6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 133

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1 PÁGINA 33 Pág. P RACTICA Comprueba si x =, y = es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: x y = 4 3x 4y = 0 a) b) 5x + y = 0 4x + 3y = 5 x y = 4 a) ( ) = 5? 4 No es solución. 5x + y = 0 5 = 9? 0 3x 4y = 0 3 4( ) = 0 b) Sí es solución de este sistema. 4x + 3y = ( ) = 5 Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solución x = 3, y = /: x 3x + y = + y = a) b) x 4y = x y = x + y = ( ) = 9 = a) x 4y = 3 4( ) = 3 + = 5 3 x = + y = b) 7 x y = 3 + = 3 a) Busca dos soluciones de la ecuación 3x y =. b) Representa gráficamente la recta 3x y =. c) Un punto cualquiera de la recta es solución de la ecuación? a) 3x y = Si x = : 3 y = y = Si x = 0: 3 0 y = y = b) Y (, ) 3 4 X (0, ) x + y = 7 x y = 3x + y = x 4y = 5 c) Todos los puntos de la recta son soluciones de la ecuación.

2 4 a) Representa gráficamente en los mismos ejes las dos rectas siguientes: x + y = 3 x y = 3 b) Di cuál es la solución de este sistema: x + y = 3 x y = 3 a) x + y = 3 x y = 3 x 0 y 3 x 0 y 3 Y x + y = 3 (, ) x y = 3 X Pág. x + y = 3 b) x y = 3 La solución del sistema es x =, y =, que corresponde al punto de corte de ambas rectas. 5 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x y = 3x y = 0 x + 3y = 5 x 3y = 4 a) b) c) d) x +y = 5 3x + y = 6 x y = 4 x +y = 3x y = a) x +y = 5 3x y = x +y = 5 x 0 y Solución: x =, y = x y 3 Y 3 P(, ) X 3x y = 0 b) 3x + y = 6 3x y = 0 3x + y = 6 Y X x 0 y 0 3 x 0 y 6 0 P(, 3) Solución: x =, y = 3 x + 3y = 5 c) x y = 4 x + 3y = 5 x y = 4 x y Solución: x =, y = x 0 y 4 Y P(, ) X

3 x 3y = 4 d) x +y = x 3y = 4 x +y = x y 0 Solución: x =, y = 0 x 6 y 0 Y 4 6 X Pág. 3 6 Resuelve por sustitución. x + 3y = 0 a) b) x + y = 5 7x y = 6 x + 6 = y c) d) 4x +3y = 3 y 3x = 6 a) 6y + y = 5 5y = 5 y = x = 3 = 3 Solución: x = 3, y = x 3y = 5 b) x 5y = 7 x = 7 + 5y ( 7 + 5y) 3y = y 3y = 5 37y = y = 3 x = = Solución: x =, y = 3 c) x + 3y = 0 x + y = 5 7x y = 6 4x +3y = 3 4x + x + = 3 5x = 5 x = 5 = y = = 9 ( 5 ) 5 Solución: x = 3, y = x + 6 = y d) y 3x = 6 x = 3y ( 3y)+y = 5 7x +6 = y 4x + 3(7x + 6) = 3 x + 6 y = = x + (x + ) 3x = 6 x 3y = 5 x 5y = 7 x + 6 3x = 6 x = 0 x = 0 y = Solución: x = 0, y =

4 7 Resuelve por igualación. a) x = 4 x y = 6 Pág. 4 x +3y = 4 b) x y = 6 c) y = 6x 7x = y 5 3x 4y = 4 d) x + y = x = 4 x = 4 a) 6 + y = 4 y = x y = 6 x = 6 + y Solución: x = 4, y = x +3y = 4 x = 4 3y b) 4 3y = 6 + y 4 6 = 5y x y = 6 x = 6 + y y = x = 4 3( ) = Solución: x =, y = y = 6x y = 6x c) 7x + 5 6x = 7x + 5 x = 7x + 5 5x = 5 7x = y 5 y = x = y = 6 = 6 Solución: x =, y = 6 3x + 4 3x 4y = 4 y = d) 4 3x + 4 = x 3x + 4 = 4 x x + y = 4 y = x x = x = y = = 5 ( ) Solución: x =, y = 5

