Tema 6. Cálculo diferencial de funciones de una variable

Transcripción

1 Tema 6 Cálculo diferencial de funciones de una variable

2 Índice Esquema 3 Ideas clave Introducción y objetivos Conceptos previos Función derivada Cálculo de derivadas Actividades resueltas para practicar Referencias bibliográficas 29 A fondo 30 Test 32

3 Esquema CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE CONCEPTOS PREVIOS Derivada de una función f (x) en un punto Interpretación geométrica de la derivada Tasa de variación FUNCIÓN DERIVADA Derivada y continuidad Derivadas laterales CÁLCULO DE DERIVADAS DERIVADA DE LAS FUNCIONES DERIVADAS DE LAS OPERACIONES CON FUNCIONES Derivada de la suma de funciones Derivada de la multiplicación de funciones Derivada del coeficiente de funciones Derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena Derivada de una constante Derivada de una función afín Derivada de una función potencial Derivada de una constante por una función Derivada de una raíz Derivada de un logaritmo Derivada de una función exponencial Derivada de funciones trigonométricas Tema 6. Esquema 3

4 Ideas clave 6.1. Introducción y objetivos E n economía es muy importante estudiar el comportamiento que tienen unas magnitudes en función de las variaciones de otras. Por ejemplo, es interesante estudiar la variación de los precios a lo largo del tiempo o cómo varía la producción de una empresa en función de sus beneficios. De hecho, las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones costo, ingreso, beneficio y producción total. Comenzaremos este tema con la introducción de la tasa de variación media. La tasa de variación media permite estudiar cómo afecta a la cantidad que los consumidores comprarán de un determinado producto un pequeño cambio en el precio de dicho producto. Además, profundizamos en la herramienta del análisis de las funciones reales a través de una de las herramientas más potentes del cálculo matemático: la derivación de funciones reales. Previo a tratar el cálculo de derivadas se estudiarán los fundamentos teóricos del cálculo diferencial partiendo del concepto de tasa de variación media. Una vez establecidos sus fundamentos estudiaremos la interpretación teórica y gráfica de la derivada de una función, sus propiedades y sus reglas operativas. El presente tema se introducirán las herramientas matemáticas necesarias para cuantificar la variación de una magnitud dada. 4

5 Así, los objetivos que se pretenden conseguir son: Comprender el concepto de derivada de una función. Entender la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Analizar la repercusión de la continuidad de las funciones en la derivabilidad de estas. Calcular derivadas. Saber interpretar las derivadas inmediatas entendiendo la fórmula de la derivada de una función Conceptos previos C onsideramos una función y dos puntos sobre el eje de abscisas a y a+h siendo h un número real que corresponde al incremento de x,. Se llama tasa de variación de la función en el intervalo,, que se representa por a la diferencia del valor final con el valor final: 5

6 Figura 1. Función I Tasa de variación media Se llama tasa de variación media en el intervalo,, al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo: Nota: para entender el concepto de derivada de una función te recomiendo que accedas al recurso titulado Qué es y para qué sirve una derivada?, donde, de una manera muy sencilla, entenderás la información que aporta. Ejemplo Determinar la tasa de variación media para la siguiente función: La tasa de variación media es: 6

7 El incremento de la función se obtiene con, entonces: Dividiendo entre y simplificando, se tiene la tasa de variación media: Interpretación geométrica de la derivada La expresión de la tasa de variación media coincide con la pendiente de la recta secante a la función, que pasa por los puntos (, ) y (, ): Cuando se toma el límite, cuando h tiende a cero, los puntos a y, tienden a ser el mismo y, por tanto, la recta secante tiende a la recta tangente a la función, siendo m la pendiente de la recta tangente de ecuación: Siendo m la pendiente de la recta tangente: 7

8 Derivada de una función en un punto La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero. Ejemplo Hallar la derivada de la función 4 en el punto x=2: Función derivada L a función derivada de una función es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por. 8

9 Ejemplo La función derivada de 1 es: Derivadas laterales La derivada de una función en un punto se define como el límite de su cociente incremental en dicho punto, lo que implica existencia y unicidad de sus límites laterales. Las derivadas laterales de una función en el punto vienen definidas por los correspondientes límites laterales de su cociente incremental punto x. en dicho Derivada por la derecha Derivada por la izquierda 9

10 Si una función real posee derivadas laterales en un punto, y se verifica que ambas son iguales, entonces la función es derivable en dicho punto y se tiene que: En otras palabras, si la función es derivable en, su derivada es única. Como corolario, se podría demostrar que si no existiera alguna de las derivadas laterales de una función real en un determinado punto, o si de existir estas no son idénticas, la función no es derivable en el punto. Ejemplo Estudiar la derivabilidad de la función: 0 0 Para estudiar la derivabilidad de la función calculamos las derivadas laterales: La función no es derivable en x=0. Derivada y continuidad Por la propia definición de derivada se deduce que si una función real es diferenciable en un punto, la función ha de ser continua en dicho punto. 10

