lím 1 si x=0 3) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la siguiente función en el punto de abscisa π/2: sen x y = arc tg 1+cos x

Transcripción

1 CURSO 4-5. de myo de 5. ) Clcul los siguientes ites: (+e ) / sen(/) ) Estudi l continuidd de l siguiente función: +e/ f() -e / si si ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de l siguiente función en el punto de bscis π/: 4) Clcul ls integrles: sen y rc tg +cos ctg d d ln 5) Discute según los vlores del prámetro y resuelve cundo se posible el sistem: +y+(-)z- -z -z-+ 6) Dd l mtriz A, pr qué vlores de tiene invers? Clcul su invers pr : A - 7) Hll l ecución de l rect que ps por el punto P y cort perpendiculrmente l rect r: P(,-,) + r 4 y-5 - z 8) Ls rects r y r' son coplnris. Hll k y el ángulo que form dicho plno con el plno coordendo OXY: r - y-k 4 z-4 r' - y-5 z- Todos los ejercicios vlen lo mismo. --

2 CURSO 4-5. Ejercicio : Clcul los siguientes ites: ) (+e ) / sen(/) (+e ) / e e + - e (+e -) e + e - e +e - e + 4 e + e b) sen(/) sen Y que se trt del producto de un infinitésimo por un función cotd: - sen(/) Y que sle l epresión indetermind. Como sle l indeterminción /, podemos plicr L'Hôpitl (es l form más sencill de hcer este ite). Tmbién puede hcerse como sigue. Y que el ite de un sum es l sum de los ites. 4 Y que e f - ~ f si f es un infinitésimo. --

3 CURSO 4-5. Ejercicio : Estudi l continuidd de l siguiente función: +e / f() -e / si si º) Dom(f)R. º) L función es continu en R-{}, y que, si : +e f() / -e / +e / -e / f() º) L función tiene en un discontinuidd de slto finito (unque es continu por l izquierd en dicho punto): f() < > f() < +e / -e / +e /- -e +e - /- -e e f() / -e/ > > e / e/ + e/ + e / e / - > e / - /+ + e e - /+ e + + e Observ que -e /. Como sle l indeterminción /, podemos plicr L'Hôpitl (es l form más sencill de hcer este ite). Tmbién puede hcerse como sigue. --

4 CURSO 4-5. Ejercicio : Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de l siguiente función en el punto de bscis π/4: sen y rc tg +cos º) Clculmos l ordend del punto de tngenci: sen(π/4) y(π/4) rc tg +cos(π/4) rc tg / + / rc tg + π 8 º) Pr hllr l pendiente, derivmos l función: y' + sen sen ' +cos sen +cos + cos (+cos )+sen (+cos ) (+cos ) cos +cos +sen (+cos ) +sen +cos +cos +cos +sen +cos +cos +cos (+cos ) º) Clculmos l pendiente en el punto de tngenci: Resumiendo: y'(π/4) y y' π/4 π/8 / 4º) Por tnto, l ecución eplícit de l rect tngente es: π y- 8 π - 4 y- π 8 - π 8 y -4-

5 CURSO 4-5. Ejercicio 4: Clcul ls integrles: ) ctg d d ln ctg d cos sen d ln sen +C Comprobción: cos (ln sen )' sen ctg b) d ln / ln d ln ln +C Comprobción: / (ln ln )' ln ln L integrl es csi inmedit de tipo logritmo. Tmbién puede hcerse con el cmbio de vrible sen t, cos ddt. Dividimos numerdor y denomindor por. L integrl es csi inmedit de tipo logritmo. Tmbién puede hcerse con el cmbio de vrible ln t, (/) ddt. -5-