5 Resuelve por reducción. x + y = 0 3x y = 0 a) b) x y = 3x + y = 6 Pág. 5 4x 3y = x + y = c) d) x + y = 4 3x y = 7 x 3y = e) f) 3x +6y = a) x + y = 0 x y = x = x =, y = Solución: x =, y = 3x y = 0 b) 3x + y = 6 6x = 6 x =, y = 3 Solución: x =, y = 3 4x 3y = 4x 3y = c) x + y = 4 6x + 3y = 0x = 0 x = ( ) + y = 4 y = Solución: x =, y = x + y = x + y = d) 7x = 5 x = 5 5 +y = 3x y = 7 6x y = y = 5/7 = 4 7 Solución: x = 5, y = x 3y = x 6y = e) 5x = 4 x = 4 4 3y = 3x +6y = 3x +6y = 5 5 Solución: x = 4, y = 5 5 3x + y = 3 3x + y = 3 f) x = 3 4 = + y = 7 x + y = 7/6 x y = 4/ Solución: x =, y = 3 y = 4/5 = 3 5 3x + y = 3 x + y = 7/6 y = 7 = 6 3

6 9 Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado: a) x y = 4x 3y = Pág. 6 3x = + y b) 3 + y = 0x c) d) x +5y = 4x 3y = 3x y = x + 4y = 5/3 x y = x = + y a) Por sustitución: 4x 3y = 4( + y) 3y = 4 + 4y 3y = y = 4 x = + 4 = 5 Solución: x = 5, y = 4 3x = + y b) Por sustitución: 3 + y = 0x 3 + 6x = 0x = 4x x = y = 3 = Solución: x =, y = 4 4 x +5y = 4x 0y = c) Por reducción: 4x 3y = 4x 3y = 3y = 0 y = 0 x = x = Solución: x =, y = 0 3x y = 6x 4y = 4 d) Por reducción: x + 4y = 5/3 x + 4y = 5/3 y = 3x 3 + (3x ) = 0x 7x = 7 x = 3 y = y = y = Solución: x =, y = 3

7 6Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Resuelve los sistemas siguientes: a) x y = 4 b) 3 x y + = 4 c) d) x + y = 0 5x 3 = 9y 3 (3x ) = y 3(x + y) + (x y) = y x + = 4 3 x y = 5 Pág. 7 x + y = 0 a) Por sustitución: y = x 5x 3 = 9( x) 3 5x 3 = 9y 3 5x 3 = x 3 3x = 0 x = 0 y = 0 = 0 Solución: x = 0, y = 0 x y = 4 x 3y = 4 b) 3 x 3y = 4 Por reducción: x y x + y = x y = + = 4 4y = 6 y = 4 x 3( 4) = 4 x = x = 6 Solución: x = 6, y = 4 (3x ) = y c) 3(x + y)+(x y) = Por reducción: x = x = 6 y = 3 y = 3 Solución: x =, y = 3 y x + = 4x + y = 6 d) 4 4x + y = 4 Por reducción: 3 x 3y = 0 x 3y = 0 x y = 5 6x 4 = y 3x +3y +x y = 5x + y = 6x y = 3 5x + y = x + 3y = 4x = x = 3 y = 5 y = 5 = x 3y = 0 3/ Solución: x =, y =

8 Observa las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y di cuál de ellos tiene una única solución, cuál no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones. Compruébalo representando las rectas que los forman: x y = x y = 5 5x + y = x y = 5 a) b) c) d) 4x y = x 4y = 0 4x y = 7 x 4y = 3 Pág. x y = a) 4x y = No tiene solución x y = 4x y = x y = 4 x 0 y 3 x 0 y 4 0 Y X x y = 5 b) x 4y = 0 Tiene infinitas soluciones x y = 5 x 4y = 0 x y = 5 x 3 y Es la misma recta Y 3 X 5x + y = c) 4x y = 7 Tiene una solución, x =, y = 3. 5x +y = 4x y = 7 x y 3 x y 3 Y 3 P(, 3) X x y = 5 d) No tiene solución x 4y = 3 Y x y = 5 x 4y = 3 x y 3 x 3 y 5/4 9/4 X Completa los siguientes sistemas de modo que el primero tenga la solución x = 3, y = ; el segundo sea incompatible y el tercero y el cuarto sean indeterminados: 3x + y = x + y = 5 3x y = 4 x +y = 7 a) b) c) d) y = x +y = 6x 4y = 4y = 3x + y = ( ) = 5 a) Solución: y = = + y = = 6 3x +y = 5 6x y =

9 x + y = 5 b) Puede ser cualquier número distinto de 0. x +y = Pág. 9 Por ejemplo: x + y = 5 x +y = 3x y = 4 c) 6x 4y = x + y = 7 d) 4y = 3x y = 4 6x 4y = x + y = 7 x 4y = 4 PÁGINA 34 3 Representa los pares de rectas correspondientes a cada sistema y di si son equivalentes: a) x + y = 3 x y = 3 y + = 0 b) 3x 4y = 0 x + y = 3 a) x y = 3 x + y = 3 x y = 3 x 0 y 3 Solución: x =, y = x 0 y 3 Y (, ) X y + = 0 b) 3x 4y = 0 y = 3x 4y = 0 x 0 y,5 Y X Solución: x =, y = Los sistemas son equivalentes, porque tienen la misma solución.

