo que el número de asstentes es una varable aleatora de meda 6 y desvacón típca. Qué probabldad este de que el número de personas que vaya al cne un día cualquera sea superor al número de sllas nstaladas? Solucón: Sea la varable aleatora = "número de sllas del cne", donde 6, P 8 P k k k 8 k 86 P 8,5 Ejercco 8.- La varable dscreta tene como dstrbucón de probabldad Se pde: P( k) sendo k,,, a) Funcón de dstrbucón b) P( 7) c) P( 5) d) P( 7) Solucón: a) F() P( ) sendo,,, Advértase que entre dos valores consecutvos de la varable, la funcón de dstrbucón toma el valor menor. b) 6 P( 7) P( 7) F(7),

13 o ben, P( 7) P( 8) P( 9) P( ) P( ), c) P( 5) F(5), o ben, P( 5) P( ) P( ) P( ) P( ), 6 d) P( 7) F(7) F(), o ben, P( 7) P( ) P( ) P( 5) P( 6), Ejercco 9.- Se desea conocer el número de automóvles que se deben poner a la venta durante un perodo determnado para que se satsfaga una demanda meda de undades con una desvacón típca de undades, con una probabldad no nferor al 75%. Solucón: Sea la varable aleatora = "número de automóvles a la venta", Según Chebyshev: P k P k k k k,75 P k k k,75,5 k k k k,5,5 k 5 automóvles Ejercco.- La demanda meda de un producto es de undades con una desvacón típca de undades. Calcular la cantdad del producto que se debe tener a la venta para satsfacer la demanda de forma que puedan ser atenddos al menos el 8% de los clentes. Solucón:, Según Chebyshev:

14 P k P k k k k,8 P k k k,8, k k 89, k k,, Se deben poner a la venta 9 undades. Ejercco.- La varable ="número de centímetros a que un dardo queda del centro de la dana" al ser trado por una persona tene como funcón de densdad: Se pde: k f() en otros casos a) Hallar k para que f() sea funcón de densdad. Representarla b) Hallar la funcón de dstrbucón. Representarla c) Meda, varanza y desvacón típca d) P( ) e) Probabldad de acertar en la dana Solucón: a) Para que f() sea funcón de densdad debe verfcar: f()d f()d f()d f()d f()d la prmera y tercera ntegral son cero al ser f() en esos ntervalos. k d k d k k En consecuenca, f() en otros casos b) La funcón de dstrbucón se defne F() f(t) dt

15 F() f(t) dt F() f(t)dt f(t)dt f(t)dt dt F() f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt dt En consecuenca, F() c) Meda E() f()d.. d d 5 cm Varanza: E( ) f() d.. d d 5 5 cm Desvacón típca: 5,9 cm d) P( ) F() o tambén, P( ) d d e) Probabldad de acertar en la dana: P( ) por ser una varable contnua P( ) f() d d d

16 Ejercco.- Se ha verfcado que la varable ="peso en klos de los nños al nacer" es una varable aleatora contnua con funcón de densdad Se pde: k f() en otros casos a) Hallar k para que f() sea funcón de densdad. Representarla b) Hallar la funcón de dstrbucón. Representarla c) Meda, varanza y desvacón típca d) Probabldad de que un nño elegdo al azar pese más de klos e) Probabldad de que pese entre y,5 klos f) Qué debe pesar un nño para tener un peso gual o nferor al 9% de los nños Solucón: a) Para que f() sea funcón de densdad debe verfcar: f()d f()d f()d f()d f()d La prmera y tercera ntegral son cero al ser f() en esos ntervalos. 6 f()d kd k d k k 6k k 6 f() 6 en otros casos b) La funcón de dstrbucón se defne F() f(t) dt F() f(t) dt t t F() f(t)dt f(t)dt dt t t 6 F() f(t)dt f(t)dt f(t)dt dt

17 F() c) Meda E() f() d.. d d, klos Varanza: 56 6 E( ) f() d.. d d klos ,,9 klos Desvacón típca:,9,6 klos d) 5 7 P( ) P( ) F(),58 o tambén, 9 7 P( ) f() d d 8, e),5 P(,5) F(,5) F(),6875,5,5,5 8,5 P(,5) f() d d, f) Sea k el peso del nño, se tene:,5 k F(k) P( k),9,9 k,8 k,8 k,8,85, es decr, el nño debe pesar,85 klos para tener para tener al 9% de los nños con un peso gual o nferor. 6

