Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
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- Francisca Martín Santos
- hace 5 años
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1 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! PR EPEZR, RELEXION Y RESUELVE Deerminnes e oren! Resuelve uno e los siguienes sisems e euiones lul el eerminne e l mri e los oefiienes: E sumno E E sumno λ,s.c.i., λ, E E sumno ; E. E sumno S.I. E e ff E sumno,s.c.i. Si λ, E λ E sumno, E Resoluión e sisems meine eerminnes! Resuelve, plino e, los siguienes sisems e euiones: emáis plis ls Cienis Soiles II. NY
2 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY... EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin "" Clul el vlor e esos eerminnes :
3 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes!.. Clul :. -.. (... EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin "# Clul los siguienes eerminnes :. ( (. Hll el vlor e esos eerminnes : emáis plis ls Cienis Soiles II. NY
4 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! ( ( - -. EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin #$ Jusifi sin esrrollr, ess igules : Un e ls fils es nul, luego el eerminne es nulo (propie. -, os fils proporionles, eerminne nulo ( P., os fils proporionles, luego eerminne nulo (P., os fils proporionles, luego eerminne nulo (P. Tenieno en uen el resulo el eerminne que se, lul sin esrrollr :... emáis plis ls Cienis Soiles II. NY
5 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin #% Hll os menores e oren os oros os menores e oren res e l mri : enores e oren :. enores e oren :. (. ( ( ( ( Hll el menor omplemenrio el juno e los elemenos,. ( (, α α. ( ( ( (, α α ( ( ( (, α α
6 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin #& Clul el siguiene eerminne plino l regl e Srrus esrrollánolo por un e sus fils un e sus olumns omprue que se oiene el mismo resulo en los siee sos: ' eine l regl e Srrus: ( ( ( ( ' Desrrollo por l ª fil: ' Desrrollo por l ª fil: ( ( ( ' Desrrollo por l ª fil: ( ( ( ' Desrrollo por l ª olumn: ( ( ( ( ( ( ' Desrrollo por l ª olumn: ( ( ( ' Desrrollo por l ª olumn: ( ( ( emáis plis ls Cienis Soiles II. NY
7 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY Clul los siguienes eerminnes :. ( ( ( Desrrollno por l ª olumn. ( ( ( ( ( ( (- (-- (-- - (- -. C C C C. Desrrollno por l úlim fil. EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin #( Clul el rngo e ls siguienes mries : B C D luego Rn(. El menor, luego h os fils linelmene inepenienes. Si ñimos l ª, que,, luego ls res primers fils son linelmene inepenienes. hor ompromos si l ª fil es linelmene inepeniene on ls emás:
8 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY que,, que luego Rn(B.,,, luego h fils linelmene inepenienes Rn(C., luego poemos presinir e ell., luego Rn(D. EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin #( pli el eorem e Rouhé pr verigur si los siguienes sisems son ompiles o inompiles : * es e, luego Rn(. luego Rn(*. Como Rn(* Rn( nº e inógnis, el sisem es ompile eermino. * es e, luego Rn(.
9 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY luego Rn(*. Como Rn(* Rn( el sisem es inompile. *,,, luego Rn (, hor vemos el rngo e l mri mpli: luego Rn (*. Como Rn( Rn(*, el sisem es inompile. Siguieno el mismo proeso que en el ejeriio nerior verigu si los siguienes sisems son ompiles o inompiles: * Rn(,, en l mri mpli C C, luego Rn (*, omo el nº e inógnis, el sisem es ompile e ineermino. *, luego Rn(. Esuimos hor el rngo e l mri mpli:, luego Rn(*.