11 Decimos que una función real es continua en un punto si existe el y este coincide con el valor de la función en dicho punto. La inversa no es siempre cierta ya que una función real, continua en un punto, puede no ser diferenciable en dicho punto. Ejemplo 1 0 Sea la función. Estudiamos la continuidad en x=0: 0 lim lim ;lim lim lim 0 Como los límites laterales no coinciden, la función no es continua y por tanto no es derivable. 0 0 Sea la función. Estudiamos la continuidad en x=0: 0 lim lim ;lim lim lim 0 Como los límites laterales coinciden, la función es continua y por tanto podemos estudiar la derivabilidad:

12 Por tanto, la función no es derivable. Sea la función, la función es continua en x=0, por tanto podemos estudiar si es derivable en x= Por tanto, la función es derivable en x= Cálculo de derivadas Derivada de una constante Sea con k, la derivada 0. Vamos a demostrarlo usando la definición de derivada: 0 0 Ejemplo Dada

13 Derivada de una función afín Sea con a, b, la derivada es. Vamos a demostrar la derivada de una función afín usando la definición de derivada: Ejemplo Dada la función 34 3 Como casos particulares de la función afín: La derivada de la función identidad Sea con 1, 0, la derivada es 1. Vamos a demostrar la derivada de la función identidad usando la definición de derivada: 1 13

14 La derivada de la función lineal Sea con,0, una función lineal la derivada es. Vamos a demostrar la derivada de una función lineal usando la definición de derivada: Derivada de una función potencial Función potencial con base x Sea con, la derivada es. Para calcular la derivada de una función potencial, el exponente multiplica a la x y esta queda elevada a una unidad menos. Ejemplo Dada entonces 2 Dada entonces 2 Función potencial con base En lugar de tener una función potencial con base x, podemos tener una función potencial con base una función,, entonces su derivada es: 14

15 Ejemplo Dada 35 entonces su derivada es: Derivada de una constante por una función Sea con, la derivada es. Ejemplo Dada: Derivada de una raíz Derivada de una raíz cuadrada con radicando x Sea, la derivada es. La derivada de una raíz es un caso particular de la derivada de una función potencial. Vamos a ver que su derivada se puede calcular expresando la raíz como una función potencial: Derivada de una raíz cuadrada con radicando : Sea, la derivada es

16 Vamos a ver que su derivada se puede calcular expresando la raíz como una función potencial: Derivada de una raíz de orden n con radicando x: Sea, una función con raíz de orden n, la derivada es. Vamos a ver que su derivada se puede calcular expresando la raíz como una función potencial: Derivada de una raíz de orden n con radicando : Sea, una función con raíz de orden n, la derivada es. Vamos a ver que su derivada se puede calcular expresando la raíz como una función potencial:

17 Ejemplo Dada 3: Dada 5: Dada 4: Dada 2: Derivada del logaritmo La derivada de un logaritmo de x de base viene dada por: 17

18 La derivada de un logaritmo de una función de, ) y base, viene dada por: Para el cao particular del logaritmo neperiano de x, la derivada es: Y el logaritmo neperiano de una función de,), la derivada es: Ejemplo Dada log : 1 ln5 Dada log 5: 1 5 ln5 25 Dada ln3 2:

19 Derivada de la función exponencial La derivada de una función exponencial de base un número y exponente x viene dada por: La derivada de una función exponencial de base un número y exponente una función de x, u(x), viene dada por: Cuando la base de la función exponencial es el número e y el exponente es x, la derivada viene dada por: Cuando la base de la función exponencial es el número e y el exponente es una función de x, u(x), la derivada viene dada por: Ejemplo Dada 5 : 5 ln5 Dada 5 : 5 ln523 19

20 Dada : Derivada de las funciones trigonométricas Las derivadas de las funciones trigonométricas son: ; ; ; También existen derivadas de las funciones secante, cosecante y tangente, puedes consultar sus derivadas en la tabla de derivadas que hay al final del apartado. Ejemplo Dada sin : cos 3 2 cos cos 2 Dada cos5 3: sin sin5 3 Derivada de las operaciones con funciones Hemos visto cómo se derivan las funciones. Ahora vamos a ver cómo se comporta la derivada con las operaciones de suma, producto, cociente y la composición de funciones. 20

21 Derivada de la suma de funciones La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de cada una de las funciones: Ejemplo Dada la función: Nota: en este video titulado Derivada de la suma de funciones, puedes ver un ejemplo de cómo se realiza. Accede al vídeo a través del aula virtual 21

22 Derivada del producto de funciones La derivada del producto de funciones sigue una regla especial, es la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más primera sin derivar por la derivada de la segunda función: Ejemplo Dada la función: Nota: en este video titulado Derivada de un producto, puedes ver un ejemplo de cómo se realiza la derivada del producto de funciones. Accede al vídeo a través del aula virtual 22

23 Derivada del cociente de funciones La derivada del cociente de funciones sigue una regla especial, es la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador entre el denominador, sin derivar, al cuadrado: Ejemplo Dada la función: Nota: en este video titulado Derivada de un cociente de funciones, puedes ver un ejemplo de cómo se realiza. Accede al vídeo a través del aula virtual 23