18 Ejercco.- Gran número de fenómenos aeronáutcos tenen asocada una varable aleatora con ley de probabldad: Se pde: f() en otros casos k ke k a) Puede tomar k cualquer valor? b) Para k, representar la funcón de densdad, la funcón de dstrbucón y su gráfca c) Sendo k, hallar P( ) d) Para k, calcular P(5 ) Solucón: a) Para que f() sea funcón de densdad debe verfcar: k k k f()d f()d f()d ke d ke d e k e La funcón de densdad no depende del valor del parámetro k, pudendo tomar éste cualquer valor postvo. b) La funcón de densdad para k, será: f(),,. e otros casos La funcón de dstrbucón se defne F() f(t) dt F() f(t) dt,t,t,t, e e,t, e e F() f(t)dt f(t)dt,. e dt,. e dt F(), e 7

19 c) P( ) P( ) F() e e e,. d) P(5 ) F() F(5) e e e e e e,., Ejercco.- Una varable aleatora contnua tene por funcón de densdad Se pde: f() otros casos a) Representa la funcón de densdad b) Hallar la funcón de dstrbucón y su gráfca c) P( ) P( ) P Solucón: a) Se observa que el área encerrada es gual a la undad b) La funcón de dstrbucón se defne F() f(t) dt F() f(t) dt t F() f(t)dt f(t)dt (t)dt t F() f(t) dt f(t)dt f(t)dt (t)dt (t )dt t t t t t t F() (t) dt (t ) dt t t 8

20 F() c) P( ) P( ) P P( ) F() F() P( ) F() F( ) 5 P F( ) F 8 Ejercco 5.- Una varable aleatora contnua tene por funcón de dstrbucón: F() Se pde: a) Hallar la funcón de dstrbucón y representarla b) Meda, varanza, desvacón típca y coefcente de varacón c) P Solucón: a) La funcón de densdad es la dervada de la funcón de dstrbucón en los puntos donde esta la dervada, entonces: df() f() d 9

21 f() otrosvalores b) Meda E() f() d.. d.( ). d d ( ).d 8 Varanza: E( ) f()d.. d.( ). d d ( ).d o Desvacón típca:, 6 Coefcente varacón:, CV, c) ( ) () 9 P F F.,75 8 8

22 Ejercco 6.- Una varable aleatora contnua tene por funcón de dstrbucón: F() a) Calcular la funcón de densdad o funcón de cuantía b) Calcular la meda, medana y coefcente de varacón Solucón: a) La funcón de densdad o funcón de cuantía es la dervada de la funcón de dstrbucón en los puntos donde esta la dervada, entonces: df() f() f() d enotrocaso b) Meda: E() f() d d,5 La Medana de una dstrbucón es el valor que deja el 5% de la dstrbucón a la derecha y el otro 5% a la zquerda, por lo que: F(M e),5 Me,5 Me,5 Me Me Me f(),5 d,5,5 M e,5 Me,5 Coefcente de varacón: CV 8 7 E( ) f() d d 7 7 9,8,8 CV,5, 5

23 Ejercco 7.- La funcón de densdad de una varable aleatora es: a b f() en el resto Determnar a y b. Solucón: sabendo que P,666. Hay que calcular dos parámetros (a y b), por lo que se necestan dos ecuacones: Por ser funcón de densdad: 8a f() d (a b) d a b b 8a 6b, con lo que: / / / P f() d (a b) d a b,666 a a b 7a b a b b,666 7a b / en consecuenca, 8a 6b 6a b 6 6 a, 6b b, 7a b 7a b