10 4 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando dos veces el método de reducción para despejar cada una de las incógnitas: 3x y = 5 9x 3y = 54 a) b) 7x 4y = 9 x 7y = Pág. 0 3x y = 5 9x 56y = 05 a) 6y = y = 7x 4y = 9 9x + y = 7 x y = 0 6x = 3 x = 56x + y = 7 Solución: x = 3, y = 9x 3y = 54 99x 43y = 594 b) 0y = 396 y = 99 x 7y = 99x + 63y = x 9y = 37 0x = 9 x = 3 43x +9y = 6 0 Solución: x = 3, y = Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Para ello, simplifica previamente las ecuaciones que los forman: x + y = a) 3 b) x + y + = 3 6 x 3 + y + = c) 3 6 d) 3x + y = 6 9 x + + y = 3 x 3 + y = 4 x y + + = 4 x y + = 6 x + y = x +3y = 3 a) 3 x +3y = 3 x + y (x + ) + y = 6 x + y = 7 + = 3 6 x + 3y = 3 y = 4 y = x y = 7 x + = x = 3 = 9 3 /3 Solución: x = 9, y = 3

11 x + + y = b) 3 x + +3y = 3 x + 3y = x 3 x 3 + y = 4 x +y = 7 + y = 4 x + 3y = 5y = 5 y = x y = 7 x + + = x = 3 Solución: x =, y = Pág. x 3 + y + = ( x) y = c) 3 6 3x + y 3( 3x) ( + y) = 36 = x y = x + y = 5 4 9x 4 y = 36 9x y = 6 Solución: x =, y = 4x +y = 0 3x = 6 x = 9x y = 6 ( ) y = 3 + y = y = y = 6 3 x y + + = d) 4 (x ) + y + = 4 x y + 3(x ) (y + ) = 6 = 6 x + y + = 4 x + y = 5 6x 3 y = 6 6x y = 0 Solución: x =, y = 4x +y = 0 0x = 0 x = 6x y = 0 + y + = y + = y = 4 4

12 6 Resuelve los siguientes sistemas. Indica si alguno de ellos es incompatible o indeterminado. a) b) c) x 5y = 3,5x,5y = 0,x,7y = 6, 3x + y = 9 3(x ) + y = 0 3(x +)+y = 5 x + y = 4 y d) 3x 5 = 7 6y Pág. x 5y = x 5y = a) Por reducción: 3,5x,5y = 6,5x + 5y = 6 4,5x = x = 4 4 5y = 0 = 5y y = Solución: x = 4, y = 0,x,7y = 6, b) Por sustitución: y = 9 3x 3x + y = 9 0,x,7 9 3x = 6, 0,x 5,3 5,x ( = 6, ) 0,4x 5,3 + 5,x =, 5,5x = 7,5 x = 5 y = = 3 Solución: x = 5, y = 3 3(x ) + y = 0 3x 3 + y = 0 c) 3(x +)+y = 5 3x +3 +y = 5 No tiene solución. Es incompatible. x + y = 4 y x +y = 4 d) 3x 5 = 7 6y 3x +6y = Tiene infinitas soluciones. Es indeterminado. 3x + y = 3 3x + y = P IENSA Y RESUELVE 7 Halla dos números tales que su suma sea 60, y su diferencia, 34. Llamamos x e y a los números. x + y = 60 x = 94 x = y = 60 y = 63 x y = 34 Los números son 97 y 63.

