PROPIEDADES TOPOLÓGICAS DE LA LÍNEA KHALIMSKY

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1 PROPIEDADES TOPOLÓGICAS DE LA LÍNEA KHALIMSKY Erc Antono Acevedo Unversdad de Panamá, Facultad de Cencas Naturales, Exactas y Tecnología Departamento de Matemátca. E-mal: erc.acevedo@utp.ac.pa RESUMEN En los años 1977 y 1986, Khalmsky, y más recentemente Kovalevsky (1988), propuseron que una magen dgtal está asocada a un espaco topológco. Desde entonces, las nocones de topología general son usadas en el procesamento de mágenes dgtales. En este contexto, una de las topologías más utlzada es la topología de Khalmsky. El objetvo de este trabajo es categorzar el espaco topológco de Khalmsky tomando como punto de partda las propedades de los espacos de Alexandroff. PALABRAS CLAVES Espacos de Alexandroff, Conjuntos Parcalmente Ordenados, Espacos de Kolgomoroff o Espacos Topología de Khalmsky. ABSTRACT In the years 1977 and 1986, Khalmsky, and more recently Kovalevsky (1988), have shown that the dgtal mages are assocated to topologcal notons. Snce then, the notons of general topology had been used n the processng of dgtal mages. In ths context, one of the more useful topologes s the Khalmsky s topology. The am of ths work s to categorze the Khalmsky s topologcal space takng as a startng pont the propertes of the spaces of Alexandroff. KEYWORDS Alexandroff Space, Ordered Parcal Sets, Kolgomoroff Space or Khalmsky Topology. Space, Tecnocenca, Vol. 14, N 1 119

2 INTRODUCCIÓN En los espacos topológcos en las que los abertos son estables por nterseccones arbtraras, son de especal nterés en la Topología General y la Topología Dgtal. Paul Alexandroff (1937) realzó estudos acerca de tales espacos. Más adelante Efm Khalmsky (1987; 1990) publcó sobre estos espacos y además desarrollo una topología sobre ellos, que hoy en día es la base de la Topología Dgtal para el procesamento de mágenes en computadora (Kovalevsky, 2006). Erk Meln ha escrto varos artículos con respecto a esta topología (Meln, 2003a, 2003b, 2008, 2004) y las propedades que ella posee con respecto a otros espacos topológcos. 1. ESPACIOS DE ALEXANDROFF Defncón 1 Un espaco topológco es de Alexandroff s la nterseccón arbtrara de conjuntos abertos es un conjunto aberto. Una característca mportante de estos espacos es que tenen una base de elementos mínmos o vecndad mínma. Defncón 2 Sea X, un espaco topológco y x X. V x U : x U Defnmos Observemos que para todo X, ; V x. elemento de un espaco topológco Pues, al ser un elemento de tenemos que V x x. Claramente, cuando ( ) es un espaco de Alexandroff, ( ) es un elemento de. El recproco de esta afrmacón tambén es verdadero, cuando V x para toda x X, a contnuacón damos la prueba. Proposcón 1. Sea, V x, para toda x X s y solo s, X un espaco topológco. Entonces X es de Alexandroff. 120 Acevedo, E. A.

3 Demostracón: S X, es de Alexandroff es nmedato que V x, para toda x X. Ahora, supongamos que V x para toda que demostrar que x X y sea U I una famla de abertos de. Hay I U. Es sufcente con verfcar que para todo U U exste una vecndad de que es un subconjunto de I U. Sea x U entonces, x U 0 j para toda I V por lo que j xo V x0 I U. Conclumos que, Tecnocenca, Vol. 14, N I 0, I j, pero, por hpótess V, x0 U para toda j I. Por lo tanto x 0 X es de Alexandroff. S X, es de Alexandroff, llamaremos a V x la vecndad mínma de x o la estrella de x, y la denotaremos como St x. Observacón: S X, es un espaco de Alexandroff, x X y V es St x V una vecndad de x entonces. Proposcón 2. Sea, Entonces: x x X X un espaco de Alexandroff. St ; es una base de. Demostracón: Por ser ( ) de Alexandroff,. Para demostrar que es una base de es sufcente con asegurar que para cada x X y cada vecndad de, exste un V tal que x V U. Sean x X y U tanto es base de. una vecndad de sabemos que St x U. Por lo Sea el conjunto de los números enteros y consderemos la famla de subconjuntos de dado por 2n, 2n 1, 2n 2 : n

