2) (1p) Halla las ecuaciones de las asíntotas y clasifica las discontinuidades. ln x f(x)= x-1

Transcripción

1 CURSO Primera parte. 2 de mayo de 29. ) (p) Calcula el siguiente límite: lím x (x e/x ) 2) (p) Halla las ecuaciones de las asíntotas y clasifica las discontinuidades de la función: f(x)= x- 3) (p) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la siguiente función en el punto de abscisa π: sen x y=sen x 4) (p) Determina los valores de los parámetros a y b si se sabe que la recta tangente a la gráfica de la función y=2x 3 +2x 2 +ax+b en su punto de inflexión es y=2x+3. 5) (p) Calcula una primitiva de la siguiente función y comprueba el resultado: f(x)= x --

2 CURSO Segunda parte. 22 de mayo de 29. 6) (p) Discute y resuelve, en su caso, el sistema: x+3y+z=5 my-z=m mx+2z= 7) (p) Dadas las matrices A y B, halla X si A - X A=B: A= B= - 2 8) (p) Prueba la siguiente identidad: x+2 x+2 x+2 =(x+) 3 9) (p) Dados los puntos A(,-,2), B(-2,,3) y C(2,,-), halla la ecuación continua de la altura del triángulo ABC relativa al vértice A. ) (p) Dadas las rectas r y s, halla la ecuación del plano que determinan y el ángulo que dicho plano forma con el eje de abscisas: 2x+y= r z= s x- = y+ -2 = z- -2-

3 CURSO Ejercicio : Calcula el siguiente límite: lím x (x e/x ) Este límite no existe: ( PUNTO) lím (x e /x ) = e /- = e - = = x x< lím (x e /x ) = x x> lím x x> e /x /x =2 lím x x> e /x (/x)' (/x)' = lím e /x = e /+ = e + = + x x> Transformamos la indeterminación en la indeterminación /. 2 Como sale la indeterminación /, aplicamos L'Hôpital. -3-

4 CURSO Ejercicio 2: Halla las ecuaciones de las asíntotas y clasifica las discontinuidades de la función: f(x)= ( PUNTO) x- º) Dom(f)=(,) (,+ ): x> x- x> x 2º) La recta x= es asíntota vertical de la función: lím x x> f(x) = lím x x- = - - = + x> 3º) La función tiene una discontinuidad evitable en x=: lím x f(x) = lím x x- = lím x /x = 4º) La recta y= es asíntota horizontal de la función en + : Posición relativa: /x lím f(x) = lím x + x + x- =2 lím x + = x + lím x = + = f(x)-y= x- - = x- Por tanto, como la diferencia es positiva en +, ya que numerador y denominador son positivos, la función se encuentra situada por encima de la asíntota. Como sale la indeterminación /, aplicamos L'Hôpital. 2 Como sale la indeterminación /, aplicamos L'Hôpital. -4-

5 CURSO Ejercicio 3: Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la siguiente función en el punto de abscisa π: sen x y=sen ( PUNTO) x º) Calculamos la ordenada del punto de tangencia: y(π)=sen sen π = sen = π 2º) Para hallar la pendiente, derivamos la función: sen x y'= cos x sen x x ' sen x x x-sen x = cos x cos x 2 = 3º) Calculamos la pendiente en el punto de tangencia: Resumiendo: y'(π)= π cos π-sen π cos π 2 sen π = π x y y' π -/π x cos x-sen x sen x x 2 cos x π (-)- cos =-/π π 2 4º) Por tanto, la ecuación explícita de la recta tangente es: y-=- π (x-π) y=- π x+ -5-

6 CURSO Ejercicio 4: Determina los valores de los parámetros a y b si se sabe que la recta tangente a la gráfica de la función y=2x 3 +2x 2 +ax+b en su punto de inflexión es y=2x+3. ( PUNTO) La condición necesaria de punto de inflexión es que la derivada segunda valga cero: y=2x 3 +2x 2 +ax+b y'=6x 2 +24x+a y"=2x+24=2(x+2)= x=-2 Por el criterio de la derivada tercera, x=-2 es punto de inflexión: y'"=2 y'"(-2)=2 Como y=2x+3 es la recta tangente en dicho punto, podemos calcular la ordenada de éste: y(-2)=2 (-2)+3=- Teniendo en cuenta que la pendiente de la recta tangente es 2, podemos hacer el siguiente resumen: x y y' -2-2 Como los puntos (-2,2) y (-2,-) pertenecen a las gráficas de las funciones y' e y, respectivamente, tenemos lo siguiente: y'(-2)= a=2 a=26 y(-2)= a+b=- b= b=9 Ya que a=

7 CURSO Ejercicio 5: Calcula una primitiva de la siguiente función y comprueba el resultado: f(x)= ( PUNTO) x x dx = x-/2 dx = 2x /2-2 x-/2 dx = 2 = 2x /2-2 x-/2+ -/2+ +C = 2x/2-4x /2 +C = 2 x -4 x+c Comprobación: S D I + x -/2 - x -/2+ x -/2+ = 2x/2 (2 x -4 x)'= 2 2 x +2 x x ln x -4 2 x = x + 2 x - 2 x = x Esta integral se hace por partes. La integral efectuada en la columna I es inmediata de tipo potencial. 2 Esta integral es inmediata de tipo potencial. -7-