13 Por dos bolígrafos y tres cuadernos he pagado 7,0 ; por cinco bolígrafos y cuatro cuadernos, pagué 3,. Cuál es el precio de un bolígrafo? Y de un cuaderno? x es el precio de un bolígrafo e y es el precio de un cuaderno. x +3y = 7,0 5x +4y = 3, 7,0 3y x = 7,0 3y 5 ( ) +4y = 3, Pág y +y = 6,4 7y =,6 y =, x = 7,0 3, =, Un bolígrafo cuesta,, y un cuaderno,,. 9 Un librero ha vendido 45 libros, unos a 3 y otros a. Obtuvo por la venta 36. Cuántos libros vendió de cada clase? x son los libros de 3 e y son los de. x + y = 45 y = 45 x 3x +y = 36 3x + (45 x) = 36 3x + 60 x = 36 4x = 0 x = 7 y = 45 7 = Vendió 7 libros de 3 y libros de. 0 En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 9 cabezas y 9 patas. Cuántos animales hay de cada clase? x es el número de gallinas, e y, el de conejos. x + y = 9 y = 9 x x + 4y = 9 x + 4(9 x) = 9 x + 6 4x = 9 x = 4 x = y = 9 = 7 Hay gallinas y 7 conejos. Un examen tipo test consta de 50 preguntas y hay que contestar a todas. Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se restan 0,5 puntos. Si mi nota ha sido 4,5, cuántos aciertos y cuántos fallos he tenido? x es el número de aciertos, e y, el de fallos. x + y = 50 x y = 50,5y = 5,5 y = 7 x = 33 x 0,5y = 4,5 x 0,5y = 4,5 He tenido 33 aciertos y 7 fallos.

14 Una cooperativa ha envasado 000 l de aceite en botellas de,5 l y l. Si ha utilizado 00 botellas, cuántas se han necesitado de cada clase? x son las botellas de,5 l, e y, las de l. x + y = 00 x y = 00,5x +y = 000,5x +y = 000 0,5x = 00 x = 400 y = = 700 Se han utilizado 400 botellas de,5 l y 700 de l. Pág. 4 3 Halla dos números naturales tales que su suma sea 54, y su cociente,. 3 Llamamos x e y a los números. x + y = 54 y = 54 x x 3x = (54 x) 3x = 3 x = 3x = y y 3 x = 3 x = y = 54 = 4 Los números son y 4. 4 Halla dos números naturales que suman 40 y tales que al dividir el mayor entre el menor obtenemos de cociente y 4 de resto. Recuerda: Dividendo = divisor Ò cociente + resto. Los números son x e y. x + y = 40 y y = 40 3y = 6 y = 4 x = y +4 x = = 9 9 y 4 son los números buscados. 5 La suma de las edades de una madre y su hijo es 56 años. Hace 0 años, la edad de la madre era el quíntuple de la edad que tenía el hijo. Cuál es la edad actual de cada uno? HOY HACE 0 AÑOS MADRE x x 0 HIJO y y 0 56 x 0 = 5(y 0) x + y = 56 x + y = 56 y = 56 x x 0 = 5(y 0) x 0 = 5y 50 x 0 = 5(56 x) 50 x 0 = 0 5x 50 6x = 40 x = 40 y = = 6 La madre tiene 40 años, y el hijo, 6 años.

15 6 Hace tres años la edad de Nuria era el doble de la de su hermana Marta. Dentro de 7 años, será los 4 de la que entonces tenga Marta. Calcula la edad actual de cada 3 una. Pág. 5 x 3 = (y 3) 4 x +7 = (y +7) 3 HOY HACE 3 AÑOS DENTRO DE 7 AÑOS NURIA x x 3 x + 7 MARTA y y 3 y +7 x 3 = y 6 x = y 3 3x + = 4y + 3(y 3) 4y = 7 6y 9 4y = 7 y = 6 y = x = 3 Nuria tiene 3 años, y Marta, años. 7 La base menor de un trapecio isósceles mide 6 m y la base mayor mide lo mismo que los lados iguales juntos. Si el perímetro del trapecio es 3 m, cuánto mide cada lado? x 6 y x y = x 6 + x + y = x +x = 3 4x = 3 x = m y = 6 m La base mayor mide 6 m, y los lados oblicuos, m, respectivamente. He cambiado un montón de monedas de 0 céntimos por monedas de, de manera que ahora tengo 4 monedas menos que antes. Cuántas monedas de 0 céntimos tenía? Tengo x monedas de 0,0. El número de monedas de es y. x 0, = y 0,x = x 4 4 = 0,x x = 30 y = 30 4 = 6 y = x 4 Tenía 30 monedas de 0, y las he cambiado por 6 monedas de. 9 Si Álvaro regala a Rita 4 de sus discos, ella tendrá el doble que él. Si Rita da 6 de sus discos a Álvaro, entonces será él el que tenga el doble que ella. Cuántos discos tiene cada uno? Discos de Álvaro: x Discos de Rita: y (x 4) = y +4 x = y + 4 y = x x + 6 = (y 6) x + 6 = y x + 6 = (x ) x + 6 = 4x 4 3x = 4 x = 4 y = 4 = 6 Álvaro tiene 4 discos, y Rita, 6.

