Resolución. Instrucciones: Leer detenidamente los siete enunciados y resolver seis de los siete problemas propuestos.

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SEGUNDO EAMEN FINAL SEMESTRE 04 - TIPO DURACIÓN MÁIMA.0 HORAS DE DICIEMBRE DE 03 NOMBRE Apelldo paterno Apelldo materno Nombre (s) Frma Instruccones: Leer detendamente los sete enuncados y resolver ses de los sete problemas propuestos.. Un médco quere hacer un estudo estadístco de una muestra semanal de medcones de las presones arterales sstólcas de 90 pacentes dferentes, el médco ordenó y agrupó estos datos medante una tabla dnámca en una hoja de cálculo electrónca y es la sguente: Límte nferor real Límte superor real Frecuenca Él desea calcular con datos agrupados: a) El coefcente de varacón e nterpretar el resultado. b) La medana. La tabla de dstrbucón de frecuencas está dada por: Frontera Inferor Frontera Superor Frecuenca Absoluta Marcas de Clase Frecuenca Relatva Frecuenca Acumulada Absoluta Frecuenca Acumulada Relatva Clase Medana L R L Rs f x f * F F * x f * (x -meda) f La meda= 0.6 La varanca muestral= Coefcente de Varacón= 0.49 La muestra aleatora no es buena. a) El coefcente de varacón se defne como: CV S n PYE_ EF_04-

2 se requere la meda y la desvacón estándar, realzando las estmacones para los datos agrupados, se tene: * m m n f f 8 8 * x x f x f la varanca mustral: m S n f n sn La raíz de la varanca es la desvacón estándar, entonces: s n sn susttuyendo.840 cv Este ndcador para la muestra dce que hay varabldad en los datos, según el resultado 4.9 % es buena la muestra. b) La medana es el valor que dvde en dos partes guales la dstrbucón de frecuencas, con los datos agrupados, entonces se realza una nterpolacón: Fronteras de la Clase medana Frecuenca Acumulada Relatva Medana m= y -y =m(x -x ) =0.044(x medana -6.5) Una revsta publca tres columnas ttuladas Arte ( A ), Lbros ( B ) y Cnema ( C ). Los hábtos de lectura de las amas de casa son probables de acuerdo a como se muestra en la tabla sguente: Calcular: a) P A B b) P( A B C) c) P( A B C) A B C A B A C B C AB C a) Se pde la probabldad de que una ama de casa lea de arte dado que lee lbros, entonces: PYE_ EF_04-

3 P A B P A B P B 0.3 b) Se pde la probabldad de que una ama de casa lea de arte dado que lee lbros o cnema, entonces: P AB C P AB AC P AB P AC P ABC P A B C P B C P B P C P BC P B P C P BC P A B C c) Se quere calcular la probabldad de que una ama de casa lea de arte o lbros dado que lee sobre cnema, entonces: P A B C P AC BC P AC PBC P ABC P A B C P C P C P C P A B C Se sabe que el tempo semanal, en mnutos, que un estudante llega tarde a clase de Inferenca Estadístca es una varable aleatora con funcón de densdad: x ; 50 x 50 f x ; en otro caso a) Determnar el tempo promedo semanal de retardo del estudante. b) Calcular la probabldad de que el tempo de retardo del estudante exceda su tempo promedo de retardo semanal. La gráfca de la funcón de densdad es: a) El promedo está defndo por: E xf x dx 50 3 E x500 x dx b) La probabldad de que el tempo de retardo del estudante exceda su tempo promedo de retardo semanal. PYE_ EF_04-3

4 50 3 P P x dx Se estma que el tempo transcurrdo hasta la falla de una pantalla plana LCD, se dstrbuye exponencalmente con meda gual a tres años. Una compañía ofrece hacer válda la garantía en la tenda por el prmer año de uso, qué porcentaje de pantallas hará uso efectvo de la garantía? La dstrbucón exponencal tene meda: E entonces: E 3 T es la varable aleatora que representa el tempo de falla de una pantalla plana LCD. T Exponencal 3 t F T t P T t e T 3 3 F T P T e e T sgnfca que el 8.35% de pantallas planas LCD presentará una falla en el prmer año, los usuaros y hará válda la garantía en la tenda. 5. Un consultoro médco cuenta con dos líneas telefóncas. En un día selecconado al azar, sea la varable aleatora que representa la proporcón del tempo que se utlza la línea telefónca y sea Y la varable aleatora que representa la proporcón del tempo que se utlza la línea telefónca. S la funcón de densdad conjunta de estas varables aleatoras es: x y ; 0 x, 0 y f Y x, y 3 0 ; en otro caso Cuál es la probabldad de que la línea telefónca se encuentre lbre durante el 80% del día? P La línea está desocupada el 80% del día P Y 0. Se pde calcular entonces: 0. y0. 0. P Y0. x y dydx xy y dx 0.x 0.04 dx x 0.04x y PY Las estaturas de 000 estudantes están dstrbudas aproxmadamente en forma normal con una meda de 4.5 centímetros y una desvacón estándar de 6.9 centímetros. S se extraen 00 muestras aleatoras de tamaño 5 de esta poblacón, determnar: a) El número de muestras cuyo promedo cae entre.5 y 5.8 centímetros, con reemplazo. PYE_ EF_04-4

5 b) El número de muestras que su promedo cae abajo.5 centímetros, sn reemplazo. Normal 4.5, 6.9,,, 3,..., 000 a) Por el teorema del límte central se conoce la varanca, con reemplazo, se tene: Normal 4.5, n Z P P P n 5 n P P Z P Z P.45 Z P F F Z entonces 00(0.59)=50.58 serían 5 muestras de las doscentas. b) Por el teorema del límte central conocda la varanca, sn reemplazo, se tene: N n Normal 4.5, n N Normal 4.5, P P P Z N n n N Z P.5 P Z.4 F por lo tanto 00(0.008)=4.6 serían 5 muestras de las doscentas.. Para confrmar s están relaconados el tránsto vehcular (automóvles por hora), y el contendo de ozono (porcentaje de partículas por mllar) en la vegetacón que crece a la orlla de las carreteras, se realzó un estudo en sete regones de la Repúblca Mexcana, y se obtuveron los datos sguentes: Cantdad de automóvles Cantdad de ozono a) Obtener la recta de regresón. b) Calcular el coefcente de correlacón. Proporconar una nterpretacón. PYE_ EF_04-5

6 Cantdad de autómovles x Cantdad de ozono y xy xx yy Sumas: a) La recta de regresón es: ŷ ˆ ˆ 0 x donde se sabe que los promedos están defndos por: x x, n n y n n susttuyendo los valores de las sumas en los promedos: y 338 x 334 los estmadores se defnen por: ˆ xy x xy x ˆ ˆ y ˆ x 0 0 ˆ por lo tanto el modelo está dado por: yˆ ˆ ˆ x 0 yˆ 0.03 x.858 b) El coefcente de correlacón se defne como:, y PYE_ EF_04-6

7 R ss ss xx xx yy yy xx x xy yy x y y x y xy x y ssxy susttuyendo r Del resultado anteror: es muy baja la asocacón lneal, práctcamente es lgera asocacón lneal. Como el coefcente de determnacón se utlza como medda de efcaca de la regresón, éste es el cuadrado del coefcente de correlacón, se defne por: R xy xx yy r se puede conclur que, el coefcente de determnacón.33 % es muy alejado al 00%, por lo que se consdera que el modelo lneal no explca la cantdad de ozono emtda por los vehículos. El modelo es defcente hay que usar otro modelo. PYE_ EF_04-

8 PYE_ EF_04-8