10 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY Como Rn( Rn(*, el sisem es inompile. *,,, luego h os fils linelmene inepenienes Rn (. Vemos hor el rngo e l mri mpli: Rn(*, omo los rngos son igules el sisem es ompile omo el nº e inógnis es, es ineermino ( iprmério. EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin # Resuelve meine l regl e Crmer :,,,,
11 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY Resuelve plino l regl e Crmer :,, luego Rn( pero luego Rn(* el sisem es inompile. EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin #" Resuelve los siguienes sisems e euiones : *., Rn(. Como mién pues C C, Rn(*, el sisem es ompile e ineermino, pr resolverlo ommos ls euiones que hen que el rngo se, es eir l os primers euiones pero omno omo prámero psánol l oro miemro: λ hieno λ
12 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY λ luego l soluión es: λ λ λ,, * l mri e los oefiienes es l mism luego Rn(, pero luego Rn(* que es isino e Rn( lo que he el sisem se inompile. Resuelve esos sisems : * Como ls imensiones e son, el rngo máimo e puee ser, lo ompromos:, luego Rn(. *, luego Rn(*. Como Rn(* Rn( nº inógnis, el sisem es ompile eermino, pr resolverlo ommos ls res euiones que semos que son linelmene inepenienes, ls res primers:
13 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY,, L soluión es (,,. * es e, luego el rngo máimo es, lo ompromos, Rn(. hor promos si el rngo e * puee ser res:, luego Rn(* el sisem es inompile. EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin ## Resuelve los siguienes sisems e euiones :, luego Rn( Rn(* n l úni soluión que iene el sisem es l rivil,,.,rn( Rn(* n luego l soluión es l rivil,,.
14 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY Resuelve esos sisems : el rngo es menor e, luego Rn( Rn(* < n el sisem es ompile e ineermino, pr resolverlo ommos ls euiones que semos que son linelmene inepenienes, ls os primers psmos l seguno miemro que ommos omo prámero:, Si hemos λ, l soluión es ( - λ, -λ, λ. * luego Rn( Rn(* < n, luego el sisem es ompile e ineermino, ommos omo prámero psánolo l seguno miemro resolvemos el sisem:,, si hemos λ, l soluión es ( λ/, -λ/,, λ.
15 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin *$ Disue resuelve: k k * hllmos luego el rngo e epene e. Resolvemos -, ± ± ± Di issussi ión " Si * # Como Rn(. # Compromos el eerminne que que on los érminos inepenienes: luego Rn(* Como los rngos son isinos el sisem el inompile. " Si -/ * / / # Como / Rn(. # Compromos el eerminne que que on los érminos inepenienes: luego Rn(* Como los rngos son isinos el sisem el inompile.
16 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY " Si / Rn( Rn(* nº e inógnis, el sisem es ompile eermino. Lo resolvemos plino l regl e Crmer: ( (, ( ( ( ( * k k hllmos el eerminne e *: k k k k k k k. Resolvemos l euión : k k ± ± k " Si k, * Como Rn( Rn(* nº e inógnis, luego el sisem es ompile eermino. Pr resolverlo nos sor un euión (l erer pues semos que ls os primers son linelmene inepenienes:,
17 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! / " Si k /, * / Como Rn( Rn(* nº / e inógnis, luego el sisem es ompile eermino. Pr resolverlo nos sor un euión (l erer pues semos que ls os primers son linelmene inepenienes: / / /, / / / / " Si k k / Rn(* > Rn( el sisem es inompile. Disue resuelve, en funión el prámero, el siguiene sisem e euiones: ( ( ( * Hllmos (. Si igulmos ero resolvemos l euión ( -,,. " Si * Rn( Rn( * que, pues ls os fils son igules nº e inógnis n, luego el sisem es ompile e ineermino. Si uilimos un e ls os euiones que quen,, llmno λ, λ. " Si * Rn( Rn(* que sólo h un olumn no nul, omo h os inógnis el sisem es ompile eermino: si hemos λ, enemos l soluión ( λ,. " Si, Rn( Rn(* nº e inógni l úni soluión que iene el sisem es l rivil,. EJERCICIOS PROPUESTOS ( Págin * Clul l invers e un e ls siguienes mries: emáis plis ls Cienis Soiles II. NY
18 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY! " Primero hllmos el eerminne e l mri pr ser si es regulr: luego mie invers " ri e los junos j " Trspues e los junos ( j " Invers - ( j! B " Primero hllmos el eerminne e l mri pr ser si es regulr: luego mie invers. " ri e los junos j
19 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY " Trspues e los junos ( j " Invers - ( j Clul l invers e un e ls siguienes mries:! " Primero hllmos el eerminne e l mri pr ser si es regulr: luego mie invers. " ri e los junos j " Trspues e los junos ( j " Invers - ( j! B " Primero hllmos el eerminne e l mri pr ser si es regulr: luego mie invers
20 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY " ri e los junos j " Trspues e los junos ( j " Invers - ( j EJERCICIOS Y PROBLES PROPUESTOS PR PRCTICR Sieno que, jusifi ls siguienes igules, ino en so ls propiees que hs plio: que el seguno es nulo por ener os olumns igules. Si muliplimos C por C por. que si permumos lgun líne el eerminne, el eerminne mi e signo. que el primer eerminne es nulo l ser que pr muliplir un eerminne por un número se mulipli un e sus línes ( l en ese so.