24 Derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena Para la composición de funciones, su derivada se calcula aplicando la regla de la cadena que consiste en: Ejemplo Dada 2 3 : Nota: cuando practiques con el cálculo de derivadas podrás comprobar los resultados de las derivadas de las funciones consultando el recurso Calculadora de derivadas, disponible en la sección A fondo. Nota: en este video titulado Derivada de la composición de funciones, puedes ver un ejemplo de cómo se realiza la derivada de la composición de funciones. Accede al vídeo a través del aula virtual 24

25 Derivadas sucesivas Al ser la derivada de una función real una nueva función real, podemos volver a aplicar nuevamente la definición de derivada de una función: S T S U V W T U V F a a f(x) f (x) f (x) f (x) Figura 2. Derivada de una función Tabla de derivadas inmediatas Supongamos las siguientes identidades:. 25

26 6.5. Actividades resueltas para practicar Actividad 1 Calcula la tasa de variación instantánea de la función f(x)=x 2 en x= Actividad 2 Calcula la derivada de la función: 26

27 Actividad 3 Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: Soluciones: ; ; 3 ; ; 3 2 3; ; ; 3 27

28 ; 2 3 ; 6 ; ; Actividad 4 Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: cos Soluciones: ; 4 ; 4 cos; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 28

29 Nota: en el recurso titulado Ejercicios de derivadas encontrarás varios ejercicios para resolver de este tema de derivadas Referencias bibliográficas Balbás, A., Gil, J. y Gutiérrez, S. (1989). Análisis matemático para la economía Vol. I Madrid: Alfa Centauro. Caballero, R., González, A. y Triguero, F. (1992). Métodos matemáticos para la economía. Madrid: McGraw Hill. Chiang, A. (1987). Métodos fundamentales de economía matemática. Madrid: McGraw Hill. Jarne, G., Pérez Gras, I. y Minguillón, E. (1997). Matemáticas para la economía. Madrid: McGraw Hill. López, M. y Vegas, A. (1994). Curso básico de matemáticas para la economía y dirección de empresas I. Madrid: Pirámide. Sydsaeter, K. y Hammond, Peter J. (2008). Matemáticas para el análisis económico. Madrid: Perentice Hall. 29

30 A fondo Qué es y para qué sirve una derivada? Iriarte, M. (2012). Qué es y para qué sirve una derivada? Incress.com. En esta entrada del profesor Mariano Iriarte en el Blog de Incress se plantea uno de las evidencias más comunes que se producen en la enseñanza de las matemáticas: el alumno adquiere la operativa, pero ignora su significado y utilidad de lo aprendido. Basándose en esta premisa, Iriarte intenta explicar qué es una derivada y cómo se aplica a algunas circunstancias de la vida real más o menos comunes. Espero que su enfoque didáctico ayude a entender un poco mejor la utilidad de esta potente herramienta que es el cálculo diferencial. Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: participacion/2012/07/28/%c2%bfque es y paraque sirve una derivada/ Calculadora de derivadas Con esta calculadora podrás comprobar las derivadas que resuelvas y que no sepas si están bien. Además tiene la ventaja que aparecen los pasos para llegar al resultado, para que puedas comprobar donde te has confundido. Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: de derivadas.com/ Ejercicios de derivadas Tema 6. A fondo 30

31 Encontraras muchos ejercicios de derivadas para que puedas practicar cómo se calcula la derivada de cualquier función. Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web: Tema 6. A fondo 31

32 Test 1. Si la demanda de un determinado bien expresada por 2000,, en donde el precio varía temporalmente según 20,2. Cuál será la tasa de cambio de la demanda dentro de cuatro unidades temporales? A. 4 49,83. B ,35. C ,93. D , Calcular el valor de la derivada primera de la función en el punto 0. A.. B.. C.. D.. 3. Aplicando la regla de la cadena calcular la derivada de la función real compuesta 2 definida en, siendo las funciones y derivables: A. 2. B. 2. C D Tema 6. Test 32

33 4. Sea la función definida en y continua en un punto, entonces podremos afirmar que la función : A. Es derivable en. B. No es derivable en. C. Puede ser derivable en. D. Es continua y derivable en. 5. Dada la función, indicar cuál de las siguientes afirmaciones son ciertas: A. La función no es derivable en todo. B. La función es derivable en 1,1. C. Las derivadas laterales de en 1 son iguales. D. Ninguna de las anteriores. 6. Dada una función 3 4 definida en, calcular 2. A B. 37. C D La derivada de una función en el punto 4 vale 6, entonces se verifica que: A. La pendiente de la recta tangente a la curva en 4, 4 vale 6. B. La ecuación de cualquier recta tangente es 46. C. La ecuación de cualquier recta tangente es 64. D. Ninguna de las anteriores. Tema 6. Test 33

34 8. La ecuación de la recta, tangente a la curva 3 en el punto 1, 1, se representa por la función: A. 2. B.. C. 2. D La derivada de la función ln es: A.. B.. C.. D La derivada de la función es: A.. B.. C.. D.. Tema 6. Test 34