4 o el equvalente, generado por la base 2n, 2n 1, 2n 2 : n 2n1 : n Entonces es sub-base de una únca topología sobre. A esta topología la llamamos la Topología de Khalmsky sobre y la denotamos k. Observacón: Los abertos de k son unones de conjuntos de la forma n 2, n 1, n n con n mpar. con n par y Proposcón 3., k es un espaco de Alexandroff. Demostracón: Comprobaremos que para cada n V n k ;. A n 2, n 1, n y { } dos abertos de k. Sea S es par, tenemos que A B n es aberto. Sea m, m n, s m n, el aberto B no contene a s m n, el aberto A no contene a, por tanto V n n k. S es mpar tenemos que es par y C n 1, n, n 1 aberto y contene a n, donde k anteror). es C V n (Por la observacón Sea V una vecndad de n, entonces exste un aberto O de k tal que n O V n. Por lo tanto, es de Alexandroff. k 122 Acevedo, E. A.

5 Observacón: De la demostracón anteror, tenemos que: St n { } s n es par { } s n es mpar Recordemos que en un espaco de Alexandroff habíamos convendo en llamar a V x estrella y denotarlas como St x. Luego la base que defne al espaco, k de acuerdo a la Proposcón 2 quedaría de la sguente manera: St n : n Según el resultado anteror,, k es un espaco de Alexandroff pero, claramente, tene un número nfnto de elementos; este espaco lo llamaremos Espaco Topológco de Khalmsky. 1.1 Espacos Topológcos Inducdos por Órdenes Parcales En esta seccón, dado un conjunto parcalmente ordenado X, ; construremos una topología en tomando como base los conjuntos de la forma: ( ) { } con (1) Teorema 1. Sea X, un conjunto parcalmente ordenado. Entonces X, es un espaco topológco, donde es la topología generada por la base. U x : x X ; donde U x y X : x y Demostracón: Prmero probaremos que ( ). Sea entonces, como es reflexva x0 U x 0. Luego X. Por lo tanto ( ). Sea y verfquemos que exste U x U x U y U x entonces s x x 1 x 2 como x1 y por lo tanto y U x 1 tenemos que. De gual forma se 1 Tecnocenca, Vol. 14, N 1 123

6 prueba que y U x 2. Por lo tanto, es la únca topología de la que es base. De acuerdo con el resultado anteror, U x es un conjunto aberto, para cualquer x X. Más aún, no exste nngún aberto no totalmente contendo en U x. Observacón: En cualquer espaco topológco X, toda vecndad U x U. Coloraro 1. S X, es un conjunto parcalmente ordenado y es la topología dada por sobre, X, es de Alexandroff. Demostracón: Sea U entonces, trvalmente U. Supongamos 124 Acevedo, E. A. U, entonces U es una famla de abertos de. Supongamos que x U para toda, entonces x U x U, hemos probado así que vecndad de todos sus puntos; por lo tanto es aberto. Con esto X, es de Alexandroff. Tenemos que para estos espacos U x St x. Por lo que de ahora en adelante utlzaremos la notacón St x cuando trabajemos con este tpo de espaco. Por defncón de St x, este es el aberto mínmo que contene a x y podemos descrbrla en térmno de la relacón de orden en (1). Esto tambén es posble para descrbr al mínmo conjunto cerrado que contene a un elemento x, es decr, podemos caracterzar a la cerradura de cualquer elemento a partr de la relacón de orden. U es