8 CURSO Ejercicio 6: Discute y resuelve, en su caso, el siguiente sistema: x+3y+z=5 my-z=m mx+2z= Aplicamos el método de Gauss: m 3 m 5-2 m ~ 3 m -3m 5-2-m m -5m Estudiamos los distintos casos: ~ 2 º) Si m=-, el sistema es incompatible: 4 3 m m m -2m 3 ( PUNTO) m= --m= m= m= º) Si m=, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de un parámetro: ~ x+3y+z=5 -z= x=5-3y z= x=5-3α y=α z= 3º) En los demás casos el sistema es compatible determinado: x+3y+z=5 my-z=m -(+m)z=-2m z= 2m m+ my=m+ 2m m+ = m 2 +m+2m m+ m(m+3) = m+ m+3 y= m+ x=5-3y-z=5-3 m+3 m+ - 2m m+ = 5m+5-3m-9-2m m+ -4 x= m+ 3ªf-m ªf. 2 3ªf+3 2ªf. 3 Como no se puede dividir por cero, tenemos que calcular los valores del parámetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que tenemos que despejar luego (caso 3º). 4 Ya que la tercera ecuación es incompatible. 5 3ªf-2ªf. -8-

9 CURSO Ejercicio 7: Dadas las matrices A y B, halla X si A - X A=B: A= B= - 2 Como A, la matriz A es inversible: A = =-3+2=- Por tanto: A= A*= (A*)'= ( PUNTO) A - = (A*)' A = = -2-3 Ahora bien: A - X A=B X=A B A - = = = = Comprobación: A - X A= = = - 2 = B También puede calcularse la inversa de A por el método de Gauss. 2 Calculamos la adjunta de A. 3 Calculamos la traspuesta de la adjunta de A. -9-

10 CURSO Ejercicio 8: Prueba la siguiente identidad: x+2 x+2 x+2 =(x+) 3 ( PUNTO) x+2 x+2 x+2 x+ x+ x+ = = 2 (x+) 3 ªc-4ªc; 2ªc-4ªc; 3ªc-4ªc 2 El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. --

11 CURSO Ejercicio 9: Dados los puntos A(,-,2), B(-2,,3) y C(2,,-), halla la ecuación continua de la altura del triángulo ABC relativa al vértice A. ( PUNTO) Sea ABC el triángulo dado. Trazamos la altura correspondiente al vértice A que corta al lado opuesto en X: A(,-,2) B(-2,,3) C(2,,-) X(x,y,z) Como [BX ] es la proyección de [BA ] sobre [BC ]: [BX [BA ] [BC ] ]= [BC ] [BC ] [BC (3,-,-) (4,,-4) ] (x+2,y,z-3)= (4,,-4) (4,,-4) (4,,-4) 2++4 (x+2,y,z-3)= 6++6 (4,,-4) (x+2,y,z-3)= 2 (4,,-4) (x+2,y,z-3)= (2,,-2) x+2=2 y= z-3=-2 x= y= z= X(,,) [XA x ]=(,-,) XA = y - = z- También puede hallarse la altura calculando directamente un vector direccional: el producto vectorial de [BC ] por un vector característico del plano ABC, ya que ambos son perpendiculares a dicha recta. O como intersección del plano ABC y el perpendicular a la recta BC que pasa por A. O hallando el punto X como intersección de este último plano con la recta BC. O teniendo en cuenta que el punto X está en la recta BC y que los vectores [XA ] y [BC ] son perpendiculares; o que X es el punto de la recta BC más próximo a A; o aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABX (en este caso, además de X, te saldrá como solución extraña B). Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo ABX, siempre sale como una de las soluciones el punto B de la recta BC, ya que, si en la fórmula del teorema, sustituyes X por B, se obtiene AB 2 +BB 2 =AB 2, esto es, AB 2 =AB 2, lo que siempre es cierto. --

12 CURSO Ejercicio : Dadas las rectas r y s, halla la ecuación del plano que determinan y el ángulo que dicho plano forma con el eje de abscisas: r 2x+y= x- z= s = y+ -2 = z- ( PUNTO) a) Calculamos una determinación lineal de cada una de las rectas: 2x+y= r z= y=-2x z= x- s = y+ -2 = z- x=α y=-2α z= P(,,) u =(,-2,) Q(,-,) v =(,-2,) Como las rectas tienen el mismo vector direccional, son paralelas. Por tanto, una determinación lineal del plano π que definen dichas rectas es (P,u,[PQ ]): s r π Q(,-,) v (,-2,) P(,,) u (,-2,) Como [PQ ]=(,-,), la ecuación del plano π es: x y z -2 - = -2x-y+z= 2x+y-z= b) Como el eje OX tiene por vector direccional i (,,) y el vector característico del plano es w (2,,-): i w sen(ox,π)= i w = (,,) (2,,-) (,,) (2,,-) = 2 = 4++ = 2 6 (OX,π)=54º44'8,2" -2-