Fallas de la aproximación estática. cristal

Transcripción

1 Diámica d la rd Foos Fallas d la aproximació stática para l cristal Propidads térmicas dl quilibrio: Calor spcífico: Las vibracios d la rd so la pricipal causa d absorció d calor y da cuta dl calor spcífico obsrvado tato d mtals como d aisladors. Expasió térmica: Las vibracios aharmóicas hac qu l volum dl sólido dpda d la tmpratura. Fusió: U sólido s fud cuado l valor cuadrático mdio d la posició d u átomo s ua cirta fracció dl spaciado itratómico critrio d Lidrma 90 Fallas d la aproximació stática Propidads d trasport: La rsistividad d los mtals: La dpdcia d la rsistividad co la tmpratura ρt s db sccialmt a la itraccio d los lctros co las vibracios d la rd foos. Coductividad térmica d aisladors: S db al itrcambio d foos dsd l xtrmo calit al frio. Trasmisió dl soido Suprcoductividad Os 9

2 Fallas d la aproximació stática: Propidads d trasport S db a la itracció lctró-foó BCS 957 Itracció co la radiació: Rflctividad d los cristals ióicos: Ti u máximo frcucias dl ifrarrojo qu o corrspod a rgías lctróicas sio a las fluctuacios l momto dipolar crado por las vibracios ióicas. Fallas d la aproximació stática: Itracció co la radiació Disprsió ilástica d Luz: La luz lasr disprsada por l sólido ti u corrimito frcucia Rama. Disprsió d Rayos X: La itsidad d los picos s mor qu la prdicha por u modlo stático. Admás hay u fodo d radiació dirccios qu o satisfas la ly d Bragg. Disprsió d ilástica d utros: Itrcambia rgía y momto co las vibracios

3 La aproximació armóica Dsviació d la posició d quilibrio Posició d u átomo cuya posició mdia s l vctor d la RB Si las itraccios so dbidas a u potcial r.qu actúa tr pars d átomos a distacia r. La rgía potcial dl cristal s scrib como: La aproximació armóica Si los ur so chicos podmos xpadir alrddor d la posició d quilibrio usado Taylor varias variabls: Tomado y U, tmos: Ergía potcial posicios d quilibrio Ergía potcial armóica Furza jrcida sobr u átomo por los otros0 3

4 La aproximació armóica Furza la dircció ν qu jrc l átomo R al movrs la dircció µ sobr l átomo R. La aproximació adiabática Para u sólido gral, l potcial o pud rprstars como ua suma d potcials d a pars. La furza tr átomos provi d la dformació d la structura lctróica producida por l dsplazamito ióico. Aproximació adiabática: La structura lctróica s dforma istatáamt siguido la dformació ióica m ió << m lctró v ió ~0 5 cm/s<<v lctró v F ~0 8 cm/s o s toma como puto d partida co ajustado a los xprimtos o tomados d cálculos d la structura lctróica 4

5 Paso a paso: Empcmos por l jmplo más simpl d ua cada mooatómica co itraccios sólo a primros vcios Potcial d itracció tr dos átomos sparados x Cada Mooatómica U aálogo mcáico s: K Co cuacios d movimito: Si la cada s muy larga lo qu pas los bords o afctará al itrior, tomamos como codicios d cotoro las priodicas ya qu o romp la ivariacia d traslació. 5

6 Cada Mooatómica Propomos solucios d la forma priódicas tro co las codicios Rmplazado las cuacios d movimito: Cada Mooatómica Esto dtrmia ua rlació tr ω y rlació d disprsió: Los movimitos d las partículas stará dados por: Ahora o pud sr arbitrario admás d su discrtizació porqu dos solucios co y qu solo difir π/a rprsta ralidad la misma diámica d las partículas. 6

7 Cada Mooatómica Podmos rstrigir -π/a < < π/a, primra zoa d Brilloui. N putos N modos ormals Cada Mooatómica Cuado s chico la rlació d disprsió s hac lial Corrspod a odas u mdio cotiuo. No hay disprsió la vlocidad d grupo y d fas so iguals y da la vlocidad dl soido l mdio v E π/a la vlocidad d grupo s aula odas stacioarias a v g K M 7

8 Cada Diatómica Cada Diatómica 8

9 Cada Diatómica Cada Diatómica 9

10 Cada Diatómica Cristal mooatómico tridimsioal Las simtrías d D so: - - Los putos d ua rd d Bravais stá ctros d ivrsió. 3- U dsplazamito rígido d todos los átomos o cambia la rgía total. 0