7 Escrto de otra forma tenemos que: Sea X U con es la famla de abertos de que contene a. Sabemos que U es aberta y contene a x, entonces U x, por lo tanto x St x U. Ser de Alexandroff, no es la únca propedad que estos espacos tenen. Recordemos que un espaco topológco X, es T 0 o de Kolgomoroff, s para todo x, y X exste U vecndad de x tal que y U, o, exste vecndad de y tal que x V. Coloraro 2. S X, es un conjunto parcalmente ordenado y una topología sobre X entonces X, es T 0. Demostracón: Sean x, y X, x y. S son comparables podemos suponer sn pérdda de generaldad que x y. Es decr, y St x ; s x St y, tendríamos que y x, lo que mplcaría que x y, pues es antsmétrca y esto contradce nuestras suposcones. Por lo que x St y. S no son comparables entonces St y es una vecndad de que no contene a, lo msmo ocurre con St x, es una vecndad de que no contene a. Por lo tanto, X, es T 0. Como ejemplo de los resultados obtendos en esta seccón construremos un espaco topológco que resultará ser homeomorfo al Espaco de Khalmsky a partr de un conjunto parcalmente ordenado. Proposcón 4. Sea, homeomorfo a Z, k, el Espaco Topológco de Khalmsky. X un espaco topológco, entonces Demostracón: Sea f : X, Z, k dada por: 2n s x 2n 1,2n 1 f x 2n 1 s x 2n 1 X, es Tecnocenca, Vol. 14, N 1 125

8 Claramente es nyectva y sobreyectva, luego es nvertble. Veamos ahora que son contnuas. Como {{ } } { } es una base en y {{( - ) { } ( )} } {( ) } es una base de Demostraremos que la magen nversa de bajo es un aberto de Sea S { } para algún entonces ( ) {( )} S { } tenemos que: {( )} { } {( )} Por lo tanto es contnua. Para demostrar la contnudad de utlzamos los msmos razonamentos. Por lo tanto conclumos que es un homeomorfsmo. Una de las consecuencas nmedatas de esta proposcón es el sguente corolaro. Corolaro 3. El Espaco de Khalmsky es 1.2 Conjuntos Parcalmente Ordenados a partr de un Espaco Topológco En la sguente seccón observaremos que dada una topología sobre un espaco, podemos generar una relacón de orden, para dotar al conjunto de un orden parcal. Dado un espaco topológco X, A subconjunto de X denotamos por A barra la clausura de A en X. 126 Acevedo, E. A.

9 Teorema 2. Sea X, un espaco topológco T 0 y una relacón defnda por x y s x y. Entonces X, es un conjunto parcalmente ordenado. Demostracón: En prmer lugar demostraremos que es reflexva. Sea entonces ( ) por lo tanto y como los son base de la topología de entonces ( ). Entonces es reflexva. Ahora probaremos la antsmetría de, sean tales que y Demostraremos que Supongamos que, entonces para toda vecndad tenemos que lo msmo ocurre para toda vecndad esto contradce el hecho de que ( )es por lo tanto y esto mplca entonces que sea antsmétrca. Fnalmente, probaremos la transtvdad. Sea entonces y por lo tanto se tene que (la pertenenca vale por la reflexvdad de y la nclusón por la transtvdad) donde { } y { } Así es tambén transtva Por lo tanto ( ) es un conjunto parcalmente ordenado. La topología defnda a partr de un conjunto parcalmente ordenado y la relacón de orden que se defne a partr de un espaco topológco están estrechamente relaconadas. 1.3 Propedades Topológcas de los Espacos de Alexandroff Observaremos ahora las propedades topológcas que cumplen los Espacos de Alexandroff. Tecnocenca, Vol. 14, N 1 127