16 PÁGINA Problema resuelto He pagado 55,7 por una camiseta y un pantalón que costaban 70 entre los dos. En la camiseta me han hecho un % de descuento, y en el pantalón, un %. Cuál era el precio original de cada artículo? La camiseta vale x; con la rebaja del % pago 0,x. El pantalón vale y; con la rebaja del % pago 0,7y. Por tanto: x + y = 70 y = 70 x 0,x + 0,7y = 55,7 0,x + 0,7(70 x) = 55,7 0,x + 54,6 0,7x = 55,7 0,04x =, x = y = 70 = 4 La camiseta vale, y el pantalón, = 70 Comprobación:,96 + 3,76 = 55,7 Pág. 6 3 Por unos zapatos y una chaqueta he pagado 6. Si el precio de los zapatos aumentara en un 4%, entonces sería igual al 75% del precio de la chaqueta. Cuánto he pagado por cada uno? Precio de los zapatos: x; precio de la chaqueta: y ; x + y = 6 y = 6 x,4x = 0,75y,4x = 0,75(6 x),4x = 94,5 0,75x,9x = 94,5 x = 50 y = 76 He pagado 50 por los zapatos y 76 por la chaqueta. 3 Los alumnos de un centro escolar son 40 entre ESO y Bachillerato. El 4% de ESO y el 5% de Bachillerato son chicas, lo que supone un total de 96 mujeres. Calcula cuántos estudiantes hay en ESO y cuántos en Bachillerato. x es el número de alumnos de ESO e y los de Bachillerato. x + y = 40 y = 40 x 0,4x + 0,5y = 96 0,4x + 0,5(40 x) = 96 0,4x 0,5x = 96,4 0,x =,4 x = 4 y = 40 4 = 96 Son 4 alumnos en la ESO y 96 en Bachillerato.

17 33 Un comerciante compró 35 juegos de un tipo y 5 de otro pagando por ellos 0. Con la venta de los primeros ganó un 5% y con los segundos perdió el 5%, de forma que obtuvo 70 de ganancia sobre el precio de compra. Calcula el precio de compra de cada tipo de juego. Precios de compra de cada tipo de juego: x e y. 35x + 5y = 0 7x +5y = 44,5 35x + 0,95 5y = ,75x + 3,75y = 390 y = 44 7x 43,75x x = ( 5 ) 43,75x ,5x = 390 0,5x = 3 x = y = 44 7 = 5 Los precios de compra fueron y, respectivamente. Pág Problema resuelto Un autobús sale de A a 90 km/h. Cuando ha recorrido 5 km, sale de A un coche a 0 km/h que quiere alcanzar al autobús. Cuánto tiempo tarda en hacerlo y qué distancia recorre hasta conseguirlo? A AUTOBÚS: 90 km/h 5 km x B A COCHE: 0 km/h 5 + x B Sabemos que espacio = velocidad tiempo. x = 90t 5 + x = 0t Tarda,5 h y recorre 37,5 km t = 0t 0t = 5 t =,5 x =,5 35 Un tren regional sale de una estación a 5 km/h. Media hora más tarde sale otro más rápido en la misma dirección a 0 km/h. Calcula el tiempo que tardará en alcanzarlo y la distancia recorrida hasta lograrlo. t : tiempo que tarda en alcanzarlo. x : distancia que recorre el tren regional hasta el alcance. 4,5 5 km/h ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO AUTOBÚS x 90 t COCHE 5 + x 0 t x + 4,5 x 5 0,5 = 4,5