21 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! m n Si, uál es el vlor e uno e esos eerminnes? p q m n p q m n n q m n n q m n n q n q n q n q n q n q Sum e eerminnes. Prouo e un número por un mri. El seguno eerminne es nulo que. p m p q m n ( q n m n p q El eerminne e un mri oinie on el su rspues. l permur lgun líne el eerminne mi e signo. n m n m m n ( q p q p p q Prouo e un número por un eerminne. l permur os olumns, el eerminne mi e signo. p m p m p q m n ( q n q n m n p q Prouo e un número por un mri. l rsponer un mri, sus eerminne no vrí. l permur os fils, el eerminne mi e signo. Susiue los punos suspensivos por los números euos pr que se verifiquen ls siguienes igules: Resuelve ess euiones: ( ( ( ( ( ( emáis plis ls Cienis Soiles II. NY
22 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY Clul el vlor e los eerminnes: ( C C C. (... Qué vlor e nul esos eerminnes? ( ( ( ( ± ± ± ( ( ( ± ±
23 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY Clul el vlor e los siguienes eerminne. ( Clul l mri invers e ls siguienes mries omprue el resulo: Primero hllmos el eerminne e l mri pr ser si es regulr:, luego mie invers. ri e los junos j Trspues e los junos ( j Invers - ( j
24 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY B Primero hllmos el eerminne e l mri pr ser si es regulr: B, luego mie invers. ri e los junos B j Trspues e los junos ( B j Invers B - ( B B j C Primero hllmos el eerminne e l mri pr ser si es regulr: luego mie invers ri e los junos C j Trspues e los junos ( C j Invers
25 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY C - ( / C C j D Primero hllmos el eerminne e l mri pr ser si es regulr: luego mie invers ri e los junos D j Trspues e los junos ( D j Invers D - ( D D j Resuelve ls siguienes euiones mriiles X
26 Uni Nº Resoluión e sisems meine eerminnes! emáis plis ls Cienis Soiles II. NY Se X ; ; Sumno E E Sumno E E luego l mri us es : X. X ( Se X ( que el resulo es e el for onoio es e. ( ( ( Sumno E E ; , luego X ( -.
SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
el log e me e i: Memáis I. Sisems e euiones. pág. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Un sisem e os euiones e primer gro on os inógnis puee esriirse sí: += `+`=` one los oefiienes e ls inógnis los érminos
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
Ejeriios e Álger propuesos en U ) Esuir según los vlores prámero sisem e euiones lines Resolverlo uno se ompile: ) : oluión Guss or DETERMINDO OMTILE IT rg rg INOMTILE IT rg rg inógnis ) R < DETERMINDO
Determinantes. Ejercicio nº 1.-
Deerminnes Ejeriio nº.- Hll el vlor e los siguienes eerminnes. En el pro ), lul, emás, los posiles vlores e pr que el eerminne se ero: Ejeriio nº.- ) Clul el vlor el eerminne: ) Resuelve l euión: Ejeriio
Solución: Las transformaciones y el resultado de hacer el determinante en cada caso son: 1º. A A
Memáis II Deerminnes PVJ7 Se l mriz 9 8 7 Se l mriz que resul l relizr en ls siguienes rnsformiones: primero se mulipli por sí mism, espués se min e lugr l fil segun l erer finlmene se muliplin oos los
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA
Unidd Nº Resoluión de sises edine deerinnes! eáis plids ls Cienis Soiles II. NY Esudi el rngo de ls siguienes ries: ))! Coo h vrios eleenos no nulos el rngo es.! Coo el rngo es.! unque oo, el rngo es,
TEMA 2. Determinantes Problemas Resueltos
Memáis II (hillero de Cienis). Soluiones de los prolems propuesos. Tem Clulo de deerminnes TEM. Deerminnes Prolems Resuelos. Hll el vlor de los siguienes deerminnes ) ) ) C Soluión ) Se desrroll por l
DETERMINANTES. 1. Utiliza las propiedades de los determinantes para calcular el valor de. a, b, c, d R.