10 Teorema 3. Sea X un espaco de Alexandroff, y sguentes condcones son equvalentes: una base de X, las ) es una base mínmal. ) S es una subfamla de tal que Demostracón: Sea una base de X tal que y sea entonces (Por hpótess) Así. Luego es mínmal. Supongamos que es base de X. Sea, entonces y esto es absurdo. Así toda base de X es ncomparable con o contene a Luego es mínmal. Teorema 4. Sea X un espaco de Alexandroff X es T sí y solamente 0 s Vx Vy, esto mplca que x y. Demostracón: Sean entonces podemos suponer que exste aberto tal que luego ( ) ( ) ( ) ( ) Sean ( ) ( ) Supongamos que no es y sean tal que todo aberto que contene a contene a y vceversa, entonces ( ) es aberto y contene a por la tanto ( ) ( ) de esta forma se tene que ( ) ( ) y así ( ) ( ). Por la tanto no es ( ) ( ) Teorema 5. Sean respectvas bases mínmas. X y Y espacos de Alexandroff; U y V sus 128 Acevedo, E. A.

11 Entonces: 1. S es un sub-espaco de, entonces U V X : V V 2. es un espaco de Alexandroff y su base mínma está dada U V U V : U U, V V por Teorema 6. Sea un espaco de Alexandroff T 0. Las sguentes afrmacones son equvalentes: 1. es conexo por arco 2. es conexo 3. es conexo por cadena 4. Para todo a, b X, exste a 0,... a X n 1 tal que a a an b V a V a s j 1., y 0 1 j 5. Para todo a, b X, exste a 0,... a X n 1 tal que a a a b n V a V a s j 1., y 0 1 j 6. Para todo a, b X, exste a 0,... a X k 1 tal que a a a b k a a s j 1., y 0 1 j Teorema 7. Sea un espaco Alexandroff - entonces: 1. X es localmente conexo por arco 2. X es prmer contable 3. X es paracompacto s y solo s, toda ( ) contene solamente un número fnto de ( ) s es paracompacto entonces es localmente fnto (Su nversa no es certa). 4. es segundo contable s y solo s, el es contable U n1 5. es separable s y solo s X x. U n1 6. es Lndelöff s y solo s X V x. n n Tecnocenca, Vol. 14, N 1 129

12 7. Exsten espacos Lndelöff Alexandroff que no son separable y espaco separable Alexandroff que no son Lndelöff. 8. S es fnto, entonces es compacto. 9. S es localmente fnto, entonces es localmente compacto. 10. es contable s y solo s es localmente contable y Lndelöff. 11. S es localmente fnto, es compacto s y solo s es fnto. Teorema 8. Sea un Espaco de Alexandroff entonces: 1. es regular s y solamente s ( ) es cerrado para todo (donde es 0 dmensonal) 2. S es regular y compacto, entonces es localmente compacto. 3. S es regular y separable, entonces es perfectamente normal. 4. es pseudo- metrzable s y solamente s ( ) es cerrado y fnto para todo 2. TOPOLOGÍA DE KHALIMSKY Como hemos vsto desde 1937 se realzaron estudos acerca de certos espacos topológcos que presentan algunas característcas muy mportantes que en el año 1977 Efm Khalmsky utlzó para desarrollar una topología sobre el plano dgtal tomando como base el producto de dos Líneas de Khalmsky. Vemos que esta topología lo que hace es aproxmar al conjunto Z con la recta real. Defncón 3. El conjunto con la topología defnda en la Proposcón 2 recbe el nombre de Línea de Khalmsky. Observamos entonces que la Línea de Khalmsky es un espaco de vecndad mínma y además es conexo. Otra forma de defnr la Topología de Khalmsky es la sguente: Recordemos que un número real se puede expresar de la forma: 130 Acevedo, E. A.