18 x = 5t 5t + 4,5 = 0t 5t = 4,5 x + 4,5 = 0t t =,7 x = 44,5 44,5 + 4,5 = 7 Tarda h 4 min y recorre 7 km. Pág. 36 Dos ciudades, A y B, distan 34 km. De A sale un autobús en dirección a B y simultáneamente sale de B un tren en dirección a A. Tardan en cruzarse hora y 30 minutos. Cuál es la velocidad de cada uno sabiendo que la del autobús supera a la del tren en 5 km/h? A v x x v B x = v,5 34,5v =,5v 7,5 34 x = (v + 5),5 34 7,5 = 3v v = 6,5 = 75,5 km/h 3 El tren va a 75,5 km/h, y el autobús, a 0,5 km/h. 37 Un automóvil tarda dos horas en recorrer la distancia entre dos ciudades. Si su velocidad hubiera sido superior en 30 km/h, habría tardado una hora y cuarto. Cuál es la distancia entre las dos ciudades? x es la distancia que tiene que recorrer y v la velocidad que lleva. x = v v =,5v + 37,5 0,75v = 37,5 x =,5(v + 30) v = 50 km/h x = 50 = 00 La distancia es 00 km. 3 Un autobús escolar hace la ruta entre dos pueblos, A y B. Cuando va con niños, lleva una velocidad media de 60 km/h y tarda un cuarto de hora más que si va vacío con una velocidad de 00 km/h. Cuál es la distancia entre A y B? 60 km/h x 00 km/h x = 60t 60t = 00t 5 40t = 5 x = 00(t 0,5) t = 0,65 x = 60 0,65 = 37,5 La distancia entre A y B es 37,5 km. 39 Hemos mezclado aceite de oliva de 3,5 /l con aceite de girasol de /l para obtener 50 l de mezcla a 3,0 /l. Calcula la cantidad de aceite de oliva y de aceite de girasol que hemos mezclado.

19 Pág. 9 CANTIDAD PRECIO OLIVA x 3,5 GIRASOL y MEZCLA 50 3,0 x + y = 50 y = 50 x 3,5x +y = 50 3,0 3,5x + (50 x) = 54 3,5x + 00 x = 54,5x = 54 x = 36 y = 4 36 l de aceite de oliva y 4 l de girasol. 40 Si en un depósito que contiene agua a 50 C añadimos agua a 5 C, obtenemos 50 l a 36 C. Cuántos litros había en el depósito y cuántos hemos añadido? x son los litros de agua que había en el depósito. y son los litros que hemos añadido. x + y = 50 y = 50 x 50x + 5y = x + 5(50 x) = x x = x = 3 50 x = 90 y = = 60 Había 90 l de agua a 50 y hemos añadido 60 l de agua a 5. 4 Problema resuelto Las dos cifras de un número suman 7. Si invertimos el orden de estas, obtenemos otro número que es igual al doble del anterior más unidades. Cuál es el número inicial? Cifra de las decenas: x Cifra de las unidades: y Número inicial: 0x + y Número invertido: 0y + x. a condición: x + y = 7. a condición: 0y + x = (0x + y)+ x + y = 7 x + y = 7 0y + x = (0x + y)+ 0y + x = 0x +y + El número buscado es 5. y = 7 x 0(7 x)+x = 0x + (7 x) x + x = 0x + 4 x + 7x = 54 x = y = 5

20 PÁGINA 36 Pág. 0 4 Un número de tres cifras es capicúa y sus cifras suman 0. Si a dicho número le sumamos 0 veces la cifra de las decenas, el resultado es 6. Cuál es el número? x es la cifra de las unidades. y es la cifra de las decenas. x es la cifra de las centenas. x + y = 0 y = 0 x 00x + 0y + x +0y = 6 0x + 0(0 x) = 6 0x x = 6 6x = 6 x = y = 0 = El número es. 43 Si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas, obtenemos el doble de la cifra de las decenas del número inicial. Halla dicho número sabiendo que sus cifras suman 6. x es la cifra de las decenas. y es la cifra de las unidades. x + y = 6 y = 6 x (0x + y) (0y + x) = x 0x + 6 x 0(6 x) x = x 0x + 6 x x x = x 6x = 44 x = 9 y = 7 El número es 97. R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 44 Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya única solución sea x =, y =. 3x +y = 4 x y = ( ) = 4 x =, y = es solución. ( ) = 3 45 Comprueba si x = 3, y = es solución de alguno de estos sistemas de ecuaciones: x + y = 4 x y = a) x y = b) x 3y = 3 x 6y = 0 x + y = 5 x + y = = 4 a) x y = 3 = x = 3, y = es la solución de ese sistema. x 6y = = 0

21 x y = 3 = b) x 3y = = 3 x = 3, y = no es solución de ese sistema. x + y = = 4? 5 Pág. 46 Observa la representación de las rectas r, r, r 3 y responde sin resolver. r y x = 0 5y x = r r 3 x + y = a) Cuál es la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones?: y x = 0 I) II) x +y = b) Cuál es la solución de este sistema?: y x = 0 5y x = x + y = 5y x = y x = 0 a) I) Solución: x = 7, y = 3 II) Solución: x = 7, y = 3 b) Solución: x = 7, y = 3 47 Observa la representación de las rectas r, r, r 3 y responde sin resolver. 4 r 3 : 7y x = 6 4 r : x y = 4 r : x + y = 0 a) Cuál es la solución de los sistemas siguientes?: x + y = 0 x + y = 0 x y = I) II) III) x y = 7y x = 6 7y x = 6

