2. Estimación de errores de medidas directas

Transcripción

1 Estimació de errores y forma de expresar los resultados de las prácticas. Error: Defiició E el laboratorio igua medida tiee ifiita precisió. Por ello, ua parte importate del proceso de medida es la estimació del error que afecta a los resultados de u experimeto. El error se puede expresar de dos formas: Error absoluto: Δx. Es ua estimació de la diferecia etre el valor medido y valor verdadero. Es decir, si uestra medida os da x, esperamos que el valor verdadero este detro del itervalo: Error relativo. Se defie como el cociete: x ± Δx ε Δx x y es ua estimació del porcetaje de error de la medida. Nos será útil para iterpretar si el error del resultado es grade o pequeño. La forma de estimar el error de ua magitud depede de si ésta es el resultado de ua medició directa e u aparato del laboratorio (medida directa) o si se obtiee mediate u cálculo a partir de otras medidas (medida idirecta). E las prácticas siempre calcularemos primero los errores de las medidas directas y luego los de las idirectas.. Estimació de errores de medidas directas.. Ua úica medida: precisió del aparato E la mayoría de los casos el error de ua medida directa es simplemete la precisió del aparato de medida, es decir, Δx es la míima diferecia que podemos apreciar co el aparato de medida. Por ejemplo, si e ua regla la divisió más pequeña es de u milímetro, etoces el error de ua logitud medida co dicha regla es Δx mm. Si medimos la itesidad I de ua corriete eléctrica co u amperímetro digital que mide co precisió de u miliamperio, el error de la itesidad será ΔI ma.. Varias medidas: error estadístico E alguas ocasioes (por ejemplo, e la práctica 0, e la que se mide la tesió superficial de líquidos), el error debido a la precisió del aparato de medida es meor que otras fuetes de error, como fluctuacioes e el procedimieto experimetal o e la propia magitud que se mide. Debido a estas fluctuacioes, si se repite la medida el resultado puede variar de forma aleatoria, icluso auque el experimeto sea idético e todas las repeticioes. Esta variació da lugar a u error estadístico, que se puede estimar

2 realizado varias medidas e las mismas codicioes. Si se realiza medidas y el resultado e la medida i-ésima es x i etoces el valor de la magitud medida viee dado por la media: x y el error estadístico viee dado por la siguiete expresió: i x i Δx est t σ e dode t es ua fució estadística deomiada t de Studet y σ es la dispersió o desviació típica de los datos. Los valores de la t de Studet para : 3, 5, 0, 5 y u úmero muy grade de medidas, so: t 9.93 t t t 4.97 t.58 Como puede verse, la fució va dismiuyedo al aumetar el úmero de medidas. Por otro lado, la dispersió o desviació típica viee dada por la expresió: σ i ( x i x) La media y la dispersió se puede obteer de maera secilla e calculadoras cietíficas y hojas de cálculo (ver secció 6 e este documeto). Ua vez obteido el error estadístico Δx est, lo comparamos co la precisió del aparato y tomamos como error de la medida Δx el mayor de los dos. Esto es debido a que, por muchas medidas que hagamos, uca podemos alcazar ua mayor precisió que la que proporcioa el aparato de medida. 3. Estimació de errores de medidas idirectas Como ya hemos mecioado, ormalmete las medidas directas se utiliza para obteer a partir de ellas otras catidades que so medidas idirectas. E estos casos, el error de las medidas directas se propaga a las medidas idirectas y esta propagació se puede calcular utilizado las siguietes reglas. Supogamos ua medida idirecta Y que se obtiee a partir de dos medidas directas y mediate la expresió matemática: Y f (, ) dode f es ua fució de dos variables. El error de Y viee dado por: ΔY f (, ) & % Δ ( $ ' + f (, ) & % Δ ( $ '

3 dode Δ y Δ so los errores de las medidas directas. f (, ) se deomia derivada parcial de f respecto a, y represeta el resultado de derivar f (, ) cosiderado como variable y como costate. Casos particulares secillos: Cambio de escala: Y c Δ Y c Δ Potecias: ky k Y c Δ Y Δ Suma: Y + Δ Y Δ + Δ Diferecia: Y Δ Y Δ + Δ Producto: Y ΔY Y Δ Δ + Cociete: Y ΔY Y " $ Δ % " ' + Δ % & & Estas dos últimas fórmulas so fácilmete geeralizables a cocietes, productos o combiacioes de cocietes y productos de más de dos variables. E estos casos, para obteer el error de ua magitud, se suma los cuadrados de los errores relativos de cada uo de los factores que aparece e la fórmula, se extrae la raíz cuadrada y se multiplica por el valor absoluto de la magitud. Por ejemplo, si Y / 3 etoces su error es: ΔY Y " $ Δ % " ' + Δ % " + Δ % 3 & & & 3 Fialmete, el error de magitudes dadas por combiacioes de sumas y productos puede reducirse a los casos ateriores, calculado el error de medidas idirectas itermedias. Por ejemplo, para calcular el error de Y ( ) / 3, calculamos primero el error de Z que es ua resta de medidas directas, y luego procedemos a calcular el error de Y como el cociete de dos medidas, Z y 3. 3