Memáis II Deerminnes DETERMINNTES Oservión: L morí e esos ejeriios se hn propueso en ls prues e Seleivi, en los isinos isrios universirios espñoles.. Uiliz ls propiees e los eerminnes pr lulr el vlor e,,,
Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles.
Memáis CCSS II Mries José Mrí Mríne Meino Mries Oservión: L morí e esos ejeriios se hn propueso en ls prues e Seleivi, en los isinos isrios universirios espñoles.. Sen ls mries, C. Hll l mri = ( C). Soluión:.
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Matrices y determinantes 1
RISTIN ROND HERNÁNDEZ Mries deerminnes OLEGIO SN LERTO MGNO MTEMÁTIS II MTRIES Y DETERMINNTES. 8 MODELO OPIÓN Ejeriio. [ 5 punos] Dds ls mries lul l mriz P que verifi P = T ( T es l mriz rnspues de )..
TEMA 3 DETERMINANTES. Cálculo de determinantes. EJERCICIO 1 : Calcular los siguientes determinantes: a b c a b c.
Ejeriios volunrios Te Deerinnes y resoluión e sises Meáis CCSSII º Bh. TEMA DETERMINANTES Cálulo e eerinnes EJERCICIO : Clulr los siguienes eerinnes: ) ) ) ) e) f) g) h) i) j) ) l) ) n) ñ) o) p) q) r)
CANTABRIA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1a
CNTRI / JUNIO. LOGSE / MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES / ÁLGER / LOQUE Un imporor e gloos los impor e os olores: e olor nrnj (N) e olor fres (F). Toos ellos se envsn en pquees e, unies, que vene los
DETERMINANTES. Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):
DETERINNTES Ejeiio nº.- Clul el vlo e los siguienes eeminnes: Ejeiio nº.- Resuelve l euión oues en ) lul el vlo el eeminne oueso en ): Ejeiio nº.- ) Resuelve l euión: ) Clul el vlo el eeminne: Ejeiio nº.-
SELECTIVIDAD: MATRICES. B y
SELETIVIDD: MTRIES EJERIIO. ) Sen dos ries udrds del iso orden que ienen invers. Ron si su produo iene invers. ) Dds ls ries - D, Deerin si D iene invers, en ese so, hálll. EJERIIO. onsider ls ries,. )
Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica (0250) Ciclo Básico EJERCICIOS RESUELTOS 3 T. = entonces. = c ( ) ( ) ( ) ( ) 7
Ful e Ingenierí UV Álger Linel Geomerí nlíi ilo Básio eprmeno e Memái pli EJERIIOS RESUELOS. Se l represenión mriil e l rnsformión linel : P R respeo ls ses B } { B. Enuenre pr R. Opión : Sen l mri e mio
Determinantes D - 1 DETERMINANTES
Determinntes D - DETERMINNTES Determinnte e un mtri ur e oren os Definiión: D un mtri ur e oren os numero rel: Det (), se llm eterminnte e l El eterminnte e un mtri ur e oren os es igul l routo e los elementos
DETERMINANTES. 1. Calcular el valor del determinante. Solución: Determinante tipo Van der Mondem. sustituyendo en la primera expresión
DETERMINANTES. lulr el vlor el eterminnte ² ² ² Soluión: Sno ftor omún e en lª fil Sno ftor omún e en l ª fil ² ² ² ² ² ² Determinnte tipo Vn er Monem. ² ² ² ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sustituyeno
a. (0.5 puntos) Determine la dimensión que debe de tener la matriz A para que se verifique la igualdad:.
Seleividd ndluí. emáis plids ls ienis Soiles. loque ries. www.useleividd.om Págin EJEROS E EÁENES E SELETV NLUÍ.LOQUE TRES.. JUNO. OPÓN. Sen ls mries siendo un número rel ulquier.. ( puno) Oeng l mriz..
, donde a y b son números cualesquiera.
Mtemátis Mtries José Mrí Mrtínez Meino (SM, www.profes.net) MJ6 D l mtriz enuentr tos ls mtries P tles que P = P. Soluión: Se ese que Por tnto, ee umplirse que: Por tnto, P, one y son números ulesquier.