24 Ejercco 8.- La funcón de dstrbucón asocada a la produccón de una máquna, en mles de undades, es del tpo: F() ( ) k k a) Determnar k para que sea funcón de dstrbucón b) Hallar la funcón de densdad c) Calcular la meda, medana. moda y varanza de la produccón d) Hallar P(,5) y P(,5) Solucón: a) Para que sea funcón de dstrbucón se debe verfcar: lm F() lm F() lm ( ) k (k ) k k k k k k En consecuenca, la funcón de dstrbucón es: F() ( ) b) La funcón de densdad o funcón de cuantía es la dervada de la funcón de dstrbucón en los puntos donde esta la dervada. df() f() f() d enotrocaso c) Meda: E() f()d ()d ( )d Para calcular la Moda hay que ver el valor que hace mínma la funcón de densdad o de cuantía, es decr: f() f '() en otro caso en otro caso La dervada de la funcón de cuantía f '(), por lo que se trata de una funcón decrecente y toma el valor mámo en el etremo del ntervalo,, por tanto la moda Md f() f() f(), con lo que Md

25 La Medana de una dstrbucón es el valor que deja el 5% de la dstrbucón a la derecha y el otro 5% a la zquerda, por lo que: F(M ),5 M M,5 M M,5 M M e e e e e e e 68 Me Me Me De las dos solucones se rechaza aquella que es mayor que, por lo que la Medana es: M e La Varanza de la produccón: E( ) f() d ( )d d) Funcón de dstrbucón F() ( ) P(,5) P(,5) F(,5),5 (,5),75 P(,5) P(,5) F(,5),5 (,5),565 Tambén medante la funcón de cuantía: f() enotrocaso,5,5 P(,5,5) f()d ( )d,5,75 P(,5) f()d ( )d (,5,65),565,5,5,5

26 Ejercco 9.- Dada la funcón - f() = e a) Comprobar s puede ser funcón de densdad de una varable aleatora cuando su campo de varacón es el ntervalo b) En caso de que no lo pueda ser, qué modfcacones habría que ntroducr para que lo fuera. Solucón: a) Para que sea funcón de densdad, debe cumplr dos condcones en el campo de varacón de la varable aleatora: f() no puede ser negatva La ntegral de f() en el campo de varacón es f() e L e L es postva e d e. No se cumple, luego la funcón dada no es de densdad en el ntervalo. b) Para que sea funcón de densdad, se defne f() k e k ke dk e dk e k En consecuenca, f() e Ejercco.- Dada la varable aleatora contnua con funcón de densdad: Hallar: k() f() en el resto a) El valor de k para que sea realmente una funcón de densdad b) La funcón de dstrbucón c) La varanza d) P( ) Solucón: a) f()d k()d k ()d k 6k k 6 5

27 ( ) f() 6 en el resto b) Funcón de dstrbucón: F() f(t) dt, en este caso: F() f(t) dt dt t F() f(t) dt dt (t ) dt (t ) dt t t F() f(t) dt dt (t ) dt dt t 6 6 F() c) Para calcular la varanza: ( ) f() 6 en el resto E f()d ( ) d ( )d E f()d ( ) d ( )d Var() 9 6

28 d) F() ( ) f() 6 en el resto P( ) F() F() 9 9 P( ) () d Ejercco.- Sea una varable aleatora contnua con funcón de densdad tal que 8 8 f() 7 otrocaso a) Calcular el prmer y tercer cuartl, el decl 7 y el percentl 85 b) Calcular la medana y moda Solucón: a) La Funcón de dstrbucón: 8 8 8() F() P f(t) dt dt 8 7t 7 t 7 susttuyendo, queda: 8(Q ) F(Q ) 7 Q (Q ) Q,8 Q P5,8 7Q 5 8(Q ) F(Q ) Q (Q ) Q,9 Q D5 P75,9 7Q 7 8(D ) 8 F(D ) 9D 8(D ) D,58 7D (P ) 8 F(P ) 595P 8(P ) P,9 7P b) Me Q D5 P5 8(M ) 6 F(M ) 7M 6(M ) M,78 7M 9 e e e e e e 7