22 b) Tiene alguna solución este sistema?: x + y = 0 x y = 7y x = 6 Pág. x + y = 0 a) I) x y = Solución: x =, y = x + y = 0 II) 7y x = 6 Solución: x =, y = x y = III) 7y x = 6 Solución: x = 5, y = 3 b) No, porque las tres rectas no tienen ningún punto en común. 4 Considera este sistema: 3x +y = 5 ax + by = 5 Qué valores deben tomar a y b para que el sistema tenga infinitas soluciones? Busca tres soluciones del sistema. Para que tenga infinitas soluciones, la segunda ecuación debe ser proporcional a la primera. 3x + y = 5 Así: a = 9 y b = 6 ax + by = 5 Soluciones: Damos valores a x para obtener puntos de la recta 3x +y = 5: x =, y = ; x = 0, y = 5 ; x =, y = 4 49 Observa el sistema de ecuaciones siguiente: 3x +y = c 6x +4y = d Qué condición deben cumplir c y d para que el sistema no tenga solución? El sistema no tendrá solución cuando las dos rectas sean paralelas, es decir, cuando d? c. 50 Cuál debe ser el valor de m para que los sistemas a) y b) sean equivalentes? x 3y = x y = m a) b) x + y = y = 3 La solución de a) es x = 5, y = 3. b) debe tener la misma solución: 5 3 = m m =

23 PÁGINA 37 Pág. 3 PROFUNDIZA 5 Ejercicio resuelto x y = Resolver por sustitución: x + y = 5 Despejamos y en la. a ecuación y sustituimos en la. a : y = x x +(x ) = 5 5x x 4 = 0 ± x = = ± 3 x = x = /5 Si x = 4, y = 4 = 6. Si x =, y = = 34 ( ) Resuelve por sustitución. x + y = 4 y x = 0 a) b) x + y = 7 x + y = 47 x y = x + y = c) d) x y = 6 x y = x + y = 4 a) x + y = 7 y = 4 x x + 4 x = 7 x ± x 3 = 0 x = = Si x = 3, y = 4 3 =. Si x =, y = 4 ( ) = 6. ± 4 x = 3 x = y x = 0 b) x + y = 47 Si x = 7, y = 7. Si x = 7, y = 7. y = x x + x = 47 3x = 47 x = 49 x = 7 x = 7 x y = y = x c) x y = 6 x (x ) = 6 x x + 4x 4 = 6 4x = 0 x = 5 y = 3 Solución: x = 5, y = 3

24 x + y = y = x d) x y = x ( x) = x + x x = x + x 3 = 0 ± 4 + x = x = = ± 4 x = 3 Si x =, y = 0. Si x = 3, y = ( 3) = 4. Pág La diferencia de dos números es, y la de sus cuadrados, 0. Halla esos números. Los números son x e y. x y = x = + y x y = 0 ( + y) y = y + y y = 0 4y = 6 y = 4 x = 6 Los números son 6 y Halla dos números cuya suma es, y la de sus cuadrados, 0. Los números son x e y. x + y = y = x x + y = 0 x + ( x) = 0 x x + x = 0 x 4x + 64 = 0 x x + 3 = 0 ± x = = Si x =, y = 4. Si x = 4, y =. Los números son y 4. ± 4 x = x = 4 55 La diagonal de un rectángulo mide 5 cm, y su perímetro, 4 cm. Calcula sus lados. x +y = 4 x + y = 5 x + y = x + y = 5 5 x y y = x x + ( x) = 5 x x + x = 5 x 4x + 6 = 0 x x + 0 = 0 ± x = x = = ± 3 x = 9 Si x =, y = = 9. Si x = 9, y = 9 =. Los lados del rectángulo miden 9 cm y cm, respectivamente.