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES
Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino PROLEMS DE ÁLGER DE MTRCES Oservión: L myorí e estos ejeriios proeen e ls prues e Seletivi D l mtriz enuentr tos ls mtries P tles que P P Soluión: Se ese
Unidad Nº 1 Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 1
Unidd Nº Sisems de ecuciones. Méodo de Guss Memáics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA JRCICIOS PROPUSTOS (págin Sin resolverlos, son equivlenes esos sisems? b, d c ---oooo--- Se r de prir de uno de los
Unidad 2 Determinantes
Unidd Determinntes PÁGIN SOLUCIONES. Ls mtries usds son ls siguientes: 5 Est mtriz no tiene invers.. Hiendo eros eslonmos ls mtries, oteniendo:, luego el rngo es. 4 4 4 El rngo es. PÁGIN 45 SOLUCIONES.
Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes: = 11 0 Solución: x = 4, y = 7. = 0 Solución: x = 5
Unidd. Deerminnes Memáis II Resuelve Págin Deerminnes de orden Resuelve los siguienes sisems lul el deerminne de d mriz de oeiienes: ) * ) * ) * d) * e) * ) * ) Soluión:, ) Soluión: λ, λ ) Soluión:, d)
DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA
DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA. (S-97)Hllr el rngo de l mtriz B 0 0 según se el vlor del prámetro [,5 puntos] Puesto que el menor 0 0 rgb 0 () 0 ( ) 0 ) Pr 0 r(b) ) Pr 0 0 - B 0-0 0 - r(b) 0-0 - 0-0
MATRICES -DETERMINANTES -SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ºBT M II CNS Prolems Álger Pág MATRICES -DETERMINANTES -SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resuelve l siguiene euión mriil: A.X.B.C D, sieno: Hll os ls mries X que umpln A.XX.A, sieno: Reli lo mismo que en
2. Encuentra las soluciones de los sistemas siguientes por el método de Gauss, expresándolos en forma matricial:
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MTEMÁTCS RUEBS DE CCESO L UNVERSDD DE OVEDO.- MTRCES Y DETERMNNTES.- MODELO DE RUEB roduco de mrices: concepo. Condiciones pr su relición. Es posible que pr dos mrices B no cudrds puedn eisir B B?. b Si
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Características 1) Es siempre cuadrado (igual cantidad de filas y columnas) 2) Está formado por número que determina un valor 3) Se resuelve
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CPÍTULO : DETERMINNTES. CONCEPTO DE DETERMINNTE.. Definiión Dd un mriz udrd de orden n,...... n n se llm deerminne de l mriz se represen por... n............... n............ n n... nn un número rel que
B y sus traspuestas,. c) Ninguna de las anteriores. Solución: En este caso se cumple b), pues:
nálisis eáio (eáis Eresriles ) José rí rínez eino ROLES DE TRCES DETERNNTES eguns e io es () Ls ries, y sus rsuess, y, ulen: ) ) ) Ningun e ls neriores Soluión: En ese so se ule ), ues: L resues es ) ()
Solución: Las transformaciones y el resultado de hacer el determinante en cada caso son:
Memáics II Deerminnes PVJ7. Se l mriz 8 9 7 Se B l mriz que resul l relizr en ls siguienes rnsformciones: primero se muliplic por sí mism, después se cmbin de lugr l fil segund y l ercer y finlmene se
funciones de DERIVE permiten calcular algunos invariantes y expresiones asociados a la ecuación de dicha cónica necesarios para su estudio:
CÓNICS - - Indiiones Llmndo l mriz soid un óni en un deermindo sisem de refereni l mriz de su form udrái, iers funiones de DERIVE permien lulr lgunos invrines epresiones soidos l euión de dih óni neesrios
es incompatible: a) Si m = 1 b) Si m = 2 c) Ninguna de las anteriores. Solución:, siendo r(a) = 2 y r(m) = 3 Sistema incompatible.
nálisis eáico José rí ríne edino PROBLES DE SITES rouesos en eáenes) Preguns de io es. El sise es incoible: ) Si = b) Si = c) Ningun de ls neriores. 8 si r) =, SCD. Si =,, siendo r) = r) = Sise incoible.
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