13 [ ] { }, donde [ ] es la parte entera de, es decr el mayor entero menor que y { } es la parte decmal de Por defncón [ ] { } Consderemos con la topología usual y las funcones g : R y f : R defndas de la sguente forma: ( ) { [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } ( ) ( ) { } { [ ] { } Donde no es más que la conocda funcón de redondeo. La topología de Khalmsky sobre es la topología más fna sobre tal que f : R es contnua. Defncón 3. Sea f : M N una aplcacón entre dos espacos métrcos, se dce que f satsface la condcón de Lpschtz s exste una constante k 0 tal que d f x, f y k dx, y para todo x, y M. En tal caso, k es llamada la constante de Lpschtz de la funcón. Además observamos que toda funcón Lpschtz es unformemente contnua y por lo tanto contnua. Aquellas funcones de Lpschtz donde k 1 recben el nombre de funcones cortas. Proposcón 5. Sea X un espaco topológco y f : X una aplcacón contnua y X f es mpar entonces f es constante en x o x o. S x o V y f x f x 1para todo x x. S f o x o Tecnocenca, Vol. 14, N 1 131

14 es par, entonces f es una constante en todo V x. x o x y f x f x 1 o para y es un aberto, Demostracón: Sea yo f x o mpar. Entonces o 1 1 donde f y o es aberto dado que Vxo f y o donde f V x o y o..más aún, s el conjunto y, y o o 1 1 cerrado, entonces el conjunto f A que f x A para todo x x. Teorema 9. Una funcón 1. f es Lpschtz 1 2. Para todo x par, x, A es es un cerrado y esto mplca f : es contnua s y solo s f x mplca que f x f x Demostracón: Sea y 1, y, y 1 1. A donde y es un número par de cualquer elemento de una sub-base, mostraremos que f aberto. es mpar, entonces 1 A es un 1 S x f A x es una vecndad de x. S x es par, tenemos entonces dos casos: f x es mpar, la condcón (2) mplca S 1 que f x 1 f x así quex 1, x, x 1 f A es una vecndad de x f x es par, entonces f x y, la condcón Lp-1 mplca que f x 1 y 1 donde obtenemos otra vez que S 1 x 1, x, x 1 f A es una vecndad de x. Por la tanto f es contnua. 132 Acevedo, E. A.

15 3. PROPIEDADES TOPOLÓGICAS DE LA LÍNEA DE KHALIMSKY El objeto de esta seccón es presentar las propedades que posee la línea de Khalmsky o sea ver que propedades topológcas tene la línea de Khalmsky con respecto a otros espacos. Solamente demostraremos algunas de estas propedades las demás se pueden encontrar en Acevedo (2009). Teorema 10. El espaco, k tene las sguentes propedades: Es T o No es T 1. No es T 2. No es T 3. No es T No es T 4. No es T 5. No es de Uryshon. No es Semregular. No es Regular. Es T o pero no es T 3. No es completamente Regular. No es Normal. No es Completamente Normal. No es totalmente T 4. No es compacto. S es Compacto. S es Lndeloff. No es contable compacto. S es secuencalmente compacto. No es débl contable compacto. S es pseudo-compacto. S es localmente compacto. S es fuerte localmente compacto. S es -localmente compacto. Tecnocenca, Vol. 14, N 1 133

16 Es separable. Es prmer contable. Es segundo contable. Es paracompacto y metacompacto. Demostracón: Tenemos que en este espaco la famla de vecndades mínmas es un refnamento de todo cubrmento de y es obvo que ésta es puntualmente fnta y localmente fnta. Por lo tanto es meta y paracompacto. Es conexo. Demostracón: S. Tenemos que este espaco, k es la magen de la funcón redondeo de en dotado de la topología de Khalmsky. Es conexo por camno.} Demostracón: S. Sea m un entero par entonces exste una funcón contnua f : 0,1 tal que f 0 m y f 1 m1. En efecto s defnmos f x m s 0, 1 2 x y x m 1 1 f s x, 1, f resulta contnúa. 2 Sea n s n es mpar su vecndad mínma es Vn n. S n es dstnto de m, f 1V n es vacío, luego aberto, s 1 n m 1, f V n,1 que tambén es aberto en, S n es par y n m, f V n es vacío, luego aberto, s m n, como la vecndad mínma de n es V n n 1, n, n 1 m 1, m, m1, resulta 1 que f V n 0,1. Hemos probado así que las vecndades mínmas tenen mágenes nversas abertas por f, y esto equvale a decr que f es contnua. Esto prueba que dos enteros consecutvos sempre se pueden unr por un camno en, y por lo tanto es conexo por camnos. 134 Acevedo, E. A.