11 Cristal mooatómico tridimsioal Cristal mooatómico tridimsioal Las cuacios d movimito so: Las codicios priódicas: dircció.cadacristaldlsdimsio,,3n N N 3 a a a cldasdtotalúmron N N N 3 3 ra zoa d Brilloui Cristal mooatómico tridimsioal Cristal mooatómico tridimsioal Matriz Diámica D s simétrica ral y ti 3 autovalors rals y trs autovctors ortoormalspara cada. Trs ramas acústicas <<π/a

12 Cristal mooatómico tridimsioal: Ejmplo Pb Cristal poliatómico tridimsioal Para u cristal co p átomos l motivo habrá 3Np grados d librtad, lo qu llva a 3 ramas acústicas y 3p- ramas ópticas Ejmplo átomos por clda KBr

13 3 Trasformació a coordadas ormals Trasformació a coordadas ormals Vamos la diámica d la rd térmios d ua trasformació d coordadas qu covirta l problma osciladors dsacoplados. Para la cada mooatómica: Para la cada mooatómica: ralidaddcodicióco* / ia A A A N u A u Tido cuta qu: ' ' N j N - j Na N N a i a i < ''π δ δ Trasformació a coordadas ormals Trasformació a coordadas ormals Tmos la trasformació ivrsa: ia u N A + A A M T U T L A A M u u K U... ω + A A M M P P H MA A L P ω

14 Trasformació a coordadas ormals Corrspod a u sistma d osciladors dsacoplados co coordadas A y momtos P coordadas ormals. Las cuacios d movimitos so : d dt L A L A 0 A ω A Aáloga a la d u oscilador armóico x ω x Trasformació a coordadas ormals Para l caso gral d u cristal tridimsioal co p átomos co clda, las coordadas ormals adquir u ídic d rama o polarizació A,,3,...3p Primra Zoa acústicas óti ópticas { ω } H P P A + A, 4

15 Cuatificació Foos Rpaso Para u oscilador armóico: Paso a opradors d cració y dstrucció Cuatificació Foos Esto implica u cambio d itrprtació. stado d vacio, si partículas. stado co ua partícula si structura itra. stado co partículas La rgía dl sistma u stado co partículas s ω.úmro d partículas, ya qu y Pictoricamt: Rprstació origial i do xciitado r xciitado Estado fudamtal Nuva rprstació foos foo Si foos 5

16 Cuatificació para l cristal armóico El Hamiltoiao quda: H t ω aˆ a ˆ +, Ahora los foos ti structura, momto y polarizació U stado s dtrmia por l úmro d foos para cada y { } 3 p 3 p,,...,,,,...,,...,,,..., N N N 3 p Cuatificació para l cristal armóico La uva itrprtació para ua cada sría 6

17 Trmodiámica dl cristal armóico La mcáica stadística clásica prdic qu l calor spcífico d los sólidos dbría sr costat igual a Ly d Dulog y Ptit: c Np 3 / + 3 / v Númro d cldas B B Cotribucios d la rgía ciética y potcial Partículas por clda Si mbargo: Trmodiámica dl cristal armóico Vamos tocs qu s coscucia d la cuatificació. La rgía total dl cristal psado como gas d foos s: E ω +, dod da l úmro d foos co casimomto y polarizació. U disla rgía mdia o rgía itra a tmpratura T E s:b ω +, ω β triciódosbu, 7

18 8 Trmodiámica dl cristal armóico Trmodiámica dl cristal armóico O más formalmt: + ˆ } {... ] [ E H Tr Z ω β β β 0 0, } { / Z β ω β ω β ω β, 0, ω β ω β La rgía libr s: Trmodiámica dl cristal armóico Trmodiámica dl cristal armóico ω β ω β, l l B B T Z T F + B T F U y la rgía itra: + ω β ω β, B U coicidt co lo atrior

19 Trmodiámica dl cristal armóico Fialmt l calor spcífico por uidad d volum s: U ω + β ω V T V, T c v Aalicmos los límits d alta y baja T Alta T: usado Trmodiámica dl cristal armóico Trmodiámica dl cristal armóico c T 3 Np ω v L V ydd, ulogyp T it ω V Baja T: Cambié por s y pas d suma a itgral la primra zoa A baja T los modos co da cotribució dsprciabl porqu l itgrado s aula xpocialmt 9

20 Trmodiámica dl cristal armóico Si mbargo cuado, para las 3 ramas acústicas. Los modos d larga logitud d oda cotribuy por chica qu sa T. A bajas T podmos limiar las ramas ópticas, qudaros co l comportamito d bajo d las acústicas y xtdr la itgral a ifiito. Trmodiámica dl cristal armóico Cambiado variabls a 0

21 Trmodiámica dl cristal armóico Ly d Dulog y Ptit 3 αt Modlo d Dby

22 Modlo d Dby Modlo d Dby

23 Modlo d Dby Modlo d Eisti 3

24 Modlo d Eisti Modlo d Eisti 4