25 56 El perímetro de un rectángulo es 6 m, y su área, 40 m. Halla sus lados. y Pág. 5 x + y = 6 xy = 40 x + y = 34 y = 34 x xy = 40 x (34 x) = 40 34x x = 40 x 34x = 40 = 0 x 34 ± 34 x = 40 4 = 34 ± 4 Si x = 0, y = 34 0 = 4. Si x = 4, y = 34 4 = 0. Los lados del rectángulo miden 0 cm y 4 cm, respectivamente. x = 4 x = 0 57 Las diagonales de un rombo se diferencian en 6 cm y su área es 56 cm. Calcula la medida de las diagonales. x x y = 6 x = 6 + y x y = 56 (6 + y)y = 6y + y = y +6y = 0 6 ± y = y = = 6 ± y = 4 (No vale). Si y =, x = 6 + = 4. Las diagonales miden cm y 4 cm, respectivamente. y 5 El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. La altura relativa al lado desigual mide m. Calcula la medida de los lados iguales. Si llamas x a la mitad de la base, se simplifican los cálculos. y y x x x +y = 36 x + y = y = x y x = y x = 44 ( x) x = x + x x = 44 36x = 0 x = 5 y = 5 = 3 Los lados iguales miden 3 cm.

26 59 Los lados de un triángulo miden 5 cm, 7 cm y 0 cm, respectivamente. Calcula la altura relativa al lado más largo y halla el área del triángulo. Ten en cuenta que la altura h divide al triángulo original en dos triángulos rectángulos. Pág. 6 5 h 7 x 0 x h + x = 5 h + (0 x) = 7 h + x = 5 h x + x = 49 h = 5 x 5 x x + x = 49 0x = 76 x = 3, h = 5 3, = 0,56 3,5 cm A = 0 3,5 = 6,5 La altura mide 3,5 cm, y el área, 6,5 cm. 60 En una parcela rectangular de 60 m de perímetro se hace un jardín rectangular bordeado por un camino de m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es m. x y x +y = 60 (x 4)(y 4) = x + y = 30 xy 4x 4y + 6 = y = 30 x x (30 x) 4x 4(30 x) + 6 = 30x x 4x 0 + 4x + 6 = x +30x 6 = 0 x 30x + 6 = 0 30 ± 30 x = 4 6 = = 30 ± 6 x = y = x = y = Las dimensiones de la parcela son m y m, respectivamente.

27 6 Varios amigos se van a repartir un premio de 00 a partes iguales. Dos de ellos deciden renunciar a su parte y de esta forma los demás reciben 0 más cada uno. Cuántos amigos son? Cuánto recibe cada uno? Son x amigos; y es el dinero que corresponde a cada uno. xy = 00 (x )(y + 0) = 00 xy = 00 xy +0x y 40 = 00 Pág y = x x + 0x 40 = 00 x x x = 00 x 0x x = 0 x x 0 = 0 ± x = +4 0 = ± x = 0 x = No vale. x = 0 y = 00 = 0 0 Son 0 amigos. Como renuncian a su parte, a los restantes les corresponde Si la base de un rectángulo disminuye cm y la altura aumenta 4 cm, se convierte en un cuadrado. Si la base disminuye 4 cm y la altura aumenta cm, su área disminuye cm. Calcula los lados del rectángulo. x 4 y + y x = y +4 x = y +6 (x 4)(y + ) = xy xy + x 4y = xy (y + 6) 4y = y + 4y = y = 6 y = x = 4 Los lados del rectángulo miden cm y 4 cm, respectivamente. x

28 63 Resuelve este sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas y comprueba gráficamente su solución: x + y = x y = 5 x + y = Halla la solución de las dos primeras ecuaciones y comprueba si verifica la tercera. Pág. x + y = x y = 5 x + y = x + y = 3x = 6 x = y = 4 = 3 x y = 5 Comprobamos si se verifica la tercera ecuación: + ( 3) = La solución del sistema es x =, y = Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x 3 = 0 3x y + z = 4 x + y = z x + y = 5 a) x 3y = 9 b) x + y = 5 c) x y = z d) x + y + z = 3 x + y z = z 3 = x + z = 4 y + z = x 3 = 0 x = 3 a) x 3y = 9 3 3y = 9 3y = 3 y = x + y z = 3 + ( ) z = z = z = Solución: x = 3, y =, z = 3x y + z = 4 3x y + 4 = 4 b) x + y = 5 x + y = 5 z 3 = z = 4 3x y = 0 3x y = 0 x + y = 5 x +y = 0 5x = 0 x = + y = 5 y = 3 Solución: x =, y = 3, z = 4 x + y = z x + y = z c) x y = z x = z x = z z + z = 4 x y = z x + z = 4 z = 4 z = + y = y = 0 Solución: x =, y = 0, z = x + y = 5 x = 5 y x = 5 4 = d) x + y + z = 3 5 y + y + z = 3 z = y + z = y + z = y + ( ) = y = 4 Solución: x =, y = 4, z =