17 No es arco conexo. No es localmente conexo por camno. No es hperconexo. No es ultraconexo. Es localmente conexo. No es localmente arco-conexo. Es bconexo. Demostracón: El conjunto de los enteros mayores o guales a cero es conexo puesto que es la magen de la funcón valor absoluto de en, es contnua, Lps-1 y además par. S se prueba que el conjunto de los enteros negatvos Y 1, 2, 3,... es conexo, podemos conclur que no es bconexo. Basta probar que X 1,2,3,... es conexo, pues la aplcacón f n n tambén es Khalmsky contnua. Supongamos que X no es conexo y X A B, donde A, B son abertos y A B, esto quere decr que todos los pares no pueden estar ncludos en A, porque sno tambén estarían ncludos los mpares y B sería entonces vacío. Sea m el menor par no ncludo en A, entonces m está en B. Como B es aberto m 1, m, m 1 B. Esto mplca que m 2 tampoco está en A, pues s m 2 A, m 1, m 2, m 3 estaría ncludo en A. Esto es absurdo, pues m 1 B. De esta forma se prueba que A no contene nngún par mayor que m, es decr todos los pares mayores o guales a m están en B. Esto mplca que todos los mpares mayores o guales a m 1 están en B. Es decr sea C m 1, m, m1,... B. De gual forma s n es el menor par no ncludo en B, D n 1, n, n 1,... A. Así C D A B.Pero esto es absurdo porque B C. Luego X es conexo y por lo tanto Y es conexo. Tecnocenca, Vol. 14, N 1 135

18 Así X 0 Y con X 0, Y conexos no vacíos dsjuntos. Por la tanto no es bconexo. No es localmente bconexo. Todos sus puntos son de dspersón. No es totalmente dsconexo por camno. No es totalmente dsconexo. No es totalmente separado. No es extremadamente dsconexo. No es Cero-dmensonal. No es dsperso. No es dscreto. No es metrzable. Es de segunda categoría. No es topológcamente completo. Tene una famla localmente fnta. Es fuertemente conectado. Es Hemcompacto. REFERENCIAS Acevedo, E La Topología de Khalmsky Tess de Maestría en Matemátca Pura. Unversdad de Panamá. Alexandroff, P Dskrete Raume. Mat, Sb. 2: Khalmsky, E Topologcal Structures n Computer Scence. Journal of Appled Math. and Smulaton. 1(1): Khalmsky, E., R. Kopperman & P. R. Meyer Computer Graphcs and Connected Topologes on Fnte Ordered Sets. Topology and ts Applcaton. 36(1), Kovalevsky, V Axomatc Dgtal Topology. Págna vstada en octubre de <arxv.org/pdf/ > 136 Acevedo, E. A.

19 Meln, E Connectedness and Contnuty n Dgtal Spaces wth the Khalmsky Topology. Págna vstada en octubre de < <uu.dva-portal.org/smash/get/dva2:306620/fulltext01> Meln, E Dgtal Straght lnes n the Khalmsky Plane. Págna vstada en octubre de < Meln, E Extenson of Contnuous Functons n Dgtal Spaces wth the Khalmsky Topology. Págna vstada en octubre de <www2.math.uu.se/~meln%20/khext.pdf> Meln, E Contnuous Dgtzaton n Khalmsky Spaces. Journal of approxmaton Theory 150: Recbdo septembre de 2010, aceptado juno de Tecnocenca, Vol. 14, N 1 137