6 CURSO 4-5. Ejercicio 5: Discute según los vlores del prámetro y resuelve cundo se posible el sistem: +y+(-)z- -z -z-+ Aplicmos el método de Guss: ~ ~ Estudimos los distintos csos: º) Si, el sistem es incomptible: º) Si, el sistem es comptible indetermindo y l solución depende de un prámetro: - - +y -α -y-z -y z-y yα z-α º) En los demás csos el sistem es comptible determindo: +y+(-)z- -y-z- (-)z- z - - z -y-+z-+ y --y-(-)z-+-+ ªf-ªf; ªf-ªf. ªf-ªf. Como no se puede dividir por cero, tenemos que clculr los vlores del prámetro que nuln los coeficientes de ls incógnits que tenemos que despejr luego (cso º). 4 Y que l segund ecución es incomptible. -6-

7 CURSO 4-5. Ejercicio 6: Dd l mtriz A, pr qué vlores de tiene invers? Clcul su invers pr : A - ) L mtriz A es inversible si ±: ± b) Si : A Clculmos los djuntos de los elementos de l mtriz A: A (-) + - ; A (-) + ; A (-) A (-) ; A (-) + 4 -; A (-) + - A (-) + 4 -; A (-) + 4 ; A (-) + - Por tnto: A 4 - A* (A*)' Comprobción: A - (A*)' A / / / / -/ -/ / / / / / -/ -/ /6 -/++4/ -/++/ -/++/ +- /-+/ +/-/ /-/+/6 -/-/ /+/+/6 Tmbién se puede clculr l invers por el método de Guss. Escribimos l djunt de A. Clculmos l trspuest de l djunt de A. -7-

8 CURSO 4-5. Ejercicio 7: Hll l ecución de l rect que ps por el punto P y cort perpendiculrmente l rect r: + P(,-,) r 4 y-5 - z Clculmos ls ecuciones prmétrics y un determinción linel de l rect r: + 4 y-5 - z -+4α α y5-α zα Q(-,5,) v (4,-,) Se X l proyección del punto P sobre l rect r. Como X r, stisfce su ecución, esto es, X(-+4α,5-α,α): P(,-,) r X v (4,-,) Q(-,5,) Como ls rects PX y r son perpendiculres, sus vectores direccionles, [PX ](-+4α,7-α,α-) y v (4,-,), tmbién. Por tnto: [PX ] v (-+4α,7-α,α-) (4,-,) -+6α-7+α+4α- α α [PX ](,6,) PX y+ 6 z- Tmbién puede clculrse el prámetro α teniendo en cuent que el punto X pertenece l plno que ps por P y es perpendiculr r (cuyo vector crcterístico es v ). O que X es el punto de l rect r más próimo P. O plicndo el teorem de Pitágors l triángulo PQX (en este cso, demás de X, te sldrá como solución etrñ Q). Otr form de obtener l rect PX es como intersección del plno determindo por el punto P y l rect r con el plno perpendiculr r que ps por P. O clculndo directmente un vector direccionl: el producto vectoril de v y v [QP ], y que mbos son perpendiculres l rect PX. O hllndo el punto X(,y,z) utilizndo el hecho de que el vector [QX ] es l proyección del vector [QP ] sobre v. Al plicr el teorem de Pitágors l triángulo PQX, siempre sle como un de ls soluciones el punto Q de l rect r, y que, si en l fórmul del teorem, sustituyes X por Q, se obtiene PQ +QQ PQ, esto es, PQ PQ, lo que siempre es cierto. -8-

9 CURSO 4-5. Ejercicio 8: Ls rects r y r' son coplnris. Hll k y el ángulo que form dicho plno con el plno coordendo OXY: r - y-k 4 z-4 - r' y-5 z- ) Clculmos un determinción linel de cd un de ls rects: - y-k 4 z-4 - y-5 z- P(,k,4) u (-,4,) Q(,5,) v (,,) Como ls rects son coplnris, los vectores [PQ ], u y v tmbién. Por tnto, su producto mito es cero: [[PQ ],u,v ] - 5-k k k-4k k5 b) Un vector crcterístico del plno OXY es k y un vector crcterístico del plno π que determinn ls rects r y s es el producto vectoril de sus vectores direccionles: i u v - j k 4 -i +4j -6k Por tnto: cos(oxy,π) cos(k,w k w ) k w (,,) (-,4,-6) (OXY,π)6º4'57" -9-