4 4. Presetació de resultados EL error es ua estimació y, por tato, o tiee setido expresarlo co muchas cifras decimales. E el laboratorio utilizaremos el siguiete criterio: el error absoluto Δx se expresa co ua sola cifra sigificativa, es decir, sólo debe teer ua cifra distita de cero, que tedrá que ser la cifra de las uidades o la última cifra decimal: 0.03, 0.,, etc. Para ello se desprecia el resto de cifras redodeado la última a la cifra más cercaa (ver ejemplos). Luego redodearemos el resultado x para que tega los mismos decimales que el error. Si se utiliza potecias de diez, error y valor debe teer la misma potecia. Tambié error y valor tiee que teer las mismas uidades. Ejemplos:. Estamos calculado ua masa m. Obteemos gramos y para su error gramos. Primero reducimos el error a ua cifra sigificativa: Δm 0.0 gramos. Luego redodeamos el resultado para que tega los mismos decimales: m gramos (ya que es más próximo que 39.67). Fialmete expresamos el resultado juto co su error y sus uidades: m (39.68 ± 0.0) gramos o bie: m ( ± ) kg o bie: m (3.968 ± 0.00) 0 - kg. Obteemos ua itesidad de corriete I536 ma y su error es ΔI58 ma. Podríamos redodear el error a 60 ma pero la cifra sigificativa sería el 6 de las deceas. Para que la cifra sigificativa sea u decimal, expresamos la itesidad e amperios. El error redodeado es etoces ΔI0.06 A y el resultado se debe expresar de la siguiete forma: I (0.54 ± 0.06) A 5. Ejemplos prácticos 5.. Error de ua resta de dos medidas directas Supogamos que teemos dos medidas de masas co sus errores respectivos: x (35. ± 0.) g y (30.5± 0.09) g y queremos obteer la diferecia z x y co su error. Calculamos z: z 35. g 30.5 g 4.95 g y hallamos su error utilizado la expresió del error de ua suma o diferecia que se ecuetra e la secció aterior: 4

5 Δz Δx + Δy g 0.93 g Reducimos el error a ua sola cifra sigificativa redodeado: Δz 0. g y redodeamos tambié la diferecia z para que tega los mismos decimales que el error: z 5.0 g Fialmete, expresamos el resultado juto co su error: z (5.0 ± 0.) g E este ejemplo el error de la medida directa y o ifluye e el resultado fial (habría sido el mismo cosiderado Δy0). Esto es debido a que el error de x es mucho mayor que el de y. Esta situació es muy habitual e el laboratorio: ua magitud z puede depeder de muchas medidas directas, pero sólo las más imprecisas ifluye e el error de z. Despreciar los errores pequeños e el cálculo del error de z puede ahorraros muchas operacioes iecesarias. 5.. Error del cociete de dos medidas directas Supogamos que medimos directamete el volume V y la masa m de u cuerpo y co estas medidas directas calculamos la desidad ρ m / V. Si las medidas directas so: m (5.3 ± 0.) g V (0.33 ± 0.0) l hallamos la desidad ρ: ρ 5.3 g / 0.33 l g/l y calculamos su error, utilizado la correspodiete fórmula de la secció aterior: Δρ ρ " $ Δm m % " ' + ΔV % & V & 6.06 " 0. % " % 5.3& 0.33& g l g l.47 g l Redodeamos el error a ua sola cifra sigificativa: Δρ g/l y redodeamos tambié la desidad calculada para que tega los mismos decimales que el error. E este ejemplo, el error o tiee cifras decimales sio sólo uidades. Por tato: ρ 6 g/l 5

6 La forma correcta de expresar el resultado fial es: ρ (6 ± ) g/l 6. Regresió lieal La regresió lieal se utiliza cuado la relació etre dos magitudes e Y es lieal, es decir: Y m + c e dode m se deomia pediete y c ordeada e el orige. Cuado dos magitudes se relacioa liealmete, la gráfica de los putos (,Y) es ua recta de pediete m que corta el eje vertical e el puto (0,c). Si obteemos mediate medidas (directas o idirectas) pares de valores ( i,y i ), co i,,...,, y represetamos estos pares de valores e el plao, los putos o estará perfectamete alieados (ver figura), debido a los errores experimetales. Itesidad (ma) Voltaje (V) La regresió lieal os permite obteer la recta que más se aproxima a dichos putos. La pediete y la ordeada e el orige de dicha recta viee dadas por las siguietes expresioes: E m c Y m D e dode: ( i ) i D i i ( i )( Yi Y ) iyi Y E i i 6

7 siedo i i Y Y i i Siempre que se haga ua regresió lieal es ecesario realizar la gráfica co los putos experimetales y la recta ajustada. De este modo es fácil comprobar si la regresió está bie hecha, ya que la recta ajustada debe pasar cerca de los putos experimetales. E el laboratorio se realizará ua regresió lieal úicamete e la práctica 9, para relacioar la desidad y la cocetració de ua disolució. La pediete m y la ordeada e el orige c tiee, como toda magitud experimetal, u error. Su estimació es bastate complicada y depede de la icertidumbre de las medidas i, Y i, así como de la holgura co la que podemos mover y girar la recta si que se aleje de los putos experimetales. Si esta holgura fuera muy amplia, lo cual ocurrirá siempre que los putos experimetales o esté bie alieados, habría que revisar la hipótesis de que la relació etre e Y es lieal. 6. Utilizació de calculadoras y hojas de cálculo La mayor parte de las calculadoras de bolsillo cietíficas icluye fucioes estadísticas elemetales que so muy útiles para el cálculo de icertidumbres y de regresioes lieales. E el modo estadístico, que se suele llamar SD, se itroduce ua serie de datos i tecleado cada úmero y pulsado después la tecla DATA. Puede etoces calcularse su media, su dispersió σ - y la suma de cuadrados i. Estas fucioes suele estar e las teclas de úmeros y se obtiee pulsado Shift, Alt, u otra similar. Estos cálculos se puede realizar tambié e hojas de cálculo como Excel. E el documeto Gráficas y regresioes lieales co Excel que se ecuetra e la págia web del departameto o e se explica e detalle cómo hacer regresioes lieales y gráficas. 7