29 La Moda M d se obtene calculando el mámo de la funcón de densdad: 8 6 f() f '() La funcón es decrecente 7 7 f(8) f() f(), con lo que Md Ejercco.- La demanda dara de un determnado artículo es una varable aleatora con funcón de densdad: 8 f() 6 otro caso Los benefcos daros dependen de la demanda según la sguente funcón: Calcular: 5 s 5 s B s 8 5 s 8 a) Probabldad de que en un día cualquera la demanda sea superor a b) Probabldad de que la demanda sea nferor a c) La esperanza y la varanza de la demanda d) Funcón de dstrbucón de la demanda e) Funcón de cuantía y funcón de dstrbucón de la varable aleatora benefcos daros. f) Esperanza y varanza de la varable benefcos Solucón: a) P f() d d,5 6 6 P f()d d, b) c) Meda o Esperanza 8

30 E().f() d.f() d.f() d. d. d 8 6 d ( )d = = =, 6 Varanza: E( ).f() d.f() d.f() d. d. d 8 6 d ( )d = = 5 = 8 = 6, Var () 7,89 9 d) La funcón de dstrbucón de la demanda F() f(t) dt s f() d d s f() d d d 8 8 F() s f() d d d s f() d d d d d 8 6 En resumen, 8 () 6 F s s s s e) La funcón de cuantía y la funcón de dstrbucón de la varable aleatora benefcos daros se hallan consderando: 9

31 5 s 5 s B s 8 5 s 8 8 f() 6 otro caso Funcón de cuantía o probabldad: b PB b f() d d,5 8 f() d d, f() d d, f() d d, Funcón de dstrbucón F(B) P(B b ) b P(B b ) F(B) =P(B b ) b.pb b b.p B b -5,5,5 -,5 6,5 5,5,5,5 6,5,75,875,75 7,5 5,5,875 8,5 b.pb b 5,65 f) Meda o Esperanza benefcos: Varanza benefcos: EB b.p B b 78,5 b E(B) b.p B b 5,65 Var (B) E(B ) 78,5 5,65 6,8 b b Desvacón típca de los benefcos: b 6,8 6,87 b.p B b 78,5

32 Ejercco.- Sea una varable aleatora contnua, cuya funcón de densdad es f() enotrocaso Sea una transformacón de la v.a. a) Calcular la funcón de densdad de la v.a. b) Calcular la funcón de dstrbucón de la v.a. Solucón: a) La transformacón asocada a la v.a. es dervable y estrctamente monótona cuando toma valores en el ntervalo (, ). En consecuenca, se puede aplcar la transformacón, quedando la funcón de densdad: d dy y y g (y) y La funcón de densdad de la varable contnua se obtene: d dy y f (y) f g (y). y y La funcón de densdad de la v.a. : y y f (y) enotrocaso b) Funcón de dstrbucón: y F (y) f(t)dt y y F (y) f(y)dy f(t)dt t dt (t) (y) y y y y F (y) f(y)dy y f(t)dt f(t)dt f(t)dt t dt La funcón de dstrbucón de la v.a. será: y F(y) (y) y y

33 Ejercco.- Sea una varable aleatora contnua, cuya funcón de densdad es f() enotrocaso Sea una transformacón de la v.a. a) Calcular la funcón de densdad de la v.a. b) Calcular la funcón de dstrbucón de la v.a. Solucón: La transformacón es dervable, pero no es estrctamente monótona, puesto que en el ntervalo (-, ) la transformacón es decrecente y en el ntervalo [, ) es crecente. En este caso, hay que determnar la funcón de dstrbucón de la varable aleatora para el caso general de las transformacones de una varable aleatora, ya que no se puede aplcar el método descrto en el ejercco 5. b) Cálculo de la funcón de dstrbucón y F(y) P y P y P y P y y f()d y y y d y y y La funcón de dstrbucón de la v.a. es: y F(y) y y y df (y) y a) La funcón de densdad f(y) y dy enotrocaso

34 Ejercco 5.- Sea una varable aleatora contnua con funcón de densdad tal que e f() otrocaso a) Funcón generatrz de los momentos (f.g.m.) b) Esperanza y varanza a partr de la f.g.m. c) Funcón característca Solucón: a) b) t t (t) (t) M(t) E e e. f(). d e d e s t t t dm(t) d E() M () () dt t dt t (t) t t E( ) M () () dm(t) d d d dt dt dt t dt ( t) ( t) t t t t Var () c) La funcón característca se puede calcular utlzando la relacón entre funcón característca y los momentos: k j (t) (t) (t) (t) (t) (t) k j s t!! k! j! j

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